第4节 抛体运动的规律-高一物理人教版必修第二册（97页PPT）
文档属性
| 名称 | 第4节 抛体运动的规律-高一物理人教版必修第二册（97页PPT） |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版（2019） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2025-12-26 00:00:00 | ||
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文档简介
(共97张PPT)
第五章 抛体运动
第4节 抛体运动的规律
例1-1 一小球被水平抛出后做平抛运动,若从小球被抛出开始计时,则小球在运动过程
中( )
D
A.做变加速曲线运动 B.加速度大小与时间成正比
C.速度大小与时间成正比 D.速度变化量的大小与时间成正比
【解析】小球做平抛运动,运动过程中加速度不变,为重力加速度,即小球做匀加速曲
线运动,速度的变化量 ,所以速度变化量的大小与时间成正比,故A、B错误,D正
确；小球在竖直方向上做自由落体运动，在水平方向上做匀速直线运动,竖直分速度
为,水平分速度为,则实际速度 ,所以速度大小与时间不成正
比,故C错误。
知识点1 平抛运动的速度
【学会了吗丨变式题】
1.一个做平抛运动的物体,初速度为 ,经过一段时间,它的末速度与竖直方向的
夹角为 ,重力加速度取 ,则它下落的时间约为( )
D
A. B. C. D.
【解析】物体做平抛运动，由题意及平抛运动的特点可知 ，解得
，故A、B、C错误，D正确。
例2-2 （多选）以速度 水平抛出一小球，不计空气阻力，从抛出到某一时刻的过
程中，小球的竖直位移与水平位移大小相等，重力加速度为 ，以下判断错误的是
( )
AC
A.此时小球的竖直分速度与水平分速度大小相等
B.此时小球的瞬时速度大小为
C.在此过程中小球运动的位移大小是
D.在此过程中小球运动的时间为
知识点2 平抛运动的位移与轨迹
【解析】设经过时间小球竖直分位移与水平分位移大小相等，则有 ，
解得，此时小球竖直方向上的分速度 ，速度
，且 ，此过程小球运动的位
移大小 ，综上知，A、C错误，符合题意。
例3-3 (2025·广东揭阳模拟)排球比赛中，运动员在处水平发球，速度大小为 ，对
方一传在处垫球过网，排球经最高点运动到处；已知排球从到 的运动时间为
，运动轨迹如图5-4-6所示。已知、、、在同一竖直平面内，与、与 分
别在同一水平线上，、 在同一竖直线上，不计空气阻力。下列说法正确的是
( )
C
图5-4-6
A.排球从运动到的时间为
B.排球从到和从到 速度变化量大小不相同
C.排球在点的速度大小为
D.排球在、 两点的速度大小不相等
知识点3 一般的抛体运动
建构模型寻本质
【解析】
例4-4 物体以一定的初速度水平抛出，忽略空气阻力，经过 落在水平地面上，落
地瞬间的速度与水平方向的夹角的正切值为，取重力加速度大小 ，则
( )
A
A.物体在水平方向的位移大小为
B.物体的位移大小为
C.物体落地瞬间的速度大小为
D.物体位移与水平方向的夹角的正切值为
知识点4 平抛运动的规律和推论
【解析】物体落地时的竖直分速度 ，如图5-4-9甲所
示，有，解得 ，物体落地瞬间的速度大小
，水平位移大小
，A正确,C错误；竖直位移大小
，如图乙所示，物体的位移大小
，物体位移与水平方
向夹角的正切值 ，B、D错误。
图5-4-9
【学会了吗丨变式题】
图5-4-10
2.如图5-4-10所示，猴子（未画出）在地面与竖直墙壁之间跳跃玩
耍，直杆与水平地面之间的夹角为 ， 点到地面的距离为
。重力加速度取 ，空气阻力不计。若猴子从竖直墙上
距地面的点以水平速度跳出，要到达直杆，水平速度 至
少为( )
D
A. B. C. D.
【解析】猴子恰好到达直杆时，轨迹与直杆相切,速度方向沿直杆向下，即此时速度
方向与水平方向的夹角为 ，根据平抛运动的推论（【说明】速度偏向角的正切
值是位移偏转角的正切值的2倍。）知，猴子下落高度与水平位移满足 ，
,。又根据几何关系得 ，联立解得猴子的水
平速度 ，选项D正确。
. .
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 平抛运动规律的理解与运用
例5 ［教材第21页“复习与提高”B组第4题改编］一小球从空中某点水平抛出，经过
、两点，已知小球在点的速度大小为、方向与水平方向成 角，小球
在点的速度方向与水平方向成 角。不计空气阻力，重力加速度大小取
，则( )
D
A.小球经过点时的速度大小为
B.小球抛出时的水平初速度大小为
C.小球从点运动到点的时间为
D.、两点间的距离为
建构导图明思路
图5-4-11
【解析】小球运动轨迹的一部分如图5-4-11所示,设小球抛出时的
初速度为,经过点时的速度为,经过点时的速度为 ，由平
抛运动规律可知， ，解得
，，选项A、B错误；小球在 点时的
竖直分速度 ，在 点时的竖直分速度
，，解得 ，选项C错误；由
，，，解得、两点间的距离 ，故
选项D正确。
【学会了吗丨变式题】
3.如图5-4-12，将一支飞镖在竖直墙壁的左侧点以不同的速度水平抛出，为 点在
竖直墙壁上的投影点。每次抛出飞镖的同时，在 处由静止释放一个特制的小球
（飞镖能轻易射穿）。飞镖第一次到达墙壁处时，飞镖速度与墙壁的夹角为 ，
飞镖第二次到达墙壁处时，飞镖速度与墙壁的夹角为 （图中没有画出）。飞镖
与小球均不计空气阻力。则 ( )
D
图5-4-12
A.飞镖两次做平抛运动的速度增量之比为
B.两次抛出的飞镖只有一次能击中小球
C.飞镖两次下落的高度之比为
D.飞镖两次做平抛运动的初速度之比为
【解析】设点与点间的水平距离为 ，飞镖飞出后做平抛运动，则水平方向上做
匀速直线运动，竖直方向上做自由落体运动。第一次，飞镖速度与墙壁的夹角为
， 则，，且 ；第二次，飞镖速度与墙壁的
夹角为 ，又因，，且 ，则飞镖两次做平抛
运动的初速度之比为 ，飞镖两次做平抛运动的速度增量之比为
，故A错误，D正确。飞镖在竖直方向上做自由落体运动，
小球同样在竖直方向上做自由落体运动，则释放的小球和飞镖在竖直方向的位移相
同，故飞镖两次都能击中小球，B错误。飞镖两次下落的高度之比为
，故C错误。
题型2 两个抛体的关联运动问题
例6 ［粤教版教材习题改编］“套圈圈”是许多人喜爱的一种游戏。如图5-4-13所示，
小孩和大人在同一竖直线上的不同高度先后水平抛出小圆环，且小圆环都恰好套中
前方同一个物体（大小不计）（【解题关键】从抛出点到落地点的水平位移相
等。）。已知 小孩抛出小圆环的高度是大人高度的0.64倍，假设小圆环的运动可视
为平抛运动，重力加速度取 ，则( )
B
图5-4-13
A.大人抛出的小圆环在空中运动的时间是小孩的0.64倍
B.大人抛出小圆环的水平初速度是小孩的0.8 倍
C.两小圆环落地时的速度方向相同
D.两小圆环在空中运动过程中的速度变化量相同
. .
. .
. .
【解析】设大人抛出小圆环的高度为，则有，故有 ，解得
，选项A错误；由于大人和小孩抛出的小圆环的水平位移相同，故应有
，解得 ，选项B正确；大人抛出的小圆环落地时的竖直
分速度大小为，小孩的为 ，设小圆环的落地速度方向与水平地面
间的夹角为 ，则有 ，故大人和小孩抛出的小圆环落地时速度方
向与水平方向夹角的正切值之比为 ，故选项C错误；小圆环在空中
运动时，只有竖直方向的分速度发生变化，故有 ，因两小圆环在空中
运动的时间不同，故速度变化量也不相同，选项D错误。
【学会了吗丨变式题】
图5-4-14
4.如图5-4-14所示,小球甲从点水平抛出的同时,小球乙从 点自由释
放,两小球先后经过 点时速度大小相等,且它们的速度方向间的夹角
为 ,已知高 ,不计空气的阻力。由以上条件可知( )
B
A.甲小球做平抛运动的初速度大小为
B.甲、乙两小球到达点所用时间之比为1:
C.、两点的高度差为
D.、两点的水平距离为
【解析】根据自由落体运动的规律，可知乙球运动到点时的速度大小为 ，又
因两球先后经过点时的速度大小相等，所以甲球在点的合速度大小为 ，又
因此时甲球的速度与水平方向的夹角为 ，所以甲球做平抛运动的初速度大小
，选项A错误；根据,可知,,两球运动到 点的时间
之比为:，选项B正确；、两点的高度差为 ，选
项C错误；、两点间的水平距离为 ，选项D错误。
题型3 与平抛运动相关的临界问题
例7 如图5-4-15所示,排球场的长为,球网的高度为。运动员站在离网 远的
线上,正对球网竖直跳起,把球垂直于网水平击出。（不计空气阻力,取 ）
图5-4-15
（1）设击球点的高度为 ,问球被水平击出时的速度在什么范围内才能使球既不
触网也不出界？
【答案】
图5-4-16
【解析】如图5-4-16所示,排球恰好触网时其运
动轨迹为Ⅰ,排球恰不出界时其运动轨迹为Ⅱ,
（若速度过大就会出界，若速度过小就会触
网。）根据平抛运动的规律,由 和
可得,当排球恰好触网时有
（从球被击出到运动到球网，球做平抛
运动。）
. .
. .
由①②可得
当排球恰不出界时有
（从球被击出到运动到边界线上，球做平抛
运动。 ）
由③④可得
所以排球既不触网也不出界的速度范围是
。
（2）若击球点的高度小于某个值,那么无论球被水平击出时的速度为多大,球不是触
网就是出界,试求出此高度。
【答案】
图5-4-17
【解析】如图5-4-17所示为排球恰不触网
也不出界的临界轨迹。设击球点的高度为
,根据平抛运动的规律有
, ⑤
, ⑥
, ⑦
⑧
由⑤⑥⑦⑧式可得,所求高度 。
【学会了吗丨变式题】
图5-4-18
5.如图5-4-18所示,窗子上、下沿间的高度 ,墙的厚度
,某人在离墙壁、距窗子上沿处的
点,将可视为质点的小物体以速度 水平抛出,小物体直接穿过窗口
并落在水平地面上,取。则 的取值范围是( )
D
A. B.
C. D.
【解析】小物体做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时 最大。此时有
,，代入解得 ;小物体恰好擦着窗子下沿左侧穿过时速
度最小，则有，，解得。故 的取值范
围是 。选项D正确。
题型4 斜抛运动问题
例8 (2025·湖北武汉调研)某同学投掷篮球空心入筐，篮球的出手点与篮筐的距离为
，篮球进入篮筐时的速度方向恰好与出手时的速度方向垂直。不考虑空气阻力，
重力加速度大小取 。则篮球从出手到入筐的时间为( )
C
A. B. C. D.
图5-4-19
【解析】如图5-4-19所示，设篮球出手时的初速度大
小为，与水平方向夹角为 ，入筐时的末速度大
小为，与竖直方向夹角为 ，篮球从出手到入筐的
时间为 。篮球做斜上抛运动，由斜抛运动水平方向
速度不变可知
解得
运动时间为
篮球在竖直方向上的分运动为匀变速直线运动，竖直方向上的位移大小为
篮球在水平方向上的分运动为匀速直线运动，水平方向上的位移大小为
由几何关系有
即
将、 代入有
可解得
则
故可得运动时间
故选C。
【学会了吗丨变式题】
6.(2025·河北秦皇岛模拟)如图5-4-21甲所示，波光喷泉的水柱从一个水池喷到另一个
水池，人们在水柱下穿行不湿衣服，奇妙无穷。图乙是波光喷泉在空中形成的一根
水柱，喷口与水平面的夹角为 ，水离开喷口的初速度为， 为最高点，不计空
气阻力，重力加速度为 ，下列说法正确的是( )
D
图5-4-21
A.水达到最高点时的速度大小为
B.水在点的加速度小于 点的加速度
C.水从点运动到点所用的时间为
D.射程为
【解析】斜抛运动最高点竖直分速度为0，只有水平分速度， 点处水的速度方向为
水平向右，速度大小为 ，故A错误；不计空气阻力，水在运动过程中只
受重力作用，在整个运动过程中的加速度都为重力加速度，故B错误；在竖直方向上，
水从到做竖直上抛运动，水离开喷口的初速度的竖直分量为 ，水从
到的过程，在竖直方向有，解得 ，因为斜抛运动具
有对称性，所以 ，故C错误；斜抛运动的水平分运动为匀速直线运
动，水平速度为 ，水从到的总时间为 ，根据
可知，射程为 ，故D正确。
题型5 类平抛运动问题
例9 (2025·天津市第七中学期中，多选)如图5-4-22所示的光滑固定斜面长为，宽为 ，
倾角为 ，一物块（可看成质点）沿斜面左上方顶点水平射入，恰好从底端 点离
开斜面（重力加速度为 ），下列说法正确的是( )
BCD
图5-4-22
A.物块运动的加速度
B.物块由运动到所用的时间
C.物块由点水平射入时的初速度
D.物块离开点时的速度大小
建构模型寻本质
【解析】
物块离开点时沿斜面向下的分速度的大小 ，物块离开 点时的
速度大小 ，D正确
【学会了吗丨变式题】
7.(2025·江西省南康中学月考)“风洞”实验是飞行器研制工作中的重要过程。一质量为
的小球在光滑的水平面上以初速度（沿 轴正方向）穿过一段风带，经过风带时
风会给小球一个沿水平方向且与方向垂直（沿 轴正方向）的恒力作用，风带在
区域，其他区域无风。小球穿过风
图5-4-23
带过程的运动轨迹及穿过风带后的速度方向如图5-4-23所示，已知
小球在穿过风带过程中沿轴正方向运动的位移为 。下列说法正确
的是( )
A.小球穿过风带所需时间为
B.小球穿过风带过程中的加速度大小为
C.小球穿过风带时所受合力的大小为
D.小球穿过风带后的速度大小为
√
【解析】
提素养 深度学习
微专题 有约束条件的平抛运动
做平抛运动的物体，在运动过程中遇到竖直墙面、斜面、圆弧曲面等时，对运动时
间、运动距离会有限制，使物体的运动成为有约束条件的平抛运动。
类型1 竖直面约束
图5-4-24
例10 如图5-4-24所示，某同学将一个小球在 点对准前方一块竖直
挡板上的点抛出。与 在同一高度，不计空气阻力，小球的水平
初速度分别为、、时，分别打在挡板上的、、 点，且
，则、、 满足( )
B
（ 【学审题】小球三次运动的水平距离相同， ，
根据竖直方向的位移之比求出小球运动时间之比。）
A. B. C. D.
【解析】忽略空气阻力，则小球被抛出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，
根据得 ，所以小球三次运动的时间之比
，水平位移相等，根据 得
，故B正确。
从同一高度水平抛出的物体，在遇到竖直面时，由于初速度 不同，落点的位置不
同，但它们的水平位移相同，运动时间 。
【学会了吗丨变式题】
图5-4-25
8.［鲁科版教材习题改编］如图5-4-25所示，网球运动员在训练时，
在同一高度的前后两个不同位置将网球击出后，网球刚好能垂直击
中竖直墙面上的同一点。不计空气阻力，则下列判断正确的是
( )
C
A.两次击球后网球的初速度大小相等
B.两次击球后网球的初速度方向相同
C.两次网球在空中运动的时间相等
D.两次网球撞击竖直墙面时的速度相等
【解析】由题意知,网球被击出至垂直击中竖直墙面的过程可逆向看作平抛运动过程，
由于两次击球后，网球在竖直方向上的位移相同，竖直方向上，网球的运动可看作
逆向自由落体运动，由 可知两次击球后网球在空中运动的时间相等，选项C
正确；由于两次击球时击球点到竖直墙的水平距离不同，由 可知两次击球后
网球在水平方向的速度不同，网球被击出后初速度大小为，,
相同，故可知两次网球被击出后的初速度大小不相等，选项A错误；网球被击出时
其速度方向与水平方向之间的夹角 满足，因两次击球后不相等， 相
等，故 角不相等，选项B错误；由题意可知，网球击中竖直墙面时的速度等于网
球被击出时的水平初速度，因两次水平初速度不相等，故选项D错误。
类型2 斜面约束
图5-4-26
例11 如图5-4-26所示，为斜面，倾角为 ，小球从 点以初速
度水平抛出，恰好落到 点,（位移方向与水平面的夹角等于斜面
倾角。）不计空气阻力，重力加速度为 。
（1）求、 间的距离及小球在空中飞行的时间；
【答案】
【解析】设小球在空中的飞行时间为 ,则
水平位移
竖直位移
解得, 。
. .
（2）从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大（速度方向与斜面平
行。）？最大距离为多少？
【答案】;
【解析】 （建立坐标系法）
以抛出点为原点、初速度方向为轴正方向、竖直向下为 轴正方向建立平面直角坐
标系，如图5-4-27所示，小球的速度方向平行于斜面时，小球离斜面的距离最大，此
时有
. .
图5-4-27
解得运动时间
此时小球的水平位移为
此时小球速度方向的反向延长线交轴于 处，故小球离斜面的最大距离为
。
（分解加速度法）
图5-4-28
将小球的初速度和加速度分别沿斜面和垂直斜面分解，如图5-4-28所示，可得小球的
初速度在垂直斜面方向上的分速度
重力加速度在垂直斜面方向上的分量
当小球距离斜面最远时，小球在垂直斜面方向上的分速度为0
由运动学公式得运动时间
小球离斜面的最大距离 。
【学会了吗丨变式题】
图5-4-31
9.（多选）如图5-4-31所示，一固定斜面倾角为 ，将小球 从斜
面顶端以速率水平向右抛出，击中了斜面上的点；将小球 从
空中某点以相同速率水平向左抛出，恰好垂直斜面击中 点。不
计空气阻力，重力加速度为 ，下列说法正确的是( )
BC
A.若小球在击中点时速度方向与水平方向所夹锐角为 ，则
B.若小球在击中点时速度方向与水平方向所夹锐角为 ，则
C.小球、在空中运动的时间之比为
D.小球、在空中运动的时间之比为
【解析】由题图可知，小球 落在斜面上时位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾
角 ，由平抛运动的推论可知 ，选项A错误，B正确；设小球 在空
中运动的时间为，小球在空中运动的时间为 ，则由平抛运动的规律可得
， ，则 ，选项C正确，D错误。
类型3 圆（球）面约束
例12 （多选）如图5-4-32所示，一个半径 的半圆柱体放在水平地面上，
一小球从半圆柱体左端点正上方的 点水平抛出（小球可视为质点），恰好从半圆
柱体的点掠过。已知为半圆柱体横截面的圆心，、、 在同一竖直平面内，
与水平方向夹角为 ，重力加速度为 ，不计空气阻力，则
( )
AC
图5-4-32
A.小球从点运动到点所用时间为
B.小球从点运动到点所用时间为
C.小球做平抛运动的初速度为
D.小球做平抛运动的初速度为
【解析】小球做平抛运动，运动轨迹恰好与半圆柱体相切于 点，根据几何关系可知
小球在点时速度方向与水平方向的夹角为 ，则有 ，由几何关系有
，联立并代入数据解得， 。选项A、C正
确。
【学会了吗丨变式题】
10.（多选）如图5-4-33所示，为竖直平面内的半圆环的水平直径， 为环上最
低点，环半径为。将一个小球从点以初速度沿方向抛出，设重力加速度为 ，
不计空气阻力。则( )
AD
图5-4-33
A.当小球的初速度 时，落到环上时的竖直分速度最大
B.当小球的初速度时，将落到环上的 段
C. 取适当值，小球可以垂直撞击圆环
D.无论 取何值，小球都不可能垂直撞击圆环
【解析】小球做平抛运动，当小球落在点时竖直分速度最大，由, ，
解得，A正确。当小球的初速度时，水平位移小于 ，
小球将落到环上的段，B错误。小球落在 段时，速度方向斜向右下方，不可能
与圆环垂直；当小球落在段时，由于 不在水平位移的中点，根据平抛运动的推
论，可知小球落在圆环上时的速度反向延长线不可能通过 点，即小球不可能垂直
撞击圆环，C错误，D正确。
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘 素养点击
基本考查点 平抛运动的规律,一般抛体 运动的分析。 1.知道平抛运动的特点,体会将复杂运动
分解为简单运动的物理思想。
2.掌握平抛运动规律,会解决与平抛运动
相关的实际问题。
3.对生活中的抛体运动建立正确的物理
模型,认识抛体运动的普遍性,体会物理学
的应用价值。
热点及难点 生活中的抛体运动,斜面上 的平抛运动。 题型及难度 以选择题为主,难度中等。 高考中地位 曲线运动的重要实例,高考 命题的热点内容。 考向1 考查平抛运动规律的应用
图5-4-34
例13 (2024·北京卷)如图5-4-34所示，水平放置的排水管满口
排水，管口的横截面积为，管口离水池水面的高度为 ，水
在水池中的落点与管口的水平距离为 。假定水在空中做平抛
运动，已知重力加速度为， 远大于管口内径。求：
（1）水从管口到水面的运动时间 ；
【答案】
【解析】水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向上有
解得水从管口到水面的运动时间 。
（2）水从管口排出时的速度大小 ；
【答案】
【解析】由平抛运动规律得，水平方向上有
解得水从管口排出时的速度大小 。
（3）管口单位时间内流出水的体积 。
【答案】
【解析】管口单位时间内流出水的体积为 。
【类题链接丨变式题】
类题 (2025·云南卷)如图5-4-35所示，某同学将两颗鸟食从 点水平抛出，两只小鸟
分别在空中的点和 点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同
一竖直平面内，则( )
D
图5-4-35
A.两颗鸟食同时抛出 B.在 点接到的鸟食后抛出
C.两颗鸟食平抛的初速度相同 D.在 点接到的鸟食平抛的初速度较大
【解析】
两颗鸟食从 点抛出后均做平抛运动。
考向2 考查斜抛运动规律的应用
例14 (2025·湖北卷)某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为 ，离地
高度分别为 、 ，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，
且与水平方向夹角均为 。击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网
垂直，忽略空气阻力， 的值为( )
C
A. B. C. D.
本题创设了网球运动中的斜抛运动情境，涉及斜上抛及斜下抛运动，考查斜抛运动
的基本规律及应用，要求考生会根据具体情境建构物理模型，考查考生的物理观念
和科学思维。
建构模型寻本质
【解析】
设球网高度为 。
新考法 选项图像化
考法解读 在高考物理命题中，“情境图像化”与“选项图像化”已成为重要的命题趋势。
这类试题能够更加深入地考查考生对物理概念、规律及过程的理解，同时检验其从
图像中提取信息、并运用物理知识分析和解决问题的能力。将选择题的选项转化为
抽象的图像信息，不仅培养了考生的图像认知能力，还侧重于训练其抽象思维能力。
状态图、轨迹图及新信息图等形式，已成为未来命题的热点方向。因此，考生需要
进一步提升对物理图像的识别、解读和分析能力，熟练掌握各类典型物理图像的特
征及其所蕴含的物理意义。
图5-4-36
例15 (2024·江西卷，多选)一条河流某处存在高度差，小鱼从低
处向上跃出水面,冲到高处。如图5-4-36所示，以小鱼跃出水面处
为坐标原点,轴沿水平方向，建立坐标系,小鱼的初速度为 ,末速
度沿 轴正方向。在此过程中,小鱼可视为质点且只受重力作用。
关于小鱼的水平位置、竖直位置、水平方向分速度 和竖直方
向分速度与时间 的关系,下列图像可能正确的是( )
AD
A. B. C. D.
考法创新 本题通过“鱼跃水面”的鲜活场景，考查斜抛运动的规律。试题选项以图
像形式呈现，要求考生通过分析推理，判断水平位置、竖直位置、水平方向分速度
及竖直方向分速度随时间的变化规律。
【解析】
例16 (2023·江苏卷)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验:一个罐子在空中沿水平直
线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力,则下列图中能反映空中
沙子排列的几何图形是( )
D
A. B. C. D.
考法创新 本题要求判断空中沙子排列的几何图形，是对教材第19页“复习与提高”A
组第5题的改编和创新，将水平方向的匀速运动变成匀加速运动，试题既源于教材又
高于教材，既有传承又有创新，对考生的理解、分析、科学推理能力有较高的要求。
【解析】
D正确，A、B、C错误。
光速解题 罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，在时间 内，相较于初始时刻
从罐子中漏出的沙子，罐子的水平方向的位移增加量为 ,初始时刻从罐子中漏
出的沙子在竖直方向做自由落体运动，在时间 内，竖直方向的位移增加量为
,可知漏出的沙子相对于罐子的水平方向与竖直方向位移增加量的比值为一定
值，即所有漏出的沙子与罐子的连线的倾角一定，则轨迹连线为一倾斜直线，D正确。
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.[易错题]（多选）将一个物体从高处以水平初速度抛出,物体落地时的速度为 ,
竖直分速度为 ,不计空气阻力，下列公式能用来表示该物体在空中运动时间的是
( )
ACD
A. B. C. D.
【解析】平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,设
物体从抛出到落地经历的时间为，则物体竖直方向位移为
竖直分速度为
则竖直方向的位移还可以表示为
合速度与分速度的大小关系为
由以上各式可解得 ,选项A、C、D正确。
本题易盲目套用匀变速直线运动的速度公式,得 ,从而错选B，这
是典型的读题不清带来的错误。实际上平抛运动是匀变速曲线运动,题中所给的速度
与 方向不同，不能直接相减，应根据平抛运动规律结合矢量运算规则，将速度分
解后再求解。另外本题还容易因考虑不周全而漏选。
2.如图所示，小球从楼梯上以 的速度水平抛出，所有台阶的高
度和宽度均为，取 ，小球抛出后首先落到的台阶是
( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】连接各级台阶边缘，设小球落在此连线上的时间为 ,则由每级台阶的高度和
宽度均相等知，此时小球的水平位移和竖直位移相等，
有，解得 ，水平位移
，故小球先落在台阶3上，选项C正确。
3.新 体育运动[教材第20页“复习与提高”A组第7题改编](2025·河南开封期末)某运动
员进行跳台滑雪，从跳台处沿水平方向飞出，在斜面上的 处着陆，斜面与水平
方向夹角为 且足够长，如图所示，测得、间的距离为 ，运动员质量
，不计空气阻力，重力加速度 ，下列说法正确的是( )
B
A.运动员在空中相同时间内的速度变化量逐渐增大
B.运动员在空中运动的时间为
C.运动员在处的速度大小为
D.运动员落在处时的速度与水平方向的夹角为
【解析】根据题意可知，运动员在空中做平抛运动，加速度为重力加速度，由
可知，运动员在空中相同时间内的速度变化量相同，故A错误；根据平抛运
动规律有，，又有，，代入数据解得 ，
，故B正确，C错误；运动员落在处的竖直速度为 ，
则速度与水平方向的夹角的正切值， ，可见速度与水平
方向的夹角不等于 ，故D错误。
4.新 自然现象(2025·广东广州模拟)袋鼠前肢短小，后肢长且强健有力，适于跳跃，
是跳得最高最远的哺乳动物。袋鼠某次跳跃如图所示，在平整的地面上跳了 远，
离地面的最大高度为，跳跃时不计空气阻力，取 ,袋鼠可视为质点。下
列说法正确的是( )
D
A.袋鼠到达最高点时速度为零
B.袋鼠从起跳到最高点用时约
C.袋鼠从起跳到最高点过程中，速度变化量的方向竖直向上
D.若袋鼠离开水平地面时的速度方向与水平方向夹角为 ，则
【解析】袋鼠的运动可看作是斜抛运动，到最高点时仍有水平方向的速度，故A错
误；从起跳到最高点，袋鼠在竖直方向做竖直上抛运动，则其从起跳到最高点有
，，可解得， ，故B错误；
袋鼠在空中只受重力作用，加速度竖直向下，所以其速度变化量的方向是竖直向下
的，故C错误；做平抛运动的物体，速度偏向角的正切值为其位移偏转角的正切值的
2倍，袋鼠从离开地面至最高点这一过程可逆向看作平抛运动，结合斜抛运动的对称
性可知，从离开地面至最高点，其位移偏转角的正切值为 ,则其速度
偏向角的正切值为 ，故D正确。
5.[教材第20页“复习与提高”B组第1题改编](2025·浙江省余姚中学月考)如图所示，某
同学在进行投篮练习。已知、、是篮球运动轨迹中的三个点，其中 为球抛出
点，为球运动轨迹的最高点，为球落入篮筐的点，且、连线垂直于、 连
线，、连线与水平方向的夹角 ，不计空气阻力
，篮球可视为质点。则篮球从到与从到 的运动时
间之比为( )
D
A. B. C. D.
【解析 建构模型寻本质
（利用速度关系求解）
设篮球在点的竖直分速度大小为，在点的竖直分速度大小为 ，篮球的水平
分速度大小为 。
（利用位移关系求解）
6.飞镖是一种常见的娱乐活动。如图所示，靶盘竖直放置,点为靶盘靶心，、 两
点等高且相距，将飞镖从点沿方向掷出，经落在靶心正下方的 点，
不计空气阻力，，取 。
（1）求飞镖从 点抛出时的速度大小；
【答案】
【解析】由平抛运动规律可知，飞镖在水平方向有
飞镖从点抛出时的速度大小为 。
（2）求飞镖落点与靶心 的距离；
【答案】
【解析】飞镖在竖直方向有
可得，飞镖落点与靶心的距离为 。
（3）为了让飞镖能命中靶心，现让飞镖从点与水平方向成 角斜向右上方抛
出，求抛出速度大小。
【答案】
【解析】由斜抛运动规律可知，飞镖在水平方向有
在竖直方向有
联立可得，抛出速度大小为 。
B 综合练丨选考通关
建议时间：35分钟
7.(2025·江西南昌市第十九中学期中)如图所示，某次演习中一轰炸机在某斜坡左上
方水平向右匀速飞行，飞行过程中先后释放甲、乙两枚炸弹，炸弹均撞在斜坡上，
不计空气阻力。两炸弹分别从释放到撞在斜坡上的过程中，下列说法正确的是
( )
D
A.乙的位移大 B.乙的下落时间长
C.甲撞在斜坡上瞬间的速度小 D.甲撞在斜坡上瞬间的速度偏向角大
【解析】
甲、乙两枚炸弹在空中均做平抛运动，初速度相同，设为 。
8.新 生活实际(2025·河北雄安新区期末)随着无人机技术的高速发展，
无人机已经应用到各个领域，如图所示是一次无人机消防灭火的演习
示意图，在距离地面高为 的楼房处设置着火点，无人机携带消
防管在距离楼房水平距离为 处竖直起飞，已知从管口喷出的水
B
A. B. C. D.
【解析】由于水流水平到达着火点，因此可以逆向看成水做平抛运动，有
，解得。设无人机上升 才能保证水流水平进入着火点室内，
则有，解得 。故B正确。
速最大为，忽略空气阻力，重力加速度 ，水流从管口与水平方向
成 角斜向上喷出。则无人机需上升多高才能保证水流水平进入着火点室内
( )
9.(2023·湖南卷)如图（a）,我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次
抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点
均为,且轨迹交于点,抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为和,其中 方向水
平， 方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是
( )
B
图（a）
图（b）
A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B.谷粒2在最高点的速度小于
C.两谷粒从到的运动时间相等 D.两谷粒从到 的平均速度相等
本题以人们用手抛撒谷粒进行水稻播种为背景，考查抛体运动的规律，试题情境既
有现实意义，也能很好地体现物理学科的应用价值。
【解析】
10.[类平抛运动](2025·湖北省新高考联考协作体开学考试)如图所示，一物体在某液
体中运动时只受到重力和恒定的浮力的作用，且。如果物体从 点以水平
初速度开始运动，最后落在点，间的竖直高度为，与右壁水平间距为 ，
重力加速度为 ，则下列说法正确的是( )
D
A.从运动到的时间为
B.与之间的水平距离为
C.若增大初速度 使物体撞击右壁，则初速度越大，物体撞击右壁
的速度越大
D.若足够大，当初速度 时，物体撞击右壁的速度最小
【解析】根据牛顿第二定律有，解得 ，该物体做类平抛运动，则
，解得从运动到的时间为，故A错误；与 之间的水平距离
，故B错误；物体撞击右壁时，物体运动的时间为 ，物体竖直
方向的速度为，物体撞击右壁的速度 ，根
据数学知识可知，当，即当初速度 时，物体撞击右壁的速度最小，
故若增大初速度 使物体撞击右壁，则初速度越大，物体撞击右壁的速度不一定越
大，故C错误，D正确。
11.（多选）如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环和倾角为 的斜面
，、两点与圆环的圆心等高。现将甲、乙两小球分别从、 两点以初速
度、沿水平方向同时抛出，两球恰好在 点相碰（不计空气阻力），已知
，，重力加速度为 ,下列说法正确的是( )
AD
A.初速度、大小之比为
B.若仅增大 ，则两球不再相碰
C.若大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点
D.若只抛出甲球并适当改变的大小，则甲球可能垂直击中圆环
【解析】如图所示，甲、乙两球从等高处做平抛运动，恰好在 点
相碰，则下落时间相等，水平方向有 ，
，所以 ，A正确；两球相碰，则满足
，若仅增大，显然存在满足方程，所以两球会相碰，B错误；若
大小变为原来的一半，在下落时间不变的情况下水平位移会变为原来的一半，但由
于甲球会碰到斜面，下落高度减小，运动时间减小，所以甲球的水平位移小于原来
的一半，不会落在斜面的中点，C错误；若甲球垂直击中圆环 ，则速度的反向延
长线过圆心，设此时甲球的运动时间为 ,由几何关系有
， ，解得
. .
（【另解】也可根据平抛运动推论求解。圆心 为甲球水
平位移的中点，故此时甲球的水平位移应为 ,根据
几何关系，可求得此时甲球竖直位移为 ,
又,,联立解得 。），因此只抛出甲球
并适当改变大小，则甲球可能垂直击中圆环 ，D正确。
. .
12.(2025·山东济南期末)如图所示，水平地面上一平顶仓库高 ，宽
，、是仓库上端两个屋角。今在仓库左侧距地面高的 处斜向上
投射一小物块。已知、、在同一竖直面内，取 ，不计空气阻力。
（1）当小物块抛出时的初速度方向与水平方向夹角为 时，小物块恰好水平击中
点，求点到 点的水平距离；
【答案】
【解析】小物块从到做斜抛运动，由于小物块恰好水平击中 点，利用逆向思维
（【学建模】将小物块从到的运动逆向看作从到 的平抛运动。）有
，，
联立解得从到的时间，到的水平距离 。
. .
（2）若小物块恰好依次经过仓库的两个屋角、，求物块在 点的最小速度。
【答案】
【解析】小物块从到做斜抛运动，设小物块在 点的速度方向与水平方向的夹角
为 ，则有，，联立解得
（【知识链接】），根据三角函数知识可知，当 时，
点速度达到最小值，解得最小速度 。
. .
C 培优练丨能力提升
建议时间：10分钟
13.新 跨学科融合(2025·重庆市质量调研，多选)在校园运动会的投掷
项目中，某同学将小沙包沿与水平方向成 角的方向斜向上抛出，
同时用手机拍摄了小沙包的运动轨迹，以抛出时刻为计时起点，通过
软件拟合出小沙包在竖直方向上的位置随时间变化的方程为
（式中的单位为,的单位为,、、为常数），作出 图像，
如图所示。取，不计空气阻力，， ，则( )
A.小沙包抛出的点为坐标原点
B.拟合方程中，，
C.沙包经过 回到与抛出点等高处
D.抛出点与最高点间的水平距离为
√
√
【解析】根据题意可知以抛出时刻为计时起点，故抛出点也就是 时刻对应的纵
坐标为，抛出点不在坐标原点，故A错误；由题图及方程 可知
时， ，小沙包做斜抛运动的位置与时间的关系式
，故 ，根据图像可知抛出
点到最高点的高度差为，解得时间 ，又
根据数学知识知，解得 ，故B正确；根据运动的对称性知，
时，小球到达与抛出点等高位置，故C错误；根据B项分析知
，解得 ，故抛出点与最高点间的水平距离为
，故D正确。
第五章 抛体运动
第4节 抛体运动的规律
例1-1 一小球被水平抛出后做平抛运动,若从小球被抛出开始计时,则小球在运动过程
中( )
D
A.做变加速曲线运动 B.加速度大小与时间成正比
C.速度大小与时间成正比 D.速度变化量的大小与时间成正比
【解析】小球做平抛运动,运动过程中加速度不变,为重力加速度,即小球做匀加速曲
线运动,速度的变化量 ,所以速度变化量的大小与时间成正比,故A、B错误,D正
确；小球在竖直方向上做自由落体运动，在水平方向上做匀速直线运动,竖直分速度
为,水平分速度为,则实际速度 ,所以速度大小与时间不成正
比,故C错误。
知识点1 平抛运动的速度
【学会了吗丨变式题】
1.一个做平抛运动的物体,初速度为 ,经过一段时间,它的末速度与竖直方向的
夹角为 ,重力加速度取 ,则它下落的时间约为( )
D
A. B. C. D.
【解析】物体做平抛运动，由题意及平抛运动的特点可知 ，解得
，故A、B、C错误，D正确。
例2-2 （多选）以速度 水平抛出一小球，不计空气阻力，从抛出到某一时刻的过
程中，小球的竖直位移与水平位移大小相等，重力加速度为 ，以下判断错误的是
( )
AC
A.此时小球的竖直分速度与水平分速度大小相等
B.此时小球的瞬时速度大小为
C.在此过程中小球运动的位移大小是
D.在此过程中小球运动的时间为
知识点2 平抛运动的位移与轨迹
【解析】设经过时间小球竖直分位移与水平分位移大小相等，则有 ，
解得，此时小球竖直方向上的分速度 ，速度
，且 ，此过程小球运动的位
移大小 ，综上知，A、C错误，符合题意。
例3-3 (2025·广东揭阳模拟)排球比赛中，运动员在处水平发球，速度大小为 ，对
方一传在处垫球过网，排球经最高点运动到处；已知排球从到 的运动时间为
，运动轨迹如图5-4-6所示。已知、、、在同一竖直平面内，与、与 分
别在同一水平线上，、 在同一竖直线上，不计空气阻力。下列说法正确的是
( )
C
图5-4-6
A.排球从运动到的时间为
B.排球从到和从到 速度变化量大小不相同
C.排球在点的速度大小为
D.排球在、 两点的速度大小不相等
知识点3 一般的抛体运动
建构模型寻本质
【解析】
例4-4 物体以一定的初速度水平抛出，忽略空气阻力，经过 落在水平地面上，落
地瞬间的速度与水平方向的夹角的正切值为，取重力加速度大小 ，则
( )
A
A.物体在水平方向的位移大小为
B.物体的位移大小为
C.物体落地瞬间的速度大小为
D.物体位移与水平方向的夹角的正切值为
知识点4 平抛运动的规律和推论
【解析】物体落地时的竖直分速度 ，如图5-4-9甲所
示，有，解得 ，物体落地瞬间的速度大小
，水平位移大小
，A正确,C错误；竖直位移大小
，如图乙所示，物体的位移大小
，物体位移与水平方
向夹角的正切值 ，B、D错误。
图5-4-9
【学会了吗丨变式题】
图5-4-10
2.如图5-4-10所示，猴子（未画出）在地面与竖直墙壁之间跳跃玩
耍，直杆与水平地面之间的夹角为 ， 点到地面的距离为
。重力加速度取 ，空气阻力不计。若猴子从竖直墙上
距地面的点以水平速度跳出，要到达直杆，水平速度 至
少为( )
D
A. B. C. D.
【解析】猴子恰好到达直杆时，轨迹与直杆相切,速度方向沿直杆向下，即此时速度
方向与水平方向的夹角为 ，根据平抛运动的推论（【说明】速度偏向角的正切
值是位移偏转角的正切值的2倍。）知，猴子下落高度与水平位移满足 ，
,。又根据几何关系得 ，联立解得猴子的水
平速度 ，选项D正确。
. .
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 平抛运动规律的理解与运用
例5 ［教材第21页“复习与提高”B组第4题改编］一小球从空中某点水平抛出，经过
、两点，已知小球在点的速度大小为、方向与水平方向成 角，小球
在点的速度方向与水平方向成 角。不计空气阻力，重力加速度大小取
，则( )
D
A.小球经过点时的速度大小为
B.小球抛出时的水平初速度大小为
C.小球从点运动到点的时间为
D.、两点间的距离为
建构导图明思路
图5-4-11
【解析】小球运动轨迹的一部分如图5-4-11所示,设小球抛出时的
初速度为,经过点时的速度为,经过点时的速度为 ，由平
抛运动规律可知， ，解得
，，选项A、B错误；小球在 点时的
竖直分速度 ，在 点时的竖直分速度
，，解得 ，选项C错误；由
，，，解得、两点间的距离 ，故
选项D正确。
【学会了吗丨变式题】
3.如图5-4-12，将一支飞镖在竖直墙壁的左侧点以不同的速度水平抛出，为 点在
竖直墙壁上的投影点。每次抛出飞镖的同时，在 处由静止释放一个特制的小球
（飞镖能轻易射穿）。飞镖第一次到达墙壁处时，飞镖速度与墙壁的夹角为 ，
飞镖第二次到达墙壁处时，飞镖速度与墙壁的夹角为 （图中没有画出）。飞镖
与小球均不计空气阻力。则 ( )
D
图5-4-12
A.飞镖两次做平抛运动的速度增量之比为
B.两次抛出的飞镖只有一次能击中小球
C.飞镖两次下落的高度之比为
D.飞镖两次做平抛运动的初速度之比为
【解析】设点与点间的水平距离为 ，飞镖飞出后做平抛运动，则水平方向上做
匀速直线运动，竖直方向上做自由落体运动。第一次，飞镖速度与墙壁的夹角为
， 则，，且 ；第二次，飞镖速度与墙壁的
夹角为 ，又因，，且 ，则飞镖两次做平抛
运动的初速度之比为 ，飞镖两次做平抛运动的速度增量之比为
，故A错误，D正确。飞镖在竖直方向上做自由落体运动，
小球同样在竖直方向上做自由落体运动，则释放的小球和飞镖在竖直方向的位移相
同，故飞镖两次都能击中小球，B错误。飞镖两次下落的高度之比为
，故C错误。
题型2 两个抛体的关联运动问题
例6 ［粤教版教材习题改编］“套圈圈”是许多人喜爱的一种游戏。如图5-4-13所示，
小孩和大人在同一竖直线上的不同高度先后水平抛出小圆环，且小圆环都恰好套中
前方同一个物体（大小不计）（【解题关键】从抛出点到落地点的水平位移相
等。）。已知 小孩抛出小圆环的高度是大人高度的0.64倍，假设小圆环的运动可视
为平抛运动，重力加速度取 ，则( )
B
图5-4-13
A.大人抛出的小圆环在空中运动的时间是小孩的0.64倍
B.大人抛出小圆环的水平初速度是小孩的0.8 倍
C.两小圆环落地时的速度方向相同
D.两小圆环在空中运动过程中的速度变化量相同
. .
. .
. .
【解析】设大人抛出小圆环的高度为，则有，故有 ，解得
，选项A错误；由于大人和小孩抛出的小圆环的水平位移相同，故应有
，解得 ，选项B正确；大人抛出的小圆环落地时的竖直
分速度大小为，小孩的为 ，设小圆环的落地速度方向与水平地面
间的夹角为 ，则有 ，故大人和小孩抛出的小圆环落地时速度方
向与水平方向夹角的正切值之比为 ，故选项C错误；小圆环在空中
运动时，只有竖直方向的分速度发生变化，故有 ，因两小圆环在空中
运动的时间不同，故速度变化量也不相同，选项D错误。
【学会了吗丨变式题】
图5-4-14
4.如图5-4-14所示,小球甲从点水平抛出的同时,小球乙从 点自由释
放,两小球先后经过 点时速度大小相等,且它们的速度方向间的夹角
为 ,已知高 ,不计空气的阻力。由以上条件可知( )
B
A.甲小球做平抛运动的初速度大小为
B.甲、乙两小球到达点所用时间之比为1:
C.、两点的高度差为
D.、两点的水平距离为
【解析】根据自由落体运动的规律，可知乙球运动到点时的速度大小为 ，又
因两球先后经过点时的速度大小相等，所以甲球在点的合速度大小为 ，又
因此时甲球的速度与水平方向的夹角为 ，所以甲球做平抛运动的初速度大小
，选项A错误；根据,可知,,两球运动到 点的时间
之比为:，选项B正确；、两点的高度差为 ，选
项C错误；、两点间的水平距离为 ，选项D错误。
题型3 与平抛运动相关的临界问题
例7 如图5-4-15所示,排球场的长为,球网的高度为。运动员站在离网 远的
线上,正对球网竖直跳起,把球垂直于网水平击出。（不计空气阻力,取 ）
图5-4-15
（1）设击球点的高度为 ,问球被水平击出时的速度在什么范围内才能使球既不
触网也不出界？
【答案】
图5-4-16
【解析】如图5-4-16所示,排球恰好触网时其运
动轨迹为Ⅰ,排球恰不出界时其运动轨迹为Ⅱ,
（若速度过大就会出界，若速度过小就会触
网。）根据平抛运动的规律,由 和
可得,当排球恰好触网时有
（从球被击出到运动到球网，球做平抛
运动。）
. .
. .
由①②可得
当排球恰不出界时有
（从球被击出到运动到边界线上，球做平抛
运动。 ）
由③④可得
所以排球既不触网也不出界的速度范围是
。
（2）若击球点的高度小于某个值,那么无论球被水平击出时的速度为多大,球不是触
网就是出界,试求出此高度。
【答案】
图5-4-17
【解析】如图5-4-17所示为排球恰不触网
也不出界的临界轨迹。设击球点的高度为
,根据平抛运动的规律有
, ⑤
, ⑥
, ⑦
⑧
由⑤⑥⑦⑧式可得,所求高度 。
【学会了吗丨变式题】
图5-4-18
5.如图5-4-18所示,窗子上、下沿间的高度 ,墙的厚度
,某人在离墙壁、距窗子上沿处的
点,将可视为质点的小物体以速度 水平抛出,小物体直接穿过窗口
并落在水平地面上,取。则 的取值范围是( )
D
A. B.
C. D.
【解析】小物体做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时 最大。此时有
,，代入解得 ;小物体恰好擦着窗子下沿左侧穿过时速
度最小，则有，，解得。故 的取值范
围是 。选项D正确。
题型4 斜抛运动问题
例8 (2025·湖北武汉调研)某同学投掷篮球空心入筐，篮球的出手点与篮筐的距离为
，篮球进入篮筐时的速度方向恰好与出手时的速度方向垂直。不考虑空气阻力，
重力加速度大小取 。则篮球从出手到入筐的时间为( )
C
A. B. C. D.
图5-4-19
【解析】如图5-4-19所示，设篮球出手时的初速度大
小为，与水平方向夹角为 ，入筐时的末速度大
小为，与竖直方向夹角为 ，篮球从出手到入筐的
时间为 。篮球做斜上抛运动，由斜抛运动水平方向
速度不变可知
解得
运动时间为
篮球在竖直方向上的分运动为匀变速直线运动，竖直方向上的位移大小为
篮球在水平方向上的分运动为匀速直线运动，水平方向上的位移大小为
由几何关系有
即
将、 代入有
可解得
则
故可得运动时间
故选C。
【学会了吗丨变式题】
6.(2025·河北秦皇岛模拟)如图5-4-21甲所示，波光喷泉的水柱从一个水池喷到另一个
水池，人们在水柱下穿行不湿衣服，奇妙无穷。图乙是波光喷泉在空中形成的一根
水柱，喷口与水平面的夹角为 ，水离开喷口的初速度为， 为最高点，不计空
气阻力，重力加速度为 ，下列说法正确的是( )
D
图5-4-21
A.水达到最高点时的速度大小为
B.水在点的加速度小于 点的加速度
C.水从点运动到点所用的时间为
D.射程为
【解析】斜抛运动最高点竖直分速度为0，只有水平分速度， 点处水的速度方向为
水平向右，速度大小为 ，故A错误；不计空气阻力，水在运动过程中只
受重力作用，在整个运动过程中的加速度都为重力加速度，故B错误；在竖直方向上，
水从到做竖直上抛运动，水离开喷口的初速度的竖直分量为 ，水从
到的过程，在竖直方向有，解得 ，因为斜抛运动具
有对称性，所以 ，故C错误；斜抛运动的水平分运动为匀速直线运
动，水平速度为 ，水从到的总时间为 ，根据
可知，射程为 ，故D正确。
题型5 类平抛运动问题
例9 (2025·天津市第七中学期中，多选)如图5-4-22所示的光滑固定斜面长为，宽为 ，
倾角为 ，一物块（可看成质点）沿斜面左上方顶点水平射入，恰好从底端 点离
开斜面（重力加速度为 ），下列说法正确的是( )
BCD
图5-4-22
A.物块运动的加速度
B.物块由运动到所用的时间
C.物块由点水平射入时的初速度
D.物块离开点时的速度大小
建构模型寻本质
【解析】
物块离开点时沿斜面向下的分速度的大小 ，物块离开 点时的
速度大小 ，D正确
【学会了吗丨变式题】
7.(2025·江西省南康中学月考)“风洞”实验是飞行器研制工作中的重要过程。一质量为
的小球在光滑的水平面上以初速度（沿 轴正方向）穿过一段风带，经过风带时
风会给小球一个沿水平方向且与方向垂直（沿 轴正方向）的恒力作用，风带在
区域，其他区域无风。小球穿过风
图5-4-23
带过程的运动轨迹及穿过风带后的速度方向如图5-4-23所示，已知
小球在穿过风带过程中沿轴正方向运动的位移为 。下列说法正确
的是( )
A.小球穿过风带所需时间为
B.小球穿过风带过程中的加速度大小为
C.小球穿过风带时所受合力的大小为
D.小球穿过风带后的速度大小为
√
【解析】
提素养 深度学习
微专题 有约束条件的平抛运动
做平抛运动的物体，在运动过程中遇到竖直墙面、斜面、圆弧曲面等时，对运动时
间、运动距离会有限制，使物体的运动成为有约束条件的平抛运动。
类型1 竖直面约束
图5-4-24
例10 如图5-4-24所示，某同学将一个小球在 点对准前方一块竖直
挡板上的点抛出。与 在同一高度，不计空气阻力，小球的水平
初速度分别为、、时，分别打在挡板上的、、 点，且
，则、、 满足( )
B
（ 【学审题】小球三次运动的水平距离相同， ，
根据竖直方向的位移之比求出小球运动时间之比。）
A. B. C. D.
【解析】忽略空气阻力，则小球被抛出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，
根据得 ，所以小球三次运动的时间之比
，水平位移相等，根据 得
，故B正确。
从同一高度水平抛出的物体，在遇到竖直面时，由于初速度 不同，落点的位置不
同，但它们的水平位移相同，运动时间 。
【学会了吗丨变式题】
图5-4-25
8.［鲁科版教材习题改编］如图5-4-25所示，网球运动员在训练时，
在同一高度的前后两个不同位置将网球击出后，网球刚好能垂直击
中竖直墙面上的同一点。不计空气阻力，则下列判断正确的是
( )
C
A.两次击球后网球的初速度大小相等
B.两次击球后网球的初速度方向相同
C.两次网球在空中运动的时间相等
D.两次网球撞击竖直墙面时的速度相等
【解析】由题意知,网球被击出至垂直击中竖直墙面的过程可逆向看作平抛运动过程，
由于两次击球后，网球在竖直方向上的位移相同，竖直方向上，网球的运动可看作
逆向自由落体运动，由 可知两次击球后网球在空中运动的时间相等，选项C
正确；由于两次击球时击球点到竖直墙的水平距离不同，由 可知两次击球后
网球在水平方向的速度不同，网球被击出后初速度大小为，,
相同，故可知两次网球被击出后的初速度大小不相等，选项A错误；网球被击出时
其速度方向与水平方向之间的夹角 满足，因两次击球后不相等， 相
等，故 角不相等，选项B错误；由题意可知，网球击中竖直墙面时的速度等于网
球被击出时的水平初速度，因两次水平初速度不相等，故选项D错误。
类型2 斜面约束
图5-4-26
例11 如图5-4-26所示，为斜面，倾角为 ，小球从 点以初速
度水平抛出，恰好落到 点,（位移方向与水平面的夹角等于斜面
倾角。）不计空气阻力，重力加速度为 。
（1）求、 间的距离及小球在空中飞行的时间；
【答案】
【解析】设小球在空中的飞行时间为 ,则
水平位移
竖直位移
解得, 。
. .
（2）从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大（速度方向与斜面平
行。）？最大距离为多少？
【答案】;
【解析】 （建立坐标系法）
以抛出点为原点、初速度方向为轴正方向、竖直向下为 轴正方向建立平面直角坐
标系，如图5-4-27所示，小球的速度方向平行于斜面时，小球离斜面的距离最大，此
时有
. .
图5-4-27
解得运动时间
此时小球的水平位移为
此时小球速度方向的反向延长线交轴于 处，故小球离斜面的最大距离为
。
（分解加速度法）
图5-4-28
将小球的初速度和加速度分别沿斜面和垂直斜面分解，如图5-4-28所示，可得小球的
初速度在垂直斜面方向上的分速度
重力加速度在垂直斜面方向上的分量
当小球距离斜面最远时，小球在垂直斜面方向上的分速度为0
由运动学公式得运动时间
小球离斜面的最大距离 。
【学会了吗丨变式题】
图5-4-31
9.（多选）如图5-4-31所示，一固定斜面倾角为 ，将小球 从斜
面顶端以速率水平向右抛出，击中了斜面上的点；将小球 从
空中某点以相同速率水平向左抛出，恰好垂直斜面击中 点。不
计空气阻力，重力加速度为 ，下列说法正确的是( )
BC
A.若小球在击中点时速度方向与水平方向所夹锐角为 ，则
B.若小球在击中点时速度方向与水平方向所夹锐角为 ，则
C.小球、在空中运动的时间之比为
D.小球、在空中运动的时间之比为
【解析】由题图可知，小球 落在斜面上时位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾
角 ，由平抛运动的推论可知 ，选项A错误，B正确；设小球 在空
中运动的时间为，小球在空中运动的时间为 ，则由平抛运动的规律可得
， ，则 ，选项C正确，D错误。
类型3 圆（球）面约束
例12 （多选）如图5-4-32所示，一个半径 的半圆柱体放在水平地面上，
一小球从半圆柱体左端点正上方的 点水平抛出（小球可视为质点），恰好从半圆
柱体的点掠过。已知为半圆柱体横截面的圆心，、、 在同一竖直平面内，
与水平方向夹角为 ，重力加速度为 ，不计空气阻力，则
( )
AC
图5-4-32
A.小球从点运动到点所用时间为
B.小球从点运动到点所用时间为
C.小球做平抛运动的初速度为
D.小球做平抛运动的初速度为
【解析】小球做平抛运动，运动轨迹恰好与半圆柱体相切于 点，根据几何关系可知
小球在点时速度方向与水平方向的夹角为 ，则有 ，由几何关系有
，联立并代入数据解得， 。选项A、C正
确。
【学会了吗丨变式题】
10.（多选）如图5-4-33所示，为竖直平面内的半圆环的水平直径， 为环上最
低点，环半径为。将一个小球从点以初速度沿方向抛出，设重力加速度为 ，
不计空气阻力。则( )
AD
图5-4-33
A.当小球的初速度 时，落到环上时的竖直分速度最大
B.当小球的初速度时，将落到环上的 段
C. 取适当值，小球可以垂直撞击圆环
D.无论 取何值，小球都不可能垂直撞击圆环
【解析】小球做平抛运动，当小球落在点时竖直分速度最大，由, ，
解得，A正确。当小球的初速度时，水平位移小于 ，
小球将落到环上的段，B错误。小球落在 段时，速度方向斜向右下方，不可能
与圆环垂直；当小球落在段时，由于 不在水平位移的中点，根据平抛运动的推
论，可知小球落在圆环上时的速度反向延长线不可能通过 点，即小球不可能垂直
撞击圆环，C错误，D正确。
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘 素养点击
基本考查点 平抛运动的规律,一般抛体 运动的分析。 1.知道平抛运动的特点,体会将复杂运动
分解为简单运动的物理思想。
2.掌握平抛运动规律,会解决与平抛运动
相关的实际问题。
3.对生活中的抛体运动建立正确的物理
模型,认识抛体运动的普遍性,体会物理学
的应用价值。
热点及难点 生活中的抛体运动,斜面上 的平抛运动。 题型及难度 以选择题为主,难度中等。 高考中地位 曲线运动的重要实例,高考 命题的热点内容。 考向1 考查平抛运动规律的应用
图5-4-34
例13 (2024·北京卷)如图5-4-34所示，水平放置的排水管满口
排水，管口的横截面积为，管口离水池水面的高度为 ，水
在水池中的落点与管口的水平距离为 。假定水在空中做平抛
运动，已知重力加速度为， 远大于管口内径。求：
（1）水从管口到水面的运动时间 ；
【答案】
【解析】水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向上有
解得水从管口到水面的运动时间 。
（2）水从管口排出时的速度大小 ；
【答案】
【解析】由平抛运动规律得，水平方向上有
解得水从管口排出时的速度大小 。
（3）管口单位时间内流出水的体积 。
【答案】
【解析】管口单位时间内流出水的体积为 。
【类题链接丨变式题】
类题 (2025·云南卷)如图5-4-35所示，某同学将两颗鸟食从 点水平抛出，两只小鸟
分别在空中的点和 点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同
一竖直平面内，则( )
D
图5-4-35
A.两颗鸟食同时抛出 B.在 点接到的鸟食后抛出
C.两颗鸟食平抛的初速度相同 D.在 点接到的鸟食平抛的初速度较大
【解析】
两颗鸟食从 点抛出后均做平抛运动。
考向2 考查斜抛运动规律的应用
例14 (2025·湖北卷)某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为 ，离地
高度分别为 、 ，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，
且与水平方向夹角均为 。击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网
垂直，忽略空气阻力， 的值为( )
C
A. B. C. D.
本题创设了网球运动中的斜抛运动情境，涉及斜上抛及斜下抛运动，考查斜抛运动
的基本规律及应用，要求考生会根据具体情境建构物理模型，考查考生的物理观念
和科学思维。
建构模型寻本质
【解析】
设球网高度为 。
新考法 选项图像化
考法解读 在高考物理命题中，“情境图像化”与“选项图像化”已成为重要的命题趋势。
这类试题能够更加深入地考查考生对物理概念、规律及过程的理解，同时检验其从
图像中提取信息、并运用物理知识分析和解决问题的能力。将选择题的选项转化为
抽象的图像信息，不仅培养了考生的图像认知能力，还侧重于训练其抽象思维能力。
状态图、轨迹图及新信息图等形式，已成为未来命题的热点方向。因此，考生需要
进一步提升对物理图像的识别、解读和分析能力，熟练掌握各类典型物理图像的特
征及其所蕴含的物理意义。
图5-4-36
例15 (2024·江西卷，多选)一条河流某处存在高度差，小鱼从低
处向上跃出水面,冲到高处。如图5-4-36所示，以小鱼跃出水面处
为坐标原点,轴沿水平方向，建立坐标系,小鱼的初速度为 ,末速
度沿 轴正方向。在此过程中,小鱼可视为质点且只受重力作用。
关于小鱼的水平位置、竖直位置、水平方向分速度 和竖直方
向分速度与时间 的关系,下列图像可能正确的是( )
AD
A. B. C. D.
考法创新 本题通过“鱼跃水面”的鲜活场景，考查斜抛运动的规律。试题选项以图
像形式呈现，要求考生通过分析推理，判断水平位置、竖直位置、水平方向分速度
及竖直方向分速度随时间的变化规律。
【解析】
例16 (2023·江苏卷)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验:一个罐子在空中沿水平直
线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力,则下列图中能反映空中
沙子排列的几何图形是( )
D
A. B. C. D.
考法创新 本题要求判断空中沙子排列的几何图形，是对教材第19页“复习与提高”A
组第5题的改编和创新，将水平方向的匀速运动变成匀加速运动，试题既源于教材又
高于教材，既有传承又有创新，对考生的理解、分析、科学推理能力有较高的要求。
【解析】
D正确，A、B、C错误。
光速解题 罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，在时间 内，相较于初始时刻
从罐子中漏出的沙子，罐子的水平方向的位移增加量为 ,初始时刻从罐子中漏
出的沙子在竖直方向做自由落体运动，在时间 内，竖直方向的位移增加量为
,可知漏出的沙子相对于罐子的水平方向与竖直方向位移增加量的比值为一定
值，即所有漏出的沙子与罐子的连线的倾角一定，则轨迹连线为一倾斜直线，D正确。
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.[易错题]（多选）将一个物体从高处以水平初速度抛出,物体落地时的速度为 ,
竖直分速度为 ,不计空气阻力，下列公式能用来表示该物体在空中运动时间的是
( )
ACD
A. B. C. D.
【解析】平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,设
物体从抛出到落地经历的时间为，则物体竖直方向位移为
竖直分速度为
则竖直方向的位移还可以表示为
合速度与分速度的大小关系为
由以上各式可解得 ,选项A、C、D正确。
本题易盲目套用匀变速直线运动的速度公式,得 ,从而错选B，这
是典型的读题不清带来的错误。实际上平抛运动是匀变速曲线运动,题中所给的速度
与 方向不同，不能直接相减，应根据平抛运动规律结合矢量运算规则，将速度分
解后再求解。另外本题还容易因考虑不周全而漏选。
2.如图所示，小球从楼梯上以 的速度水平抛出，所有台阶的高
度和宽度均为，取 ，小球抛出后首先落到的台阶是
( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】连接各级台阶边缘，设小球落在此连线上的时间为 ,则由每级台阶的高度和
宽度均相等知，此时小球的水平位移和竖直位移相等，
有，解得 ，水平位移
，故小球先落在台阶3上，选项C正确。
3.新 体育运动[教材第20页“复习与提高”A组第7题改编](2025·河南开封期末)某运动
员进行跳台滑雪，从跳台处沿水平方向飞出，在斜面上的 处着陆，斜面与水平
方向夹角为 且足够长，如图所示，测得、间的距离为 ，运动员质量
，不计空气阻力，重力加速度 ，下列说法正确的是( )
B
A.运动员在空中相同时间内的速度变化量逐渐增大
B.运动员在空中运动的时间为
C.运动员在处的速度大小为
D.运动员落在处时的速度与水平方向的夹角为
【解析】根据题意可知，运动员在空中做平抛运动，加速度为重力加速度，由
可知，运动员在空中相同时间内的速度变化量相同，故A错误；根据平抛运
动规律有，，又有，，代入数据解得 ，
，故B正确，C错误；运动员落在处的竖直速度为 ，
则速度与水平方向的夹角的正切值， ，可见速度与水平
方向的夹角不等于 ，故D错误。
4.新 自然现象(2025·广东广州模拟)袋鼠前肢短小，后肢长且强健有力，适于跳跃，
是跳得最高最远的哺乳动物。袋鼠某次跳跃如图所示，在平整的地面上跳了 远，
离地面的最大高度为，跳跃时不计空气阻力，取 ,袋鼠可视为质点。下
列说法正确的是( )
D
A.袋鼠到达最高点时速度为零
B.袋鼠从起跳到最高点用时约
C.袋鼠从起跳到最高点过程中，速度变化量的方向竖直向上
D.若袋鼠离开水平地面时的速度方向与水平方向夹角为 ，则
【解析】袋鼠的运动可看作是斜抛运动，到最高点时仍有水平方向的速度，故A错
误；从起跳到最高点，袋鼠在竖直方向做竖直上抛运动，则其从起跳到最高点有
，，可解得， ，故B错误；
袋鼠在空中只受重力作用，加速度竖直向下，所以其速度变化量的方向是竖直向下
的，故C错误；做平抛运动的物体，速度偏向角的正切值为其位移偏转角的正切值的
2倍，袋鼠从离开地面至最高点这一过程可逆向看作平抛运动，结合斜抛运动的对称
性可知，从离开地面至最高点，其位移偏转角的正切值为 ,则其速度
偏向角的正切值为 ，故D正确。
5.[教材第20页“复习与提高”B组第1题改编](2025·浙江省余姚中学月考)如图所示，某
同学在进行投篮练习。已知、、是篮球运动轨迹中的三个点，其中 为球抛出
点，为球运动轨迹的最高点，为球落入篮筐的点，且、连线垂直于、 连
线，、连线与水平方向的夹角 ，不计空气阻力
，篮球可视为质点。则篮球从到与从到 的运动时
间之比为( )
D
A. B. C. D.
【解析 建构模型寻本质
（利用速度关系求解）
设篮球在点的竖直分速度大小为，在点的竖直分速度大小为 ，篮球的水平
分速度大小为 。
（利用位移关系求解）
6.飞镖是一种常见的娱乐活动。如图所示，靶盘竖直放置,点为靶盘靶心，、 两
点等高且相距，将飞镖从点沿方向掷出，经落在靶心正下方的 点，
不计空气阻力，，取 。
（1）求飞镖从 点抛出时的速度大小；
【答案】
【解析】由平抛运动规律可知，飞镖在水平方向有
飞镖从点抛出时的速度大小为 。
（2）求飞镖落点与靶心 的距离；
【答案】
【解析】飞镖在竖直方向有
可得，飞镖落点与靶心的距离为 。
（3）为了让飞镖能命中靶心，现让飞镖从点与水平方向成 角斜向右上方抛
出，求抛出速度大小。
【答案】
【解析】由斜抛运动规律可知，飞镖在水平方向有
在竖直方向有
联立可得，抛出速度大小为 。
B 综合练丨选考通关
建议时间：35分钟
7.(2025·江西南昌市第十九中学期中)如图所示，某次演习中一轰炸机在某斜坡左上
方水平向右匀速飞行，飞行过程中先后释放甲、乙两枚炸弹，炸弹均撞在斜坡上，
不计空气阻力。两炸弹分别从释放到撞在斜坡上的过程中，下列说法正确的是
( )
D
A.乙的位移大 B.乙的下落时间长
C.甲撞在斜坡上瞬间的速度小 D.甲撞在斜坡上瞬间的速度偏向角大
【解析】
甲、乙两枚炸弹在空中均做平抛运动，初速度相同，设为 。
8.新 生活实际(2025·河北雄安新区期末)随着无人机技术的高速发展，
无人机已经应用到各个领域，如图所示是一次无人机消防灭火的演习
示意图，在距离地面高为 的楼房处设置着火点，无人机携带消
防管在距离楼房水平距离为 处竖直起飞，已知从管口喷出的水
B
A. B. C. D.
【解析】由于水流水平到达着火点，因此可以逆向看成水做平抛运动，有
，解得。设无人机上升 才能保证水流水平进入着火点室内，
则有，解得 。故B正确。
速最大为，忽略空气阻力，重力加速度 ，水流从管口与水平方向
成 角斜向上喷出。则无人机需上升多高才能保证水流水平进入着火点室内
( )
9.(2023·湖南卷)如图（a）,我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次
抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点
均为,且轨迹交于点,抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为和,其中 方向水
平， 方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是
( )
B
图（a）
图（b）
A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B.谷粒2在最高点的速度小于
C.两谷粒从到的运动时间相等 D.两谷粒从到 的平均速度相等
本题以人们用手抛撒谷粒进行水稻播种为背景，考查抛体运动的规律，试题情境既
有现实意义，也能很好地体现物理学科的应用价值。
【解析】
10.[类平抛运动](2025·湖北省新高考联考协作体开学考试)如图所示，一物体在某液
体中运动时只受到重力和恒定的浮力的作用，且。如果物体从 点以水平
初速度开始运动，最后落在点，间的竖直高度为，与右壁水平间距为 ，
重力加速度为 ，则下列说法正确的是( )
D
A.从运动到的时间为
B.与之间的水平距离为
C.若增大初速度 使物体撞击右壁，则初速度越大，物体撞击右壁
的速度越大
D.若足够大，当初速度 时，物体撞击右壁的速度最小
【解析】根据牛顿第二定律有，解得 ，该物体做类平抛运动，则
，解得从运动到的时间为，故A错误；与 之间的水平距离
，故B错误；物体撞击右壁时，物体运动的时间为 ，物体竖直
方向的速度为，物体撞击右壁的速度 ，根
据数学知识可知，当，即当初速度 时，物体撞击右壁的速度最小，
故若增大初速度 使物体撞击右壁，则初速度越大，物体撞击右壁的速度不一定越
大，故C错误，D正确。
11.（多选）如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环和倾角为 的斜面
，、两点与圆环的圆心等高。现将甲、乙两小球分别从、 两点以初速
度、沿水平方向同时抛出，两球恰好在 点相碰（不计空气阻力），已知
，，重力加速度为 ,下列说法正确的是( )
AD
A.初速度、大小之比为
B.若仅增大 ，则两球不再相碰
C.若大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点
D.若只抛出甲球并适当改变的大小，则甲球可能垂直击中圆环
【解析】如图所示，甲、乙两球从等高处做平抛运动，恰好在 点
相碰，则下落时间相等，水平方向有 ，
，所以 ，A正确；两球相碰，则满足
，若仅增大，显然存在满足方程，所以两球会相碰，B错误；若
大小变为原来的一半，在下落时间不变的情况下水平位移会变为原来的一半，但由
于甲球会碰到斜面，下落高度减小，运动时间减小，所以甲球的水平位移小于原来
的一半，不会落在斜面的中点，C错误；若甲球垂直击中圆环 ，则速度的反向延
长线过圆心，设此时甲球的运动时间为 ,由几何关系有
， ，解得
. .
（【另解】也可根据平抛运动推论求解。圆心 为甲球水
平位移的中点，故此时甲球的水平位移应为 ,根据
几何关系，可求得此时甲球竖直位移为 ,
又,,联立解得 。），因此只抛出甲球
并适当改变大小，则甲球可能垂直击中圆环 ，D正确。
. .
12.(2025·山东济南期末)如图所示，水平地面上一平顶仓库高 ，宽
，、是仓库上端两个屋角。今在仓库左侧距地面高的 处斜向上
投射一小物块。已知、、在同一竖直面内，取 ，不计空气阻力。
（1）当小物块抛出时的初速度方向与水平方向夹角为 时，小物块恰好水平击中
点，求点到 点的水平距离；
【答案】
【解析】小物块从到做斜抛运动，由于小物块恰好水平击中 点，利用逆向思维
（【学建模】将小物块从到的运动逆向看作从到 的平抛运动。）有
，，
联立解得从到的时间，到的水平距离 。
. .
（2）若小物块恰好依次经过仓库的两个屋角、，求物块在 点的最小速度。
【答案】
【解析】小物块从到做斜抛运动，设小物块在 点的速度方向与水平方向的夹角
为 ，则有，，联立解得
（【知识链接】），根据三角函数知识可知，当 时，
点速度达到最小值，解得最小速度 。
. .
C 培优练丨能力提升
建议时间：10分钟
13.新 跨学科融合(2025·重庆市质量调研，多选)在校园运动会的投掷
项目中，某同学将小沙包沿与水平方向成 角的方向斜向上抛出，
同时用手机拍摄了小沙包的运动轨迹，以抛出时刻为计时起点，通过
软件拟合出小沙包在竖直方向上的位置随时间变化的方程为
（式中的单位为,的单位为,、、为常数），作出 图像，
如图所示。取，不计空气阻力，， ，则( )
A.小沙包抛出的点为坐标原点
B.拟合方程中，，
C.沙包经过 回到与抛出点等高处
D.抛出点与最高点间的水平距离为
√
√
【解析】根据题意可知以抛出时刻为计时起点，故抛出点也就是 时刻对应的纵
坐标为，抛出点不在坐标原点，故A错误；由题图及方程 可知
时， ，小沙包做斜抛运动的位置与时间的关系式
，故 ，根据图像可知抛出
点到最高点的高度差为，解得时间 ，又
根据数学知识知，解得 ，故B正确；根据运动的对称性知，
时，小球到达与抛出点等高位置，故C错误；根据B项分析知
，解得 ，故抛出点与最高点间的水平距离为
，故D正确。