五种方法巧解最值问题
（解析版）
最值问题一直是高考、竞赛和强基测试的热点，如何对变量式进行处理是解题的难点，有时候涉及较强的变形技巧，用常规方法往往不容易完成.所以，遇到最值问题时，还是要从问题所涉及的结构特征去探寻本质关系，对式子进行技巧化处理。
一、利用等式中两个量的和为定值进行平均值换元
例1 已知实数，满足，求的最大值.
解 由，设，，则，所以，当且仅当即时取等号，所以的最大值为.
点评 题目条件中是两个变量的立方和为定值，不方便进行平均值换元，但仔细观察后发现可以先求出的最大值，即得的最大值，这样就把和看成整体量进行平均值换元，将问题转化为一个变量的关系，更简单、更快捷地解决了问题.
变式 已知实数，满足，求的最小值.
解 由得，设，，则，故，当且仅当即时取等号，所以的最小值为.
例2 已知，且，求的最大值.
解 设，，则 令，所以 ， 于是，当即，，时，取得最大值为.
变式 已知，，求的最大值.
解 设，，其中，则 当且仅当即时取等号. 故的最大值为.
例3 已知，求的最小值.
解 设，，则
，
所以，当时，取得最小值，最小值为。
点评 例2及变式和例3的条件中都出现了两个量的一次式之和为定值，经过平均值换元后，后续只涉及单个量的运算，成功将复杂的问题简单化。
二、利用和差对偶式换元
1. 当探究式是两个量之和或之差时，可考虑用对偶式换元。
例4设，为实数，若，则的最大值是______。
解 设，代入得，所以，于是，所以当且仅当，时，取得最大值，最大值为。
点评 因为探究式中有，条件式中有和，所以利用和差对偶式可以将它们有机联系起来。
变式 已知，，，求的最大值。
解 设，代入得，所以，于是
，
故当，时，取得最大值。
2. 当探究式和条件式有对偶关系时，可将探究式整体换元。
例5已知，则的最大值和最小值分别为（ ）。
A. ， B. ，
C. ， D. ，
解 设，则，。因为，所以，故，解得，答案为B。
点评 条件式和探究式中及是同类式，和探究式可看作关于和的对偶式。
三、利用互余对偶式进行换元
在三角函数中，和为互余对偶式，题中出现任意一个上述式子，可设另一个式子进行互余对偶换元。
例6在中，若，求的最大值。
解 设，两式平方后相加得
，
解得，所以，当时，取得最大值为。
点评 虽然中没有出现两个量之和为定值，但注意到这个等式右边的就是探究式，因此用互余对偶换元解题有独到之处。
变式 在中，若，求的最大值。
解 由余弦定理和正弦定理得
，
令，两式相加得
，
即。
结合可得
，
当且仅当即时取等号。
故的最大值为。
点评 本题难度较大，解法技巧性强，利用互余对偶式转化后，难度明显下降。
四、利用不等关系进行差值换元
已知实数，，，满足，，，，求的最值。
解 设，（，），代入得，所以
由 得 ，整理得
因为 ，所以
，解得 。
结合 ①② 得 。
进而可得：当 时， 取得最小值 ，当 ，， 时， 取得最大值 。
点评 抓住条件中的 ， 巧妙进行差值换元，将“不等”问题转化为“等”的问题，使问题得到较好解决。
变式1已知 ，求 的最小值。
解 设 ，则 ，所以
，
当且仅当 即 时取等号，故 的最小值为 。
变式2设 ，， 是正实数，且满足 ，则 的最小值为______。
解 设 ，则 且 ，于是 ，所以
，
当且仅当 ， 时， 取得最小值 。
五、综合换元
在一些难题中，虽然无明显的和差换元特征，但引入和差换元后，有时可以将问题简化。
例8 已知实数 ， 满足 ，求 的最大值。
解 由 ，设 ，，则
，
要求 的最大值，不妨设 ，，则
，
所以 ，当 即 即 ， 时取等号。
故 的最大值为 。
变式 实数 ， 满足 ，则 的最小值为______。
解 设 ，，则由 得 ，所以 ，于是可得 ，所以 ，当且仅当 时取等号，故 的最小值为3。
点评 本题可用几何法解决，但上面的和差换元法也很有优势。
例9已知 ，，，则 的最小值为______。
解设，，则，，，且\(y()(y，所以
，
于是可得，所以，当即时，取得最小值为.
故的最小值为.
点评 根据探究式和条件式中的两个一次式之和，将它们整体换元，将难题突破.
换元的目的是减少变量或整体利用变量，适当换元，可将复杂的难度较大的问题转化为更简单或常规的问题，有利于解题.在平时的教学过程中，可以适当加大和差换元的使用力度，提高数学思维能力.五种方法巧解最值问题
（原卷版）
最值问题一直是高考、竞赛和强基测试的热点，如何对变量式进行处理是解题的难点，有时候涉及较强的变形技巧，用常规方法往往不容易完成.所以，遇到最值问题时，还是要从问题所涉及的结构特征去探寻本质关系，对式子进行技巧化处理。
一、利用等式中两个量的和为定值进行平均值换元
例1 已知实数，满足，求的最大值.
变式 已知实数，满足，求的最小值.
例2 已知，且，求的最大值.
变式 已知，，求的最大值.
例3 已知，求的最小值.
二、利用和差对偶式换元
1. 当探究式是两个量之和或之差时，可考虑用对偶式换元。
例4设，为实数，若，则的最大值是______。
变式 已知，，，求的最大值。
2. 当探究式和条件式有对偶关系时，可将探究式整体换元。
例5已知，则的最大值和最小值分别为（ ）。
A. ， B. ，
C. ， D. ，
三、利用互余对偶式进行换元
在三角函数中，和为互余对偶式，题中出现任意一个上述式子，可设另一个式子进行互余对偶换元。
例6在中，若，求的最大值。
变式 在中，若，求的最大值。
四、利用不等关系进行差值换元
例7 已知实数，，，满足，，，，求的最值。
变式1已知 ，求 的最小值。
变式2设 ，， 是正实数，且满足 ，则 的最小值为______。
五、综合换元
在一些难题中，虽然无明显的和差换元特征，但引入和差换元后，有时可以将问题简化。
例8 已知实数 ， 满足 ，求 的最大值。
变式 实数 ， 满足 ，则 的最小值为______。
例9已知 ，，，则 的最小值为______。
