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浙教版2025—2026学年九年级下册期末模拟进阶训练领航卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图所示的钢块零件的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
2．⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
3．下列投影是平行投影的是（ ）
A．太阳光下窗户的影子 B．台灯下书本的影子
C．在手电筒照射下纸片的影子 D．路灯下行人的影子
4．下列命题为真命题的是（ ）
A．同旁内角互补
B．三角形的外心是三条内角平分线的交点
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．若甲、乙两组数据中，，，则乙组数据较稳定
5．如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．16
6．小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．1或5
8．sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（ ）
A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70°
C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70°
9．若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知点A、B的坐标分别是、，点C为x轴正半轴上一动点，当最大时，点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．点P为⊙O外一点，直线PO与⊙O的两个公共点为A、B，过点P作⊙O的切线，点C为切点，连接AC．若∠CPO=50°，则∠CAB为 °．
12．在△ABC中，∠B=45°，cosA=，则∠C的度数是 ．
13．在平面直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（3，5），半径为方程x2-2x-15=0的一个根，那么⊙A与x轴的位置关系是
14．已知一圆锥的母线为 ，底面圆的直径为 ，则此圆锥的侧面积为 （保留 ）.
15．已知O为△ABC的内心，且∠BOC=130°，则∠A= ．
16．如图，是的外接圆，，若点O到的距离为2，则的长为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知四边形内接于，是的中点，于，与及的延长线分别交于点，且．
（1）求证：；
（2）如果，求的值．
18．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．
（1）如图2，当道闸打开至时，边上一点到的距离为米，到地面的距离为1.2米，求点到地面的距离的长．
（2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，）
19．如图，为的直径，为上一点，为的中点，点在的延长线上，且．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
20．如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)
（1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
（2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
21．如图所示，已知是的直径，过的中点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，cm，求的半径．
22．风力发电是指把风的动能转为电能．风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保，且风能蕴量巨大，因此风力发电日益受到我们国家的重视．某校学生开展综合实践活动，测量风力发电扇叶轴心的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6m，在测点A处安置测倾器，测得扇叶轴心点M的仰角，再与点A相距3.5m的测点B处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，B与N在一条直线上）求扇叶轴心离地面的高度的长．（精确到1m；参考数据：，，）
23．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的长.
24．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°．求∠P的度数．
25．一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据：1.414， 1.732)．
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浙教版2025—2026学年九年级下册期末模拟进阶训练领航卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图所示的钢块零件的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：从左面看是一个长方形，中间看不到的水平的棱为虚线.
故答案为：B．
【分析】左视图就是从左面看几何体得到的正投影，能看见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，据此逐一判断得出答案.
2．⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
【答案】C
【解析】【分析】直接比较点O到直线a的距离与半径的大小关系，即可判断。
【解答】根据点到直线的距离5＜圆的半径6，则直线和圆相交．
故选C．
【点评】设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
3．下列投影是平行投影的是（ ）
A．太阳光下窗户的影子 B．台灯下书本的影子
C．在手电筒照射下纸片的影子 D．路灯下行人的影子
【答案】A
【解析】【解答】A、太阳光下窗户的影子，是平行投影，故本选项正确；B、台灯下书本的影子是中心投影，故本选项错误；C、在手电筒照射下纸片的影子是中心投影，故本选项错误；D、路灯下行人的影子是中心投影，故本选项错误；故选A．
【分析】可根据平行投影的特点分析求解，或根据常识直接确定答案即可．
4．下列命题为真命题的是（ ）
A．同旁内角互补
B．三角形的外心是三条内角平分线的交点
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．若甲、乙两组数据中，，，则乙组数据较稳定
【答案】C
【解析】【解答】解：A、两平行线被第三直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意；
B、三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，原命题是假命题，不符合题意；
C、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意；
D、若甲、乙两组数据的平均数都是3，S甲2=0.8，S乙2=1.4，则甲组数据较稳定，原命题是假命题，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质可判断A；根据外心的概念可判断B；根据平行公理可判断C；根据方差的意义可判断D.
5．如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．16
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，设AB、AC、BC、DE分别与圆O相切于点G、H、I、F，
∴BI=BG，IC=CH，DG=DF，EF=EH．
∴BG+CH=BI+IC=BC=9，
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=△ABC的周长-（BG+EC+BC）=25-2×9=7．
故答案为：A．
【分析】根据切线长定理，可得BI=BG，IC=CH，DG=DF，EF=EH，进而根据圆的周长计算方法、等量代换及线段的和差可以将△ADE的周长转化为△ABC的周长-（BG+EH+BC），据此即可求解．
6．小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】【解答】解：矩形木框在地面上形成的投影应是平行四边形或一条线段，
即相对的边平行或重合，
故A不可能，即不会是梯形．
故选A．
【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析．
7．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．1或5
【答案】D
【解析】【解答】解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3﹣2=1，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，
故答案为：D．
【分析】圆的切线垂直于这个圆过切点的半径。根据切线的这个性质可求出平移的距离。
8．sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（ ）
A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70°
C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70°
【答案】D
【解析】【解答】解：根据锐角三角函数的概念，知
sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1．
又cos70°=sin20°，正弦值随着角的增大而增大，
∴sin70°＞cos70°=sin20°．
故选D．
【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：sin70°和cos70°都小于1，tan70°大于1，故tan70°最大；
只需比较sin70°和cos70°，又cos70°=sin20°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较．
9．若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，
由题意得，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：C．
【分析】设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的弧长，结合弧长公式建立方程可求出，再根据扇形面积公式计算圆锥的侧面积，从而即可求出圆锥的侧面积与底面积的比.
10．如图，已知点A、B的坐标分别是、，点C为x轴正半轴上一动点，当最大时，点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：过点、作，点与轴相切于点时，最大，
连接、、，过点P作轴于，如图，
点、的坐标分别是、，
，，
，
，∠PHO=90°，
，
与轴相切于点，
轴，
∴∠PCO=90°，
又∵∠O=90°，
∴∠PHO=∠PCO=∠O=90°，
四边形为矩形，
，OC=PH，
∴在中，
∴在中，，
∴OC=PH=，
点坐标为，
故答案为：B．
【分析】过点、作，点与轴相切于点时，利用圆周角大于对应的圆外角得到此时最大，连接、、，作轴于，如图，利用垂径定理得的长度，进一步计算出的长度，再根据切线的性质得轴，可推出四边形为矩形，可得的长，即可得出的半径的长，在中，利用勾股定理计算出的长度，可得OC的长度，于是可得到点坐标．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．点P为⊙O外一点，直线PO与⊙O的两个公共点为A、B，过点P作⊙O的切线，点C为切点，连接AC．若∠CPO=50°，则∠CAB为 °．
【答案】20或70
【解析】【解答】解：如图1，连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，
∵∠CPO=50°，
∴∠POC=90°－50°=40°，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠POC=2∠CAB，
∴∠CAB=20°，
如图2，∠CBA=20°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°－∠CBA=70°，
综上，∠CAB=20°或70°．
故答案为：20或70
【分析】 由切线的性质得出∠OCP的度数，由圆周角定理及等腰三角形的性质求出∠CAB或∠CBA的度数可得出答案。
12．在△ABC中，∠B=45°，cosA=，则∠C的度数是 ．
【答案】75°
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，cosA=，
∴∠A=60°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．
【分析】由条件根据∠A的余弦值求得∠A的值，再根据三角形的内角和定理求∠C即可．
13．在平面直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（3，5），半径为方程x2-2x-15=0的一个根，那么⊙A与x轴的位置关系是
【答案】相切
【解析】【解答】解：∵x2-2x-15=0，
∴（x-5）（x+3）=0，
∴x=5或x=-3（不符合题意，舍去），
∴圆的半径为5，
∵⊙A的圆心坐标为（3，5），
∴点A到x轴的距离=5，
∴⊙A与x轴的位置关系是相切.
故答案为：相切.
【分析】先求出方程的解，得出圆的半径为5，再根据点A到x轴的距离=半径，即可得出⊙A与x轴的位置关系是相切.
14．已知一圆锥的母线为 ，底面圆的直径为 ，则此圆锥的侧面积为 （保留 ）.
【答案】60π
【解析】【解答】解：∵底面圆的直径为12cm，
∴底面周长=12πcm，
∴圆锥的侧面积= ×12π×10=60π（cm2），
故答案为：60π.
【分析】根据已知得出圆锥的底面半径及母线长，再利用圆锥的侧面积= ×底面周长×母线长求出即可.
15．已知O为△ABC的内心，且∠BOC=130°，则∠A= ．
【答案】80°
【解析】【解答】解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=180°﹣130°=50°，而∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=50°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠BAC=180°﹣100°=80°．
故答案为：80°．
【分析】由三角形内切圆定义可知：OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线．利用内角和定理先求得∠OBC+∠OCB=50°，所以可知∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB），把对应数值代入此关系式即可求得∠BAC的值．
16．如图，是的外接圆，，若点O到的距离为2，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接、，过点O作于点M，
∴BC=2MC，∠BOC=2∠A=120°，
∵点O到的距离为2，
∴OM=2，
∵，，
∴，
∴在中，
∴即，
解之：，
∴，
故答案为：．
【分析】连接、，过点O作于点M，利用垂径定理和圆周角定理可证得BC=2MC，同时求出∠BOC的度数，利用等腰三角形的性质可求出∠COM的度数；再利用解直角三角形求出MC的长，可得到BC的长.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知四边形内接于，是的中点，于，与及的延长线分别交于点，且．
（1）求证：；
（2）如果，求的值．
【答案】（1）证明：∵四边形内接于，
∴．
∵，
∴．
∴；
（2）解：∵是的中点，
∴
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）根据圆内角四边形对角互补可得，再根据圆周角定理可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形性质可得，代值计算可得，则，即可求出答案.
18．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．
（1）如图2，当道闸打开至时，边上一点到的距离为米，到地面的距离为1.2米，求点到地面的距离的长．
（2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，）
【答案】（1）解：过点作，垂足为，
结合题意得：，，
，
在中，米，
（米），
米，
（米），
点到地面的距离的长为0.2米；
（2）解：轿车能驶入小区。
理由：当，米时
∵，
，
米，
（米），
在中，（米），
（米），
轿车能驶入小区．
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，先利用解直角三角形的方法求出米，再结合PE的长，利用线段的和差求出DH的长即可；
（2）先利用平行线的性质和等角对等边的性质可得QE的长，再利用线段的和差求出PQ的长，再利用解直角三角形的方法求出DQ的长，利用线段的和差求出PF的长，最后比较大小即可.
19．如图，为的直径，为上一点，为的中点，点在的延长线上，且．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
为的直径，
，即，
，
，
，
，
，即，
，
为的半径，
为的切线；
（2）解：如图，连接，
，
为的中点，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
图中阴影部分的面积．
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，再根据等边对等角可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据圆周角定理可得，再根据角之间的关系可得，再根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，再根据补角可得∠COD=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据 阴影部分的面积，结合三角形面积及扇形面积即可求出答案.
20．如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)
（1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
（2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
【答案】（1）解：如图2，过点C作，垂足为N，
由题意可知，，
在中，，
∴．
答：点C到直线的距离约为．
（2）解：如图3，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，
∴
在中，，，
∴，
∴．
答：点A到直线的距离约为21.5cm．
【解析】【分析】（1）过点C作于点N，然后根据解直角三角形可得，求出CN长解题即可；
（2）过A作交的延长线于点M，过点C作于点F，在中，利用三角函数的到AF长，然后利用线段的和差解题即可．
21．如图所示，已知是的直径，过的中点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，cm，求的半径．
【答案】（1）证明：连接OD，如图所示，
是AB中点，D是BC中点，
，
，
又 ，
，
，
是的切线；
（2）解：连接AD，OD，如图所示，
是的直径，
，
是直角三角形，
，
，
，
在中，，
．
，，，
，
∴，
，
为等边三角形．
（cm）．
的半径为（cm）．
【解析】【分析】（1）连接OD，根据三角形中位线定理得出OD∥AC，从而根据平行线的性质得出OD⊥DE，即可证出DE是的切线；
（2）连接AD、OD，根据圆周角定理可得∠BDA=∠ADC=90°，在Rt△ADC中，根据含30°角直角三角形性质可得AD=AC，根据勾股定理求出AD的长，再证出△ODA是等边三角形，得出OD=AD，即可得出的半径.
22．风力发电是指把风的动能转为电能．风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保，且风能蕴量巨大，因此风力发电日益受到我们国家的重视．某校学生开展综合实践活动，测量风力发电扇叶轴心的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6m，在测点A处安置测倾器，测得扇叶轴心点M的仰角，再与点A相距3.5m的测点B处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，B与N在一条直线上）求扇叶轴心离地面的高度的长．（精确到1m；参考数据：，，）
【答案】解：如图，延长交于H，
则，，
设，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
，即，
解得：，
，
答：扇叶轴心离地面的高度约为．
【解析】【分析】延长交于H，则，，设，先证出，则，再由锐角三角函数定义得出，即，解出x的值，即可得解。
23．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的长.
【答案】过点C作CD⊥AB于D.
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，AC=
∴CD=，
∴AD=AC×cosA=×=3
在Rt△BCD中，∠B=45°，则BD=CD=，
∴AB=AD+BD=3+
【解析】【分析】过点C作CD⊥AB于D.通过解三角形计算即可.
24．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°．求∠P的度数．
【答案】解：
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，
∴AC⊥AP，
∴∠CAP=90°，
∵∠BAC=25°，
∴∠PBA=∠PAB=90°﹣25°=65°，
∴∠P=180°﹣∠PAB﹣∠PBA=180°﹣65°﹣65°=50°
【解析】【分析】根据切线性质得出PA=PB，∠PAO=90°，求出∠PAB的度数，得出∠PAB=∠PBA，根据三角形的内角和定理求出即可．
25．一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据：1.414， 1.732)．
【答案】解：如图，延长PQ，BA，相交于点E，
由题意可得：AB⊥PQ，∠E＝90°，
又∵∠BQE＝45°，
∴BE＝QE，
设BE＝QE＝x，
∵PQ＝5，AB＝3，
∴PE＝x＋5，AE＝x－3，
∵∠E＝90°，
∴tan∠APE＝，
∵∠APE＝30°，
∴tan30°＝，
解得：x＝≈14，
答：无人机飞行的高度约为14米．
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题.延长PQ，BA，相交于点E，根据∠BQE＝45°，利用等腰直角三角形的性质可设BE＝QE＝x，利用线段的运算可表示出PE＝x＋5，AE＝x－3，再根据正切的定义可得：tan∠APE＝，∠APE＝30°，据此可列出方程，解方程可求出x的值，据此可求出答案．
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