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北师大版2025—2026学年九年级上册期末核心考点专练卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·自贡期末）关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
2．（2024九上·昭阳期末）某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1450元降到了928元．设平均每次降价的百分率为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·长沙期末）已知反比例函数的图象上有三点，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·岳阳期末）如图，，交于点，若，，则下列结论错误的是 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·惠城期末）已知点A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）三点都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则下列关系正确的是（ ）
A．y2＜y3＜y1 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
6．（2024九上·东阳期末）某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·嵊州期末）如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·诸暨期末）两个大小不一的五边形和五边形如图所示放置，点F在线段上，点H在线段上，对应连接并延长刚好交于一点O，则这两个五边形的关系是（ ）
A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．不能确定
9．（2024九上·岳阳期末）数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，其中，且，则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023九上·温岭期末）已知、、为双曲线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·岳阳期末）对某班期末成绩进行统计，已知80.5～90.5分这一组的频数是10，频率是0.25，那么该班级的人数是 人．
12．（2024九上·临江期末）在某一时刻，将长为1.8米的竹竿竖直立在水平地面上，测得它的影长为3米，同时同地测得一栋楼的影长为35米，则这栋楼的高度为 .
13．（2024九上·南山期末） 如图，在矩形 OABC 中，OA＝12，OC＝10，F 是 AB 上的一个动点（F 不与 A，B 重合），过点 F 的反比例函数 （x＞0）的图象与 BC 边交于点 E，若时，则k= ．
14．（2024九上·乌鲁木齐期末）a是方程x2+x﹣2＝0的一个根，则代数式﹣3a2﹣3a+2030的值是 ．
15．（2024九上·扶余期末）近年来我市大力发展旅游产业，已知旅游总收入从2015年的150亿元上升到2017年的216亿元，设这两年旅游总收入的年平均增长率为x，则可列方程 ．
16．（2024九上·永康期末）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好为的重心，与相交于点，则的值为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·黔东南期末）解方程：
（1）
（2）
18．（2025九上·杭州期末）有一个转盘（材质均匀）如图，已知红色、黄色区域的圆心角度数分别为和，当指针刚好落在分界线时，重新转动．
（1）自由转动转盘一次，指针落在“红色区域”的概率为，分别求x和y的值．
（2）在（1）的条件下，若自由转动转盘两次，求“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的概率．
19．（2025九上·新昌期末）如图，是的中线，点G是上一点，且，过点G作交于点F，过点D作交的延长线于点E，已知的面积为18．
（1）求的值．
（2）求四边形的面积．
20．（2024九上·温岭期末）在某一电路中，电源电压U（单位：V）保持不变，电流I（单位：A）关于电阻R（单位：Ω）的函数图象如图所示．
（1）写出I关于R的函数解析式；
（2）如果该电路中的电流不得超过，那么电阻R的取值范围是多少？
21．（2024九上·长沙期末）某中学要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场（阴影部分）的长和宽分别为，；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为．
（1）求安全区域的宽度；
（2）某公司希望用45万元承包这项工程，该中学认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以36.45万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
22．（2024九上·馆陶期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一部分，如图所示．
（1）若所捂的部分为0，求x的值；
（2）若所捂的部分是常数a，若该方程有实数根，求a的取值范围．
23．（2024九上·石家庄期末）已知关于的二次三项式．
（1）若有两个相等的实数根，求的值；
（2）嘉琪将其变形为的形式，用含的式子表示．
24．（2023九上·平湖期末）如图，矩形中，，，是边的中点，是边上的动点，将沿对折，点落在处，作，垂足为，连接，，．
（1）求证：∽；
（2）若与相似，求线段的长．
25．（2024九上·衡东期末）定义：平面直角坐标系中有点， 若点满足且，则称点为中心点，点是点的 “界环绕点”．例如：对于中心点，满足且的点，都是点的“界环绕点”，这些环绕点组成的图形是一个边长为的正方形，中心点是正方形的中心．
（1）点的“界环绕点”所组成的图形面积为 ；
（2）直线经过点．
①在其图象上，点的“界环绕点”组成的线段长为，求b的值；
②直线与反比例函数图象的交点横坐标为，求的取值范围；
（3）关于的二次函数（是常数），将它的图象绕原点逆时针旋转得曲线，若与上都存在的“1界环绕点”，直接写出的取值范围．
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北师大版2025—2026学年九年级上册期末核心考点专练卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·自贡期末）关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【解析】【解答】解：整理，可得，
，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故答案为：B．
【分析】先求判别式的值，再根据根的判别式进行判断即可．
2．（2024九上·昭阳期末）某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1450元降到了928元．设平均每次降价的百分率为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为，
由题意得出方程为：．
故答案为：D.
【分析】基本关系：初量×（1-降低率）2=末量，据此列出一元二次方程。
3．（2024九上·长沙期末）已知反比例函数的图象上有三点，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，
∴反比例函数的图象在每一个象限内，y都是随x的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：C
【分析】根据反比例函数的性质结合题意比较大小即可求解。
4．（2024九上·岳阳期末）如图，，交于点，若，，则下列结论错误的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵AC＝CG，
∴，A不符合题意；
∵，
∴，
∵DE＝3DG，
∴EG＝2DG，
∴，B不符合题意．
∵，
∴，
∵AG＝FG，
∴BG＝EG，
∴BE＝2BG，
∵，
∴BG＝2DG，
∴BE＝4DG，
∴，C符合题意；
∵，
∴，
∵BG＝2DG，BE＝4DG，
∴DE＝3DG，
∴，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据平行线分线段成比例结合题意对选项逐一分析即可求解。
5．（2024九上·惠城期末）已知点A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）三点都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则下列关系正确的是（ ）
A．y2＜y3＜y1 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
【答案】A
【解析】【解答】解：由 反比例函数y＝（k＜0） 可知，图像分布在第二和第四象限，
A在第二象限，y1>0，
B、C在第四象限，y随x的增大而增大，∵1<3，∴y2∴y2故答案为：A
【分析】考查图像的分布情况及各点的位置，从而确定它们纵坐标的正负及大小。
6．（2024九上·东阳期末）某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：用A、B、C代表三个小区，根据题意列出树状图如下，
由树状图可知：共有9种等可能的结果数，其中两个小组恰好抽到同一个小区的情况数有3种，
∴ 两个组恰好抽到同一个小区的概率是：.
故答案为：C.
【分析】用A、B、C代表三个小区，此题事抽取放回类型，根据题意列出树状图，由树状图可知：共有9种等可能的结果数，其中两个小组恰好抽到同一个小区的情况数有3种，从而根据概率公式计算可得答案.
7．（2023九上·嵊州期末）如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：中，是正方形的对角线，
∴，且，，
即，
要使，
则，
观察图形，只有是正方形的对角线，即，
且，，
即，
∴点符合题意，
故答案为：B.
【分析】易得∠ABC=135°，AB=，BC=2，要使△ABC∽△PDE，则∠PDE=∠ABC=135°，观察图形可得只有∠P2DE=135°，且，据此解答.
8．（2023九上·诸暨期末）两个大小不一的五边形和五边形如图所示放置，点F在线段上，点H在线段上，对应连接并延长刚好交于一点O，则这两个五边形的关系是（ ）
A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．不能确定
【答案】B
【解析】【解答】解：∵两个大小不一的五边形和五边形对应边不成比例
∴五边形和五边形一定不相似.
故答案为：B.
【分析】根据各边对应成比例的两个图形为相似图形进行判断.
9．（2024九上·岳阳期末）数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，其中，且，则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵矩形沿折叠，使点C落在边的点F处，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设，，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∴解得：，负值舍去，
∴，，
∴矩形的面积．
故答案为：A．
【分析】根据折叠的性质得到，由矩形的性质可得，利用同角的余角相等证得，进而得到，设，则，，，故AD=BC=BE+CE=8x，进而得到DF=10x，在直角三角形DEF中，由勾股定理解得x=1，再根据矩形的面积公式计算即可.
10．（2023九上·温岭期末）已知、、为双曲线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵y=-，若x1x2＞0，
当x1＜x2＜x3＜0时，
∴y3＞y2＞y1＞0，
∴y1y3＞0，
∴A选项错误，不符合题意；
B、∵y=-，若x1x3＜0，
当x1＜0＜x2＜x3时，
∴y1＞0＞y3＞y2，
∴y1y2＜0，
∴B选项错误，不符合题意；
C、∵y=-，若x2x3＞0，
当x1＜0＜x2＜x3时，
∴y1＞0＞y3＞y2，
∴y1y3＜0，
∴C选项错误，不符合题意；
D、∵y=-，若x2x3＜0，
∴x1＜x2＜0＜x3时，
∴y2＞y1＞0＞y3，
∴y1y3＜0，
∴D选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数增减性，结合每个选项条件，求得对应y的正负号，再逐项进行分析判断即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·岳阳期末）对某班期末成绩进行统计，已知80.5～90.5分这一组的频数是10，频率是0.25，那么该班级的人数是 人．
【答案】40
【解析】【解答】解：80.5～90.5分这一组的频数是10，频率是0.25，
该班级的人数为：10÷0.25=40人.
故答案为：40.
【分析】根据总人数=某小组的频数÷该小组的频率即可解答.
12．（2024九上·临江期末）在某一时刻，将长为1.8米的竹竿竖直立在水平地面上，测得它的影长为3米，同时同地测得一栋楼的影长为35米，则这栋楼的高度为 .
【答案】21米
【解析】【解答】解：设这栋楼的高度为x米，
由题意可得：，
解得：x=21，
即这栋楼的高度为21米，
故答案为：21米。
【分析】根据同一时刻实际物体影长比值相等，列出方程，再计算求解即可。
13．（2024九上·南山期末） 如图，在矩形 OABC 中，OA＝12，OC＝10，F 是 AB 上的一个动点（F 不与 A，B 重合），过点 F 的反比例函数 （x＞0）的图象与 BC 边交于点 E，若时，则k= ．
【答案】80
【解析】【解答】解：连接OF，
由题意得：，
∵，
∴BE=OA，
∵OA=12，OC=10，
∴BE=4，BC=8，
∴E(8，10)，
∴k=8×10=80.
故答案为：80.
【分析】连接OF，利用同底面积比等于高之比，得到点E坐标，再利用反比例函数的关系式的求法计算即可.
14．（2024九上·乌鲁木齐期末）a是方程x2+x﹣2＝0的一个根，则代数式﹣3a2﹣3a+2030的值是 ．
【答案】2024
【解析】【解答】解：把x=a代入方程 x2+x﹣2＝0 ，得 a2+a﹣2＝0 ， 于是a2+a=2
代入到﹣3a2﹣3a+2030=-3（a2+a）+2030=2024.
故答案为：2024.
【分析】把x=a代入方程 x2+x﹣2＝0 ，得 a2+a﹣2＝0，再代入到﹣3a2﹣3a+2030可得答案。
15．（2024九上·扶余期末）近年来我市大力发展旅游产业，已知旅游总收入从2015年的150亿元上升到2017年的216亿元，设这两年旅游总收入的年平均增长率为x，则可列方程 ．
【答案】150（1+x）2＝216
【解析】【解答】根据题意，得：150（1+x）2＝216
【分析】设这两年旅游总收入的年平均增长率为x，根据2015年的收入150亿元可得2016年的收入为150（1+x）亿元；再根据2016年的收入即可得2017年的收入为150（1+x）（1+x）亿元，即150（1+x）2，根据题意可得150（1+x）2＝216。
16．（2024九上·永康期末）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好为的重心，与相交于点，则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：点是的重心，
，，
又在中，，
，
，
，
由旋转可知：，，，
又，
，
，
由旋转可知：，
，
，
，
，
又，
，
．
故答案为： ．
【分析】由于重心分中线为1：2两部分，则，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，所以；再由等边对等角可得，再由旋转的性质可得，再由等边对等角并结合等量代换得，则A`D//CB`，再由三角形相似的预备定理可得，再由相似比可得即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·黔东南期末）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
（2）解：，
【解析】【解答】（1）
x（2x-3）=0，
解得：x1=0，x2=；
（2）
（x-6）（x+1）=0，
解得：x1=-1，x2=6.
【分析】（1）利用因式分解法的计算方法求解一元二次方程即可；
（2）利用十字相乘法的计算方法求解一元二次方程即可。
18．（2025九上·杭州期末）有一个转盘（材质均匀）如图，已知红色、黄色区域的圆心角度数分别为和，当指针刚好落在分界线时，重新转动．
（1）自由转动转盘一次，指针落在“红色区域”的概率为，分别求x和y的值．
（2）在（1）的条件下，若自由转动转盘两次，求“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的概率．
【答案】（1）解：由题意可得：，
，
；
（2）解：如图，把黄色区域均分为圆心角都是的扇形，分别记作黄，黄，
列表如下：
第一次
第二次 红 黄1 黄2
红 红，红 红，黄1 红，黄2
黄1 黄1，红 黄1，黄1 黄1，黄2
黄2 黄2，红 黄2，黄1 黄2，黄2
由表格可知，共有种等可能的结果，其中“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的结果有种，
（一次红色区域，一次黄色区域）．
【解析】【分析】（1）由题意可得，求出值，再利用得到的值即可；
（2）把黄色区域均分为圆心角都是的扇形，分别记作黄，黄，用表格列出所有等可能的结果，并找出符合条件的结果数，再根据概率公式解题即可．
（1）解：由题意可得：，
，
；
（2）解：如图，把黄色区域均分为圆心角都是的扇形，分别记作黄，黄，
列表如下：
第一次第二次 红 黄1 黄2
红 红，红 红，黄1 红，黄2
黄1 黄1，红 黄1，黄1 黄1，黄2
黄2 黄2，红 黄2，黄1 黄2，黄2
由表格可知，共有种等可能的结果，其中“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的结果有种，
（一次红色区域，一次黄色区域）．
19．（2025九上·新昌期末）如图，是的中线，点G是上一点，且，过点G作交于点F，过点D作交的延长线于点E，已知的面积为18．
（1）求的值．
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）解：∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵是的中线，的面积为18，
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴，．
∴．
【解析】【分析】（1）先得到，即可得到，然后解题即可；
（2）根据三角形中线分出的 两个三角形面积相等得到，再根据，即可得到．求出，然后推导，即可得到，求出四边形的面积解题．
（1）解：∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）∵是的中线，的面积为18，
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴，．
∴．
20．（2024九上·温岭期末）在某一电路中，电源电压U（单位：V）保持不变，电流I（单位：A）关于电阻R（单位：Ω）的函数图象如图所示．
（1）写出I关于R的函数解析式；
（2）如果该电路中的电流不得超过，那么电阻R的取值范围是多少？
【答案】（1）解：∵在的图象上，
，
解得，
关于的函数解析式为；
（2）解：∵该电路中的电流不得超过，
∴，
∵，
∴，
解得，
电流不得超过，电阻R不得低于．
【解析】【分析】（1）根据在的图象上，可求出U；
（2）根据该电路中的电流不得超过，，可得出，解出R的取值范围即可．
（1）解：根据题意可知图象经过
，
解得，
关于的函数解析式为；
（2）解：∴，且，
∴，
解得，
电流不得超过，电阻R不得低于
21．（2024九上·长沙期末）某中学要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场（阴影部分）的长和宽分别为，；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为．
（1）求安全区域的宽度；
（2）某公司希望用45万元承包这项工程，该中学认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以36.45万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
【答案】（1）解：设安全区域的宽度为米，由题意可得：
，
整理，得：，
解得：，（不符合题意，故舍去），
安全区域的宽度为米；
（2）解：设每次降价的百分率为，由题意可得：
，
解得：，（不符合题意，故舍去），
每次降价的百分率为．
【解析】【分析】（1）设安全区域的宽度为米，根据总面积为列方程求解即可；
（2）设每次降价的百分率为，根据题中的等量关系列方程求解即可．
（1）解：设安全区域的宽度为米，由题意可得：
，
整理，得：，
解得：，（不符合题意，故舍去），
安全区域的宽度为米；
（2）解：设每次降价的百分率为，由题意可得：
，
解得：，（不符合题意，故舍去），
每次降价的百分率为．
22．（2024九上·馆陶期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一部分，如图所示．
（1）若所捂的部分为0，求x的值；
（2）若所捂的部分是常数a，若该方程有实数根，求a的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得：，
，
∴
∴，
即x的值为：0或；
（2）解：由题意得：，
整理，得：
∵方程有实数根，
∴
解得：．
【解析】【分析】（1）根据题意运用因式分解法解一元二次方程即可求解；
（2）先根据题意得到进而根据一元二次方程根的判别式即可求解。
23．（2024九上·石家庄期末）已知关于的二次三项式．
（1）若有两个相等的实数根，求的值；
（2）嘉琪将其变形为的形式，用含的式子表示．
【答案】（1）解：∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得；
（2）解：
，
∴．
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求出m；
（2）根据配方法结合题意变形，进而即可得到n。
24．（2023九上·平湖期末）如图，矩形中，，，是边的中点，是边上的动点，将沿对折，点落在处，作，垂足为，连接，，．
（1）求证：∽；
（2）若与相似，求线段的长．
【答案】（1）证明：将沿对折，点落在处，
，
是边的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
∽；
（2）解：四边形是矩形，
，，
，
由折叠得，
，
，
，
∽，
∽，
∽，
与相似，
与相似，
，，是边的中点，是边上的动点，
，，
分两种情况：
时，与，
，
，
整理得，
，
此方程无解，故此种情况不存在；
时，与，
，
，
解得；
综上，线段的长为．
【解析】【分析】(1)由对折以及E是AB边的中点，得/ 根据三角形的内角和可得 根据同角的余角相等得 即可得
(2) 证明 则 与 相似，根据相似三角形的性质即可得线段BF的长.
25．（2024九上·衡东期末）定义：平面直角坐标系中有点， 若点满足且，则称点为中心点，点是点的 “界环绕点”．例如：对于中心点，满足且的点，都是点的“界环绕点”，这些环绕点组成的图形是一个边长为的正方形，中心点是正方形的中心．
（1）点的“界环绕点”所组成的图形面积为 ；
（2）直线经过点．
①在其图象上，点的“界环绕点”组成的线段长为，求b的值；
②直线与反比例函数图象的交点横坐标为，求的取值范围；
（3）关于的二次函数（是常数），将它的图象绕原点逆时针旋转得曲线，若与上都存在的“1界环绕点”，直接写出的取值范围．
【答案】（1）4
（2）解：①设点的“界环绕点”为，
，，
①当直线与左边界相交时，与y轴交于点
∵，，
∴，
解得，，
∴直线不可能和下边界相交组成的线段长为．
②当直线与上边界相交时，
∵点，点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴．
综上b的值为或或．
②把代入得：，
∴，
∴，
令，即，
由题可得：，，
∴
∵，
∴当，即时，有最小值，最小值为；
∴．
（3）解：
【解析】【解答】解：（1）设点（0.0）的“界环绕点”为（a，b）
∴|0-a|≤1，|0-b|≤1
解得：
∴所组成的图形为边长为2的正方形
∴点的“界环绕点”所组成的图形面积为：2×2=4
故答案为：4
（3）设点的“界环绕点”为，
∴，，
∵x的二次函数(h是常数)，将它的图象M绕原点O逆时针旋转得曲线L，M与L上都存在的“界环绕点”为，
∴由图象可知：抛物线x的取值在之间时，M与L上都存在的“界环绕点”为，
∴当抛物线经过点时，h有最大值，
∵图象M绕原点O逆时针旋转得曲线L，
∴当抛物线经过点时，h有最小值，
∴．
【分析】（1）根据设点（0.0）的“界环绕点”为（a，b），根据“界环绕点”的定义可得，则所组成的图形为边长为2的正方形，再根据正方形面积即可求出答案；
（2）①设点的“界环绕点”为，可得，，分情况讨论：当直线与左边界相交时，与y轴交于点；当直线与上边界相交时，根据一次函数的性质，结合勾股定理即可求出答案；
②把代入得：，则，联立直线与反比例函数可得，根据根与系数的关系可得，，则，再根据二次函数的性质即可求出答案；
（3）设点的“界环绕点”为，则，，根据旋转性质，结合二次函数的t图象及性质即可求出答案.
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