第4节 生活中的圆周运动-高一物理人教版必修第二册（111页PPT）
文档属性
| 名称 | 第4节 生活中的圆周运动-高一物理人教版必修第二册（111页PPT） |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版（2019） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2025-12-26 17:27:16 | ||
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文档简介
(共111张PPT)
第六章 圆周运动
第4节 生活中的圆周运动
例1-1 (2025·安徽师范大学附属中学期中)如图6-4-5所示，为了测量列车通过一圆弧
形弯道时在水平面内转弯的半径的大小，某人设计了如下方法：将一小球
（可视为质点）用轻绳悬挂在列车车厢顶部，当列车以恒定速率 通过该弯道时，发
现小球稳定时轻绳与竖直方向夹角为 。已知弯道处的铁轨路面与水平面间夹角为
，空气阻力不计，重力加速度为 。则( )
B
图6-4-5
A.列车转弯半径大小为 ，列车车轮挤压内侧铁轨
B.列车转弯半径大小为 ，列车车轮挤压外侧铁轨
C.列车转弯半径大小为 ，列车车轮与铁轨之间无侧向挤压
D.列车转弯半径大小为 ，列车车轮与铁轨之间无侧向挤压
教材帮 新知课丨必备知识解读
知识点1 火车转弯
【解析】
小球和列车同时转弯，转弯半径近似相等，设为
由①可得列车在该弯道的转弯半径大小为，因 ，结合①②知 ,
说明列车速度大于理想转弯速度，列车车轮会挤压外侧铁轨，B正确。
【学会了吗丨变式题】
1.[教材第39页“练习与应用”第3题改编] 如图6-4-6所示，一质量为 的汽
车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为 ，当汽车经过
半径为 的弯道时，下列判断正确的是( )
D
图6-4-6
A.汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B.汽车转弯的速度为时所需的向心力为
C.汽车转弯的速度为 时汽车会发生侧滑
D.汽车能安全转弯的向心加速度不超过
【解析】向心力是效果力，受力分析时不能加入向心力，A错误；当汽车转弯的速
度为时，需要的向心力为 ，而径
向最大静摩擦力，则 ，所以汽车不会发生侧滑，B、C错
误；当径向最大静摩擦力提供向心力时，汽车安全转弯的向心加速度最大，根据牛
顿第二定律可得 ，D正确。
图6-4-7
例2-2 [教材第39页“练习与应用”第4题改编]
(2025·广东清远四校联考)如图6-4-7甲所示，一辆质
量的小汽车驶上圆弧半径 的
拱桥，取 。
（1）若汽车到达桥顶时的速度为，求此时桥对汽车的支持力的大小 ；
【答案】
【解析】汽车到达桥顶时，由牛顿第二定律可得
代入数据解得 。
知识点2 汽车过拱形桥
（2）如图乙所示，假如拱桥的半径增大到与地球半径 一样，汽车的速
度不断增大时，就会在桥上腾空，求使汽车腾空的最小速度 。
【答案】
【解析】当汽车恰好腾空时，汽车的重力提供向心力，有
代入数据解得使汽车腾空的最小速度为 。
【学会了吗丨变式题】
2.(2025·四川成都双流中学月考，多选)公路在通过小型水库的泄洪闸下游时，常常
要修建凹形桥，也叫“过水路面”。如图6-4-8所示，凹形桥最低点附近这一小段所对
应的圆半径是，质量为的汽车以 的速度通过
凹形桥的最低点时（取 ），下列说法正确的是( )
图6-4-8
BC
A.车的向心加速度大小为 B.车对桥面的压力大小为
C.车的速度越大，车对桥面的压力越大 D.车的速度越大，车对桥面的压力越小
【解析】汽车通过凹形桥时，重力和支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律有
，解得汽车的向心加速度大小为 ，汽车受到的
支持力大小 ，根据牛顿第三定律可得汽车对桥面的压力大小为
，由 可知车的速度越大，车对桥面的
压力越大，故B、C正确,A、D错误。
例3-3 （多选）宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，下列说法正确的有( )
CD
A.在飞船内能用天平测量物体的质量
B.在飞船内能用水银气压计测舱内气压
C.在飞船内可以用弹簧测力计测拉力
D.在飞船内将重物挂于弹簧测力计上，弹簧测力计示数为0，但重物仍受地球的引力
【解析】飞船内的物体处于完全失重状态，此时放在天平上的物体对天平的压力为0，
因此不能用天平测量物体的质量，A错误；同理，水银也不会产生压力，故水银气
压计也不能使用，B错误；弹簧测力计测拉力遵从胡克定律，拉力的大小与弹簧伸长
量成正比，C正确；飞船内的重物处于完全失重状态，并不是不受地球引力，而是地
球引力全部用于提供物体做匀速圆周运动所需的向心力，D正确。
知识点3 航天器中的失重现象
例4-4 （多选）在地面上，将水和油混合后，静置一段时间后水和油会出现分层现
象，但在太空失重环境中，水和油始终呈现混合状态。2022年3月23日的太空授课中，
叶光富老师通过“甩”的方式让封闭小瓶内的水油混合物绕手做圆周运动，实现了水
油分离。封闭小瓶做圆周运动时给水油混合物提供了一种“模拟重力”的环境，“模拟
重力”的方向沿小瓶远离转轴的方向，其大小与液体的质量以及其到转轴的距离成正
比。在封闭小瓶由静止开始绕手旋转并不断增大转速的过程中，下列说法正确的是
( )
BC
A.水相对油沿半径方向向内运动
B.水相对油沿半径方向向外运动
C.转动时“模拟重力”产生的“模拟重力加速度”沿半径方向向外逐渐变大
D.转动时“模拟重力”产生的“模拟重力加速度”沿半径方向各处大小相同
知识点4 离心运动
【解析】水的密度大于油的密度，则水和油相比，在相同的角速度和半径下需要的
向心力更大，因此更容易产生离心现象，所以水相对油会沿半径方向向外运动，故
A错误,B正确；根据 可知，转动时“模拟重力”产生的“模拟重力加速度”沿半
径方向向外逐渐变大，故C正确，D错误。
【学会了吗丨变式题】
3.[教材第40页“复习与提高”A组第5题改编] 现如今滚筒洗衣机已经走进了千家万户，
极大方便了人们的生活。如图6-4-9所示，滚筒洗衣机脱水时滚筒绕水平转动轴转动，
滚筒上有很多漏水孔，滚筒转动时，附着在湿衣服上的水从漏水孔中被甩出，达到
脱水的目的。下列说法正确的是( )
B
图6-4-9
A.湿衣服上的水更容易在最高点被甩出
B.湿衣服上的水更容易在最低点被甩出
C.洗衣机的脱水原理是水滴受到了离心力的作用
D.洗衣机滚筒转动得越快，水滴越不容易被甩出
【解析】对于一定质量的水，在最低点，根据牛顿第二定律有 ，
解得,在最高点，根据牛顿第二定律有 ，解得
，所以水所需要的附着力 ，湿衣服上的水在最低点更容
易被甩出，故A错误,B正确；离心力不存在，“受到了离心力的作用”这个说法不对，
故C错误；根据以上分析可知，滚筒转动越快，水滴越容易被甩出，故D错误。
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 车辆转弯问题的分析与求解
图6-4-10
例5 (2025·广西大学附属中学期中)如图6-4-10所示，质量为 的汽
车（视为质点）在倾角为 的倾斜路面上以速率 转弯（可视为在
水平面内做匀速圆周运动）时，汽车的向心力恰好由重力和支持力
的合力提供。取重力加速度大小为 ，下列说法正确的是( )
B
A.汽车受到的支持力大小为
B.汽车的向心加速度大小为
C.汽车拐弯的半径为
D.若仅路面变为水平路面（转弯半径不变），汽车与水平路面间的动摩擦因数为 ，
最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则汽车转弯的最大速度为
【解析】
分别对倾斜路面和水平路面上的汽车受力分析，设汽车在倾斜路面上转弯时的向心
加速度大小为，转弯半径为 。
【学会了吗丨变式题】
图6-4-13
4.(2025·广东肇庆市第一中学期中)如图6-4-13所示为一辆厢式货车
的后视图。该厢式货车在水平路面上做转弯测试，圆弧形弯道的半
径，车轮与路面间的最大径向摩擦力为车对路面压力的 。
货车内顶部用细线悬挂一个小球，在悬点 处装有拉力传感器。车
（1）图6-4-13所示的货车向左转弯还是向右转弯？
【答案】向左转弯
【解析】对小球受力分析可知小球所受的合力向左，故货车向左转弯。
沿平直路面做匀速运动时，传感器的示数。取重力加速度 ，
， 。
（2）该货车在此圆弧形弯道上做匀速圆周运动时，为了防止侧滑，车的最大速度
是多大？
【答案】
【解析】设货车的总质量为，由题意知，车轮与路面间的最大径向摩擦力为 ,
若转弯时不发生侧滑，则有
解得
故车的最大速度 。
（3）该货车某次在此弯道上做匀速圆周运动，稳定后传感器的示数为 ，此
时细线与竖直方向的夹角 是多大？货车的速度 有多大？
【答案】;
【解析】设小球的质量为 ,货车做匀速直线运动时，小球受细线的拉力为
解得小球的质量
此次货车转弯时小球受细线的拉力 ，分析有
则
设小球受到的合力为，则有
由牛顿第二定律有
解得 。
题型2 竖直平面内的轻“绳”模型
图6-4-14
例6 如图6-4-14所示，杂技演员表演水流星节目。一根长为 的细绳两端
系着盛水的杯子，演员握住绳中间，随着演员的抡动，杯子在竖直平面内
做圆周运动，水始终不会从杯子中洒出，设重力加速度为 ，则杯子运动
到最高点的角速度 至少为( )
B
A. B. C. D.
【解析】
【学会了吗丨变式题】
图6-4-17
5.如图6-4-17所示，一质量为的人站在台秤上，一根长为 的轻悬
线一端系一个质量为 的小球，人手拿悬线另一端，手抡悬线，使
小球随悬线在竖直平面内做圆周运动，且小球恰好能通过圆轨道最
高点，重力加速度为 ,则下列说法正确的是( )
C
A.小球运动到最高点时，速度为零
B.当小球运动到最高点时，台秤的示数最小，且为
C.小球在、、 三个位置时，台秤的示数相同
D.小球从最高点运动到最低点的过程中始终处于超重状态
【解析】小球恰好能通过圆轨道最高点，则小球经过最高点时只受重力，在最高点，
由牛顿第二定律得，解得此时小球的速度 ，选项A错误；当小球
运动到最高点时，悬线的拉力为0，台秤的示数为 ,但不是最小值，当小球在上半
圆周运动，还没到达最高点时，悬线对人有斜向上的拉力，台秤的示数小于 ,选
项B错误；小球在、两个位置时竖直方向只受重力，小球在 位置时，只受重力，
则小球在、、 三个位置均处于完全失重状态，台秤的示数相同，选项C正确；小
球从最高点运动到最低点的过程中，竖直方向的加速度分量先竖直向下后竖直向上，
则小球先处于失重状态，后处于超重状态，选项D错误。
题型3 竖直平面内的轻“杆”模型
图6-4-18
例7 [易错题][教材第42页“复习与提高”B组第4题改编]（多选）竖
直平面内的圆周运动是物理学里的经典模型之一，某同学通过如
下实验来探究其相关规律：如图6-4-18，质量为 的小球固定在力
传感器的一侧，传感器另一侧固定在轻杆一端，现给小球一初速
度，让其绕点在竖直平面内做圆周运动，小球到点的距离为 。
已知当力传感器受到球对其的压力时读数为负，受到拉力时读数
为正，重力加速度为 。则下列说法正确的是( )
A.只有当小球通过圆周最高点的速度大于 时才能完成完整的圆周运动
B.若小球通过圆周最高点时速度大小为，则此时力传感器读数为
C.小球在与圆心等高的 点下方运动的过程中，力传感器读数总为正值
D.若小球通过圆周最低点时速度大小为，则此时力传感器读数为
易错易混 本题易因不能正确区分“绳”和“杆”两种模型而致错，容易误认为小球通过
最高点的速度仍需满足 。绳子对小球只能提供拉力，但杆对小球可以提供
支持力，也可以提供拉力，要注意区分。
√
√
【解析】
【学会了吗丨变式题】
图6-4-21
6.(2025·江苏苏州大学实验学校月考)如图6-4-21，一个内壁光
滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为 。现有一个半径
略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，当小球通过
最高点时速率为 ，已知弯管横截面的半径远小于管道半径，
重力加速度为 ,则下列说法正确的是( )
C
A.若 ，则小球对管内下壁无压力
B.若 ，则小球对管内上壁有压力
C.若 ，则小球对管内下壁没有压力
D.不论 多大，小球对管内下壁都有压力
[第1步：建构模型]
小球在弯管内做圆周运动，可建构类轻“杆”模型，由该模型的特点知，小球运动到
最高点时速率可以为0。
[第2步：受力分析]
小球运动到最高点时，管内壁对小球的作用力与重力的合力提供小球做圆周运动的
向心力。
[第3步：速度分析]
若小球在最高点时，管内壁对小球没有力的作用 重力恰好提供向心力
错误。
若速率 管内下壁对小球的支持力与小球重力的合力提供向心力 、B
选项中给出的速率均小于 小球对管内下壁有压力,对管内上壁没有压力
、 B错误。
若速率 管内上壁对小球的压力与小球重力的合力提供向心力 选项中
给出的速率大于 小球对管内上壁有压力，对管内下壁没有压力 正确。
题型4 与圆周运动相关的综合问题
图6-4-22
例8 如图6-4-22所示，在水平桌面上离桌面右边缘
处放着一质量为 的小铁块
（可看作质点），铁块与水平桌面间的动摩擦因数
。现用方向水平向右、大小为的拉力 作用
于铁块。作用一段时间后撤去，铁块继续运动，到达水平桌面边缘 点时飞出，恰
好从竖直圆弧轨道的 端沿切线方向进入圆弧轨道，且铁块恰好能通过圆弧轨道
的最高点。已知 ，、、、四点在同一竖直平面内，水平桌面离 端
的竖直高度，圆弧轨道半径， 点为圆弧轨道的最低点。
（取，， ）
（1）求铁块运动到圆弧轨道最高点点时的速度大小 ；
【答案】
【解析】铁块恰好能通过点，说明在 点时重力提供向心力，由牛顿第二定律可得
解得 。
（2）若铁块以的速度经过圆弧轨道最低点 ，求此时铁块对圆弧轨道
的压力大小 ；（计算结果保留两位有效数字）
【答案】
【解析】铁块在点受到的支持力与重力的合力提供向心力，则有
代入数据解得
由牛顿第三定律可知，铁块对轨道的压力大小 。
（3）求铁块运动到点时的速度大小 ；
【答案】
【解析】铁块从点到点的过程中做平抛运动，根据平抛运动规律有
可得
铁块沿切线方向进入圆弧轨道，则
。
（4）求水平拉力作用的时间 。
【答案】
【解析】铁块从点到 点的过程中做平抛运动，水平方向的分速度不变，故
铁块在水平桌面上做匀加速运动时，有
可得
铁块做匀减速运动时，有
可得
由运动学公式可知，最大速度，
又
解得 。
【学会了吗丨变式题】
图6-4-23
7.如图6-4-23所示，在点的质量为 的小球，由静止沿半径为
的光滑圆弧轨道下滑到最低点时，对轨道的压力为 ，
小球从点水平飞出后垂直撞击到倾角为 的斜面上的 点。
不计摩擦和空气阻力，已知重力加速度大小为 ，求：
（1）小球从 点飞出时的速度大小；
【答案】
【解析】在点,根据牛顿第三定律可知,轨道对小球的支持力大小为
根据牛顿第二定律可得
解得小球从点飞出时的速度大小 。
（2）点到 点的水平距离。
【答案】
【解析】由平抛运动规律可得
解得小球在点时竖直方向的速度大小
小球在竖直方向上做自由落体运动,则
水平方向上运动的位移
联立解得点到点的水平距离 。
题型5 对离心现象的分析
例9 如图6-4-24所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置两个用细线相连的质
量均为的小物体、，它们到转轴的距离分别为，。、
与盘面间的最大静摩擦力均为重力的，取 。
图6-4-24
（1）当细线上开始出现张力时，求圆盘的角速度 ；
【答案】
【解析】由于，当圆盘以角速度 转动时，物体所需向心力大，当 增大
到某一数值， 的最大静摩擦力不足以提供向心力时，细线开始被拉紧，产生拉力，
因此
代入数据解得 。
（2）当开始滑动时，求圆盘的角速度 ；
【答案】
【解析】当开始滑动时，设细线中的拉力为,对满足，对 满
足，即
代入数据解得 。
（3）当即将滑动时，烧断细线，分析、 将如何运动。
【答案】将做离心运动， 仍随圆盘做匀速圆周运动
【解析】当即将滑动时，烧断细线，细线中拉力突然消失，对有 ，对
有。由此可知将做离心运动， 仍随圆盘做匀速圆周运动。
【解析】最大静摩擦力充当向心力是细线拉紧、物体滑动的临界条件，可由此列出
相关方程解答。
【学会了吗丨变式题】
8.[教材第41页“复习与提高”A组第6题改编](2025·广东广州市第二中学期中，多选)图
6-4-25为波轮式洗衣机的工作原理示意图，当甩衣筒在电机的带动下高速旋转时，衣
服紧贴在甩衣筒器壁上，从而迅速将水甩出。衣服（带水，可视为质点）质量为 ，
衣服和器壁的动摩擦因数为 ，甩衣筒的半径为，洗衣机的外筒的半径为 。当甩
衣筒角速度为 时，衣服上的水恰好被甩出。假设滑动摩擦力和最大静摩擦力相等，
衣服与筒底无接触，忽略水在空中的一切阻力，重力加速度为 ，下列说法正确的是
( )
图6-4-25
A.水被甩出后，在空中做匀变速曲线运动
B.电动机的角速度至少为 时，衣服才不会掉下来
C.当，水滴打到外筒上时，下落高度为
D.当，水滴打到外筒上时，下落高度为
√
√
√
【解析】水被甩出后，只受重力，且水被甩出瞬间的速度沿水平方向，水做平抛运
动，即匀变速曲线运动，A正确；衣服恰好不掉下来时，竖直方向根据平衡条件有
，由于弹力提供向心力，由牛顿第二定律有 ，联立解得此时电
动机的角速度，故电动机的角速度大于等于 时,衣服不会掉下来，B正确；
当，水滴打到外筒上时，设水滴下落高度为 ，水滴在甩衣筒器壁上的甩出
点位置与在外筒上的落点之间的水平距离为,水滴下落时间为 ,根据平抛运动规律有
，，在水平方向上有 ，水滴做平抛运动的初速度大小为
，联立解得 ，故C错误，D正确。
提素养 深度学习
微专题1 圆周运动中的临界问题
1 水平面内圆周运动的临界问题
类型1 物体间的接触与脱离
图6-4-26
例10 如图6-4-26所示，在光滑圆锥体顶用长为 的细线悬挂一质量
为 的小球（可视为质点），圆锥固定在水平面上不动，其轴线沿
竖直方向，母线与轴线之间的夹角为 ，小球以速率 绕圆锥体轴
线做水平圆周运动。
（1）当 时，求细线对小球的拉力大小；
【答案】
【解析】因, ，对小球受力分析，如图乙所示，有
，,解得 。
（2）当 时，求细线对小球的拉力大小。
【答案】
【解析】因 ，小球离开圆锥面，对小球受力分析，如图丙所示，有
，，解得 。
【解析】小球离开圆锥面的临界条件为圆锥体对小球的支持力 ，如图6-4-27甲
所示，则小球重力与细线拉力的合力 提供小球做圆周运动的向心力，设此时小球的
线速度为，则 ，解得 。
图6-4-27
类型2 绳的松弛与断裂
例11 质量为的小球与分别系于一轻质细杆的点和点的轻绳和 相连，如图6-4-
28所示，绳与水平方向成 角，绳在水平方向上且长为 ，当轻杆绕轴（图中虚线）
以角速度 匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为 ,两轻绳
均不可伸长，则下列说法正确的是( )
C
图6-4-28
A. 绳的张力可能为零
B. 绳的张力随角速度的增大而增大
C.当角速度时， 绳中将出现弹力
D.若绳突然被剪断，则 绳的弹力一定发生变化
【解析】由于小球的重力不为零，故绳的张力不可能为零， 绳的张力可能为零，
选项A错误；由于 绳的张力在竖直方向的分力大小始终等于重力，所以随角速度的
增大，绳的张力不变，选项B错误；若绳中的张力为零，设绳中的张力为 ，对
小球，有，，联立解得 ，当角速度
时，绳中将出现弹力，选项C正确；当时， 绳突然被剪
断， 绳的弹力不发生变化，选项D错误。
类型3 摩擦力的突变
例12 (2025·重庆巴蜀中学模拟)如图6-4-29所示，小木块和 （可视为质点）用轻绳
连接置于水平圆盘上，轻绳过圆盘圆心，开始时轻绳处于伸直状态但无拉力， 的质
量为，的质量为。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为和，、 与盘
间的动摩擦因数相同（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。圆盘从静止开始绕转轴缓
慢地加速转动，木块和圆盘始终保持相对静止，下列各选项中，、 所受摩擦力大
小随 变化的图像正确的是( )
C
图6-4-29
A. B. C. D.
【解析】当圆盘转动的角速度较小时，两木块均由静摩擦力提供向心力，对 木块有
，对木块有，则 木块受到的静摩擦力较小，若角速度为
时，木块所受静摩擦力达最大值，则，此时 木块所受静摩
擦力为 ，即仍未达到最大静摩擦力；此后随着圆盘角
速度逐渐增大，两木块所需向心力增大，且增大较快， 木块所受静摩擦力保持不
变，绳中拉力从零开始增加，木块所受静摩擦力继续增大，若角速度为时， 木
块所受静摩擦力达最大值，设此时绳中拉力大小为，则对、 分别有
， ，继续增大圆盘角速度，绳中拉力继续变
大，木块所需向心力较小，所以 木块所受静摩擦力将逐渐减小至零后再反向增大，
此过程 木块所受静摩擦力为最大静摩擦力。故选C。
2 竖直面内圆周运动的临界问题
例13 轻杆长为,水平转轴装在中点,两端分别固定着小球和。球质量为, 球
质量为 ,在竖直平面内做圆周运动。
图6-4-30
（1）当杆绕点转动到某一位置时， 球在最高点，如图6-4-30所
示，此时杆的上端恰好不受力，求此时 球对杆的作用力的大小和
方向;
【答案】 ,竖直向下
【解析】设杆对球的拉力为,球的速度大小为 ,由于杆的上端
恰好不受力，则对球有,对球，有 ,
解得，由牛顿第三定律可知，球对杆的拉力 , 方向竖直向下。
（2）保持（1）中的速度大小，当球运动到最高点时，求 球对杆的作用力的大小
和方向；
【答案】 ,竖直向下
【解析】分析可知，当球以（1）中速度大小到达最高点时，杆对 球无作用力,则
球对杆也无作用力。
设杆对球的拉力为，则有
解得
由牛顿第三定律可知，球对杆的拉力 ,方向竖直向下。
（3）在杆的转速逐渐变化的过程中，两球在此位置时（上、下可互换）能否出现水
平转轴对杆的作用力恰好为零的情况？请计算说明。
【答案】见解析
【解析】设球、球受到的杆的拉力大小分别为和,速度大小为,若 球在上
端、球在下端，对球,有，对球,有 ,其中
，联立得；若球在上端，球在下端，对 球,有
,对球,有,其中 ，联立得
,显然不成立。所以能出现水平转轴对杆的作用力恰好为零的情况，此
时，球在上， 球在下。
类型1 静摩擦力控制下的斜面圆周运动
例14 有一娱乐项目，人坐在半径为的倾斜圆盘边缘随着圆盘绕圆心 处的转轴匀
速转动（转轴垂直于盘面），圆盘的倾角为 ，如图6-4-31所示，图中人用方块代
替。当人与圆盘间的动摩擦因数 时，人恰好不从圆盘上滑出去。人的
质量为，为圆盘的最低点， 为圆盘的最高点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
重力加速度为 ,以下说法正确的是( )
D
图6-4-31
A.人在 位置处受到的摩擦力方向沿圆盘向上
B.人在位置与位置时受到的摩擦力大小之差为
C.人在转动时的线速度大小为
D.人从位置到位置,摩擦力做功为
微专题2 斜面上的圆周运动
【解析】人做匀速圆周运动，恰好不从圆盘上滑出去，由受力分析可知，在 位置时
人所受摩擦力沿圆盘向上指向圆心，由牛顿第二定律有 ，则
；假设人在 位置时所受摩擦力方向沿圆盘向下指向圆心，则
由牛顿第二定律有，则 ,由以上分析可知
。而，则 ，
可知 ，故可知人在 位置处受到的摩擦力方向
沿圆盘向下指向圆心，故A错误。人在位置与 位置时受到的摩擦力大小之差为
，故B错误。在位置有 ，可得人在
转动时的线速度大小为 ，故C错误。因为人做匀速圆周运动，所以有
，所以 ，故D正确。
类型2 轻杆控制下的斜面圆周运动
例15 (2025·四川成都期中)如图6-4-32所示，在倾角为 的足够大的固定斜面上，一
长度为的轻杆一端可绕斜面上的点自由转动，另一端连着一质量为 的小球
（可视为质点）。现使小球从最低点以速率 开始在斜面上做圆周运动，通过最高
点。重力加速度大小为 ，轻杆与斜面平行，不计一切摩擦，下列说法正确的是
( )
C
图6-4-32
A.小球通过 点时的速度越大，此时斜面对小球的支持力越大
B.小球通过点时的最小速度为
C.小球通过点时所受轻杆的作用力大小为
D.若小球以的速率通过 点时突然脱落而离开轻杆，则
小球到达与点等高处时与点间的距离为
【解析】
选项 分析 正误
A 斜面对小球的支持力始终等于重力沿垂直于斜面方向的分力， 与小球的速度无关。
B 杆可以为小球提供支持力，所以小球经过最高点 时的最小速度 为0。
C 小球在 点受重力、斜面的支持力以及杆的拉力，根据牛顿第二 定律,沿斜面方向有 ，可得杆对小球的拉力大 小 。 √
选项 分析 正误
D 若小球以的速率通过 点时突然脱落而离开轻 杆，则小球在斜面上做类平抛运动，可知小球在平行于底边方 向做匀速直线运动，在垂直于底边方向做初速度为零的匀加速 直线运动，故有， ，其中 ，联立解得，故小球到达与 点 等高处时与点间的距离为 。
续表
类型3 轻绳控制下的斜面圆周运动
图6-4-33
例16 （多选）如图6-4-33所示，一块足够大的光滑平板
放置在水平面上，它能绕水平固定轴 自由转动，从而
实现调节其与水平面所成的倾角的目的。板上有一根长
为的轻绳，其一端系住一个质量为
的小球，另一端固定在板上的点。当平板的倾角为
AD
A.若 ，则轻绳对小球的拉力大小为
B.若 ，则小球相对于初始位置可上升的最大高度为
C.小球能在平板上绕点做完整的圆周运动， 必须满足的条件为
D.小球能在平板上绕点做完整的圆周运动， 必须满足的条件为
时，先将轻绳平行于水平轴 拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度
，取 ，则( )
【解析】小球在平板上运动时受轻绳的拉力、重力和平板的弹力。在垂直平板方向
上合力为零，重力沿平板方向的分力为 ，小球在最高点时，由轻绳的拉力
和重力沿平板方向的分力的合力提供向心力，由牛顿第二定律有
。研究小球从开始运动的点到最高点的过程，根据动能定理有
。若小球恰好通过最高点，轻绳上的拉力 ，联立
以上式子解得 ，则小球在斜面上能运动到圆周的最高点时，满足
,故C错误，D正确。若 ，则轻绳对小球的拉力大小为
，故A正确。若 ，小球不能到达圆周的最高点，假设小球
能够上升，此时小球的重力势能的增加量 ，而小球的初动能为
，则小球上升高度 时增加的重力势能大于减少的动能，明显不符合要求，
故B错误。
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘 素养点击
基本考查点 车辆转弯问题，拱形桥模型，离心现象。 1.通过分析生活中各种圆
周运动现象，体会模型
建构的科学思维方法。
2.通过分析航天器中的失
重现象及离心运动现
象，深化运动与相互作
用观念。
热点及难点 竖直平面内的圆周运动问题，圆周运动中 的临界问题和综合问题。 题型及难度 以选择题或计算题形式出现，难度较大。 高考中地位 高考经常考查内容之一。 考向1 考查实际问题的模型建构
图6-4-34
例17 (全国卷Ⅰ高考题)如图6-4-34，一同学表演荡秋千。已知秋千的
两根绳长均为，该同学和秋千踏板的总质量约为 。绳的
质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为
，此时每根绳子平均承受的拉力约为( )
B
A. B. C. D.
【解析】该同学身高相对于秋千的绳长可忽略不计，可以把该同学看成质点。当该
同学荡到秋千支架的正下方时，由牛顿第二定律有（式中 为每根绳
子平均承受的拉力，为绳长），代入数据解得 ，选项B正确。
【类题链接丨变式题】
类题1 (2025·山东卷)某同学用不可伸长的细线系一个质量为 的发光小球，让小
球在竖直面内绕一固定点做半径为 的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄
了一张照片，曝光时间为。由于小球运动，在照片上留下了一条长度约为半径
的圆弧形径迹。根据以上数据估算小球在最低点时细线的拉力大小为( )
C
A. B. C. D.
【解析】根据题意可知，小球经过最低点的速率 ，则在最低点对小球由牛顿第
二定律有，重力加速度大小取 ,解得小球在最低点时细线的
拉力大小 ，C正确。
考向2 考查转弯问题分析
例18 (福建高考题)清代乾隆的《冰嬉赋》用“躄躠”（可理解为低身斜体）二字揭示
了滑冰的动作要领， 短道速滑世界纪录由我国运动员武大靖创造并保持，在
其创造纪录的比赛中：
图6-4-35
（1）武大靖从静止出发，先沿直道加速滑行，前用时 。该过程可视为匀加速
直线运动，求此过程加速度大小；
【答案】
【解析】武大靖从静止出发，做匀加速直线运动，前进用时 ，根据
位移—时间关系可得
代入数据解得加速度大小 。
（2）武大靖途中某次过弯时的运动可视为半径为 的匀速圆周运动，速度大小为
。已知武大靖的质量为 ,求此次过弯时所需的向心力大小；
【答案】
【解析】根据向心力的计算公式可得 。
（3）武大靖通过侧身来调整身体与水平冰面的夹角，使场地对其作用力指向身体重
心而实现平稳过弯，如图6-4-35所示。求武大靖在（2）问中过弯时身体与水平面的
夹角 的大小。（不计空气阻力，重力加速度大小取， 、
、、 。
【答案】
图6-4-36
【解析】设场地对武大靖的作用力大小为， 与重力的合力提供向
心力，如图6-4-36所示。
根据几何关系可得
代入数据解得
所以 。
考向3 考查航天器中的圆周运动问题分析
例19 (2023·北京卷)在太空实验室中可以利用匀速圆周运动测量小球质量。如图6-4-
37所示，不可伸长的轻绳一端固定于点，另一端系一待测小球，使其绕 点做匀速
圆周运动。用力传感器测得绳上的拉力为，用停表测得小球转过 圈所用的时间为
,用刻度尺测得点到球心的距离为圆周运动的半径 。下列说法正确的是( )
A
图6-4-37
A.圆周运动轨道可处于任意平面内
B.小球的质量为
C.若误将圈记作 圈，则所得质量偏大
D.若测 时未计入小球半径，则所得质量偏小
【解析】在太空实验室中，物体均处于完全失重状态，则无论小球做圆周运动的轨
道在哪个平面内，小球所受合力均为绳上的拉力，选项A正确；小球做匀速圆周运
动，小球所受轻绳的拉力提供向心力，由牛顿第二定律有 ，
周期，联立解得，选项B错误；若误将圈记作 圈，由
可知，的测量值偏小，选项C错误；若测 时未计入小球半径，由
可知， 的测量值偏大，选项D错误。
【类题链接丨变式题】
图6-4-38
类题2 (北京高考题改编)我国航天员在“天宫课堂”中演示了多种有
趣的实验，提高了青少年科学探索的兴趣。某同学设计了如图6-4-
38所示的实验:细绳一端固定，另一端系一小球，给小球一初速度使
其在竖直平面内做圆周运动。无论在“天宫”还是在地面做此实验
( )
C
A.小球的速度大小均发生变化 B.小球的向心加速度大小均发生变化
C.细绳的拉力方向均与速度方向垂直 D.细绳的拉力大小均发生变化
【解析】
地面实验 天宫实验
向心力来 源 小球重力和细绳的拉力 细绳的拉力
运动性质 变速圆周运动 匀速圆周运动
速度 大小和方向均变化 大小不变，方向变化
加速度 大小和方向均变化 大小不变，方向变化
细绳拉力 大小变化，方向与线速度方向垂直 大小不变，方向与线速度方向垂直
由表可知，C正确，A、B、D错误。
新考法 空间思维
考法解读 平抛运动和圆周运动的综合问题有时会涉及物体在三维空间中的运动，如
水平面内的匀速圆周运动和竖直面内的平抛运动的综合。这类问题一般分为多个运
动过程，要求考生能够建立三维空间中的运动情境，结合每个过程遵循的物理规律
进行分析，解题的关键是明确各个运动过程衔接点物理量之间的联系。
图6-4-39
例20 (2025·山东卷，多选)如图6-4-39所示，在无人机的某次定点投
放性能测试中，目标区域是水平地面上以 点为圆心、半径
的圆形区域， 垂直地面，无人机在离地面高度
的空中绕点、平行地面做半径 的匀速圆周运
动，、为圆周上的两点， 。若物品相对无人机无
初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为
。当无人机以沿圆周运动经过 点时，相对无人机无初速度地释放物品。
不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小
。下列说法正确的是( )
A.
B.
C.无人机运动到点时，在 点释放的物品已经落地
D.无人机运动到点时，在 点释放的物品尚未落地
√
√
图6-4-40
【解析】物品从抛出到落地的过程做平抛运动，当其恰好落在目标
区域边缘时，物品的水平位移示意图如图6-4-40所示，由几何关系
有 ，此时物品的初速度最大，水平方向上有
，竖直方向上有 ，联立解得物品的最大初速度
（无人机的最大线速度）为 （物品相对无人机无初速度
地释放，其初速度与无人机线速度大小相等。），所以无人机的最
大角速度 ，A错误，B正确；由A、B项分析可
知，物品释放后在空中运动的时间为 ，该过程无人机转过的角度
，所以无人机运动到点时，在 点释放的物品已经落地，C正确，
D错误。
. .
图6-4-41
例21 (河北高考题，多选)如图6-4-41，广场水平地面上同种盆
栽紧密排列在以为圆心、和 为半径的同心圆上，圆心处
装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动
的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。
依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度
及转动的角速度分别用、、和、、 表示。
花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平
长度和空气阻力。下列说法正确的是( )
BD
A.若，则
B.若，则
C.若， ,喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同
D.若，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则
【解析】根据平抛运动的规律有、，解得，可知若 ，
则，若，则，选项A错误，B正确；若 ，
则喷水嘴各转动一周的时间相同，因 ，出水口的截面积相同，可知单位时间
喷出水的质量相同，喷水嘴转动一周喷出的水量相同，但因内圈上的花盆总数量较
少，可知每盆花得到的水量较多，选项C错误；设出水口截面积为，喷水速度为 ，
若，则喷水嘴转动一周的时间相等，因高度相等，则水落地的时间 相等，
又 ，故在单位时间内落在圆周上单位长度的水量为
相等，即喷水嘴转动一周的过程中每个花盆得到的水量
相同，选项D正确。
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.如图所示，陀螺在平铺于水平桌面的白纸上稳定转动，若在陀螺
表面滴上几滴墨水，则从上向下看，由于陀螺转动，甩出的墨水运
动的轨迹最接近于( )
B
A. B. C. D.
【解析】墨水飞出后，在水平方向上做匀速直线运动，且速度方向与半径垂直。故
A、C、D错误，B正确。
2.[链接教材第36页“思考与讨论”]下列哪种现象利用了物体的离心运动( )
D
A.自行车赛道倾斜
B.汽车减速转弯
C.滑冰时运动员 倾
斜身体转弯
D.拖把利用旋转脱水
【解析】
选项 分析 正误
A 自行车赛道倾斜，支持力与重力的合力提供向心力，防止产生离心 运动。
B 因为 ,所以速度越快所需的向心力就越大，汽车转弯时要减 小速度，是为了减小汽车所需的向心力，防止产生离心运动。
C 滑冰时运动员倾斜身体转弯，冰面的作用力与重力的合力提供向心 力，防止产生离心运动。
D 拖把利用旋转脱水，利用了离心运动。 √
3.(2025·辽宁省实验中学月考)2022年我国航天员在空间站
太空舱开设“天宫课堂”，课堂演示了“水油分离”实验,如
图甲所示。实验示意图如图乙所示，用细绳系住装有水
和油的瓶子，手持细绳的另一端，使瓶子在竖直平面内
做圆周运动，则( )
A
A.瓶子只要有速度，就能通过圆周的最高点，水油分离后，水在外侧
B.瓶子只要有速度，就能通过圆周的最高点，水油分离后，油在外侧
C.速度需大于某一值瓶子才能通过圆周的最高点，水油分离后，水在外侧
D.速度需大于某一值瓶子才能通过圆周的最高点，水油分离后，油在外侧
【解析】在空间站中所有物体均处于完全失重状态，瓶子做圆周运动的向心力全部
由细绳的拉力提供，瓶子做匀速圆周运动，所以瓶子只要有速度，就能通过圆周的
最高点。水的密度较大，单位体积的水的质量较大，当水和油未分离时，二者做圆
周运动的角速度和半径均相同，结合 可知，对单位体积的水和油，水所需
的向心力较大，比油更易做离心运动，故水油分离后，水在外侧。A正确，B、C、
D错误。
4.［链接教材第37页“思考与讨论”］如图甲所示，汽车通过半径为 的拱形桥，在最
高点处速度达到 时，驾驶员对座椅的压力恰好为零。若把地球看成大“拱形桥”，当
另一辆“汽车”速度达到某一值时，驾驶员对座椅的压力也恰好为零，如图乙所示。
设地球半径为 ，则图乙中的“汽车”速度为( )
C
A. B. C. D.
【解析】在题图甲中，设汽车质量为 ，汽车到达最高点时重力提供向心力，有
，故重力加速度为，在题图乙中另一辆质量为的“汽车”速度为
时，座椅对驾驶员的支持力恰好为零，重力提供向心力，有 ，解得“汽
车”的速度 ，选项C正确。
5.如图所示，一辆汽车正通过一段水平的公路弯道。若汽车的运动可视为匀速圆周
运动，则( )
C
A.该汽车的速度恒定不变
B.汽车左、右两车灯的线速度大小相等
C.跟公路内道相比，汽车以同速率在外道行驶时所受的摩擦力较小
D.跟晴天相比，雨天汽车在同车道同速率行驶时所受的摩擦力较小
【解析】拐弯过程中汽车各部分周期相等，角速度也相等，根据 可知，汽车
右侧的车灯比左侧的车灯线速度大，且线速度方向在不断变化，说明该汽车的速度
发生了变化，故A、B错误；汽车所受沿半径方向的静摩擦力提供向心力，由向心力
公式 可知，若速率不变，则跟公路内道相比，汽车在外道行驶时所需的向
心力较小，即所受摩擦力较小，故C正确；若速率不变，汽车在同车道上行驶所需的
向心力大小不变，即所受摩擦力不变，故D错误。
6.(2025·山东潍坊质检)某物理小组的同学设计了一个粗测玩具
小车通过凹形桥最低点时的速度的实验。所用器材有：玩具小
车、压力式托盘秤、凹形桥模拟器。完成下列填空：
（1）将凹形桥模拟器静置于托盘秤上，如图（a）所示，托盘
秤的示数为 ；
（2）将玩具小车静置于凹形桥模拟器最低点时，托盘秤的示数如图（b）所示，该
示数为_____ ；
1.40
【解析】托盘秤的最小刻度为，可知该示数为 。
（3）小车质量为,凹形桥模拟器质量为、其圆弧部分的半径为,重力加速度为 。
将小车从凹形桥模拟器某一位置静止释放，小车经过最低点后滑向另一侧，此过程
中托盘秤的最大示数为，则 等于___所受支持力大小（选填“A”或“B”，其中A
为“小车”，B为“小车和凹形桥模拟器”）；小车通过最低点时的速度大小
_ ____________（用符号、、、、 表示）。
B
【解析】 等于小车和凹形桥模拟器所受支持力大小，故选B；小车通过最低点时，
根据牛顿第二定律有，其中 ，解得速度大小
。
7.新 开放性试题火车转弯时的运动可看成圆周运动的一部
分，为了减轻轮缘与外轨间的挤压，弯道处铁轨的内外轨
道不一样高，火车的车轮与铁轨的位置情况如图所示。请
回答以下问题。
（1）转弯处的内、外轨道哪个高一些？火车运动的圆周平面为图中平行于水平面的
圆面还是倾斜的圆面 ？
【答案】外轨道要高一些 圆面
【解析】为了使火车转弯时所需向心力几乎完全由重力和支持力的合力来提供，转
弯处的外轨道要高一些；火车转弯是在水平面内进行的，因此火车运动的圆周平面
为题图中平行于水平面的圆面 。
（2）已知重力加速度,轨道平面与水平面间的夹角为 。为防止铁轨与车轮轮缘间
产生挤压，使火车转弯时所需向心力几乎完全由重力和支持力的合力来提供，请推
导夹角 的正切值 与轨道的半径、规定速度 的关系式；
【答案】
【解析】火车转弯时的受力如图所示
火车转弯时所需的向心力
又向心力
联立解得火车转弯速度
。
（3）为了适应我国经济快速发展的需要，我国铁路部门已多次对火车提速，最高速
度已经超过 。火车提速需要对原来铁路的弯道进行改造，请你提出一种可
行的改造方案。
【答案】增大转弯半径或者增大轨道平面与水平面间的夹角
【解析】从转弯速度的表达式 可知，火车提速需要增大转弯半径或者
增大轨道平面与水平面间的夹角。
B 综合练丨选考通关
建议时间：30分钟
8.新 生活现象(2025·山东济南期末)雨天在野外骑车时，自行车的后轮轮胎上常会黏
附一些泥巴，行驶时感觉很“沉重”，如果将自行车后轮撑起，使后轮离开地面而悬
空，然后用手匀速摇脚踏板，使后轮飞速转动，泥巴就被甩下来，如图所示，图中
、、、 为后轮轮胎边缘上的四个特殊位置，则( )
C
A.泥巴在图中、位置的向心加速度大于、 位置的向心加速度
B.泥巴在图中的、 位置时最容易被甩下来
C.泥巴在图中的 位置时最容易被甩下来
D.泥巴在图中的 位置时最容易被甩下来
【解析】当后轮匀速转动时，根据向心加速度公式可得、、、 四个位
置的向心加速度大小相等，选项A错误。泥巴做匀速圆周运动，其所受的合力提供
向心力，根据 知泥巴在车轮边缘上每一个位置所需的向心力大小相等，
当其所受的合力小于向心力时做离心运动，即所能提供的合力的最大值越小越容易
被甩下来。泥巴在最低点 位置时，重力向下，附着力向上，合力等于附着力减重力，
泥巴在最高点 位置时，重力向下，附着力向下，合力等于重力加附着力，泥巴在
、位置时，合力等于附着力，所以泥巴在最低点 位置时最容易被甩下来，选项B、
D错误，C正确。
9.[易错题]如图所示为俯视图，质量 的智能电动车玩具以恒定速率沿水平面
内的圆弧路径运动，和是相切于点、半径分别为和 的半圆弧。轮
胎与路面间的最大静摩擦力为 。若小车（视为质点）在最短的时间内能安全地
从行驶到，则车在 段的向心加速度大小为( )
D
A. B. C. D.
【解析】设小车在段安全行驶的最大速率为，在 段安全行驶的最大速率为
，由向心力公式，代入题中数据,,得 ,
，由于，要使小车在最短的时间内能安全地从行驶到 ，小车
应以 的速率行驶（【易错点】注意判断小车能安全行驶的最大速率。），故车
在段的向心加速度大小为 ，选项D正确。
. .
. .
10.[教材第38页“练习与应用”第2题改编](2025·北京中学期末，
多选)有一种叫“飞椅”的游乐项目，简化模型如图所示。长为
的钢绳一端系着质量为 的座椅，另一端固定在
半径 的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转
BC
A. B.
C.钢绳对座椅的拉力大小为 D.钢绳对座椅的拉力大小为
动。当转盘以角速度 匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的
夹角 。不计钢绳重力，，， ，则下列
判断正确的是( )
【解析】
11.电动夯实机是日常道路施工过程中常用的工具，能够大大提高筑路工人的工作效
率。如图所示为某电动夯实机的结构示意图，它由电动机、底座和偏心轮三部分组
成，其中偏心轮又包括飞轮和配重物。电动机、飞轮和底座总质量为 ，配重物质
量为,配重物的重心到轮轴的距离为,重力加速度为 。在电动机带动下，偏心轮在
竖直平面内匀速转动，皮带不打滑。当偏心轮上的配重物转到顶端时，刚好使整体
离开地面。下列判断正确的是( )
C
A.配重物转到最高点时处于超重状态
B.配重物转到最高点时,其与飞轮间的弹力大小为
C.偏心轮转动的角速度为
D.夯实机对地面压力的最大值为
【解析】配重物转到最高点时向心加速度指向圆心，故加速度向下，处于失重状态，
选项A错误；配重物转到最高点时，刚好使整体离开地面，电动机、飞轮和底座整
体受重力及配重物对飞轮向上的弹力，受力平衡，故弹力大小为 ,选项B
错误；当偏心轮上的配重物转到顶端时，刚好使整体离开地面，配重物所受飞轮对
其的弹力大小 ,方向竖直向下，配重物所受合力提供向心力，对配重物，根
据牛顿第二定律有，解得 ，选项C正确；配重物转到
最低点时，夯实机对地面的压力最大，设大小为 ，设此时地面对夯实机的支持力
大小为，飞轮对配重物的力大小为，配重物对飞轮的力大小为 ，对配重物，根
据牛顿第二定律有，对夯实机整体，有 ,根据牛顿第三
定律，有,,联立解得夯实机对地面压力的最大值为 ,选项
D错误。
12.（多选）如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点 在竖直面内做圆
周运动，小球经过最高点时的速度大小为，此时绳子的拉力大小为，拉力 与速
度的平方的关系图像如图乙所示，图像中的数据和，以及重力加速度 都为已
知量，则以下说法正确的是( )
AD
A.数据 与小球的质量无关
B.数据 与小球的质量无关
C.比值 只与小球的质量有关，与圆周轨迹半径无关
D.利用数据、和 能够求出小球的质量和圆周轨迹半径
【解析】由题图乙可知，当 时，绳子的拉力为零，小球的重力提供其做圆周
运动的向心力，则由牛顿第二定律得，解得 ，与小球的质量无关，
故A正确；当时，对小球受力分析，则由牛顿第二定律得 ，解
得，即与小球的质量有关，故B错误；根据上述分析可知 ，与小球的
质量有关，与圆周轨迹半径也有关，故C错误；由上述分析可知， ，故D
正确。
13.(2025·广东湛江质检)如图所示，半径 的光滑
半圆环轨道处于竖直平面内，与水平地面相切于圆环的
端点，一质量为的小球（可视为质点）从 点
冲上竖直半圆环轨道， 。
（1）求小球到达最高点 的最小速度；
【答案】
【解析】小球以最小速度到达最高点时，只受重力，且此时重力提供向心力，则有
解得最小速度 。
（2）若小球沿轨道运动到最高点并以飞出，最后落在水平地面上的
点（图上未画），求：
①小球在 点对轨道的压力；
【答案】 ，方向竖直向上
【解析】因，故此时在点，小球重力和轨道对小球压力 的合
力提供向心力，根据牛顿第二定律可得
解得 ,方向竖直向下
根据牛顿第三定律可知，小球在点对轨道的压力大小为 ，方向竖直向上。
②小球落到 点前瞬间的速度（结果保留两位有效数字）。
【答案】，方向与水平方向的夹角为
【解析】设小球经时间落到点，落到点前瞬间的速度大小为 ，速度方向与水
平方向的夹角为 ，小球从到 做平抛运动，根据平抛运动的规律有
，，
联立解得，
即小球落到点前瞬间的速度大小为，方向与水平方向的夹角为 。
C 培优练丨能力提升
建议时间：10分钟
14.如图所示，水平转台高，半径为 ，可绕通过圆心
处的竖直转轴转动。转台的同一半径上放有质量均为 的小物
块、（可看成质点），与转轴间距离为， 位于转台边缘处，
、间用长为的细线相连，、 与水平转台间最大静摩擦力均为
，取 。
（1）当转台的角速度达到多大时细线上开始出现张力？
【答案】
【解析】、角速度相同，由可知， 先达到临界状态，故当满足
时，细线上开始出现张力，解得 。
（2）当转台的角速度达到多大时 物块开始滑动？
【答案】
【解析】当 继续增大，受力也达到最大静摩擦力时， 开始滑动，则
,,得 。
（3）若物块恰好将要滑动时细线断开，此后转台保持匀速转动，求 物块落地瞬
间、 两物块间的水平距离。（不计空气阻力）
【答案】
【解析】细线断开后，沿水平切线方向飞出做平抛运动，竖直方向有 ，
得做平抛运动的时间
平抛运动的初速度
可得的水平射程
细线断开后，相对于转台静止，时间内转过角度，约为 ，故
、 间水平距离为
。
第六章 圆周运动
第4节 生活中的圆周运动
例1-1 (2025·安徽师范大学附属中学期中)如图6-4-5所示，为了测量列车通过一圆弧
形弯道时在水平面内转弯的半径的大小，某人设计了如下方法：将一小球
（可视为质点）用轻绳悬挂在列车车厢顶部，当列车以恒定速率 通过该弯道时，发
现小球稳定时轻绳与竖直方向夹角为 。已知弯道处的铁轨路面与水平面间夹角为
，空气阻力不计，重力加速度为 。则( )
B
图6-4-5
A.列车转弯半径大小为 ，列车车轮挤压内侧铁轨
B.列车转弯半径大小为 ，列车车轮挤压外侧铁轨
C.列车转弯半径大小为 ，列车车轮与铁轨之间无侧向挤压
D.列车转弯半径大小为 ，列车车轮与铁轨之间无侧向挤压
教材帮 新知课丨必备知识解读
知识点1 火车转弯
【解析】
小球和列车同时转弯，转弯半径近似相等，设为
由①可得列车在该弯道的转弯半径大小为，因 ，结合①②知 ,
说明列车速度大于理想转弯速度，列车车轮会挤压外侧铁轨，B正确。
【学会了吗丨变式题】
1.[教材第39页“练习与应用”第3题改编] 如图6-4-6所示，一质量为 的汽
车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为 ，当汽车经过
半径为 的弯道时，下列判断正确的是( )
D
图6-4-6
A.汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B.汽车转弯的速度为时所需的向心力为
C.汽车转弯的速度为 时汽车会发生侧滑
D.汽车能安全转弯的向心加速度不超过
【解析】向心力是效果力，受力分析时不能加入向心力，A错误；当汽车转弯的速
度为时，需要的向心力为 ，而径
向最大静摩擦力，则 ，所以汽车不会发生侧滑，B、C错
误；当径向最大静摩擦力提供向心力时，汽车安全转弯的向心加速度最大，根据牛
顿第二定律可得 ，D正确。
图6-4-7
例2-2 [教材第39页“练习与应用”第4题改编]
(2025·广东清远四校联考)如图6-4-7甲所示，一辆质
量的小汽车驶上圆弧半径 的
拱桥，取 。
（1）若汽车到达桥顶时的速度为，求此时桥对汽车的支持力的大小 ；
【答案】
【解析】汽车到达桥顶时，由牛顿第二定律可得
代入数据解得 。
知识点2 汽车过拱形桥
（2）如图乙所示，假如拱桥的半径增大到与地球半径 一样，汽车的速
度不断增大时，就会在桥上腾空，求使汽车腾空的最小速度 。
【答案】
【解析】当汽车恰好腾空时，汽车的重力提供向心力，有
代入数据解得使汽车腾空的最小速度为 。
【学会了吗丨变式题】
2.(2025·四川成都双流中学月考，多选)公路在通过小型水库的泄洪闸下游时，常常
要修建凹形桥，也叫“过水路面”。如图6-4-8所示，凹形桥最低点附近这一小段所对
应的圆半径是，质量为的汽车以 的速度通过
凹形桥的最低点时（取 ），下列说法正确的是( )
图6-4-8
BC
A.车的向心加速度大小为 B.车对桥面的压力大小为
C.车的速度越大，车对桥面的压力越大 D.车的速度越大，车对桥面的压力越小
【解析】汽车通过凹形桥时，重力和支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律有
，解得汽车的向心加速度大小为 ，汽车受到的
支持力大小 ，根据牛顿第三定律可得汽车对桥面的压力大小为
，由 可知车的速度越大，车对桥面的
压力越大，故B、C正确,A、D错误。
例3-3 （多选）宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，下列说法正确的有( )
CD
A.在飞船内能用天平测量物体的质量
B.在飞船内能用水银气压计测舱内气压
C.在飞船内可以用弹簧测力计测拉力
D.在飞船内将重物挂于弹簧测力计上，弹簧测力计示数为0，但重物仍受地球的引力
【解析】飞船内的物体处于完全失重状态，此时放在天平上的物体对天平的压力为0，
因此不能用天平测量物体的质量，A错误；同理，水银也不会产生压力，故水银气
压计也不能使用，B错误；弹簧测力计测拉力遵从胡克定律，拉力的大小与弹簧伸长
量成正比，C正确；飞船内的重物处于完全失重状态，并不是不受地球引力，而是地
球引力全部用于提供物体做匀速圆周运动所需的向心力，D正确。
知识点3 航天器中的失重现象
例4-4 （多选）在地面上，将水和油混合后，静置一段时间后水和油会出现分层现
象，但在太空失重环境中，水和油始终呈现混合状态。2022年3月23日的太空授课中，
叶光富老师通过“甩”的方式让封闭小瓶内的水油混合物绕手做圆周运动，实现了水
油分离。封闭小瓶做圆周运动时给水油混合物提供了一种“模拟重力”的环境，“模拟
重力”的方向沿小瓶远离转轴的方向，其大小与液体的质量以及其到转轴的距离成正
比。在封闭小瓶由静止开始绕手旋转并不断增大转速的过程中，下列说法正确的是
( )
BC
A.水相对油沿半径方向向内运动
B.水相对油沿半径方向向外运动
C.转动时“模拟重力”产生的“模拟重力加速度”沿半径方向向外逐渐变大
D.转动时“模拟重力”产生的“模拟重力加速度”沿半径方向各处大小相同
知识点4 离心运动
【解析】水的密度大于油的密度，则水和油相比，在相同的角速度和半径下需要的
向心力更大，因此更容易产生离心现象，所以水相对油会沿半径方向向外运动，故
A错误,B正确；根据 可知，转动时“模拟重力”产生的“模拟重力加速度”沿半
径方向向外逐渐变大，故C正确，D错误。
【学会了吗丨变式题】
3.[教材第40页“复习与提高”A组第5题改编] 现如今滚筒洗衣机已经走进了千家万户，
极大方便了人们的生活。如图6-4-9所示，滚筒洗衣机脱水时滚筒绕水平转动轴转动，
滚筒上有很多漏水孔，滚筒转动时，附着在湿衣服上的水从漏水孔中被甩出，达到
脱水的目的。下列说法正确的是( )
B
图6-4-9
A.湿衣服上的水更容易在最高点被甩出
B.湿衣服上的水更容易在最低点被甩出
C.洗衣机的脱水原理是水滴受到了离心力的作用
D.洗衣机滚筒转动得越快，水滴越不容易被甩出
【解析】对于一定质量的水，在最低点，根据牛顿第二定律有 ，
解得,在最高点，根据牛顿第二定律有 ，解得
，所以水所需要的附着力 ，湿衣服上的水在最低点更容
易被甩出，故A错误,B正确；离心力不存在，“受到了离心力的作用”这个说法不对，
故C错误；根据以上分析可知，滚筒转动越快，水滴越容易被甩出，故D错误。
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 车辆转弯问题的分析与求解
图6-4-10
例5 (2025·广西大学附属中学期中)如图6-4-10所示，质量为 的汽
车（视为质点）在倾角为 的倾斜路面上以速率 转弯（可视为在
水平面内做匀速圆周运动）时，汽车的向心力恰好由重力和支持力
的合力提供。取重力加速度大小为 ，下列说法正确的是( )
B
A.汽车受到的支持力大小为
B.汽车的向心加速度大小为
C.汽车拐弯的半径为
D.若仅路面变为水平路面（转弯半径不变），汽车与水平路面间的动摩擦因数为 ，
最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则汽车转弯的最大速度为
【解析】
分别对倾斜路面和水平路面上的汽车受力分析，设汽车在倾斜路面上转弯时的向心
加速度大小为，转弯半径为 。
【学会了吗丨变式题】
图6-4-13
4.(2025·广东肇庆市第一中学期中)如图6-4-13所示为一辆厢式货车
的后视图。该厢式货车在水平路面上做转弯测试，圆弧形弯道的半
径，车轮与路面间的最大径向摩擦力为车对路面压力的 。
货车内顶部用细线悬挂一个小球，在悬点 处装有拉力传感器。车
（1）图6-4-13所示的货车向左转弯还是向右转弯？
【答案】向左转弯
【解析】对小球受力分析可知小球所受的合力向左，故货车向左转弯。
沿平直路面做匀速运动时，传感器的示数。取重力加速度 ，
， 。
（2）该货车在此圆弧形弯道上做匀速圆周运动时，为了防止侧滑，车的最大速度
是多大？
【答案】
【解析】设货车的总质量为，由题意知，车轮与路面间的最大径向摩擦力为 ,
若转弯时不发生侧滑，则有
解得
故车的最大速度 。
（3）该货车某次在此弯道上做匀速圆周运动，稳定后传感器的示数为 ，此
时细线与竖直方向的夹角 是多大？货车的速度 有多大？
【答案】;
【解析】设小球的质量为 ,货车做匀速直线运动时，小球受细线的拉力为
解得小球的质量
此次货车转弯时小球受细线的拉力 ，分析有
则
设小球受到的合力为，则有
由牛顿第二定律有
解得 。
题型2 竖直平面内的轻“绳”模型
图6-4-14
例6 如图6-4-14所示，杂技演员表演水流星节目。一根长为 的细绳两端
系着盛水的杯子，演员握住绳中间，随着演员的抡动，杯子在竖直平面内
做圆周运动，水始终不会从杯子中洒出，设重力加速度为 ，则杯子运动
到最高点的角速度 至少为( )
B
A. B. C. D.
【解析】
【学会了吗丨变式题】
图6-4-17
5.如图6-4-17所示，一质量为的人站在台秤上，一根长为 的轻悬
线一端系一个质量为 的小球，人手拿悬线另一端，手抡悬线，使
小球随悬线在竖直平面内做圆周运动，且小球恰好能通过圆轨道最
高点，重力加速度为 ,则下列说法正确的是( )
C
A.小球运动到最高点时，速度为零
B.当小球运动到最高点时，台秤的示数最小，且为
C.小球在、、 三个位置时，台秤的示数相同
D.小球从最高点运动到最低点的过程中始终处于超重状态
【解析】小球恰好能通过圆轨道最高点，则小球经过最高点时只受重力，在最高点，
由牛顿第二定律得，解得此时小球的速度 ，选项A错误；当小球
运动到最高点时，悬线的拉力为0，台秤的示数为 ,但不是最小值，当小球在上半
圆周运动，还没到达最高点时，悬线对人有斜向上的拉力，台秤的示数小于 ,选
项B错误；小球在、两个位置时竖直方向只受重力，小球在 位置时，只受重力，
则小球在、、 三个位置均处于完全失重状态，台秤的示数相同，选项C正确；小
球从最高点运动到最低点的过程中，竖直方向的加速度分量先竖直向下后竖直向上，
则小球先处于失重状态，后处于超重状态，选项D错误。
题型3 竖直平面内的轻“杆”模型
图6-4-18
例7 [易错题][教材第42页“复习与提高”B组第4题改编]（多选）竖
直平面内的圆周运动是物理学里的经典模型之一，某同学通过如
下实验来探究其相关规律：如图6-4-18，质量为 的小球固定在力
传感器的一侧，传感器另一侧固定在轻杆一端，现给小球一初速
度，让其绕点在竖直平面内做圆周运动，小球到点的距离为 。
已知当力传感器受到球对其的压力时读数为负，受到拉力时读数
为正，重力加速度为 。则下列说法正确的是( )
A.只有当小球通过圆周最高点的速度大于 时才能完成完整的圆周运动
B.若小球通过圆周最高点时速度大小为，则此时力传感器读数为
C.小球在与圆心等高的 点下方运动的过程中，力传感器读数总为正值
D.若小球通过圆周最低点时速度大小为，则此时力传感器读数为
易错易混 本题易因不能正确区分“绳”和“杆”两种模型而致错，容易误认为小球通过
最高点的速度仍需满足 。绳子对小球只能提供拉力，但杆对小球可以提供
支持力，也可以提供拉力，要注意区分。
√
√
【解析】
【学会了吗丨变式题】
图6-4-21
6.(2025·江苏苏州大学实验学校月考)如图6-4-21，一个内壁光
滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为 。现有一个半径
略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，当小球通过
最高点时速率为 ，已知弯管横截面的半径远小于管道半径，
重力加速度为 ,则下列说法正确的是( )
C
A.若 ，则小球对管内下壁无压力
B.若 ，则小球对管内上壁有压力
C.若 ，则小球对管内下壁没有压力
D.不论 多大，小球对管内下壁都有压力
[第1步：建构模型]
小球在弯管内做圆周运动，可建构类轻“杆”模型，由该模型的特点知，小球运动到
最高点时速率可以为0。
[第2步：受力分析]
小球运动到最高点时，管内壁对小球的作用力与重力的合力提供小球做圆周运动的
向心力。
[第3步：速度分析]
若小球在最高点时，管内壁对小球没有力的作用 重力恰好提供向心力
错误。
若速率 管内下壁对小球的支持力与小球重力的合力提供向心力 、B
选项中给出的速率均小于 小球对管内下壁有压力,对管内上壁没有压力
、 B错误。
若速率 管内上壁对小球的压力与小球重力的合力提供向心力 选项中
给出的速率大于 小球对管内上壁有压力，对管内下壁没有压力 正确。
题型4 与圆周运动相关的综合问题
图6-4-22
例8 如图6-4-22所示，在水平桌面上离桌面右边缘
处放着一质量为 的小铁块
（可看作质点），铁块与水平桌面间的动摩擦因数
。现用方向水平向右、大小为的拉力 作用
于铁块。作用一段时间后撤去，铁块继续运动，到达水平桌面边缘 点时飞出，恰
好从竖直圆弧轨道的 端沿切线方向进入圆弧轨道，且铁块恰好能通过圆弧轨道
的最高点。已知 ，、、、四点在同一竖直平面内，水平桌面离 端
的竖直高度，圆弧轨道半径， 点为圆弧轨道的最低点。
（取，， ）
（1）求铁块运动到圆弧轨道最高点点时的速度大小 ；
【答案】
【解析】铁块恰好能通过点，说明在 点时重力提供向心力，由牛顿第二定律可得
解得 。
（2）若铁块以的速度经过圆弧轨道最低点 ，求此时铁块对圆弧轨道
的压力大小 ；（计算结果保留两位有效数字）
【答案】
【解析】铁块在点受到的支持力与重力的合力提供向心力，则有
代入数据解得
由牛顿第三定律可知，铁块对轨道的压力大小 。
（3）求铁块运动到点时的速度大小 ；
【答案】
【解析】铁块从点到点的过程中做平抛运动，根据平抛运动规律有
可得
铁块沿切线方向进入圆弧轨道，则
。
（4）求水平拉力作用的时间 。
【答案】
【解析】铁块从点到 点的过程中做平抛运动，水平方向的分速度不变，故
铁块在水平桌面上做匀加速运动时，有
可得
铁块做匀减速运动时，有
可得
由运动学公式可知，最大速度，
又
解得 。
【学会了吗丨变式题】
图6-4-23
7.如图6-4-23所示，在点的质量为 的小球，由静止沿半径为
的光滑圆弧轨道下滑到最低点时，对轨道的压力为 ，
小球从点水平飞出后垂直撞击到倾角为 的斜面上的 点。
不计摩擦和空气阻力，已知重力加速度大小为 ，求：
（1）小球从 点飞出时的速度大小；
【答案】
【解析】在点,根据牛顿第三定律可知,轨道对小球的支持力大小为
根据牛顿第二定律可得
解得小球从点飞出时的速度大小 。
（2）点到 点的水平距离。
【答案】
【解析】由平抛运动规律可得
解得小球在点时竖直方向的速度大小
小球在竖直方向上做自由落体运动,则
水平方向上运动的位移
联立解得点到点的水平距离 。
题型5 对离心现象的分析
例9 如图6-4-24所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置两个用细线相连的质
量均为的小物体、，它们到转轴的距离分别为，。、
与盘面间的最大静摩擦力均为重力的，取 。
图6-4-24
（1）当细线上开始出现张力时，求圆盘的角速度 ；
【答案】
【解析】由于，当圆盘以角速度 转动时，物体所需向心力大，当 增大
到某一数值， 的最大静摩擦力不足以提供向心力时，细线开始被拉紧，产生拉力，
因此
代入数据解得 。
（2）当开始滑动时，求圆盘的角速度 ；
【答案】
【解析】当开始滑动时，设细线中的拉力为,对满足，对 满
足，即
代入数据解得 。
（3）当即将滑动时，烧断细线，分析、 将如何运动。
【答案】将做离心运动， 仍随圆盘做匀速圆周运动
【解析】当即将滑动时，烧断细线，细线中拉力突然消失，对有 ，对
有。由此可知将做离心运动， 仍随圆盘做匀速圆周运动。
【解析】最大静摩擦力充当向心力是细线拉紧、物体滑动的临界条件，可由此列出
相关方程解答。
【学会了吗丨变式题】
8.[教材第41页“复习与提高”A组第6题改编](2025·广东广州市第二中学期中，多选)图
6-4-25为波轮式洗衣机的工作原理示意图，当甩衣筒在电机的带动下高速旋转时，衣
服紧贴在甩衣筒器壁上，从而迅速将水甩出。衣服（带水，可视为质点）质量为 ，
衣服和器壁的动摩擦因数为 ，甩衣筒的半径为，洗衣机的外筒的半径为 。当甩
衣筒角速度为 时，衣服上的水恰好被甩出。假设滑动摩擦力和最大静摩擦力相等，
衣服与筒底无接触，忽略水在空中的一切阻力，重力加速度为 ，下列说法正确的是
( )
图6-4-25
A.水被甩出后，在空中做匀变速曲线运动
B.电动机的角速度至少为 时，衣服才不会掉下来
C.当，水滴打到外筒上时，下落高度为
D.当，水滴打到外筒上时，下落高度为
√
√
√
【解析】水被甩出后，只受重力，且水被甩出瞬间的速度沿水平方向，水做平抛运
动，即匀变速曲线运动，A正确；衣服恰好不掉下来时，竖直方向根据平衡条件有
，由于弹力提供向心力，由牛顿第二定律有 ，联立解得此时电
动机的角速度，故电动机的角速度大于等于 时,衣服不会掉下来，B正确；
当，水滴打到外筒上时，设水滴下落高度为 ，水滴在甩衣筒器壁上的甩出
点位置与在外筒上的落点之间的水平距离为,水滴下落时间为 ,根据平抛运动规律有
，，在水平方向上有 ，水滴做平抛运动的初速度大小为
，联立解得 ，故C错误，D正确。
提素养 深度学习
微专题1 圆周运动中的临界问题
1 水平面内圆周运动的临界问题
类型1 物体间的接触与脱离
图6-4-26
例10 如图6-4-26所示，在光滑圆锥体顶用长为 的细线悬挂一质量
为 的小球（可视为质点），圆锥固定在水平面上不动，其轴线沿
竖直方向，母线与轴线之间的夹角为 ，小球以速率 绕圆锥体轴
线做水平圆周运动。
（1）当 时，求细线对小球的拉力大小；
【答案】
【解析】因, ，对小球受力分析，如图乙所示，有
，,解得 。
（2）当 时，求细线对小球的拉力大小。
【答案】
【解析】因 ，小球离开圆锥面，对小球受力分析，如图丙所示，有
，，解得 。
【解析】小球离开圆锥面的临界条件为圆锥体对小球的支持力 ，如图6-4-27甲
所示，则小球重力与细线拉力的合力 提供小球做圆周运动的向心力，设此时小球的
线速度为，则 ，解得 。
图6-4-27
类型2 绳的松弛与断裂
例11 质量为的小球与分别系于一轻质细杆的点和点的轻绳和 相连，如图6-4-
28所示，绳与水平方向成 角，绳在水平方向上且长为 ，当轻杆绕轴（图中虚线）
以角速度 匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为 ,两轻绳
均不可伸长，则下列说法正确的是( )
C
图6-4-28
A. 绳的张力可能为零
B. 绳的张力随角速度的增大而增大
C.当角速度时， 绳中将出现弹力
D.若绳突然被剪断，则 绳的弹力一定发生变化
【解析】由于小球的重力不为零，故绳的张力不可能为零， 绳的张力可能为零，
选项A错误；由于 绳的张力在竖直方向的分力大小始终等于重力，所以随角速度的
增大，绳的张力不变，选项B错误；若绳中的张力为零，设绳中的张力为 ，对
小球，有，，联立解得 ，当角速度
时，绳中将出现弹力，选项C正确；当时， 绳突然被剪
断， 绳的弹力不发生变化，选项D错误。
类型3 摩擦力的突变
例12 (2025·重庆巴蜀中学模拟)如图6-4-29所示，小木块和 （可视为质点）用轻绳
连接置于水平圆盘上，轻绳过圆盘圆心，开始时轻绳处于伸直状态但无拉力， 的质
量为，的质量为。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为和，、 与盘
间的动摩擦因数相同（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。圆盘从静止开始绕转轴缓
慢地加速转动，木块和圆盘始终保持相对静止，下列各选项中，、 所受摩擦力大
小随 变化的图像正确的是( )
C
图6-4-29
A. B. C. D.
【解析】当圆盘转动的角速度较小时，两木块均由静摩擦力提供向心力，对 木块有
，对木块有，则 木块受到的静摩擦力较小，若角速度为
时，木块所受静摩擦力达最大值，则，此时 木块所受静摩
擦力为 ，即仍未达到最大静摩擦力；此后随着圆盘角
速度逐渐增大，两木块所需向心力增大，且增大较快， 木块所受静摩擦力保持不
变，绳中拉力从零开始增加，木块所受静摩擦力继续增大，若角速度为时， 木
块所受静摩擦力达最大值，设此时绳中拉力大小为，则对、 分别有
， ，继续增大圆盘角速度，绳中拉力继续变
大，木块所需向心力较小，所以 木块所受静摩擦力将逐渐减小至零后再反向增大，
此过程 木块所受静摩擦力为最大静摩擦力。故选C。
2 竖直面内圆周运动的临界问题
例13 轻杆长为,水平转轴装在中点,两端分别固定着小球和。球质量为, 球
质量为 ,在竖直平面内做圆周运动。
图6-4-30
（1）当杆绕点转动到某一位置时， 球在最高点，如图6-4-30所
示，此时杆的上端恰好不受力，求此时 球对杆的作用力的大小和
方向;
【答案】 ,竖直向下
【解析】设杆对球的拉力为,球的速度大小为 ,由于杆的上端
恰好不受力，则对球有,对球，有 ,
解得，由牛顿第三定律可知，球对杆的拉力 , 方向竖直向下。
（2）保持（1）中的速度大小，当球运动到最高点时，求 球对杆的作用力的大小
和方向；
【答案】 ,竖直向下
【解析】分析可知，当球以（1）中速度大小到达最高点时，杆对 球无作用力,则
球对杆也无作用力。
设杆对球的拉力为，则有
解得
由牛顿第三定律可知，球对杆的拉力 ,方向竖直向下。
（3）在杆的转速逐渐变化的过程中，两球在此位置时（上、下可互换）能否出现水
平转轴对杆的作用力恰好为零的情况？请计算说明。
【答案】见解析
【解析】设球、球受到的杆的拉力大小分别为和,速度大小为,若 球在上
端、球在下端，对球,有，对球,有 ,其中
，联立得；若球在上端，球在下端，对 球,有
,对球,有,其中 ，联立得
,显然不成立。所以能出现水平转轴对杆的作用力恰好为零的情况，此
时，球在上， 球在下。
类型1 静摩擦力控制下的斜面圆周运动
例14 有一娱乐项目，人坐在半径为的倾斜圆盘边缘随着圆盘绕圆心 处的转轴匀
速转动（转轴垂直于盘面），圆盘的倾角为 ，如图6-4-31所示，图中人用方块代
替。当人与圆盘间的动摩擦因数 时，人恰好不从圆盘上滑出去。人的
质量为，为圆盘的最低点， 为圆盘的最高点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
重力加速度为 ,以下说法正确的是( )
D
图6-4-31
A.人在 位置处受到的摩擦力方向沿圆盘向上
B.人在位置与位置时受到的摩擦力大小之差为
C.人在转动时的线速度大小为
D.人从位置到位置,摩擦力做功为
微专题2 斜面上的圆周运动
【解析】人做匀速圆周运动，恰好不从圆盘上滑出去，由受力分析可知，在 位置时
人所受摩擦力沿圆盘向上指向圆心，由牛顿第二定律有 ，则
；假设人在 位置时所受摩擦力方向沿圆盘向下指向圆心，则
由牛顿第二定律有，则 ,由以上分析可知
。而，则 ，
可知 ，故可知人在 位置处受到的摩擦力方向
沿圆盘向下指向圆心，故A错误。人在位置与 位置时受到的摩擦力大小之差为
，故B错误。在位置有 ，可得人在
转动时的线速度大小为 ，故C错误。因为人做匀速圆周运动，所以有
，所以 ，故D正确。
类型2 轻杆控制下的斜面圆周运动
例15 (2025·四川成都期中)如图6-4-32所示，在倾角为 的足够大的固定斜面上，一
长度为的轻杆一端可绕斜面上的点自由转动，另一端连着一质量为 的小球
（可视为质点）。现使小球从最低点以速率 开始在斜面上做圆周运动，通过最高
点。重力加速度大小为 ，轻杆与斜面平行，不计一切摩擦，下列说法正确的是
( )
C
图6-4-32
A.小球通过 点时的速度越大，此时斜面对小球的支持力越大
B.小球通过点时的最小速度为
C.小球通过点时所受轻杆的作用力大小为
D.若小球以的速率通过 点时突然脱落而离开轻杆，则
小球到达与点等高处时与点间的距离为
【解析】
选项 分析 正误
A 斜面对小球的支持力始终等于重力沿垂直于斜面方向的分力， 与小球的速度无关。
B 杆可以为小球提供支持力，所以小球经过最高点 时的最小速度 为0。
C 小球在 点受重力、斜面的支持力以及杆的拉力，根据牛顿第二 定律,沿斜面方向有 ，可得杆对小球的拉力大 小 。 √
选项 分析 正误
D 若小球以的速率通过 点时突然脱落而离开轻 杆，则小球在斜面上做类平抛运动，可知小球在平行于底边方 向做匀速直线运动，在垂直于底边方向做初速度为零的匀加速 直线运动，故有， ，其中 ，联立解得，故小球到达与 点 等高处时与点间的距离为 。
续表
类型3 轻绳控制下的斜面圆周运动
图6-4-33
例16 （多选）如图6-4-33所示，一块足够大的光滑平板
放置在水平面上，它能绕水平固定轴 自由转动，从而
实现调节其与水平面所成的倾角的目的。板上有一根长
为的轻绳，其一端系住一个质量为
的小球，另一端固定在板上的点。当平板的倾角为
AD
A.若 ，则轻绳对小球的拉力大小为
B.若 ，则小球相对于初始位置可上升的最大高度为
C.小球能在平板上绕点做完整的圆周运动， 必须满足的条件为
D.小球能在平板上绕点做完整的圆周运动， 必须满足的条件为
时，先将轻绳平行于水平轴 拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度
，取 ，则( )
【解析】小球在平板上运动时受轻绳的拉力、重力和平板的弹力。在垂直平板方向
上合力为零，重力沿平板方向的分力为 ，小球在最高点时，由轻绳的拉力
和重力沿平板方向的分力的合力提供向心力，由牛顿第二定律有
。研究小球从开始运动的点到最高点的过程，根据动能定理有
。若小球恰好通过最高点，轻绳上的拉力 ，联立
以上式子解得 ，则小球在斜面上能运动到圆周的最高点时，满足
,故C错误，D正确。若 ，则轻绳对小球的拉力大小为
，故A正确。若 ，小球不能到达圆周的最高点，假设小球
能够上升，此时小球的重力势能的增加量 ，而小球的初动能为
，则小球上升高度 时增加的重力势能大于减少的动能，明显不符合要求，
故B错误。
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘 素养点击
基本考查点 车辆转弯问题，拱形桥模型，离心现象。 1.通过分析生活中各种圆
周运动现象，体会模型
建构的科学思维方法。
2.通过分析航天器中的失
重现象及离心运动现
象，深化运动与相互作
用观念。
热点及难点 竖直平面内的圆周运动问题，圆周运动中 的临界问题和综合问题。 题型及难度 以选择题或计算题形式出现，难度较大。 高考中地位 高考经常考查内容之一。 考向1 考查实际问题的模型建构
图6-4-34
例17 (全国卷Ⅰ高考题)如图6-4-34，一同学表演荡秋千。已知秋千的
两根绳长均为，该同学和秋千踏板的总质量约为 。绳的
质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为
，此时每根绳子平均承受的拉力约为( )
B
A. B. C. D.
【解析】该同学身高相对于秋千的绳长可忽略不计，可以把该同学看成质点。当该
同学荡到秋千支架的正下方时，由牛顿第二定律有（式中 为每根绳
子平均承受的拉力，为绳长），代入数据解得 ，选项B正确。
【类题链接丨变式题】
类题1 (2025·山东卷)某同学用不可伸长的细线系一个质量为 的发光小球，让小
球在竖直面内绕一固定点做半径为 的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄
了一张照片，曝光时间为。由于小球运动，在照片上留下了一条长度约为半径
的圆弧形径迹。根据以上数据估算小球在最低点时细线的拉力大小为( )
C
A. B. C. D.
【解析】根据题意可知，小球经过最低点的速率 ，则在最低点对小球由牛顿第
二定律有，重力加速度大小取 ,解得小球在最低点时细线的
拉力大小 ，C正确。
考向2 考查转弯问题分析
例18 (福建高考题)清代乾隆的《冰嬉赋》用“躄躠”（可理解为低身斜体）二字揭示
了滑冰的动作要领， 短道速滑世界纪录由我国运动员武大靖创造并保持，在
其创造纪录的比赛中：
图6-4-35
（1）武大靖从静止出发，先沿直道加速滑行，前用时 。该过程可视为匀加速
直线运动，求此过程加速度大小；
【答案】
【解析】武大靖从静止出发，做匀加速直线运动，前进用时 ，根据
位移—时间关系可得
代入数据解得加速度大小 。
（2）武大靖途中某次过弯时的运动可视为半径为 的匀速圆周运动，速度大小为
。已知武大靖的质量为 ,求此次过弯时所需的向心力大小；
【答案】
【解析】根据向心力的计算公式可得 。
（3）武大靖通过侧身来调整身体与水平冰面的夹角，使场地对其作用力指向身体重
心而实现平稳过弯，如图6-4-35所示。求武大靖在（2）问中过弯时身体与水平面的
夹角 的大小。（不计空气阻力，重力加速度大小取， 、
、、 。
【答案】
图6-4-36
【解析】设场地对武大靖的作用力大小为， 与重力的合力提供向
心力，如图6-4-36所示。
根据几何关系可得
代入数据解得
所以 。
考向3 考查航天器中的圆周运动问题分析
例19 (2023·北京卷)在太空实验室中可以利用匀速圆周运动测量小球质量。如图6-4-
37所示，不可伸长的轻绳一端固定于点，另一端系一待测小球，使其绕 点做匀速
圆周运动。用力传感器测得绳上的拉力为，用停表测得小球转过 圈所用的时间为
,用刻度尺测得点到球心的距离为圆周运动的半径 。下列说法正确的是( )
A
图6-4-37
A.圆周运动轨道可处于任意平面内
B.小球的质量为
C.若误将圈记作 圈，则所得质量偏大
D.若测 时未计入小球半径，则所得质量偏小
【解析】在太空实验室中，物体均处于完全失重状态，则无论小球做圆周运动的轨
道在哪个平面内，小球所受合力均为绳上的拉力，选项A正确；小球做匀速圆周运
动，小球所受轻绳的拉力提供向心力，由牛顿第二定律有 ，
周期，联立解得，选项B错误；若误将圈记作 圈，由
可知，的测量值偏小，选项C错误；若测 时未计入小球半径，由
可知， 的测量值偏大，选项D错误。
【类题链接丨变式题】
图6-4-38
类题2 (北京高考题改编)我国航天员在“天宫课堂”中演示了多种有
趣的实验，提高了青少年科学探索的兴趣。某同学设计了如图6-4-
38所示的实验:细绳一端固定，另一端系一小球，给小球一初速度使
其在竖直平面内做圆周运动。无论在“天宫”还是在地面做此实验
( )
C
A.小球的速度大小均发生变化 B.小球的向心加速度大小均发生变化
C.细绳的拉力方向均与速度方向垂直 D.细绳的拉力大小均发生变化
【解析】
地面实验 天宫实验
向心力来 源 小球重力和细绳的拉力 细绳的拉力
运动性质 变速圆周运动 匀速圆周运动
速度 大小和方向均变化 大小不变，方向变化
加速度 大小和方向均变化 大小不变，方向变化
细绳拉力 大小变化，方向与线速度方向垂直 大小不变，方向与线速度方向垂直
由表可知，C正确，A、B、D错误。
新考法 空间思维
考法解读 平抛运动和圆周运动的综合问题有时会涉及物体在三维空间中的运动，如
水平面内的匀速圆周运动和竖直面内的平抛运动的综合。这类问题一般分为多个运
动过程，要求考生能够建立三维空间中的运动情境，结合每个过程遵循的物理规律
进行分析，解题的关键是明确各个运动过程衔接点物理量之间的联系。
图6-4-39
例20 (2025·山东卷，多选)如图6-4-39所示，在无人机的某次定点投
放性能测试中，目标区域是水平地面上以 点为圆心、半径
的圆形区域， 垂直地面，无人机在离地面高度
的空中绕点、平行地面做半径 的匀速圆周运
动，、为圆周上的两点， 。若物品相对无人机无
初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为
。当无人机以沿圆周运动经过 点时，相对无人机无初速度地释放物品。
不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小
。下列说法正确的是( )
A.
B.
C.无人机运动到点时，在 点释放的物品已经落地
D.无人机运动到点时，在 点释放的物品尚未落地
√
√
图6-4-40
【解析】物品从抛出到落地的过程做平抛运动，当其恰好落在目标
区域边缘时，物品的水平位移示意图如图6-4-40所示，由几何关系
有 ，此时物品的初速度最大，水平方向上有
，竖直方向上有 ，联立解得物品的最大初速度
（无人机的最大线速度）为 （物品相对无人机无初速度
地释放，其初速度与无人机线速度大小相等。），所以无人机的最
大角速度 ，A错误，B正确；由A、B项分析可
知，物品释放后在空中运动的时间为 ，该过程无人机转过的角度
，所以无人机运动到点时，在 点释放的物品已经落地，C正确，
D错误。
. .
图6-4-41
例21 (河北高考题，多选)如图6-4-41，广场水平地面上同种盆
栽紧密排列在以为圆心、和 为半径的同心圆上，圆心处
装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动
的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。
依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度
及转动的角速度分别用、、和、、 表示。
花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平
长度和空气阻力。下列说法正确的是( )
BD
A.若，则
B.若，则
C.若， ,喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同
D.若，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则
【解析】根据平抛运动的规律有、，解得，可知若 ，
则，若，则，选项A错误，B正确；若 ，
则喷水嘴各转动一周的时间相同，因 ，出水口的截面积相同，可知单位时间
喷出水的质量相同，喷水嘴转动一周喷出的水量相同，但因内圈上的花盆总数量较
少，可知每盆花得到的水量较多，选项C错误；设出水口截面积为，喷水速度为 ，
若，则喷水嘴转动一周的时间相等，因高度相等，则水落地的时间 相等，
又 ，故在单位时间内落在圆周上单位长度的水量为
相等，即喷水嘴转动一周的过程中每个花盆得到的水量
相同，选项D正确。
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.如图所示，陀螺在平铺于水平桌面的白纸上稳定转动，若在陀螺
表面滴上几滴墨水，则从上向下看，由于陀螺转动，甩出的墨水运
动的轨迹最接近于( )
B
A. B. C. D.
【解析】墨水飞出后，在水平方向上做匀速直线运动，且速度方向与半径垂直。故
A、C、D错误，B正确。
2.[链接教材第36页“思考与讨论”]下列哪种现象利用了物体的离心运动( )
D
A.自行车赛道倾斜
B.汽车减速转弯
C.滑冰时运动员 倾
斜身体转弯
D.拖把利用旋转脱水
【解析】
选项 分析 正误
A 自行车赛道倾斜，支持力与重力的合力提供向心力，防止产生离心 运动。
B 因为 ,所以速度越快所需的向心力就越大，汽车转弯时要减 小速度，是为了减小汽车所需的向心力，防止产生离心运动。
C 滑冰时运动员倾斜身体转弯，冰面的作用力与重力的合力提供向心 力，防止产生离心运动。
D 拖把利用旋转脱水，利用了离心运动。 √
3.(2025·辽宁省实验中学月考)2022年我国航天员在空间站
太空舱开设“天宫课堂”，课堂演示了“水油分离”实验,如
图甲所示。实验示意图如图乙所示，用细绳系住装有水
和油的瓶子，手持细绳的另一端，使瓶子在竖直平面内
做圆周运动，则( )
A
A.瓶子只要有速度，就能通过圆周的最高点，水油分离后，水在外侧
B.瓶子只要有速度，就能通过圆周的最高点，水油分离后，油在外侧
C.速度需大于某一值瓶子才能通过圆周的最高点，水油分离后，水在外侧
D.速度需大于某一值瓶子才能通过圆周的最高点，水油分离后，油在外侧
【解析】在空间站中所有物体均处于完全失重状态，瓶子做圆周运动的向心力全部
由细绳的拉力提供，瓶子做匀速圆周运动，所以瓶子只要有速度，就能通过圆周的
最高点。水的密度较大，单位体积的水的质量较大，当水和油未分离时，二者做圆
周运动的角速度和半径均相同，结合 可知，对单位体积的水和油，水所需
的向心力较大，比油更易做离心运动，故水油分离后，水在外侧。A正确，B、C、
D错误。
4.［链接教材第37页“思考与讨论”］如图甲所示，汽车通过半径为 的拱形桥，在最
高点处速度达到 时，驾驶员对座椅的压力恰好为零。若把地球看成大“拱形桥”，当
另一辆“汽车”速度达到某一值时，驾驶员对座椅的压力也恰好为零，如图乙所示。
设地球半径为 ，则图乙中的“汽车”速度为( )
C
A. B. C. D.
【解析】在题图甲中，设汽车质量为 ，汽车到达最高点时重力提供向心力，有
，故重力加速度为，在题图乙中另一辆质量为的“汽车”速度为
时，座椅对驾驶员的支持力恰好为零，重力提供向心力，有 ，解得“汽
车”的速度 ，选项C正确。
5.如图所示，一辆汽车正通过一段水平的公路弯道。若汽车的运动可视为匀速圆周
运动，则( )
C
A.该汽车的速度恒定不变
B.汽车左、右两车灯的线速度大小相等
C.跟公路内道相比，汽车以同速率在外道行驶时所受的摩擦力较小
D.跟晴天相比，雨天汽车在同车道同速率行驶时所受的摩擦力较小
【解析】拐弯过程中汽车各部分周期相等，角速度也相等，根据 可知，汽车
右侧的车灯比左侧的车灯线速度大，且线速度方向在不断变化，说明该汽车的速度
发生了变化，故A、B错误；汽车所受沿半径方向的静摩擦力提供向心力，由向心力
公式 可知，若速率不变，则跟公路内道相比，汽车在外道行驶时所需的向
心力较小，即所受摩擦力较小，故C正确；若速率不变，汽车在同车道上行驶所需的
向心力大小不变，即所受摩擦力不变，故D错误。
6.(2025·山东潍坊质检)某物理小组的同学设计了一个粗测玩具
小车通过凹形桥最低点时的速度的实验。所用器材有：玩具小
车、压力式托盘秤、凹形桥模拟器。完成下列填空：
（1）将凹形桥模拟器静置于托盘秤上，如图（a）所示，托盘
秤的示数为 ；
（2）将玩具小车静置于凹形桥模拟器最低点时，托盘秤的示数如图（b）所示，该
示数为_____ ；
1.40
【解析】托盘秤的最小刻度为，可知该示数为 。
（3）小车质量为,凹形桥模拟器质量为、其圆弧部分的半径为,重力加速度为 。
将小车从凹形桥模拟器某一位置静止释放，小车经过最低点后滑向另一侧，此过程
中托盘秤的最大示数为，则 等于___所受支持力大小（选填“A”或“B”，其中A
为“小车”，B为“小车和凹形桥模拟器”）；小车通过最低点时的速度大小
_ ____________（用符号、、、、 表示）。
B
【解析】 等于小车和凹形桥模拟器所受支持力大小，故选B；小车通过最低点时，
根据牛顿第二定律有，其中 ，解得速度大小
。
7.新 开放性试题火车转弯时的运动可看成圆周运动的一部
分，为了减轻轮缘与外轨间的挤压，弯道处铁轨的内外轨
道不一样高，火车的车轮与铁轨的位置情况如图所示。请
回答以下问题。
（1）转弯处的内、外轨道哪个高一些？火车运动的圆周平面为图中平行于水平面的
圆面还是倾斜的圆面 ？
【答案】外轨道要高一些 圆面
【解析】为了使火车转弯时所需向心力几乎完全由重力和支持力的合力来提供，转
弯处的外轨道要高一些；火车转弯是在水平面内进行的，因此火车运动的圆周平面
为题图中平行于水平面的圆面 。
（2）已知重力加速度,轨道平面与水平面间的夹角为 。为防止铁轨与车轮轮缘间
产生挤压，使火车转弯时所需向心力几乎完全由重力和支持力的合力来提供，请推
导夹角 的正切值 与轨道的半径、规定速度 的关系式；
【答案】
【解析】火车转弯时的受力如图所示
火车转弯时所需的向心力
又向心力
联立解得火车转弯速度
。
（3）为了适应我国经济快速发展的需要，我国铁路部门已多次对火车提速，最高速
度已经超过 。火车提速需要对原来铁路的弯道进行改造，请你提出一种可
行的改造方案。
【答案】增大转弯半径或者增大轨道平面与水平面间的夹角
【解析】从转弯速度的表达式 可知，火车提速需要增大转弯半径或者
增大轨道平面与水平面间的夹角。
B 综合练丨选考通关
建议时间：30分钟
8.新 生活现象(2025·山东济南期末)雨天在野外骑车时，自行车的后轮轮胎上常会黏
附一些泥巴，行驶时感觉很“沉重”，如果将自行车后轮撑起，使后轮离开地面而悬
空，然后用手匀速摇脚踏板，使后轮飞速转动，泥巴就被甩下来，如图所示，图中
、、、 为后轮轮胎边缘上的四个特殊位置，则( )
C
A.泥巴在图中、位置的向心加速度大于、 位置的向心加速度
B.泥巴在图中的、 位置时最容易被甩下来
C.泥巴在图中的 位置时最容易被甩下来
D.泥巴在图中的 位置时最容易被甩下来
【解析】当后轮匀速转动时，根据向心加速度公式可得、、、 四个位
置的向心加速度大小相等，选项A错误。泥巴做匀速圆周运动，其所受的合力提供
向心力，根据 知泥巴在车轮边缘上每一个位置所需的向心力大小相等，
当其所受的合力小于向心力时做离心运动，即所能提供的合力的最大值越小越容易
被甩下来。泥巴在最低点 位置时，重力向下，附着力向上，合力等于附着力减重力，
泥巴在最高点 位置时，重力向下，附着力向下，合力等于重力加附着力，泥巴在
、位置时，合力等于附着力，所以泥巴在最低点 位置时最容易被甩下来，选项B、
D错误，C正确。
9.[易错题]如图所示为俯视图，质量 的智能电动车玩具以恒定速率沿水平面
内的圆弧路径运动，和是相切于点、半径分别为和 的半圆弧。轮
胎与路面间的最大静摩擦力为 。若小车（视为质点）在最短的时间内能安全地
从行驶到，则车在 段的向心加速度大小为( )
D
A. B. C. D.
【解析】设小车在段安全行驶的最大速率为，在 段安全行驶的最大速率为
，由向心力公式，代入题中数据,,得 ,
，由于，要使小车在最短的时间内能安全地从行驶到 ，小车
应以 的速率行驶（【易错点】注意判断小车能安全行驶的最大速率。），故车
在段的向心加速度大小为 ，选项D正确。
. .
. .
10.[教材第38页“练习与应用”第2题改编](2025·北京中学期末，
多选)有一种叫“飞椅”的游乐项目，简化模型如图所示。长为
的钢绳一端系着质量为 的座椅，另一端固定在
半径 的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转
BC
A. B.
C.钢绳对座椅的拉力大小为 D.钢绳对座椅的拉力大小为
动。当转盘以角速度 匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的
夹角 。不计钢绳重力，，， ，则下列
判断正确的是( )
【解析】
11.电动夯实机是日常道路施工过程中常用的工具，能够大大提高筑路工人的工作效
率。如图所示为某电动夯实机的结构示意图，它由电动机、底座和偏心轮三部分组
成，其中偏心轮又包括飞轮和配重物。电动机、飞轮和底座总质量为 ，配重物质
量为,配重物的重心到轮轴的距离为,重力加速度为 。在电动机带动下，偏心轮在
竖直平面内匀速转动，皮带不打滑。当偏心轮上的配重物转到顶端时，刚好使整体
离开地面。下列判断正确的是( )
C
A.配重物转到最高点时处于超重状态
B.配重物转到最高点时,其与飞轮间的弹力大小为
C.偏心轮转动的角速度为
D.夯实机对地面压力的最大值为
【解析】配重物转到最高点时向心加速度指向圆心，故加速度向下，处于失重状态，
选项A错误；配重物转到最高点时，刚好使整体离开地面，电动机、飞轮和底座整
体受重力及配重物对飞轮向上的弹力，受力平衡，故弹力大小为 ,选项B
错误；当偏心轮上的配重物转到顶端时，刚好使整体离开地面，配重物所受飞轮对
其的弹力大小 ,方向竖直向下，配重物所受合力提供向心力，对配重物，根
据牛顿第二定律有，解得 ，选项C正确；配重物转到
最低点时，夯实机对地面的压力最大，设大小为 ，设此时地面对夯实机的支持力
大小为，飞轮对配重物的力大小为，配重物对飞轮的力大小为 ，对配重物，根
据牛顿第二定律有，对夯实机整体，有 ,根据牛顿第三
定律，有,,联立解得夯实机对地面压力的最大值为 ,选项
D错误。
12.（多选）如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点 在竖直面内做圆
周运动，小球经过最高点时的速度大小为，此时绳子的拉力大小为，拉力 与速
度的平方的关系图像如图乙所示，图像中的数据和，以及重力加速度 都为已
知量，则以下说法正确的是( )
AD
A.数据 与小球的质量无关
B.数据 与小球的质量无关
C.比值 只与小球的质量有关，与圆周轨迹半径无关
D.利用数据、和 能够求出小球的质量和圆周轨迹半径
【解析】由题图乙可知，当 时，绳子的拉力为零，小球的重力提供其做圆周
运动的向心力，则由牛顿第二定律得，解得 ，与小球的质量无关，
故A正确；当时，对小球受力分析，则由牛顿第二定律得 ，解
得，即与小球的质量有关，故B错误；根据上述分析可知 ，与小球的
质量有关，与圆周轨迹半径也有关，故C错误；由上述分析可知， ，故D
正确。
13.(2025·广东湛江质检)如图所示，半径 的光滑
半圆环轨道处于竖直平面内，与水平地面相切于圆环的
端点，一质量为的小球（可视为质点）从 点
冲上竖直半圆环轨道， 。
（1）求小球到达最高点 的最小速度；
【答案】
【解析】小球以最小速度到达最高点时，只受重力，且此时重力提供向心力，则有
解得最小速度 。
（2）若小球沿轨道运动到最高点并以飞出，最后落在水平地面上的
点（图上未画），求：
①小球在 点对轨道的压力；
【答案】 ，方向竖直向上
【解析】因，故此时在点，小球重力和轨道对小球压力 的合
力提供向心力，根据牛顿第二定律可得
解得 ,方向竖直向下
根据牛顿第三定律可知，小球在点对轨道的压力大小为 ，方向竖直向上。
②小球落到 点前瞬间的速度（结果保留两位有效数字）。
【答案】，方向与水平方向的夹角为
【解析】设小球经时间落到点，落到点前瞬间的速度大小为 ，速度方向与水
平方向的夹角为 ，小球从到 做平抛运动，根据平抛运动的规律有
，，
联立解得，
即小球落到点前瞬间的速度大小为，方向与水平方向的夹角为 。
C 培优练丨能力提升
建议时间：10分钟
14.如图所示，水平转台高，半径为 ，可绕通过圆心
处的竖直转轴转动。转台的同一半径上放有质量均为 的小物
块、（可看成质点），与转轴间距离为， 位于转台边缘处，
、间用长为的细线相连，、 与水平转台间最大静摩擦力均为
，取 。
（1）当转台的角速度达到多大时细线上开始出现张力？
【答案】
【解析】、角速度相同，由可知， 先达到临界状态，故当满足
时，细线上开始出现张力，解得 。
（2）当转台的角速度达到多大时 物块开始滑动？
【答案】
【解析】当 继续增大，受力也达到最大静摩擦力时， 开始滑动，则
,,得 。
（3）若物块恰好将要滑动时细线断开，此后转台保持匀速转动，求 物块落地瞬
间、 两物块间的水平距离。（不计空气阻力）
【答案】
【解析】细线断开后，沿水平切线方向飞出做平抛运动，竖直方向有 ，
得做平抛运动的时间
平抛运动的初速度
可得的水平射程
细线断开后，相对于转台静止，时间内转过角度，约为 ，故
、 间水平距离为
。