北京市西城区2025-2026学年第一学期期末仿真模拟八年级数学试卷(含答案)

北京市西城区2025-2026学年第一学期期末仿真模拟卷
八年级 数学
一、单选题（每题2分，共16分）
1．人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
2．食品安全问题是全球性的挑战，我国已经建立了较为完善的食品安全法律法规体系．下面四个图形是食品安全方面的标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．下列式子从左到右的变形一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．点关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，是的角平分线，且，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点、分别在正方形的边、上，，已知，，则（ ）
A．6 B．15 C．12 D．30
二、填空题（每题2分，共16分）
9．已知，，则的值是 ．
10．已知和的位置如图所示，点C、E、F、B在一条直线上，若，，，则的度数是 °．
11．式子有意义，则实数a的取值范围是 ．
12．如图，若，只需补充 就可以判定．
13．已知整式可以因式分解为，则的值为 ．
14．某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务．设原计划每天铺设管道x米，根据题意列出方程为 ．
15．如图，在中，，，点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，则 ．
16．如图，的面积为42，平分，为的中点，点在上，，若阴影部分的面积为，则的值为 ．
三、解答题（共68分）
17（8分）．分解因式：
(2)．
18.（7分）解方程：
19（10分）．如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点E．
(1)如图1，求证：①；②；
(2)如图2，求证：；
(3)如图3，直接写出线段之间的数量关系．
20（8分）．已知：在中，为边上一点，平分，于点，于点．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接、（只保留作图痕迹，不写作法和结论）．
(2)若，求证：．请补全下面的证明过程．
证明：平分，，，
（），
是的垂直平分线，
，．
又，
∴，
，，
，
在和中，，
，
．
21（7分）．先化简，再求值：，其中，．
22（9分）．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
探索发现：
（1）如图①，写出一个我们熟悉的数学公式： ．
解决问题：
（2）若满足，求的值．
（3）如图②，在长方形中，是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形．若长方形的面积为80，则图中阴影部分的面积和为 ．
23（9分）．（1）如图1在中，，，直线m经过点A，，，垂足分别为点D，E．
①求证：；
②请判断是否成立，并说明理由．
（2）将（1）中的条件改为：如图2在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
24（10分）．【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，中，若，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长至点E，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围．
（1）由已知和作图得到，依据是 ．
（2）边上的中线的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【初步运用】
如图②，是的中线，交于E，交于F，且．求证：．
选做题
25（10分）．如图所示，在直角坐标系中，，，．
(1)在图中作出关于轴的轴对称图形：
(2)写出中点的坐标．
(3)在轴上作出点，使最小．
26（10分）．阅读以下材料，并解决问题
定义：如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．
(1)如图2，，判断射线是不是的“巧分线”，并说明理由．
(2)以下说法正确的是____________（请填出所有正确的序号）
①一个角的平分线是这个角的“巧分线”；
②一个角的“巧分线”是这个角的平分线；
③一个角的“巧分线”的个数不唯一．
(3)如图3，已知，射线是的“巧分线”，且．
求作的一条巧分线（不与重合），并直接用含的代数式表示．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B D C C A B
1．C
【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
根据科学记数法的定义作答即可．
【详解】．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
3．B
【分析】本题考查幂的运算性质，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键．根据合并同类项法则，同底数幂乘法、除法法则和幂的乘方法则逐项判断即可．
【详解】解：A．，故原计算错误，不符合题意；
B． ，故原计算正确，符合题意；
C．，故原计算错误，不符合题意；
D． ，故原计算错误，不符合题意；
故选：B．
4．D
【分析】本题考查三角形三边关系定理，掌握相关知识是解决问题的关键．三角形的三边需满足任意两边之和大于第三边．
【详解】解：A∶不满足；
B∶不满足；
C∶不满足；
D∶且均满足，
故选：
5．C
【分析】本题考查判断分式的变形是否成立，根据分式的基本性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、无法进行约分化简，不一定等于，，原变形错误，不符合题意；
B、无法进行约分化简，不一定等于，原变形错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，原变形错误，不符合题意；
故选：C．
6．C
【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征，关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数．
【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标为，
故选：C．
7．A
【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，作出辅助线表示出三角形的面积是解题的关键．先过点作于，于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式即可求出两三角形的面积的比值．
【详解】解：如图，过点作于，于，
∵是的角平分线，
∴．
∵，，
又∵，
∴．
故选：A．
8．B
【分析】作交的延长线于点，证、即可求解．
【详解】解：作交的延长线于点，如图：

设，则
∵
解得：
∴
故选：B
【点睛】本题考查了“半角模型”，熟记相关模型的构成、求解及结论是解题关键．
9．
12
【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则的应用，逆用同底数幂的乘法法则进行计算可得解.
【详解】解：，，
故答案为：.
10．
【分析】本题考查三角形外角与垂直的角度计算，解题关键是利用垂直得直角，结合三角形外角等于不相邻两内角和，易错点是角度关系的对应混淆；由得，再利用三角形外角性质求．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
又∵是的外角，且，
∴，
故答案为．
11．
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不为零，据此解答即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
12．或或或（答案不唯一, 写其中一个即可）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
根据全等三角形的判定，补充条件即可．
【详解】根据题意知（对顶角相等），
又，则可补充，
根据可判定；
补充，
根据可判定；
补充，可得，，接着同上可判定；
补充，
根据可判定；
故答案为：或或或（答案不唯一，写其中一个即可）．
13．4
【分析】本题考查的是多项式因式分解与整式乘法的互逆关系，解题关键是利用整式乘法展开因式分解式，再通过对应项系数相等列方程求解．
通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解即可．
【详解】展开 ，与原式 比较系数，
得 ，解得 ．
故答案为 4
14．
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确找到等量关系是解题的关键．设原计划每天铺设管道x米，根据工作效率比原计划提高，结果提前了8天完成任务，列方程即可．
【详解】解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道为米，原计划完成任务所需时间为天，实际所需时间为天，根据题意，得
，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形的性质，由题意可得，，作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得，，从而可得，当、、三点共线且时，的值最小，即此时最小，证明、、三点共线，求出，再由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵在中，，，
∴为等边三角形，
∴，，
如图，作点关于的对称点，连接，
，
由轴对称的性质可得，，
∴，
∴当、、三点共线且时，的值最小，即此时最小，
∵，
∴、、三点共线，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查角平分线的性质与三角形面积的结合，利用角平分线的 “到角两边距离相等” 及面积比例关系是解题关键．先根据线段比例推出三角形面积关系，再结合角平分线性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），通过面积比建立的比例关系．
【详解】解：，
，
又，
，
，
为的中点，
，
，
，
如图，过点作，，
，
又平分，
，
，
即．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是∶
（1）根据十字相乘法进行因式分解即可；
（2）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
．
18．
【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验即可．
【详解】解：方程去分母，得，
去括号，得，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
19．(1)①证明见解析；②证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
（1）①由垂直的定义得到，由同角的余角相等得到，即可根据“”证明；②根据全等三角形的性质证明；
（2）同（1）思路证明即可；
（3）同（2）思路求解．
【详解】（1）证明：①，，
，
，
，
，
，
，
；
②由①知，
，，
．
（2）证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
（3）解：，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键。
（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）根据角平分线的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，则可证明，再证明，即可证明．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）证明：∵平分，，，
∴（角平分线的性质），
∵是的垂直平分线，
∴，
又∵
∴（等量代换），
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
21．，
【分析】本题考查的是整式的混合运算－化简求值，根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项、多项式除以单项式把原式化简，把a、b的值代入计算得到答案．
【详解】解：
，
当，时，原式
22．
（1）；
（2）130；
（3）176
【分析】本题主要考查完全平方公式和几何图形的结合，以及完全平方公式的变形；
（1）根据面积公式可知大正方形的面积为，小正方形的面积为，即可求得等式；
（2）设，，则，利用代入即可；
（3）根据题意得，，，设，，则，，那么，即可．
【详解】解：（1）根据面积公式可知大正方形的面积为，小正方形和长方形的面积和为，
则，
故答案为：；
（2）设，，
则，
那么，；
（3）根据题意得，，，
设，，
，，
，
图中阴影部分的面积和为176，
故答案为：176．
23．（1）①见解析；②成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用角的关系推导全等条件，结合全等三角形的对应边相等分析线段关系．
（1）①通过直角条件推导，结合，用证；②利用全等三角形对应边相等，得、，从而推出．
（2）通过推导，结合、，用证．
【详解】（1）①证明：三点都在直线m上，，
，
，
，
在和中，
；
②成立．理由如下：
，，
．
（2）成立．理由如下：
如图2，，
由三角形内角和及平角性质得：
，
，，
在和中，
，
，
24．【问题情境】（1）；（2）；【初步运用】：见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，等腰三角形的判定，倍长中线得到三角形全等是解题的关键．
【问题情境】（1）由作图及已知得，即可得到全等的依据；
（2）由（1）及三角形三边关系即可求解；
【初步运用】延长到H，使，连接，证明，则有，结合已知得，即可证明结论成立．
【详解】解：（1）由作图知；
∵边上的中线为，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：中，，
由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
在中，由三角形三边之间的关系得：，
即，
∴，
∴边上的中线的取值范围是：，
故答案为：；
【初步运用】证明：延长到H，使，连接，如图2所示：
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
25．(1)画图见解析
(2)，，
(3)画图见解析
【分析】本题考查了画轴对称图形，坐标与图形，写出点的坐标，根据轴对称的性质求线段和的最小值，掌握轴对称的性质是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质找出的对应点，顺次连接即可求解；
（2）根据坐标系写出点的坐标即可求解．
（3）如图，连接交轴于，连接，则即为所求．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：由图形可得：
，，．
（3）解：如图，连接交轴于，连接，则即为所求．
26．(1)射线是的“巧分线”，理由如下见解析
(2)①③
(3)图见解析，理由见解析
【分析】本题考查角的”巧分线”的定义及应用，解题的关键是紧扣”巧分线”的定义（一个角的度数是另一个角的两倍）分析角之间的关系．
①根据”巧分线”的定义，计算相关角的度数并判断；
②结合”巧分线”和角平分线的定义，逐一分析选项；
③根据”巧分线”的定义画出射线，并推导的表达式．
【详解】（1）解：射线是的“巧分线”，理由如下：
，
．
，符合“巧分线”的定义，
射线是的“巧分线”；
（2）解：①角的平分线会将角分成两个相等的角，此时“一个角（原角）是另一个角（平分后的角）的两倍”，符合“巧分线”定义，故①正确；
②“巧分线”只需满足一个角是另一个角的两倍，不一定平分角（如被分成和），故②错误；
③一个角的“巧分线”可能有多种分法（如的角可以分成和，或和），个数不唯一，故③正确．
故答案为：①③；
（3）解：分两种情况：
①如图，是的一条巧分线，此时是的角平分线，
∵射线是的“巧分线”，
∴，
∴，
∴；
②如图，是的一条巧分线，此时是的角平分线，
∵射线是的“巧分线”，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上，或．
答案第1页，共2页
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