27.3 位似同步课件
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课件35张PPT。第二十七章
位 似27.3
位 似 新知1 位似图形
1. 位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.
2. 位似图形的性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于相似比.
3. 由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换.利用位似变换可以把一个图形放大或缩小. 【例1】下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比.其中正确命题的序号是（ ）
A. ②③ B. ①② C. ③④ D. ②③④ 例题精讲 解析 ①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故此命题错误；②位似图形一定有位似中心，此命题正确；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，此命题正确；④位似图形上对应(不是任意)两点与位似中心的距离之比等于相似比，此命题错误.正确的命题为②③.
答案 A 1. 下列说法正确的是（ ）
A. 对角线互相平分的四边形是矩形
B. 平行四边形是轴对称图形
C. 位似三角形是相似三角形
D. 可以选用同一种正五边形图形镶嵌地面 举一反三C 2. 下列说法错误的是（ ）
A. 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上
B. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
C. 位似图形一定是相似图形
D. 位似图形的对应线段不可能在同一条直线上D 新知2 位似图形的性质
一般性质(具有相似多边形的性质)：周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方.特殊性质：位似图形上任意一组对应顶点到位似中心的距离之比等于相似比. 【例2】如图27-3-2，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA=2AA′，S△ABC=8，则S△A′B′C′=_______. 例题精讲 1. 如图27-3-3，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（ ）
A. 1∶2
B. 1∶4
C. 1∶5
D. 1∶6 举一反三B 2.如图27-3-4，已知E（-4，2），F（-1，-1），以原点O为位似中心，按比例尺2∶1把△EFO缩小，则E点对应点E′的坐标为（ ）C 新知3 作位似图形
画位似图形的步骤：（1）确定位似中心；（2）确定原图的关键点；（3）确定相似比；（4）找出新图形的对应关键点；（4）画出图形. 【例3】如图27-3-5，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（-1，2），B（-3，4）,C（-2，6）. 例题精讲 （1）画出△ABC，并画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1;
（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1的三条边放大为原来2倍后的△A2B2C2.
解析 （1）由A（-1，2），B（-3，4）,C（-2，6），可画出△ABC，然后由旋转的性质，即可画出△A1B1C1；
（2）由位似三角形的性质，即可画出△A2B2C2. 解 （1）如图27-3-6：（1）△ABC和△A1B1C1即为所求；（2）△A2B2C2 即为所求. 1. 如图27-3-7，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，-4），B（3，-2），C（6，-3）. 举一反三 （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2∶1. 解：如答图27-3-1所示. 新知4 用坐标描述位似变换
在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，相似比为k，若原图形上点A的坐标为（x，y），那么位似图形对应点A′的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. 【例4】如图27-3-8，△ABC三个定点的坐标分别为A（-1，3），B（-1，1），C（-3，2）.
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出 的值. 例题精讲 解析 （1）根据网格结构找出点A,B,C关于y轴的对称点A1,B1,C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）连接A1O并延长至A2，使A2O=2A1O，连接B1O并延长至B2，使B2O=2B1O，连接C1O并延长至C2，使C2O=2C1O，然后顺次连接即可，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出面积比. 解 （1）△A1B1C1如图27-3-9所示. 1. 如图27-3-10，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD（顶点是网络线的交点）和点O，按要求画出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2.
（1）将四边形ABCD绕O点顺时针旋转90°，得到四边形A1B1C1D1；
（2）以O点为位似中心，在异侧作位似变换，且使四边形ABCD的面积扩大为原来的4倍，得到四边形A2B2C2D2. 举一反三 解：(1)如答图27-3-2所示：四边形A1B1C1D1即为所求.
(2)如答图27-3-2所示：四边形A2B2C2D2即为所求. 1. 位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.
2. 位似图形的性质：除了具有相似多边形的全部性质外，还具有的特殊性质——位似图形上任意一组对应顶点到位似中心的距离之比等于相似比. 方法规律 7. （6分）如图KT27-3-3，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上. （1）以O为位似中心将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1与△OAB对应线段的比为2∶1，画出△OA1B1（所画△OA1B1与△OAB在原点两侧）；
（2）求出线段A1B1所在直线的函数关系式. 解：（1）如答图27-3-3，△OA1B1就是△OAB放大后的图象. 8. （6分）已知图KT27-3-4，请作出一个新图形，使新图形与原图形的位似比为2∶1. 解：作法如下：①取关键点A,B,C,D,在图外取点P,作射线AP,BP,CP,DP;
②在它们上面分别取A′,B′,
C,′D′,使得PA′=2PA,PB′=
2PB,PC′=2PC,PD′=2PD.
③顺次连接A′,B′,C′,D′,
四边形A′B′C′D′即为所求.
如答图27-3-4.
位 似27.3
位 似 新知1 位似图形
1. 位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.
2. 位似图形的性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于相似比.
3. 由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换.利用位似变换可以把一个图形放大或缩小. 【例1】下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比.其中正确命题的序号是（ ）
A. ②③ B. ①② C. ③④ D. ②③④ 例题精讲 解析 ①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故此命题错误；②位似图形一定有位似中心，此命题正确；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，此命题正确；④位似图形上对应(不是任意)两点与位似中心的距离之比等于相似比，此命题错误.正确的命题为②③.
答案 A 1. 下列说法正确的是（ ）
A. 对角线互相平分的四边形是矩形
B. 平行四边形是轴对称图形
C. 位似三角形是相似三角形
D. 可以选用同一种正五边形图形镶嵌地面 举一反三C 2. 下列说法错误的是（ ）
A. 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上
B. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
C. 位似图形一定是相似图形
D. 位似图形的对应线段不可能在同一条直线上D 新知2 位似图形的性质
一般性质(具有相似多边形的性质)：周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方.特殊性质：位似图形上任意一组对应顶点到位似中心的距离之比等于相似比. 【例2】如图27-3-2，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA=2AA′，S△ABC=8，则S△A′B′C′=_______. 例题精讲 1. 如图27-3-3，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（ ）
A. 1∶2
B. 1∶4
C. 1∶5
D. 1∶6 举一反三B 2.如图27-3-4，已知E（-4，2），F（-1，-1），以原点O为位似中心，按比例尺2∶1把△EFO缩小，则E点对应点E′的坐标为（ ）C 新知3 作位似图形
画位似图形的步骤：（1）确定位似中心；（2）确定原图的关键点；（3）确定相似比；（4）找出新图形的对应关键点；（4）画出图形. 【例3】如图27-3-5，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（-1，2），B（-3，4）,C（-2，6）. 例题精讲 （1）画出△ABC，并画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1;
（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1的三条边放大为原来2倍后的△A2B2C2.
解析 （1）由A（-1，2），B（-3，4）,C（-2，6），可画出△ABC，然后由旋转的性质，即可画出△A1B1C1；
（2）由位似三角形的性质，即可画出△A2B2C2. 解 （1）如图27-3-6：（1）△ABC和△A1B1C1即为所求；（2）△A2B2C2 即为所求. 1. 如图27-3-7，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，-4），B（3，-2），C（6，-3）. 举一反三 （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2∶1. 解：如答图27-3-1所示. 新知4 用坐标描述位似变换
在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，相似比为k，若原图形上点A的坐标为（x，y），那么位似图形对应点A′的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. 【例4】如图27-3-8，△ABC三个定点的坐标分别为A（-1，3），B（-1，1），C（-3，2）.
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出 的值. 例题精讲 解析 （1）根据网格结构找出点A,B,C关于y轴的对称点A1,B1,C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）连接A1O并延长至A2，使A2O=2A1O，连接B1O并延长至B2，使B2O=2B1O，连接C1O并延长至C2，使C2O=2C1O，然后顺次连接即可，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出面积比. 解 （1）△A1B1C1如图27-3-9所示. 1. 如图27-3-10，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD（顶点是网络线的交点）和点O，按要求画出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2.
（1）将四边形ABCD绕O点顺时针旋转90°，得到四边形A1B1C1D1；
（2）以O点为位似中心，在异侧作位似变换，且使四边形ABCD的面积扩大为原来的4倍，得到四边形A2B2C2D2. 举一反三 解：(1)如答图27-3-2所示：四边形A1B1C1D1即为所求.
(2)如答图27-3-2所示：四边形A2B2C2D2即为所求. 1. 位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.
2. 位似图形的性质：除了具有相似多边形的全部性质外，还具有的特殊性质——位似图形上任意一组对应顶点到位似中心的距离之比等于相似比. 方法规律 7. （6分）如图KT27-3-3，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上. （1）以O为位似中心将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1与△OAB对应线段的比为2∶1，画出△OA1B1（所画△OA1B1与△OAB在原点两侧）；
（2）求出线段A1B1所在直线的函数关系式. 解：（1）如答图27-3-3，△OA1B1就是△OAB放大后的图象. 8. （6分）已知图KT27-3-4，请作出一个新图形，使新图形与原图形的位似比为2∶1. 解：作法如下：①取关键点A,B,C,D,在图外取点P,作射线AP,BP,CP,DP;
②在它们上面分别取A′,B′,
C,′D′,使得PA′=2PA,PB′=
2PB,PC′=2PC,PD′=2PD.
③顺次连接A′,B′,C′,D′,
四边形A′B′C′D′即为所求.
如答图27-3-4.