高一期末模拟试题 2025-2026学年高一数学上学期期末复习人教A版必修第一册

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高一期末模拟试题 2025-2026学年高一数学
上学期期末复习人教A版必修第一册
一、单选题
1．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
7．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于原点中心对称，则可能的取值是（ ）
A． B． C． D．
8．若函数在定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”.已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，，则（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
10．下列说法正确的是（ ）
A．若α终边上一点的坐标为，则
B．若角α为锐角，则2α为钝角
C．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为
D．若且，则
11．已知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称 B．a，b，c的大小关系是：
C．函数在区间上单调递减 D．关于x的不等式解集为
三、填空题
12．已知角终边上一点，则 ．
13．若函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ．
14．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题
15．已知集合，或，．
(1)当时，求，；
(2)若，求实数a的取值范围．
16．已知函数．
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性并给予证明；
(3)求关于的不等式的解集．
17．重庆是火锅美食之都，特色火锅食材加工产业发展迅速.为了满足市场需求和保障火锅食材供应链的稳定，某重庆特色火锅食材生产厂家年投入固定成本150万元，每生产万吨，需另投入成本（万元）.当年产量不足60万吨时，；当年产量不小于60万吨时，.通过市场分析，若每万吨售价为400万元时，该厂年内生产的火锅食材能全部售完.（注：利润=销售收入-总成本）
(1)求出年利润（万元）关于年产量（万吨）的解析式；
(2)年产量为多少万吨时，该厂在这一火锅食材生产中所获利润最大？并求出利润的最大值.
18．已知函数.
(1)把化成的形式；
(2)若，且，求的值.
(3)在中，若，求的取值范围.
19．对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”.若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”.
(1)已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”并说明理由；
(2)若幂函数使得在上是“伪奇函数”，求实数的取值范围；
(3)若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求：的取值集合.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D C B B C B ACD CD
题号 11
答案 ACD
1．A
【分析】求出的解集，利用充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】由，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2．B
【分析】解两个集合中的不等式后得到对应的集合，然后进行并集的运算即可.
【详解】由，解得，所以，由，解得，所以，
因此.
故选：B.
3．D
【分析】利用函数的奇偶性和单调性，结合已知条件，对不等式进行分类讨论并求解.
【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上单调递减，
所以，在上单调递增.
所以当时，；当时，；
当时，；当时，.
不等式可变形为或，
①，解得；②，解得，
综上，不等式的解集为.
故选：D.
4．C
【分析】根据定义域和对应关系是否都相同，逐项判断即可.
【详解】对于A，的定义域为的定义域为，
由于定义域不同，则不是同一函数，故A错误；
对于B，，
由于对应关系不同，则不是同一函数，故B错误；
对于C，和的定义域都是，
且对应关系相同，则是同一函数，故C正确；
对于D，的定义域为的定义域为，
由于定义域不同，则不是同一函数，故D错误；
故选：C.
5．B
【分析】利用诱导公式将已知条件化简，再结合同角三角函数的基本关系式求解即可.
【详解】由，可得，所以，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以.
故选：B.
6．B
【分析】根据函数的解析式及性质，分别作出与的图象，根据图象交点个数，即可得答案.
【详解】因为，所以的周期为2，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
令，则，
即求与在上交点个数，
作出与图象，如图所示

所以与图象在上有11个交点，
则函数在区间内的零点个数为11.
故选：B
7．C
【分析】通过平移得到，由求解即可.
【详解】将函数的图象向左平移个单位，
得，
由题意为奇函数，
所以，
则，
结合选项可知：ABD不符合，C符合，
故选：C
8．B
【分析】根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围.
【详解】
，
若是上的“完整函数”，
则在上存在，使得成立，
即，
又因为，所以，
即在上至少存在两个最大值点，
所以，解得；
当，即时，一定满足题意；
若，因为，，所以，
又易知；所以只需保证即可，
解得.
综上可知.
故选：B.
9．ACD
【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项求解判断.
【详解】对于A，由，得，而，因此，A正确；
对于B，由，得，而，则，B错误；
对于C，由，，得，C正确；
对于D，由，得，则，D正确.
故选：ACD
10．CD
【分析】根据三角函数的定义判断A项；举反例排除B项；利用扇形的弧长与面积公式计算可判断C项；根据已知求出的值，即可得正切值判断D项.
【详解】对于A，因，则，则，故A错误；
对于B，当角α为锐角时，若，而 不是钝角，故B错误；
对于C，依题意，扇形的半径为，则该扇形的面积为，故C正确；
对于D，由①两边取平方，可得，化简得，
因，故，则，
由可得②，
联立①②，解得，故.故D正确.
故选：CD.
11．ACD
【分析】根据函数奇偶性以及对称性，判断A；判断的单调性，可判断C；利用函数的单调性判断B；结合函数的对称性、单调性求解不等式，判断D.
【详解】由函数是上的偶函数，所以函数的图象关于y轴对称，
则函数的图象关于直线对称，即，A正确；
因为在上单调递增，所以函数在上单调递减，所以C正确；
因为，
而，且函数在上单调递增，所以，
即，所以B错误；
由于函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，在上单调递减，
故可化为，即，
即，解得，即的解集为，D正确，
故选：ACD
12．
【分析】由三角函数的定义得，再应用诱导公式、齐次式法求值即可.
【详解】由角终边上一点，根据三角函数定义得：
点到原点的距离：，
因此，，所以，
因为，，
，，
所以
分子分母同除以（齐次式弦化切），并把代入得：
原式，
故答案为：.
13．
【分析】分三种情况讨论.
【详解】当时，满足在上严格单调递增；
当时，要想满足题目要求，只需，解得：，所以此时；
当时，显然不存在满足题目要求的；
综上所述，的取值范围是.
故答案为：
14．
【分析】根据奇偶性求得，利用复合函数单调性判断的单调性，根据单调性和奇偶性将不等式转化为，然后分离参数，利用单调性求最值即可.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得，
所以，
此时，满足题意.
由复合函数单调性可知在上单调递增，又是定义在上的奇函数，
所以不等式等价于，
所以，即，
因为该不等式对任意恒成立，所以不大于在上的最小值.
因为在上单调递增，，且为增函数，
所以函数为增函数，
由复合函数单调性可知在区间上单调递增，
所以当时，取到最小值，为，
所以，故实数的取值范围为.
故答案为：
15．(1)或，
(2)
【分析】（1）根据交集，并集和补集的定义，即可求解；
（2）分和两种情况，讨论当时，的取值范围.
【详解】（1）当，，或，
或，
，所以；
（2）当，，得，
当时，若，则，解得：，
综上可知的取值规范为.
16．(1)
(2)奇函数，证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）根据函数的解析式，列出不等式组，即可求得答案；
（2）根据函数奇偶性的定义即可判断和证明；
（3）讨论a的取值范围，结合函数单调性，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知函数满足，解得，
即函数的定义域为；
（2）为奇函数，证明如下：
函数的定义域为，关于原点对称，
，故为奇函数；
（3）即，
当时，在上单调递增，有，解得；
当时，在上单调递减，有，解得；
故当时，关于的不等式的解集为；
当时，关于的不等式的解集为.
17．(1)
(2)当年产量为90万吨时，该厂在这一火锅食材生产中所获利润最大为1050万元
【分析】（1）由利润销售收入总成本，对讨论分为和时，求得函数的解析式；
（2）分别运用二次函数的最值求法和基本不等式可得所求最大值和相应的值，比较最值即可得结论．
【详解】（1）当时，
当时，
综上：；
（2）当时，，
∴当时，取最大值（万元），
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
∴当时，取最大值（万元）,
∵，
故当年产量为90万吨时，该厂在这一火锅食材生产中所获利润最大为1050万元.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用诱导公式，二倍角公式和辅助角公式将函数化成正弦型函数.
（2）由条件推得，根据角的范围求出，利用拆角变换即可求出的值.
（3）由及角的范围求得，利用三角形内角和，将所求式用的三角函数表示，通过三角恒等变换将其化成正弦型函数，结合角的范围与正弦函数的图象性质即可求出其范围.
【详解】（1）
.
（2）由（1）知，则，
由，得，则，
则
.
（3）在中，，由，得，
则，解得，则，
于是，
由，得，则，即，
所以的取值范围为.
19．(1)不是“伪奇函数“，也不是“伪偶函数“，
(2)实数的取值范围为；
(3)整数的取值集合为
【分析】（1）判断“伪奇函数”：计算，看是否有非零解；判断“伪偶函数”：计算，看是否有非零解；
（2）先确定幂函数，再根据“伪奇函数”定义得方程，通过换元法结合函数性质求范围；
（3）根据“伪奇函数”定义得方程，换元后转化为二次方程在给定区间有解问题，分情况讨论对称轴与区间关系求解范围.
【详解】（1）由题可知，则，
则，因为恒成立，
不存在使得，即不存在非零实数使得，故不是“伪奇函数”；
，，
若，则，
故不存在非零实数使得，故不是“伪偶函数”；
（2）因为是幂函数，则，所以，
故，所以，
则，所以，因为且，
所以在上有非零实数解，则且，
令，且，令，则，
因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，所以，当且，，
故，
所以实数的取值范围为；
（3）由定义可得，，则，
所以在上存在非零实数解，
令，，故，
即方程在开区间上存在非零实数解，
令，，对称轴为，
当时，，满足题意；
当时，则，
所以，故；
当时，则，
即，即.
综上，，则满足整数的取值集合为.
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