第六章 圆周运动 章末总结-高一物理人教版必修第二册（40页PPT）

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第六章 圆周运动
培优帮丨章末总结
图6-1
例1 如图6-1所示，两等长轻绳一端打结，记为 点，并系在一可
视为质点的小球上。两轻绳的另一端分别系在同一水平杆上的 、
两点，两轻绳与固定的水平杆夹角均为 。给小球垂直纸面的
速度，使小球在垂直纸面的竖直面内做圆周运动。某次小球运动
到最低点时，轻绳从 点断开，小球恰好做匀速圆周运动。已
B
A. B. C. D.
知，，则轻绳断开前后瞬间，轻绳 的张力之比为
( )
筑思维 思想方法
思想方法1 模型法
【解析】轻绳断开前，小球以、 连线中点为圆心做圆周运动，设小球经过最
低点的速度大小为，绳长为，小球质量为，轻绳的张力大小为 ，在最低点，
根据牛顿第二定律有 ①；轻绳 断开后，小球在水平
面内做匀速圆周运动，其圆心在点的正下方，设轻绳的张力大小为 ，根据牛顿第
二定律有②， ③，联立①②③解得 ，故
选项B正确。
例2 （多选）如图6-2甲所示，轻杆一端固定在 点，另一端固定一小球，现让小球
在竖直平面内做半径为 的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为
，小球在最高点的速度大小为，其 图像如图乙所示。不计空气阻力，则
( )
ABD
图6-2
A.小球的质量为
B.当地的重力加速度大小为
C. 时，杆对小球的弹力方向向上
D. 时，小球受到的弹力与重力大小相等
思想方法2 图像法
思路点拨 本题属于竖直平面内圆周运动的轻杆模型与图像相结合问题，解题的关
键是能够根据图像获取有效信息，理解图像对应的物理情境,特别是截距、
及斜率表示的物理意义。
【解析】由题图乙可知，当时，杆与小球间弹力为0，有 ,则重力加
速度大小,选项B正确；当小球速度 时弹力为支持力，方向向上，
由牛顿第二定律得，因此有 ，此时图线的斜率为
，则，选项A正确；当 时,杆对小球的弹力为拉力，方向
向下，选项C错误;当时，弹力方向向下，因此有，与
时相比较，得杆对小球弹力的大小为 ，选项D正确。
例3 如图6-3甲所示，一半径为的水平转盘可以绕着竖直轴 转动，水平转
盘中心处有一个光滑小孔，用一根长为 的细线穿过小孔将质量分别为
、的小球和小物块 连接。现让小球和水平转盘各以一定的
角速度在水平面内转动起来，小物块与水平转盘间的动摩擦因数 ，且始终处
于水平转盘的边缘处，与转盘相对静止，、均可视为质点，取 。#1
图6-3
思想方法3 临界与极值思想
（1）若小球的角速度,求细线与竖直方向的夹角 的正切值；
【答案】
图6-4
【解析】对小球受力分析，如图6-4所示，小球所受的拉力 和
重力的合力提供向心力，则有
，其中
联立并代入数据得 。
（2）在满足（1）中的条件下，通过计算给出水平转盘角速度 的取值范围，并在
图乙中画出 图像（假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且规定沿半径指向圆
心为正方向）；
【答案】 ; 如图6-5所示
图6-5
【解析】在满足（1）中的条件下，即线的拉力大小不变，根据对小球 的分析，
得
对小物块受力分析，所受拉力和摩擦力的合力提供向心力，由于水平转盘中心
处的小孔光滑，所受拉力大小也等于，当水平转盘角速度取最小值 时，小物
块 有向内运动的趋势，则摩擦力沿半径向外并且达到最大值，有
代入数据解得
当水平转盘角速度取最大值时，小物块 有向外运动的趋势，则摩擦力沿半径向
内并且达到最大值，有
代入数据解得
所以的取值范围是
图6-5
规定沿半径指向圆心为正方向，则向心力表达式为
，则
，根据这个函数
表达式以及角速度的极值画出 图像，如图6-5所示。
（3）在水平转盘角速度为（2）中的最大值的情况下，当小球和小物块 转动至
两者速度方向相反时，细线突然断裂，求经过多长时间和 的速度相互垂直。
【答案】
【解析】细线突然断裂后，小球和小物块 做平抛运动
小球 的初速度
小物块的初速度
设经过时间的速度与水平方向所成角度为 ，这时和的速度相互垂直，则 的
速度与竖直方向所成角度也为 ，即有
代入数据解得 。
名师点评 本题中小物块 所受摩擦力的大小与方向均会随圆盘转速的变化而变化，
达到临界值后，小物块 与圆盘将不再保持相对静止。
图6-6
例4 (江苏高考题改编)如图6-6所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直
平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为，运动半径为 ，角
速度为 ，重力加速度为 ，则座舱( )
D
A.运动周期为
B.线速度的大小为
C.受摩天轮作用力的大小始终为
D.所受合力的大小始终为
会整合 专题归纳
专题1 圆周运动及其研究方法
【解析】根据角速度的定义式可知,，所以 ,选项A错误。由于在
匀速圆周运动中线速度与角速度的关系为,所以座舱的线速度大小为 ,
选项B错误。匀速圆周运动的向心加速度始终指向圆心,座舱在最低点时，向心加速
度竖直向上，座舱处于超重状态，所受摩天轮作用力大于重力，选项C错误。做匀速
圆周运动的物体所受合力提供它需要的向心力,即座舱所受合力的大小始终为
,选项D正确。
类型1 拱形桥模型
例5 (2025·福建龙岩期末)胎压监测器可以实时监测汽车轮胎内部的气压，在汽车上
安装胎压监测报警器，可以预防因汽车胎压异常而引发的事故。如图6-8甲、乙所示，
为一辆质量 的小汽车行驶在山区的路面的两种情况，路面可视为圆弧
且圆弧半径相同，半径，其中为路面最低点， 为路面最高点。根据胎压
可计算出汽车受到的支持力，当支持力达到 时检测器报警。若忽略空气
阻力，重力加速度 。则：
图6-8
专题2 竖直平面内的圆周运动问题
（1）若汽车以相同的速率通过这两段路面，请判断汽车通过、 哪点时更容易爆胎。
【答案】汽车通过 点时更容易爆胎
【解析】汽车通过 点时，汽车所受重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二
定律得
解得
汽车通过 点时，汽车所受重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得
解得
，汽车通过 点时更容易爆胎。
（2）汽车在 点的速度达到多大时会触发报警？
【答案】
【解析】由（1）可知，汽车以最大速度通过 点时有
解得 。
（3）若汽车不脱离路面，在最高点 的速度不能超过多少？
【答案】
【解析】若汽车在最高点 达到最大速度时，汽车对路面没有压力，此时汽车的重力
提供向心力，则有
代入数据解得
所以若汽车不脱离路面，则在最高点的速度不能超过 。
类型2 轻绳模型
图6-9
例6 如图6-9所示，长度为 的轻绳，系一小球在竖直平面内做
圆周运动，小球的质量为，且可视为质点，取 。
（1）求小球刚好通过最高点时的速度大小 ；
【答案】
【解析】小球刚好通过最高点时，小球的重力恰好提供向心力，有 ，解得
。
（2）小球通过最高点时的速度大小为 时，求绳的拉力大小 ；
【答案】
【解析】小球通过最高点时的速度大小为 时，绳的拉力和小球的重力的合力提
供向心力，有
解得 。
（3）若轻绳能承受的最大拉力为 ，求小球速度的最大值（计算结果可用
根号表示）。
【答案】
【解析】分析可知小球通过最低点时绳的拉力最大，在最低点，由牛顿第二定律得
，将代入解得 ，即小球的速度的最大值是
。
思路点拨 本题要明确小球恰能通过最高点做圆周运动的动力学条件，正确分析小
球在最高点和最低点的向心力来源，然后根据牛顿第二定律和向心力公式联立求解。
类型3 轻杆模型
图6-10
例7 (2025·四川达州期末)如图6-10所示，轻杆长 ，在杆两端
分别固定质量均为的球和 （均可视为质点），光滑水平转
轴穿过杆上距球为处的 点，现让杆和球在竖直平面内转动，
且球运动到最高点时，杆对球 恰好无作用力。忽略空气阻力，
重力加速度为，求球 在最高点时：
（1）速度 的大小；
【答案】
【解析】球运动到最高点时，杆对球恰好无作用力，以 为研究对象，此时重力
刚好提供所需的向心力，则有，解得 。
（2）轻杆对球的作用力 。
【答案】 ，方向竖直向上
【解析】设此时球的速度大小为，由于两球的角速度相等，则有
可得
以为研究对象，根据牛顿第二定律可得
解得 ，方向竖直向上。
图6-13
例8 (南京大学强基计划试题)如图6-13所示，把两个质量均为
的小球用长度为 的轻绳连接，放于光滑水平地面上，在同一
瞬间分到给两球初速度与 ，两位同学计算绳子上张力时出
现了矛盾。
甲同学认为:以绳子中心为圆心，那么拉力为 。
乙同学认为:以右端球为圆心，拉力为 。哪位同学考虑不周 为什么
【答案】乙同学考虑不周，理由见解析。
尖子生 强基自招
命题点 惯性离心力
【解析】乙同学考虑不周，在以右端球为参考系时，该参考系为非惯性系，需要考
虑非惯性系力。以右端球为参考系，对左端球有
，其中
解得 ，与甲同学的结果相同。
【强化训练丨变式题】
(清华大学领军计划试题)如图6-14所示，球质量为，通过一根长为 的细绳连接
在天花板上;球质量为，通过一根长为的细绳连接在球上。瞬间给 球一个水
平向右的速度，那么此时两绳中的拉力大小、 分别为( )
D
图6-14
A.，
B.，
C.，
D.，
【解析】球相对悬点做圆周运动，根据牛顿第二定律，有
球相对球做圆周运动，此时球的向心加速度为,球是一个非惯性系，故 球所
受惯性力为，方向竖直向下。根据牛顿第二定律，有
联立解得
所以选项D正确。
设情境 素养提升
问题情境1 视觉暂留现象——物理现象
图6-15
例9 理发店门口，常可以看到这样的标志：一个转动的圆筒，外表有彩
色螺旋斜条纹。我们感觉条纹在沿竖直方向运动，但实际上条纹在竖直
方向并没有升降，这是圆筒的转动而使我们的眼睛产生的错觉。如图6-
15所示，假设圆筒上的条纹是围绕圆筒的一条宽带，相邻两圈条纹在沿
圆筒轴线方向的距离（即螺距）为，如果我们观察到条纹以速度 向上
运动，则圆筒的转动情况是（俯视）( )
B
A.顺时针，转速 B.顺时针，转速
C.逆时针，转速 D.逆时针，转速
【解析】如果我们观察到条纹以速度 向上运动，则说明圆筒的转动从正面看是从右
向左的，从上往下看应该是顺时针转动。时间内上升高度为 ，由题意可知
，解得 。故选项B正确。
问题情境2 “泼水成冰”——科学思维
例10 (2025·浙江杭州外国语学校期中)在东北严寒的冬天，有一项“泼水成冰”的游戏，
具体操作是把一杯滚烫的开水按一定的弧线均匀快速地泼向空中，泼洒出的小水珠
和热气被瞬间凝结成冰，形成壮观的场景。如图6-16甲所示是某人玩“泼水成冰”游
戏的精彩瞬间，其示意图为图乙。假设泼水过程中杯子的运动为匀速圆周运动，人
在内把杯子旋转了 。下列说法不正确的是( )
D
图6-16
A. 位置的小水珠速度方向沿2方向
B.杯子在位置时的向心加速度方向沿 方向
C.杯子在旋转时的角速度大小为
D.杯子在旋转时的线速度大小约为
【解析】根据题图乙中水珠做离心运动的方向可知，杯子旋转方向为逆时针，故可
知 位置的小水珠速度方向沿2方向，A正确，不符合题意；向心加速度方向指向圆
心，故杯子在位置时的向心加速度方向沿 方向，B正确，不符合题意；杯子在旋
转时的角速度大小为 ，C正确，不符合题意；杯子
在旋转时的运动半径大约为，故线速度大小为 ，D错误，符合
题意。
刷真题 体验高考
图6-17
1.(2024· 黑吉辽卷)“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图6-17，
当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上、 两点做圆周运动的( )
D
A.半径相等 B.线速度大小相等
C.向心加速度大小相等 D.角速度大小相等
【解析】由题意可知，球面上、 两点的转动属于同轴转动，角速度大
小相等，故D正确；由题图可知，球面上、 两点做圆周运动的半径的
关系为，故A错误；根据 可知，球面上、 两点做圆周运动的线速
度大小的关系为，故B错误；根据可知，球面上、 两点做圆周运
动的向心加速度的关系为 ，故C错误。
图6-18
2.(安徽高考题)如图6-18所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的
固定对称轴以恒定角速度 转动，盘面上离转轴距离 处有一
小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为
（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为
， 取。则 的最大值是( )
C
A. B. C. D.
【解析】物体随圆盘做圆周运动，运动到最低点时最容易滑动，因此
物体在最低点且刚好要滑动时的转动角速度为最大值，物体在最低点
时的受力分析如图所示，根据牛顿第二定律可知
，解得 ,C正确,A、B、
D错误。
图6-19
3.(2025·福建卷，多选)如图6-19为春晚上转手绢的机器人，手绢上有
、两点，圆心为，已知，手绢绕 点做匀速圆周运动，
则( )
AD
A.、线速度之比为 B.、角速度之比为
C.、向心加速度之比为 D.点所受合外力总是指向
【解析】
4.(2024·海南卷改编)水平圆盘上紧贴边缘放置一密度均匀的小圆柱体，如图6-20（a）
所示，图（b）为俯视图，测得圆盘直径，圆柱体质量 ，圆
盘绕过盘心 的竖直轴匀速转动，转动时小圆柱体相对圆盘静止。
图6-20
为了研究小圆柱体做匀速圆周运动时所需要的向心力情况，某同学设计了如下实验步骤：
（1）用秒表测圆盘转动10周所用的时间，则圆盘转动的角速度 ___
取 。
1
【解析】圆盘转动10周所用的时间 ，则圆盘转动的周期为
根据角速度与周期的关系有 。
（2）测量小圆柱体不同位置的直径，多次测量后，得到的平均值 。
（3）写出小圆柱体所需向心力表达式_ _________（用、、 、 表示），其
大小为___________ （保留两位有效数字）。
【解析】小圆柱体做圆周运动的半径为
则小圆柱体所需向心力为
代入数据得 。
图6-21
5.(2023·江苏卷)“转碟”是传统的杂技项目。如图6-21所示,质量为 的
发光物体放在半径为 的碟子边缘,杂技演员用杆顶住碟子中心,使发光
物体随碟子一起在水平面内绕点做匀速圆周运动。当角速度为 时,
碟子边缘看似一个光环。求此时发光物体的速度大小 和受到的静摩
擦力大小 。
【答案】;
【解析】根据线速度和角速度的关系，有
碟子对发光物体的静摩擦力提供其做圆周运动所需的向心力，故 。
图6-22
6.(广东高考题)如图6-22所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中
心轴转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为和 ，筒
内壁点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为 的小物块。
求:
（1）当筒不转动时，物块静止在筒壁 点受到的摩擦力和支持力的大小；
【答案】;
【解析】当筒不转动时，物块静止在筒壁 点，受到重力、摩擦力和支持力三个力作
用而处于平衡状态。设筒壁与水平面的夹角为 ,由平衡条件得
摩擦力的大小为
支持力的大小为 。
（2）当物块在 点随筒做匀速转动，且当其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。
【答案】
【解析】当物块在 点随筒做匀速转动，且当其受到的摩擦力为零时，物块受到重力
和支持力的作用，它们的合力提供物块做圆周运动的向心力。设筒转动的角速度为
,则有
由几何关系得,
联立以上各式解得 。