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北师大版2025—2026学年九年级下册期末考前重点提分卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，正五边形内接于，连结，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，从小到大排列（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（ ）
A． B．3 C．2 D．
4．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
6．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（ ）
A．20cm B．15cm
C．10cm D．随直线MN的变化而变化
7．关于抛物线y=3（x－1）2＋2，下列说法错误的是（ ）
A．开口方向向上 B．对称轴是直线x=l
C．顶点坐标为（1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小
8．要得到二次函数y=-x2+2x-2的图象，需将y=-x2的图象（ ）
A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位
B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
9．如图，AB为⊙O的直径，BC是弦，将绕着A点顺时针旋转得到，点D恰好落在⊙O上，AB交于E点，若OE＝EB，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．2 B． C． D．
10．如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ）
A． B． C．2 D．1
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米．
12．如图，中，，为的角平分线，以点O为圆心，为半径作与边交于点D.若，，则 .
13．若扇形的面积为24π，圆心角为216°，则它的弧长是 .
14．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（a，0），那么代数式a2﹣a+2016的值为 ．
15．如图，以为直径，点为圆心的半圆经过点，若，则图中阴影部分的面积是
16．在平面直角坐标系中，已知 ，动点 从点 出发，以每秒1个单位的速度向下运动，动点 从点 出发，以每秒1个单位的速度向右运动，过点 作 的平行线交 于点 ，当 的值最小时，此时 秒.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．问题背景：某商场代理销售某种家用净水器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种净水器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）设售价降低元，请用含的代数式表示月销售量（台）与每月所获得的利润（元）．
（2）当售价定为多少元时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润（元）最大，最大利润是多少？
18．如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上.
（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；
（2）求斜坡CD的长度.
19．如图所示，已知是的直径，过的中点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，cm，求的半径．
20．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
21．某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势，根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面，新桌面的设计图如图1，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC＝30cm．
（1）如图2，当∠BAC＝24°时，CD⊥AB，求支撑臂CD的长；
（2）如图3，当∠BAC＝12°时，求AD的长．（结果保留根号）（参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0．
22．如图，为的直径，为上一点，为的中点，点在的延长线上，且．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
23．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售。设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
24．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
（1）若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
25．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一段圆弧经过格点A，B，C（网格中每个小正方形的边长为1）．
（1）该图中圆弧所在圆的圆心D的坐标为 ；
（2）根据（1）中的结论，
①填空：的半径是 ，的度数是 ；
②求的长．
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北师大版2025—2026学年九年级下册期末考前重点提分卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，正五边形内接于，连结，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵该五边形是正五边形
∴．
故答案为：A．
【分析】根据圆内接正多边形性质即可求出答案.
2．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，从小到大排列（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线；
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵点，，，，
∴；
故选B．
【分析】
由于二次函数的二次项系数为正，则抛物线上的点距离对称轴越远对应的函数值越大．
3．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得：MN垂直平分AD，，
∴，
∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，
∴，
∴AD=4，AF=2，，
∴；
故选A．
【分析】由尺规作图方法知，MN垂直平分AD，而AD等于AB－BC，由于中两直角边已知，则斜边AB可求，AD可求，AF可求；先解可得出余弦值，再利用余弦值解即可得到AE．
4．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标（2，-4）
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的顶点坐标为，即可作答.
5．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
【答案】A
【解析】【分析】易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变．
【解答】∵各边都扩大5倍，
∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，
∴两三角形相似，
∴∠A的三角函数值不变，
故选A．
【点评】用到的知识点为：三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关
6．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（ ）
A．20cm B．15cm
C．10cm D．随直线MN的变化而变化
【答案】A
【解析】【解答】 如图：
∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD=10cm，
∴设E、F分别是⊙O的切点，
故DM=MF，FN=EN，AD=AE，
∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20（cm）．
故答案为：A．
【分析】 利用切线长定理得出DM=MF，FN=EN，AD=AE，进而得出答案．
7．关于抛物线y=3（x－1）2＋2，下列说法错误的是（ ）
A．开口方向向上 B．对称轴是直线x=l
C．顶点坐标为（1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】【解答】解：关于抛物线y=3（x－1）2＋2，
a=3>0，抛物线开口向上，A选项正确；
x=1是对称轴，B选项正确；
抛物线的顶点坐标是（1，2），C选项正确；
由于抛物线开口向上，x<1，函数值随x的增大而减小，x>1时，y随x的增大而增大，D选项不正确.
故答案为：D.
【分析】抛物线的顶点式为：y=a(x-h)2+k，当a>0时，图象开口向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k）；当x>h时，y随x的增大而增大；当x8．要得到二次函数y=-x2+2x-2的图象，需将y=-x2的图象（ ）
A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位
B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
【答案】D
【解析】【解答】原抛物线的顶点坐标为（0，0)，新抛物线的顶点坐标为（1，-1)，
∴将原抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位可得到新抛物线．
故选D．
【分析】只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．考查两个二次函数的图象的平移问题．
9．如图，AB为⊙O的直径，BC是弦，将绕着A点顺时针旋转得到，点D恰好落在⊙O上，AB交于E点，若OE＝EB，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接、、、、，
，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，(舍去)，
.
故答案为：B.
【分析】本题是圆的综合题，先利用垂径定理和圆周角定理得到HL全等条件证明与全等，再通过设元表示出与的边长，通过两个直角三角形的公共边DF利用勾股定理列出方程，计算出BC的长度.
10．如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【解析】【解答】解：是以为腰的等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
点四点共圆，在以为直径的圆上，
如图，连接，
由圆周角定理得：，，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据等腰三角形的性质可得，，，根据直线平行性质可得，再根据圆内角四边形性质可得点四点共圆，在以为直径的圆上，连接，由圆周角定理得，，则，再根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
由题意可得：AB=6，C（0，2），
∴AO=OB=3，
∴A（-3，0），
∴设抛物线的解析式为y=ax2+2，把A（-3，0）代入解析式，得，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
当水面下降，水面宽为8米时，把代入解析式，得，
∴水面下降米，
故答案为：；
【分析】设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，根据题意求出A、C坐标，由二次函数顶点式，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案.
12．如图，中，，为的角平分线，以点O为圆心，为半径作与边交于点D.若，，则 .
【答案】2
【解析】【解答】解：过O作于H，
∵，
∴，
∵为的角平分线，，
∴，
即为的半径，
∵，
∴为的切线；
设的半径为，则，
在中，
∵，
∴=，
∴=，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴.
故答案为：2.
【分析】过O作OH⊥AB于H，根据角平分线的性质可得OH=OC，推出AB为⊙O的切线，设半径为3x，则OH=OD=OC=3x，根据三角函数的概念可得AH=4x，由勾股定理可得AO=5x，则AO=OD+AD=3x=2，据此可得x的值，然后求出OA、OH、AC的值，再根据三角函数的概念进行计算.
13．若扇形的面积为24π，圆心角为216°，则它的弧长是 .
【答案】 π
【解析】【解答】解：设扇形的半径为R，弧长为l，
∵扇形的面积为24π，圆心角为216°，
∴ ＝24π，
解得：R＝2 （负数舍去），
∴ ×l＝24π，
解得：l＝ π，
即它的弧长是 π，
故答案为： π.
【分析】利用扇形的面积公式可求出此扇形的半径，再利用扇形的面积= lR，可求出其弧长.
14．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（a，0），那么代数式a2﹣a+2016的值为 ．
【答案】2017
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（a，0），
∴代入得：a2﹣a﹣1=0，
∴a2﹣a=1，
∴a2﹣a+2016=1+2016=2017，
故答案为：2017．
【分析】把点的坐标代入函数解析式，求出a2﹣a=1，代入求出即可．
15．如图，以为直径，点为圆心的半圆经过点，若，则图中阴影部分的面积是
【答案】
【解析】【解答】解：为直径，
，
，
为等腰直角三角形，
∵AO=OB，
，
和都是等腰直角三角形，
，，
；
故答案为：．
【分析】先证明为等腰直角三角形，再利用等腰三角形三线合一说明，从而可得和都是等腰直角三角形，再将阴影部分转化为一个扇形求出面积．
16．在平面直角坐标系中，已知 ，动点 从点 出发，以每秒1个单位的速度向下运动，动点 从点 出发，以每秒1个单位的速度向右运动，过点 作 的平行线交 于点 ，当 的值最小时，此时 秒.
【答案】
【解析】【解答】解：如图：连接BC、AB
依题意可知：在△BCE和△BAF中
∴△BCE≌△BAF(SAS)
∴∠CBE=∠ABF
∴∠EBF=∠CBA=90°，
∵AP∥BF，
∴∠APB=90°，
∴P在以AB为直径的圆上，取AB的中点M，当O、P、M在同意直线上时OP最小，
∴OM= ，
∴OP= ，
∵PM=BM，
∴∠BPM=∠MBM，
∵AB∥CE，
∴∠CEB=∠PBM，
又∵∠OPE=∠BPM，
∴∠CEB=∠OPE，
∴OE=OP，
∴CE=2+( )= ，
∴t=( )÷1= ，
故填： .
【分析】由点的坐标可知四边形OABC是正方形，而EF的速度和时间相同，故易证明△BCE≌△BAF，从而可得∠EBF=90°，由平行可知∠BPA=90°，得到点P在以AB为直径的圆上，取AB的中点M，故当O、P、M在同意直线上时OP最小，再由勾股定理可计算出OM的长，进而得出PO的最小值= ，由△BPM是等腰三角形，AB∥CE可得△EOP是等腰三角形，可知OP=OE，所以CE=2+( )，从而求出运动时间.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．问题背景：某商场代理销售某种家用净水器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种净水器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）设售价降低元，请用含的代数式表示月销售量（台）与每月所获得的利润（元）．
（2）当售价定为多少元时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润（元）最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：根据题意得：，
；
（2）解：由题意得，，
解得：，
，
∵，二次函数的对称轴为直线，
∴当时，，
（元），
答：售价为330元时，利润最大为71500元．
【解析】【分析】（1）根据当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，则售价降低x元时，就可多售出5x台，进而由每月的实际销售数量=300+因为降价而多销售的数量即可得出y关于x的函数关系式；根据月销售利润每台的利润月销售量即可得出w与x的函数解析式；
（2）根据“ 这种净水器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务 ”，列出不等式组，然后解不等式组得出x的取值范围，然后将（1）所得的w关于x的函数解析式配成顶点式，进而根据二次函数的增减性结合x的取值范围即可求解得出答案.
（1）解：根据题意得：，
；
（2）解：由题意得，，
解得：，
，
∵，二次函数的对称轴为直线，
∴当时，，
（元），
答：售价为330元时，利润最大为71500元．
18．如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上.
（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；
（2）求斜坡CD的长度.
【答案】解：（1）在中，，因为，所以（米）
答：坡底点到大楼距离的值是米．
（2）过点D作DF⊥AB于点F，则四边形AEDF为矩形，
∴AF=DE，DF=AE.
设米，因为Rt△CDE中，所以米，米
在Rt△BDF中，∠BDF=45°，
∴（米）
∵，
∴
解得：（米）
故斜坡CD的长度为（）米.
【解析】【分析】已知一个锐角和一直角边，可直接解直角三角形；利用三角函数测高时，注意先解直角三角形，再找出未知线段与已知线段或边之间的数量关系，即可得到简单的一元一次方程。
19．如图所示，已知是的直径，过的中点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，cm，求的半径．
【答案】（1）证明：连接OD，如图所示，
是AB中点，D是BC中点，
，
，
又 ，
，
，
是的切线；
（2）解：连接AD，OD，如图所示，
是的直径，
，
是直角三角形，
，
，
，
在中，，
．
，，，
，
∴，
，
为等边三角形．
（cm）．
的半径为（cm）．
【解析】【分析】（1）连接OD，根据三角形中位线定理得出OD∥AC，从而根据平行线的性质得出OD⊥DE，即可证出DE是的切线；
（2）连接AD、OD，根据圆周角定理可得∠BDA=∠ADC=90°，在Rt△ADC中，根据含30°角直角三角形性质可得AD=AC，根据勾股定理求出AD的长，再证出△ODA是等边三角形，得出OD=AD，即可得出的半径.
20．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，
依题意得：3x(8-x)=36，
解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，
此时x的值为2m；
；
（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵墙的长度为10，
∴0＜3x＜10，
∴0＜x＜，
∵-3<0，
∴x＜4时，S随着x的增大而增大，
∴当x=时，S有最大值，最大值为，
即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2．
【解析】【分析】（1）根据“矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍”以及BC=x，可得CD=2x，进而可得BD=3x，根据“栅栏的总长度为24m”，可知，AB+CF+DE+BD=24，而AB=CF=DE，进而可得AB=CF=DE=，最后再根据矩形的面积公式：S=BD×AB，代入数据，求出即可求解，然后再根据实际情况，对x的取值进行取舍即可。
（2）设矩形养殖场的总面积为S，根据（1）的结论，可得S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，然后再根据BD的取值范围，求出x的取值范围，最后再根据二次函数的性质进行求解即可。
21．某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势，根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面，新桌面的设计图如图1，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC＝30cm．
（1）如图2，当∠BAC＝24°时，CD⊥AB，求支撑臂CD的长；
（2）如图3，当∠BAC＝12°时，求AD的长．（结果保留根号）（参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0．
【答案】（1）解：∵∠BAC＝24°，CD⊥AB，∴sin24°＝，
∴CD＝ACsin24°＝30×0.40＝12cm；
∴支撑臂CD的长为12cm；
（2）过点C作CE⊥AB于点E，如图所示：
当∠BAC＝12°时，
∴sin12°＝＝，
∴CE＝30×0.20＝6cm，
∵CD＝12，
∴DE＝，
∴AE＝＝12cm，
∴AD的长为（12+6）cm或（12﹣6）cm．
【解析】【分析】本题考查实际背景下的三角函数值求线段长.（1）先利用正弦的定义可得：sin24°＝，变形可得：CD＝ACsin24°，再代入数据进行计算可求出CD，进而可求出答案；
（2）过点C作CE⊥AB于点E，利用正弦的定义可可得：sin12°＝＝，据此可求出CE的长度，再根据CD的长度，可求出DE的长度，利用勾股定理可求出AE的长度，根据对称性可知的位置有两种情况，据此可求出AD的长度.
22．如图，为的直径，为上一点，为的中点，点在的延长线上，且．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
为的直径，
，即，
，
，
，
，
，即，
，
为的半径，
为的切线；
（2）解：如图，连接，
，
为的中点，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
图中阴影部分的面积．
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，再根据等边对等角可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据圆周角定理可得，再根据角之间的关系可得，再根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，再根据补角可得∠COD=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据 阴影部分的面积，结合三角形面积及扇形面积即可求出答案.
23．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售。设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：由题意得：，
每本进价40元，且获利不高于，
即最高价为52元，即，
故：，
，
（2）解：，
当时，随的增大而增大，
而，所以当时，有最大值，最大值为2640，
答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润元最大，最大利润2640元．
．
【解析】【分析】本题考查二次函数的性质在实际生活中的应用，二次函数的性质.（1）根据销售利润销售量（售价进价），可列出平均每天的销售利润（元与销售价（元箱）之间的函数关系式：，再根据每本进价40元，且获利不高于，可求出x的取值范围，进而可求出答案；
（2）根据利润的计算公式可得：，再进行配方可得：，利用二次函数的性质可推出当时，随的增大而增大，利用二次函数的性质可求出最大值，进而可求出答案.
24．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
（1）若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
【答案】（1）解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m，
∴AB==15（m），
∴此时云梯AB的长为15m.
（2）解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：DE=BC=2m，
∵AE=19m，
∴AD=AE-DE=19-2=17（m），
在Rt△ABD中，BD=9m，
∴AB=（m），
∵m＜20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
【解析】【分析】（1）利用解直角三角形的方法列出算式求出AB的长即可；
（2）先利用线段的和差求出AD的长，再利用勾股定理求出AB的长，最后比较大小即可.
25．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一段圆弧经过格点A，B，C（网格中每个小正方形的边长为1）．
（1）该图中圆弧所在圆的圆心D的坐标为 ；
（2）根据（1）中的结论，
①填空：的半径是 ，的度数是 ；
②求的长．
【答案】（1）；
（2）① ，；
②，
的长是．
【解析】【解答】（1）解：作弦和的垂直平分线，交点D为圆心，如图.
圆心D的坐标为；
故答案为：；
（2）①如图，连接，，，
∵，
，
，
，
∴，
，
，
.
故答案为： ，；
【分析】（1）通过作圆弧上两条不同的弦的垂直平分线，交点就是圆心；
（2）①先利用勾股定理分别求出AD，CD，AC，再求出较短两边的平方和与最长边的平方，作比较后得出结论；
②利用弧长公式求解．
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