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人教版2025—2026学年九年级下册期末模拟实战演练卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．上午九时，阳光灿烂，小李在地面上同时摆弄两根长度不相等的竹竿，若它们的影子长度相等，则这两根竹竿的相对位置可能是（ ）
A．两根都垂直于地面 B．两根都倒在地面上
C．两根不平行斜竖在地面上 D．两根平行斜竖在地面上
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
3．如图，D是AB的中点，E是AC的中点，则△ADE与四边形BCED的面积比是（ ）
A．1 B． C． D．
4．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值是（ ）
A． B． C． D．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法中，错误的是（ ）
A．两个全等三角形一定是相似形 B．两个等腰三角形一定相似
C．两个等边三角形一定相似 D．两个等腰直角三角形一定相似
7．函数 与 （k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝ （弦×矢＋矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos∠OAB＝（ ）
A． B． C． D．
9．下列说法不一定正确的是（ ）
A．所有的等边三角形都相似 B．所有的等腰直角三角形都相似
C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似
10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10cm，点 P是这个菱形内部或边上的一点.若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为 （ ）
A．10 B．5 C．10－10 D．10－5
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知点，，都在反比例函数（为常数）的图象上，且，则，，的大小关系为 （请用“”连接）．
12．6个全等的小正方形如图放置在中，则的值是 ．
13．已知 = ，则 的值是 ．
14．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，∠ABO=30°，点A在反比例函数y= 的图象上，若点B在反比例函数y= 的图象上，则k= ．
15．如图，身高1.8米的轩轩从一盏路灯下的B处向前走了4米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长与他的身高一样，则路灯的高AB为 米.
16．如图，在△ABC中，AB：AC=7：3，∠BAC的平分线交BC于点E，过点B作AE的垂线段，垂足为D，则AE：ED= ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：（1）6tan230°－sin 60°－2cos45°
（2）
18．如图，反比例函数与一次函数的图像交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接，若，求的面积．
19．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，AB为圆O的直径，AC是的一条弦，D为弧BC的中点，作于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．
（1）若，则圆心O到“杠杆EF”的距离是多少？说明你的理由；
（2）若，求阴影部分的面积．（结果保留）
20．已知反比例函数（k是常数，）与一次函数图象有一个交点的横坐标是．
（1）求k的值；
（2）求另一个交点坐标；
（3）直接写出时x的取值范围．
21．数学活动小组到某景点测量标志性建筑古塔的高度，如图，他们在地面上处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至处，测得仰角为60°，点、、在同一直线上．（身高忽略不计，结果不取近似值）
（1）求证：
（2）求塔的高
22．圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为4米．
（1）求∠BAD的度数．
（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）
23．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．
（1）求教学楼的高度．
（2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．
24．如图，已知斜坡长为60米，坡角（即）为，，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示），修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡．
（1）若修建的斜坡的坡角为，求平台的长；（结果保留根号）
（2）一座建筑物距离A处30米远（即为30米），小明在D处测得建筑物顶部H的仰角（即）为，点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且，求建筑物的高度．（结果保留根号）
25．如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)
（1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
（2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
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人教版2025—2026学年九年级下册期末模拟实战演练卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．上午九时，阳光灿烂，小李在地面上同时摆弄两根长度不相等的竹竿，若它们的影子长度相等，则这两根竹竿的相对位置可能是（ ）
A．两根都垂直于地面 B．两根都倒在地面上
C．两根不平行斜竖在地面上 D．两根平行斜竖在地面上
【答案】C
【解析】【解答】依题意，两根长度不等的竹竿，当它们影子长度相等时，则这两根竹竿的顶部到地面的垂直距离相等，但竿子长度不等，故为不平行斜竖在地面上．
故选：C．
【分析】本题考查相似三角形的应用.在同一时刻，两根竿子置于阳光之下，但看到它们的影长相等，那么这两根竿子的顶部到地面的垂直距离相等，但竿子长度不等，据此可推出两根竿子不平行斜竖在地面上．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
【答案】A
【解析】【解答】解：∵三角函数值与对应边的比值有关，
∴各边都扩大5倍后，tanA的值不变.
故答案为：A.
【分析】三角函数值的大小只与夹角的大小有关，与边的长短无关.
3．如图，D是AB的中点，E是AC的中点，则△ADE与四边形BCED的面积比是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵D是AB的中点，E是AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC， ，
∴△ADE∽△ABC，
∴ =（ ）2= ，
∴ = ．
故答案选C．
【分析】由D是AB的中点，E是AC的中点可得DE是中位线，从而△ADE与△ABC相似，相似比为1：2，面积比为1：4，进而得出△ADE与四边形BCED的面积比．
4．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【分析】由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC，再根据勾股定理求得AB=10，即可求sin∠ABD的值．
【解答】∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴弧AC=弧AD，
∴∠ABD=∠ABC．
根据勾股定理求得AB=10，
∴sin∠ABD=sin∠ABC=．
故选C．
【点评】此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论，熟悉锐角三角函数的概念．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由勾股定理，得
AC= =4，
由正切函数的定义，得
tanA= = ，
故选：A．
【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据正切函数的定义，可得答案．
6．下列说法中，错误的是（ ）
A．两个全等三角形一定是相似形 B．两个等腰三角形一定相似
C．两个等边三角形一定相似 D．两个等腰直角三角形一定相似
【答案】B
【解析】【解答】解：A正确，因为全等三角形符合相似三角形的判定条件；
B不正确，因为没有指明相等的角与可成比例的边，不符合相似三角形的判定方法；
C正确，因为其三个角均相等；
D正确，因为其三个角均相等，符合相似三角形的判定条件；
故选B．
【分析】根据相似三角形的判定方法及各三角形的性质对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
7．函数 与 （k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】由解析式 可得：抛物线对称轴x=0；
A．由双曲线的两个分支分别位于二、四象限，可得k＜0，则-k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；
B．由双曲线的两个分支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；
C．由双曲线的两个分支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；
D．由双曲线的两个分支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．
故选：B．
【分析】此题可以先根据反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看一看是否一致．解决此类问题步骤一般为：①先根据图象的特点判断k的取值是否矛盾；②根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．
8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝ （弦×矢＋矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos∠OAB＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，作OH⊥AB于H．交圆弧于C，
由题意：AB＝8，HC=3，
∴OA﹣OH＝3，
∵OH⊥AB，OC为半径，
∴AH＝BH＝ =4，
在Rt△OAH中
由勾股定理得AH2＋OH2＝OA2，
∴42＝（OA＋OH）（OA﹣OH），
∴OA＋OH＝ ，
∴OA＝ ，OH＝ ，
∴cos∠OAB＝ ，
故答案为：B．
【分析】如图，作射线OH⊥AB于H．交圆弧于C，利用垂径定理以及勾股定理构建方程组求出OA，OH，利用余弦函数定义即可解决问题．
9．下列说法不一定正确的是（ ）
A．所有的等边三角形都相似 B．所有的等腰直角三角形都相似
C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似
【答案】C
【解析】【解答】A、所有的等边三角形都相似，正确；B、所有的等腰直角三角形都相似，正确；C、所有的菱形不一定都相似，故错误；D、所有的正方形都相似，正确．
故选C．
【分析】 利用“对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似”进行判定即可．
10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10cm，点 P是这个菱形内部或边上的一点.若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为 （ ）
A．10 B．5 C．10－10 D．10－5
【答案】C
【解析】【解答】解：连接，
在菱形中，
，，
，
，都是等边三角形，
①若以边为底，则垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，最小，最小值；
②若以边为底，为顶角时，以点C为圆心，长为半径作圆，与相交于一点，则弧（除点B外）上的所有点都满足是等腰三角形，当点P在上时，最小，如图所示，
连接交 于O，
为菱形，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
最小值为；
③若以边为底，为顶角，以点B为圆心，为半径作圆，则弧上的点A与点D均满足为等腰三角形，当点P与点A重合时，最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；
综上所述，的最小值为；
故答案为：.
故答案为：C.
【分析】连接BD，根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD=10，∠A=∠C=60°，推出△ABD、△BCD都是等边三角形，①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，根据垂线段最短的性质可得当点P与点D重合时，PA最小；②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP最小，连接AC交BD 于O，根据菱形的性质可得∠ABD=60°，AC=2AO，AC⊥BD，根据三角函数的概念可得AO，进而得到AC，由AP=AC-CP可得PA的最小值；③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，据此解答.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知点，，都在反比例函数（为常数）的图象上，且，则，，的大小关系为 （请用“”连接）．
【答案】
【解析】【解答】
解：∵，
∴反比例函数图象的两个分支在第二四象限，且在每个象限内随的增大而增大，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
则，，的大小关系为，
故答案为：．
【分析】由偶次方的非负性可得，然后根据反比例函数的图象与性质“反比例函数图象的两个分支在第二四象限，且在每个象限内随的增大而增大”进行判断即可求解.
12．6个全等的小正方形如图放置在中，则的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
∵有个大小相同的小正方形，恰好如图放置在中，设小正方形的边长为，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
本题考查解直角三角形，熟知锐角三角函数是解题关键.设小正方形的边长为，依题意可得，，，根据平行线的判定：内错角相等，两直线平行可知：，再根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等可知：，最后根据锐角三角函数的定义：，代入数据化简即可得出答案.
13．已知 = ，则 的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由分比性质，得 = = ，
故答案为： ．
【分析】根据分比性质，可得答案．
14．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，∠ABO=30°，点A在反比例函数y= 的图象上，若点B在反比例函数y= 的图象上，则k= ．
【答案】﹣6
【解析】【解答】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是（m，n），则AC=n，OC=m．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°．
∵∠DBO+∠BOD=90°，
∴∠DBO=∠AOC．
∵∠BDO=∠ACO=90°，
∴△BDO∽△OCA．
∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴ = ，
∴ = = = ，
设A（m，n），则B（﹣ n， m），
∵点A在反比例函数y= 的图象上，
∴mn=2，
∴﹣ n m=﹣3×2=﹣6，
∴k=﹣6．
故答案为：﹣6．
【分析】要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到： = = = ，然后用待定系数法即可．
15．如图，身高1.8米的轩轩从一盏路灯下的B处向前走了4米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长与他的身高一样，则路灯的高AB为 米.
【答案】5.8
【解析】【解答】解：由题意知，，，，则（米），
，
，
，即，
解得（米），
即路灯的高AB为5.8米.
故答案为：5.8.
【分析】由题意知：CE=CD=1.8，BC=4，CD∥AB，则BE=BC+CE=5.8米，易证△ECD∽△EBA，然后根据相似三角形的性质计算即可.
16．如图，在△ABC中，AB：AC=7：3，∠BAC的平分线交BC于点E，过点B作AE的垂线段，垂足为D，则AE：ED= ．
【答案】3：2
【解析】【解答】作 于点 ，如图所示，
则 ，
平分 ，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
， ， ，
解得： .
故答案为： .
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用相似三角形的判定和性质可以求得 的比值.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：（1）6tan230°－sin 60°－2cos45°
（2）
【答案】解：（1）6tan230°－sin60°－2cos45°===；（2）===0
【解析】【分析】把特殊角的三角函数值分别代入求值即可.
18．如图，反比例函数与一次函数的图像交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接，若，求的面积．
【答案】（1）解：∵点在反比例函数图象上，∴，
∴反比例函数解析式为：，
∵的图象过点，
∴，解得，
∴一次函数解析式为：．
（2）解：将代入得，∴，
将代入得，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）将点A坐标分别代入，求出k、m值即可；
（2）令，求出点B、C坐标，利用三角形面积公式即可解答．
19．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，AB为圆O的直径，AC是的一条弦，D为弧BC的中点，作于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．
（1）若，则圆心O到“杠杆EF”的距离是多少？说明你的理由；
（2）若，求阴影部分的面积．（结果保留）
【答案】（1）解：连接AD，
∵D为弧BC的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即圆心O到EF的距离为OD，
∵，
∴；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
作交AB于点H，
∴，
∵，
∴，
∴S阴影．
【解析】【分析】（1）连接AD，由平行线的性质可证，即圆心O到EF的距离为OD，然后根据圆的性质得OD=AB即可求解；
（2）设，求出，作交AB于点H，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得求得DH的值，然后根据锐角三角函数sin∠BOD=求得DO=OA的值，再由阴影部分的面积的构成S阴影=S△AOD+S扇形BOD可求解．
20．已知反比例函数（k是常数，）与一次函数图象有一个交点的横坐标是．
（1）求k的值；
（2）求另一个交点坐标；
（3）直接写出时x的取值范围．
【答案】（1）解：把代入得：；
代入，得：；
∵
∴
∴；
（2）解：∵，
∴
联立方程组得，，
解得，或，
∵反比例函数与一次函数图象有一个交点的横坐标是．
∴纵坐标为：2；
∴另一个交点坐标为．
（3）解：如图，
当时x的取值范围为：或．
【解析】【分析】（1）分别把交点的横坐标代入两个函数解析式，再列方程，解方程求出k，即可；
（2）结合（1）结论，求出两个函数的解析式，再联立方程组，解方程组，即可得出两函数图象的交点坐标；
（3）结合两个函数的图象，即可得出x的取值范围．
21．数学活动小组到某景点测量标志性建筑古塔的高度，如图，他们在地面上处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至处，测得仰角为60°，点、、在同一直线上．（身高忽略不计，结果不取近似值）
（1）求证：
（2）求塔的高
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴该塔高为．．
【解析】【分析】（1）根据三角形外角性质可得，则，即，即可求出答案.
（2）根据三角函数定义即可求出答案.
（1）解：证明：∵，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴该塔高为．．
22．圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为4米．
（1）求∠BAD的度数．
（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）
【答案】（1）解：，，
，
答：的度数是．
（2）解：在Rt△ABC中，，
∴．
同理，在Rt△ADC中，有．
∵，
∴．
∴，
∴（米）．
答：表AC的长是3.3米．
【解析】【分析】（1）根据三角形外角性质即可求出答案.
（2）解直角三角形即可求出答案.
（1）解：，，
，
答：的度数是．
（2）解：在Rt△ABC中，，
∴．
同理，在Rt△ADC中，有．
∵，
∴．
∴，
∴（米）．
答：表AC的长是3.3米．
23．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．
（1）求教学楼的高度．
（2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．
【答案】（1）解：过点B作于点G，如图所示：
根据题意可得：四边形ACGB是矩形，△BDG是直角三角形，∠GBD=30°.
∴米，CG=AB.
在Rt△BDG中，∠GBD=30°，米，
∴米，
∵长为米，
∴（米），
答：教学楼的高度为米．
（2）解：连接并延长，交于点H，如图所示：
∵GB⊥CD于点G，DF⊥CD，
∴GB//DF，
∴△EGB∽△EDH，
∴.
∵米，米，米，
∴米，米，
∴，
∴米，
∵无人机以米/秒的速度飞行，
∴离开视线BE的时间为：（秒），
答：无人机刚好离开视线的时间为12秒．
【解析】【分析】（1）过点B作于点G，根据题意可得：四边形ACGB是矩形，△BDG是直角三角形，∠GBD=30°；由矩形的性质可得米，CG=AB.在Rt△BDG中解直角三角形求出DG的长，用CD－DG，即可得到AB的长.
（2）连接并延长，交于点H，先证明△EGB∽△EDH，可得，求出EG和DG的长，代入即可求得DH的长，再利用时间=路程÷速度，即可得到答案。
24．如图，已知斜坡长为60米，坡角（即）为，，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示），修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡．
（1）若修建的斜坡的坡角为，求平台的长；（结果保留根号）
（2）一座建筑物距离A处30米远（即为30米），小明在D处测得建筑物顶部H的仰角（即）为，点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且，求建筑物的高度．（结果保留根号）
【答案】（1）解：米，为中点，
米，
由题意可知，，，
，
在中，米，，
米，米，
斜坡的坡角为，即，
，
米，
米；
（2）解：在中，米，，
米，米，
米，
米，
由（1）可知，米，米，
米，
，，，
，
四边形是矩形，
米，米，
米，
在中，，米，
米，
米．
【解析】【分析】（1）解可得出，米，米，再根据等腰直角三角形得出米，进而即可得出米；
（2）首先解，可得出米，米，进而得出米，再通过证明四边形是矩形，可得出米，米，进而得出米，再解中，可得出米，即可求出建筑物的高度．
（1）解：米，为中点，
米，
由题意可知，，，
，
在中，米，，
米，米，
斜坡的坡角为，即，
，
米，
米；
（2）解：在中，米，，
米，米，
米，
米，
由（1）可知，米，米，
米，
，，，
，
四边形是矩形，
米，米，
米，
在中，，米，
米，
米．
25．如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)
（1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
（2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
【答案】（1）解：如图2，过点C作，垂足为N，
由题意可知，，
在中，，
∴．
答：点C到直线的距离约为．
（2）解：如图3，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，
∴
在中，，，
∴，
∴．
答：点A到直线的距离约为21.5cm．
【解析】【分析】（1）过点C作于点N，然后根据解直角三角形可得，求出CN长解题即可；
（2）过A作交的延长线于点M，过点C作于点F，在中，利用三角函数的到AF长，然后利用线段的和差解题即可．
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