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浙教版2025—2026学年九年级上册期末刷透真题专项突破卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·慈利期末）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·长沙期末）若与相似，且对应边之比为：，则与的面积比为（ ）
A．： B．： C．： D．：
3．（2024九上·阿克苏期末）下列命题正确的是（ ）
A．方程没有实数根
B．两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似
C．平分弦的直径垂直于弦
D．反比函数的图象不会与坐标轴相交
4．（2024九上·南昌期末）如图，内接于，是的直径，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·东莞期末）九年级某学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ）
A．6米 B．10米 C．12米 D．15米
6．（2024九上·德惠期末）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，现将绕点按逆时针方向旋转，则旋转后点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·深圳模拟）如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与 相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，P是OD的中点，过点P作PM⊥BC于点M，交 于点N′，则PN-MN′的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·杭州期末）如图，在以为直径的半圆O中，，D是的中点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·阿克苏期末）对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2024九上·渠县期末）如图，已知是的中线，E是线段上一点，且，的延长线交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·长春期末）连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于 ．
12．（2024九上·宁江期末）如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 ．
13．（2024九上·都江堰期末）如图，已知，添加一个条件 ，使得．
14．（2024九上·贵州期末）一个扇形的半径是，圆心角是，则此扇形的面积是 ．
15．（2024九上·增城期末）如图，平面直角坐标系中有一点 ，在以 为圆心，2为半径的圆上有一点P，将点P绕点A旋转 后恰好落在x轴上，则点P的坐标是 .
16．（2025九上·湖州期末）莱洛三角形广泛应用于建筑，工业，包装等方面，某数学兴趣小组在学习了莱洛三角形的知识后获得灵感，设计了如图2的美丽图形，爱思考的小聪提出以下问题：如图3，正五边形的边长为5，分别以和为圆心，5为半径作和交于点，此时阴影部分的周长为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023九上·商南期末）四个完全相同的乒乓球，分别标有数字、、、，将它们放入一个不透明的盒子中从盒子中随机摸出一个球，记下数字后不放回，再从剩下的个球中随机摸出一个球，记下数字后将两个球都放回．
（1）第一次摸到的球上数字为奇数的概率为 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球上数字之和为偶数的概率．
18．（2023九上·商南期末）如图，二次函数的图象经过点和．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，连接、，求的面积．
19．（2024九上·八步期末） 如图，是的两条高．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
20．（2024九上·昭通期末）正方形ABCD的边长为5，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：△DEF≌△DMF；
（2）若AE＝2，求EF的长．
21．（2024九上·昭通期末）随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展．某电商以每件40元的价格购进某款T恤，以每件60元的价格出售．经统计，“元旦”的前一周的销量为500件，该电商在“元旦”期间进行降价销售，经调查，发现该T恤在“元旦”前一周销售量的基础上，每降价1元，销售量就会增加50件．设该T恤的定价为x元，获得的利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于30%，如何定价才能使得利润最大？并求出最大利润是多少元？（利润率＝×100%）
22．（2024九上·红塔期末）雪是冬天的来信，碎碎坠琼芳，雪花落处，诗意陡升，在云南，遇见雪山的烂漫，看“高原精灵”翩翩起舞，感受“南国雾凇美如画”的韵味，有一种叫云南的生活，它总是呼唤着你，岁岁年年，四时不变．云南某雪山景区经过市场调查发现，某天门票的销售量（单位：张）与门票的售价（单位：元/张）的函数关系如图所示，门票售价不低于50元，不高于300元．
（1）求与的函数解析式（也称关系式）；
（2）求这一天该景区销售门票获得的总收入的最大值．
23．（2024九上·澧县期末）如图，是的外接圆，，平分交于E，过B作的延长线于D．
（1）若，求证：；
（2）若，，求的长度．
24．（2024九上·鄞州期末）对任意实数，记，已知实数，函数．
（1）求使得等式成立的的取值范围；
（2）求函数的最小值．
（3）求函数当时的最大值．
25．（2024九上·揭阳期末）直线与轴交于点，与轴交于点，并与双曲线交于点，连接OA.
（1）求直线与双曲线的解析式.
（2）在直线AC上存在一个点(不与重合)，使得，求点的坐标.
（3）若点在轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与相似 若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
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浙教版2025—2026学年九年级上册期末刷透真题专项突破卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·慈利期末）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后抛物线解析式为，即，∴顶点坐标为，
故选：D．
【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质．根据平移的性质可得：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后抛物线解析式为，再通过变形可化为顶点式，据此可找出顶点坐标.
2．（2024九上·长沙期末）若与相似，且对应边之比为：，则与的面积比为（ ）
A．： B．： C．： D．：
【答案】C
【解析】【解答】解：∵与相似，且对应边之比为：，
∴与的面积比为，
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的性质结合相似比即可得到面积之比。
3．（2024九上·阿克苏期末）下列命题正确的是（ ）
A．方程没有实数根
B．两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似
C．平分弦的直径垂直于弦
D．反比函数的图象不会与坐标轴相交
【答案】D
【解析】【解答】解：A、在方程中，，方程有两个不相等的实数根，故A错误；
B、两边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似，故B错误；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故C错误；
D、反比函数的图象不会与坐标轴相交，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根的判别式，相似三角形的判定定理，垂径定理的推论，以及反比例函数的性质逐项判定即可.
4．（2024九上·南昌期末）如图，内接于，是的直径，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示
是的直径
故答案为：A
【分析】从已知条件入手，直径所对的圆周角是直角，已知角是这个直角三角形中的一个内角，另一内角可求，是20°；根据同弧所对的圆周角都相等，即可推出等于这个内角，=20°。
5．（2024九上·东莞期末）九年级某学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ）
A．6米 B．10米 C．12米 D．15米
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，铅球落地点y=0，
∴
解得：x＝-2（舍去），x=10，
则该生此次实心球训练的成绩为10米.
故答案为：B.
【分析】根据解析式和铅球的落地点y=0，可得，据此求出x的值再选择.
6．（2024九上·德惠期末）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，现将绕点按逆时针方向旋转，则旋转后点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意作图，
如图所示，旋转后的点A坐标是（-1，-4）
故答案为：B
【分析】掌握旋转作图，在准确作图的基础上可以直接读取坐标；也可以通过计算：由A、B两点的坐标找到直线AB的斜率，由垂直的两条直线的斜率乘积是-1这一关系式得到旋转后AB的斜率，代入B的坐标可以得出解析式，再设出坐标，根据两点间距离列出方程求解。
7．（2024·深圳模拟）如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与 相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，P是OD的中点，过点P作PM⊥BC于点M，交 于点N′，则PN-MN′的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴OA=OC，AD=AB=4，
∵N是AO的中点，P是OD的中点，
∴PN是△AOD的中位线，
∴PN= AD=2，
∵PM⊥BC，
∴PM//CD//AB，
∴点N′为OC的中点，
∴AC=4CN′，
∵PM//AB，
∴△CMN′∽△CBA，
∴ ，
∴MN′=1，
∴PN-MN′=2-1=1，
故答案为：A.
【分析】根据正方形的性质可得点O为AC的中点，根据三角形中位线的性质可求出PN的长，由PM⊥BC可得PM//CD，根据点P为OD中点可得点N′为OC中点，即可得出AC=4CN′，根据MN′//AB可得△CMN′∽△CBA，根据相似三角形的性质可求出MN′的长，进而可求出PN-MN′的长.
8．（2024九上·杭州期末）如图，在以为直径的半圆O中，，D是的中点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图：连接，
∵，
∴，
∵D是的中点，
∴弧BD=弧CD，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】连接OC、OD，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠BOD=2∠A=50°，再根据等弧所对的圆心角相等可得，由邻补角求出，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得∠B的度数.
9．（2024九上·阿克苏期末）对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：①由图像可知，a>0，c<0，对称轴，
，
故①正确；
②由图像可知，抛物线与x轴有两个交点，
故②正确；
③由图像可知，当x=2时，函数值小于零，即，故③错误；
④由图像可知，当x=-1时，函数值大于零，即a-b+c>0，
a-(-2a)+c>0，即3a+c>0，故④正确；
⑤当x=1时，y=a+b+c，此时y取到最小值，
当x=m时，y=am2+bm+c，
a+b+cam2+bm+c，
即 ，故⑤正确；
⑥当时，y随x的增大而减小，故⑥正确.
综上所述，正确的有①②④⑤⑥，共5个.
故答案为：C.
【分析】①根据抛物线的开口方向和与y轴的交点，判断出a、c的符号，再结合对称轴得出b的符号，进而可判断①；②根据抛物线与x轴的交点个数即可判断②；③当x=2时，结合图像即可判断；④当x=-1时，得出a-b+c>0，再将b=-2a代入即可判断④；⑤根据图像得出当x=1时函数取到最小值，再结合不等式的性质判断即可；⑥根据抛物线的性质判断即可.
10．（2024九上·渠县期末）如图，已知是的中线，E是线段上一点，且，的延长线交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，
AE：DE=1：2，
如图所示：取BF的中点H，连接DH，
是的中线，
点D是BC的中点，
DH是的中位线，
，且DH∥CF，
DH∥CF，
∠HDE=∠FAE，∠DHE=∠AFE，
，
，
，即CF=4AF，
.
故答案为：C.
【分析】由，得出AE：DE=1：2，取BF的中点H，连接DH，可得DH是的中位线，进而可证，再利用相似三角形的性质得到，进而得到CF=4AF，据此即可得到的值 .
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·长春期末）连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于 ．
【答案】
【解析】【解答】如图所示：
∵点D、E分别为AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=BE，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
故答案为：.
【分析】先利用三角形中位线的性质可得DE//BC，DE=BE，再证出△ADE∽△ABC，最后利用相似三角形的性质可得，从而得解.
12．（2024九上·宁江期末）如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】设小正方形的边长为1，
∴大正方形的面积为9，阴影部分的面积=1×2××4=4，
∴P（这个点取在阴影部分）=，
故答案为：.
【分析】先求出大正方形的面积和阴影部分的面积，再利用几何概率公式求解即可.
13．（2024九上·都江堰期末）如图，已知，添加一个条件 ，使得．
【答案】（答案不唯一）
【解析】【解答】添加条件：（答案不唯一），
理由：∵，
∴，
∴∠BAC=∠DAE，
∵，
∴，
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】利用相似三角形的判定方法分析求解即可.
14．（2024九上·贵州期末）一个扇形的半径是，圆心角是，则此扇形的面积是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意，此扇形的面积，
故答案为：．
【分析】利用扇形面积公式求解即可。
15．（2024九上·增城期末）如图，平面直角坐标系中有一点 ，在以 为圆心，2为半径的圆上有一点P，将点P绕点A旋转 后恰好落在x轴上，则点P的坐标是 .
【答案】（ ，4）或（﹣ ，4）
【解析】【解答】解：如图，
∵将点P绕点A旋转180°后恰好落在x轴上，点 ，
∴点P的纵坐标为4，
当点P在第一象限时，过点P作PT⊥y轴于T，连接PM.
∵T（0，4），M（0，3），
∴OM＝3.OT＝4，
∴MT＝1，
∴PT＝ ＝ ＝ ，
∴P（ ，4），
根据对称性可知，点P关于y轴的对称点P′（﹣ ，4）也满足条件.
综上所述，满足条件的点P的坐标为（ ，4）或（﹣ ，4）.
故答案为：（ ，4）或（﹣ ，4）.
【分析】画出示意图，由题意可得点P的纵坐标为4，当点P在第一象限时，过点P作PT⊥y轴于T，连接PM，根据点T、M的坐标可得OM＝3，OT＝4，则MT＝1，利用勾股定理求出PT，可得点P的坐标，根据对称性可知：点P关于y轴的对称点P′也满足条件，据此解答.
16．（2025九上·湖州期末）莱洛三角形广泛应用于建筑，工业，包装等方面，某数学兴趣小组在学习了莱洛三角形的知识后获得灵感，设计了如图2的美丽图形，爱思考的小聪提出以下问题：如图3，正五边形的边长为5，分别以和为圆心，5为半径作和交于点，此时阴影部分的周长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图3，连接AP，EP，
∵AP=EP=AE=5，
∴△APE是正三角形，
∴∠PAE=∠PEA=60°，
∴的长为，
∴阴影部分的周长为
故答案为：.
【分析】正五边形的性质，正三角形的判定和性质以及弧长公式进行解答即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023九上·商南期末）四个完全相同的乒乓球，分别标有数字、、、，将它们放入一个不透明的盒子中从盒子中随机摸出一个球，记下数字后不放回，再从剩下的个球中随机摸出一个球，记下数字后将两个球都放回．
（1）第一次摸到的球上数字为奇数的概率为 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球上数字之和为偶数的概率．
【答案】（1）
（2）解：依题意画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中两次摸到的球上数字之和为偶数的结果有种，
两次摸到的球上数字之和为偶数的概率为．
【解析】【解答】解：(1) 第一次摸到的球可能的结果有1、2、3、4共四种结果，其中第一次摸到的球上数字为奇数的有两种，
∴第一次摸到的球上数字为奇数的概率为＝：
故答案为：．
【分析】（1）直接列举出第一次摸出所有可能的结果利用概率公式即可求解；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球上数字之和为偶数的结果有4种，再由概率公式求解即可．
18．（2023九上·商南期末）如图，二次函数的图象经过点和．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，连接、，求的面积．
【答案】（1）解：由题意得：，
解得：，
该二次函数的解析式为
（2）解：当时，，
当时，，
解得：或，
，，，
的面积为：
【解析】【分析】（1）将两点坐标代入解析式中求得解析式，根据待定系数法求解；
（2）先求出A、B、C的坐标，再根据三角形的面积公式求解．
19．（2024九上·八步期末） 如图，是的两条高．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明：是的两条高
，
又
，即.
（2）解：由（1）知，
又，
，
．
即：.
【解析】【分析】（1）先证出，再利用相似三角形的性质可得，再化简可得；
（2）先证出，再利用相似三角形的性质可得，从而得解.
20．（2024九上·昭通期末）正方形ABCD的边长为5，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：△DEF≌△DMF；
（2）若AE＝2，求EF的长．
【答案】（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
∴EF＝CF+AE；
（2）解：设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，BC＝5，
∴BM＝BC+CM＝5+2＝7，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝7﹣x，
∴EB＝AB﹣AE＝5﹣2＝3，
在Rt△EBF中，由勾股定理得，
EB2+BF2＝EF2即22+（4﹣x）2＝x2，
解得x＝，
则EF＝．
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和旋转性质准备条件，再利用SAS证明 △DEF≌△DMF 即可；
（2） 设EF＝MF＝x， 用含x的代数式表示BF的长， 在Rt△EBF中，由勾股定理建立方程求解即可。
21．（2024九上·昭通期末）随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展．某电商以每件40元的价格购进某款T恤，以每件60元的价格出售．经统计，“元旦”的前一周的销量为500件，该电商在“元旦”期间进行降价销售，经调查，发现该T恤在“元旦”前一周销售量的基础上，每降价1元，销售量就会增加50件．设该T恤的定价为x元，获得的利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于30%，如何定价才能使得利润最大？并求出最大利润是多少元？（利润率＝×100%）
【答案】（1）解：根据题意可得：
w＝（x﹣40）[500+50（60﹣x）]＝﹣50x2+5500x﹣140000；
∴w与x之间的函数关系式为：w＝﹣50x2+5500x﹣140000；
（2）解：由题意可得：
，
解得40≤x≤52，
∵a＝﹣50＜0，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线的对称轴为直线 x＝55，
∴当40≤x≤52时，w随x的增大而增大，
∴当 x＝52 时，w的最大值为：w＝（52﹣40）[500+50×（60﹣52）]＝10800（元），
答：当定价为每件52元时，才能使利润最大，最大利润为10800元．
【解析】【分析】（1）基本关系：销售量的增加量=降价的数量×50，每件的利润=销售价格-进价，据此建立二次函数；
（2）销售单价不低于成本，可得一个不等式； 销售利润率不高于30%， 又可得一个不等式，建立不等式组求出自变量的取值范围，再利用二次函数的性质解即可。
22．（2024九上·红塔期末）雪是冬天的来信，碎碎坠琼芳，雪花落处，诗意陡升，在云南，遇见雪山的烂漫，看“高原精灵”翩翩起舞，感受“南国雾凇美如画”的韵味，有一种叫云南的生活，它总是呼唤着你，岁岁年年，四时不变．云南某雪山景区经过市场调查发现，某天门票的销售量（单位：张）与门票的售价（单位：元/张）的函数关系如图所示，门票售价不低于50元，不高于300元．
（1）求与的函数解析式（也称关系式）；
（2）求这一天该景区销售门票获得的总收入的最大值．
【答案】（1）解：当时，设与的函数解析式为，由图可得：
解得：
∴与的函数解析式为：
（2）解：由题意得：
①当时，．
当时，
有最大值为：；
②当时，，
∵，∴当时，随的增大而增大，
∴当时，有最大值为：．
∵，
∴当时，有最大值为1210000，
∴这一天该景区销售门票获得的总收入的最大值是1210000（元）．
【解析】【分析】（1）结合函数图象中的数据，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分类讨论： ①当时， ②当时， 再分别列出函数解析式，最后利用函数的性质求解即可.
23．（2024九上·澧县期末）如图，是的外接圆，，平分交于E，过B作的延长线于D．
（1）若，求证：；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵在中，，，，
∴，是的直径，
∵平分，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）利用等边对等角的性质可得，再结合即可证出；
（2）先利用勾股定理求出AC的长，再证出是等腰直角三角形，可得，再将AC的长代入计算即可.
24．（2024九上·鄞州期末）对任意实数，记，已知实数，函数．
（1）求使得等式成立的的取值范围；
（2）求函数的最小值．
（3）求函数当时的最大值．
【答案】（1）解：由题可知，
解得。
（2）解：当时，，
∵，
∴当时，有最小值，即；
当时；，
当时，，
∴当，最小值为，
当，最小值为；
（3）解：当，当时，，
当时，有最大值，即，
当时，，
∴当时，有最大值，即，
∴最大值为；
当，
当时，，当时，有最大值，即，
当时，，随x的增大而增大，
∴当时，有最大值，即，
∴最大值为；
当，
当时，当时，有最大值，即，
综上所述，函数当时的最大值为．
【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握分类讨论是解题的关键．
（1）根据新定可列出不等式，解不等式可求出的取值范围；
（2）分两种情况：当时，当时，利用新定义可依次写成函数解析式为：或，利用二次函数的性质可求出的最小值；
（3）分为和、三种情况，可依次写成函数解析式为：；；，利用二次函数的性质可求出对应的最大值；再综合三种情况的最大值，据此可求出答案.
25．（2024九上·揭阳期末）直线与轴交于点，与轴交于点，并与双曲线交于点，连接OA.
（1）求直线与双曲线的解析式.
（2）在直线AC上存在一个点(不与重合)，使得，求点的坐标.
（3）若点在轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与相似 若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵直线y＝x+b与x轴交于点C（4，0），
∴把点C（4，0）代入y＝x+b得：b＝﹣4，
∴直线的解析式是：y＝x﹣4；
∵直线也过A点，∴把A点代入y＝x﹣4得到：n＝﹣5
∴A（﹣1，﹣5），把将A点代入（x＜0）得：m＝5，
∴双曲线的解析式是：；
（2）若S△OCM=S△AOC，则|yM|=|yA|
∵A（﹣1，﹣5） ∴yM=|-5|=5
当y=5时，5=x-4，解得x=9，
∴M（9，5），
（3）存在；
过点作轴，垂足为点，则，则，，
，
①若，则即解得.
②若，则即解得，
点点的坐标是或
【解析】【分析】（1）把点C（4，0）代入y＝x+b中求出b值，即得直线解析式，再把点 代入直线中求出n值，即得点A坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）若S△OCM=S△AOC，可得|yM|=|yA|，据此即可求解；
（3）易得，欲使以点D、C、B构成的三角形与相似，可分两种情况： ①若，②若，然后利用相似三角形的对应边成比例分别求解即可.
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