第1章《勾股定理》单元复习（含答案） 八年级数学上册北师大版

第1章《勾股定理》单元复习卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列各组数中为勾股数的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．在中，斜边，则的值是（ ）
A．100 B．200 C．300 D．400
3．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　）
A． B．7 C．或7 D．以上都不对
4．如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．体育公园边有一块如图所示的地，其中，，则这块地的面积为（ ）．
A．216 B．270 C．432 D．540
6．如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图一直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在 ABC中，，．若点在边上移动，则的最小值是（ ）
A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．如图，A，B，C是三个正方形，当B的面积为144，C的面积为169时，则A的面积为 ．
12．如图所示，是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米．
13．如图，旗杆在地面上的影长为，则为 m．
14．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时24海里的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时7海里的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 海里．
15．如图， ABC中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，；记 ADE的面积为，的面积为，则的值为 ．
16．如图，是年月北京第届国际数学家大会会标我国古代的数学家赵爽为证明勾股定理所作的“弦图”，它由个全等的直角三角形拼合而成如果图中大、小正方形的面积分别为和，那么这个直角三角形的两直角边的积等于 ．
17．如图，在四边形中，，则的度数为 ，四边形的面积为 ．
18．如图，在中，，，M是边上（不与点B、C重合），是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，交于点P，连接．
（1）的度数为 ；
（2）若，，则的长为 ．
三、解答题（本大题共6个小题,共58分）
19.（8分）如图，在 ABC中，D是边上一点，连接，，，，．
（1）求的度数； （2）求的长．
20.（8分）如图，在中，，，，点P在射线上．
（1）______，边上的高______；
（2）当为直角三角形时，求的长．
21.（10分）如图，四边形中，，，为上一点，，．
（1）求证：；
（2）若，，求线段的长．
22.（10分）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离为240米．假设所有管道的材质相同．
（1）求B，N之间的距离；
（2）珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确．
23.（10分）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4．
（1）求的长；
（2）求的值；
（3）求阴影部分的面积．
24.（12分）几何直观 【阅读理解】
（1）若一个三角形的三边长a，b，c满足，则我们称该三角形为“变异直角三角形”．如图①，在 ABC中，，则 ABC ________“变异直角三角形”（填“是”或“不是”）．
【变式迁移】（2）如图②，在 ABC与中，，．试说明：以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”．
【拓展创新】（3）如图③，在四边形中，，E为线段上一点，以为边向外作正方形．若以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”，请求出正方形的面积．
参考答案
一、选择题
1．D
解：A、，不是勾股数，该选项不符合题意；
B、,不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意；
C、不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意；
D、，是勾股数，该选项符合题意；
故选：D．
2．B
解：如图所示，

在中，，
又，
，
，
故选：B．
3．D
解：当4为斜边时，
∵直角三角形两边的长为3和4，
∴第三边为，
∴此三角形的周长为；
当3和4都是直角边时，
∵直角三角形两边的长为3和4，
∴第三边为，
∴此三角形的周长为，
故选：D．
4．B
解：如图，连接，
由勾股定理得：，，，
，，
，，
故选B．
5．A
解：如图所示，连接，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴这块地的面积，
故选：A．
6．C
解：如图过点B作于点C，则米，米，
∴米，
∴米，
∴小鸟至少飞行米，
故选：C．
7．C
解：A、大正方形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
，故该选项能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为：；也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
，
，故该选项能证明勾股定理；
C、大正方形的面积为：；也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：，
，
故该选项不能证明勾股定理；
D、梯形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，
，
，故该选项能证明勾股定理；
故选：C．
8．B
解：在中，，，
．
由折叠的性质可知：，，，
，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
∴．
故选：B．
9．A
解：由题意可知，，，
．
设的长为，则，
所以．
在直角中，，即，
解得：，
即绳索的长是10米．
故选：A．
10．D
解：作于点D，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵当时，最小，
∴，
∴，
解得，
即的最小值是4.8．
故选：D．
二、填空题
11．25
解：如图所示：
根据题意得：，
在中，由勾股定理得：
，
即正方形A的面积为25；
故答案为：25．
12．17
解：∵ ABC是直角三角形，米，米，
∴米，
∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米．
故答案为：17．
13．5
解：由题意可得：，
∴，
由勾股定理，得．
故答案为：5．
14．25
解：由题意知，，
为直角三角形，
（海里），（海里），
（海里），
即“远航”号与“海天”号的距离为25海里，
故答案为：25．
15．66
解：∵，
∴∠D=90°，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴ ABC是直角三角形，
∴∠B=90°，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：66．
16.24
解：设两直角边分别为，，且，
根据题意得：，，
，
，
，
即两直角边的积等于，
故答案为：．
17．
解：连接，
∵，
∴，，
在中，，
，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴的度数为；
四边形的面积的面积的面积
，
∴四边形的面积为．
故答案为：，
18． 45
解：（1）∵是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，
，，
，，
，，
在和中，
，
，
，
故答案为：
（2）作于点F，于点E，
∵，
∴，
，，
，
∵，
∴，
，，
，
，
∴，
平分，于点F，于点E，
，
∴，
，
故答案为：
三、解答题
19.
解：（1）解：因为，
所以，
所以是直角三角形，．
（2）解：因为，所以．
在中，，
所以，
所以．
20.
解：（1）∵
∴由勾股定理得，，
，
，
故答案为：4；；
（2）解：当时，此时点重合，
∴，
当时，如图：
设，则，
，
则根据勾股定理得，，
即，
解得，
即，
综上所述，的长为4或
21.
解：（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴．
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，，
∴，
在和中，
由勾股定理可知：，，
∴，
即，
∴，解得，
∴线段的长为5．
22.
（1）解：∵，
∴．
在中，，
由勾股定理得，
即B，N之间的距离为180米；
（2）解：∵，
∴．
在中，
由勾股定理得．
∵，，，
∴，
∴，即，
∴是垂线段，
∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确．
23.（1）解：由折叠可知 ，．
设，则，．
在中，，
∴，
解得，
∴．
（2）解：如图，过点作于点，则．
在中，
∵，
∴由勾股定理，得，
即，
∴．
∵，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点作于点．
在中，，，．
由，
得，
∴．
24.
解：（1），
，
是“变异直角三角形”，
故答案为：是；
（2）如图②，连接．
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
故以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”．
（3）如图③，连接，过点C作，交的延长线于点M．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
E为线段上一点，
，
，
，
以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”，
分两种情况讨论：
①当时，得，不符合题意，舍去；
②当时，．
综上所述，正方形的面积为8．