第2节 万有引力定律-高一物理人教版必修第二册（64页PPT）

(共64张PPT)
第七章 万有引力与宇宙航行
第2节 万有引力定律
例1-1 （多选）关于太阳与行星间的引力，下列说法正确的是( )
BD
A.太阳与行星间的引力只与太阳与行星的质量有关
B.行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，在近日点所受引力大，在远日点所受引力小
C.由可知，，由此可见与和的乘积成正比，与和 的乘
积成反比
D.行星绕太阳的椭圆轨道可近似看成圆轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力
教材帮 新知课丨必备知识解读
知识点1 太阳与行星间的引力
【解析】
选项 分析 正误
A 根据可知，与行星质量、太阳质量和轨道半径 均 有关。
B 根据知，太阳对行星的引力大小与、 有关，对同一行 星，越小，越大，越大， 越小。 √
C 公式中为比例系数，是一常量，与、、和 均无关。
D 通常的研究中，行星绕太阳的运行轨道可近似看成圆轨道，其向心 力由太阳对行星的引力提供。 √
例2-2 [链接教材第50页“月—地检验”]（多选）牛顿著名的“月—地检验”证明思路如
下：设月球在半径为，为地球半径 的轨道上绕地球做匀速圆周运动，运
行周期为，从运动学角度得到月球的向心加速度为 ；假定物体在地球表面受到的
重力与地球吸引月球的力是相同性质的力，都遵从与距离的平方成反比的规律，从
动力学角度得到物体在地球表面处的重力加速度为 和物体在月球所在轨道处的加速
度为 。根据牛顿的思路，下列关系正确的是( )
AC
A. B. C. D.
知识点2 月—地检验
【解析】
故A、C正确，B、D错误。
例3-3 （多选）对于万有引力定律的表达式 ，下列说法正确的是( )
AC
A.质量分布均匀且间距较远的两个球体之间的作用力，可用上式计算
B. 趋近0时，万有引力趋于无穷大
C.两物体间的万有引力总是大小相等
D.两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
【解析】万有引力定律的表达式 ，适用于质量分布均匀且间距较远的两
个球体之间的作用力的计算，选项A正确；当 时，两个物体均不能看成质点，
上式不再成立（敲黑板！），选项B错误；两个物体间的万有引力是一对作用力与反
作用力，它们总是大小相等、方向相反，作用在两个物体上，故选项C正确，D错误。
. .
. .
知识点3 万有引力定律
例3-4 (2025·广东深圳期末)2025年5月17日我国成功发射了北邮二号卫星，已知北邮
二号卫星绕地球做匀速圆周运动，周期为，离地面高度为，质量为 。地球质量
为，地球半径为，引力常量为 。则北邮二号卫星受到地球的万有引力大小为
( )
B
A. B. C. D.
【解析】卫星所受万有引力大小为，其中 为卫星到地心的距离，
由题意知，故 ，B正确。
图7-2-3
例4-5 [链接教材第53页“拓展学习”]（多选）英国物理学家卡
文迪什通过如图7-2-3所示的扭秤实验测得了引力常量 。为
了测量石英丝极微小的扭转角，该实验采取了“微小量放大
法”，使“微小量放大”的主要措施是( )
AD
A.利用平面镜对光线的反射 B.增加 形架横梁的长度
C.增大石英丝的直径 D.增大刻度尺与平面镜的距离
【解析】为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验利用平面镜对光线的反射以及增
大刻度尺与平面镜的距离来放大转动的角度，A、D正确；增加 形架横梁的长度或
增大石英丝的直径，只对石英丝的转动有影响，对测量石英丝极微小的扭转角没有
影响，B、C错误。
知识点4 引力常量
【试一试丨推导证明】
若已知地球半径，地球质量，地球自转周期 。
试计算一个质量为，且静止于北纬 的地面上的物体所受的向心力 和引力
。从而比较说明，得出 的结论。
提示 ，,故 ，可认为
。
知识点5 重力与万有引力的区别与联系
例5-6 （多选）下列关于重力和万有引力的说法正确的是( )
BCD
A.重力和万有引力是不同性质的力
B.在不考虑地球自转影响的情况下，可以认为地球表面物体的重力等于地球对它的
万有引力
C.由于地球自转的影响，物体的重力跟物体所处的纬度有关
D.在地球两极的物体，物体的重力等于地球对它的万有引力
【解析】重力是由于地球吸引而受到的力，在不考虑地球自转的情况下，重力等于
万有引力，二者是同种性质的力，故A错误，B正确；实际上，地球在自转，万有引
力的一个分力等于重力，另一个分力提供物体随地球自转所需的向心力，故物体的
重力跟物体所处的纬度有关，C正确；在地球两极，由于向心力为零，万有引力等于
重力，故D正确。
例5-7 某星球“一天”的时间是 ，用弹簧测力计在该星球的“赤道”上测一物体
的重力比在“两极”处测的读数小 ，假设该星球自转的角速度加快，使“赤道”上
的物体恰好自动飘起来。这时该星球的“一天”是多少小时？
【答案】
【解析】设该物体在星球的“赤道”上时重力为，在“两极”处时重力为 ，该物体
质量为，星球质量为，星球半径为，自转角速度为
在“赤道”处有
在“两极”处有
依题意得
解得 ①
设该星球自转的角速度增加到 时，“赤道”上的物体恰好自动飘起来，此时该星球
的自转周期为 。物体自动飘起来即地面与物体间没有相互作用力，物体受到星球
的万有引力全部提供其随星球自转做圆周运动的向心力，则
②
又，
联立①②式并代入数据解得
即“赤道”上的物体恰好自动飘起来时，该星球的“一天”是 。
例5-8 (2025·江苏镇江期末)设地球的质量均匀分布，半径为 。现在距离地面某高度
处静止释放一个小物块，当小物块落到地面时，正好掉进一条贯穿地心的细直管道，
不计地球自转，则小物块由静止开始运动到地球球心的过程中，关于它的加速度大
小，下列说法正确的是( )
C
A.一直变大 B.先变大后不变 C.先变大后变小 D.先不变后变小
【解析】设小物块到地面的高度为，则其落到地面之前，有 ,
可知该过程小物块的加速度逐渐变大。
根据质量均匀分布的球壳对球壳内任一位置处的物体的万有引力为零，可知小物块
进入管道后，有，其中为小物块到地心的距离， 为地
球平均密度，可知该过程小物块的加速度逐渐变小。
综上可知，只有C正确。
图7-2-6
例9 (2025·南昌大学附属中学月考，多选)如图7-2-6所示,三颗质量均
为的地球卫星等间隔分布在半径为的圆轨道上,设地球质量为 ,半
径为 。下列说法正确的是( )
BC
A.地球对一颗卫星的引力大小为
B.一颗卫星对地球的引力大小为
C.两颗卫星之间的引力大小为
D.三颗卫星对地球引力的合力大小为
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 万有引力的计算
类型1 用万有引力定律公式计算万有引力
【解析】万有引力定律公式中的 指的是两物体中心间的距离,因此选项A
错误,B正确;由几何知识知,两卫星之间的距离为 ,故两卫星间的引力大小为
,选项C正确;由于三颗卫星对地球的引力大小相等,且等间隔分布在
半径为 的圆轨道上，因此三颗卫星对地球引力的合力为0,选项D错误。
【学会了吗丨变式题】
图7-2-7
1.(2025·广东湛江期中)如图7-2-7所示，两球间的最
近距离为 ，两球的质量分布均匀，质量大小分别
为、，半径大小分别为、 ，则两球间的万
有引力大小为( )
D
A. B. C. D.
【解析】两个球的质量分布均匀，半径大小分别为、，两球之间的最近距离为 ，
所以两球心间的距离为 ，根据万有引力定律得两球间的万有引力大小为
，选项D正确。
例10 (2025·吉林长春外国语学校月考)若地球半径为 ，把地球看作质量分布均匀的
球体（已知质量分布均匀的球壳对球壳内任一质点的万有引力为零）。天宫一号绕
地球做圆周运动的轨道距离地面的高度为，所在处的重力加速度为 ；蛟龙号在深
海中下潜的深度为时，所在处的重力加速度为；地表处重力加速度为 ，不计地
球自转的影响，下列关系式正确的是( )
C
A. B.
C. D.
类型2 用推论法计算万有引力
【解析】设地球质量为，密度为 ，在地球表面，对质量为 的物体有
，对于天宫一号，设其质量为 ,根据万有引力提供向心力可得
，因此，A错误；由和 得
，质量分布均匀的球壳对球壳内任一质点的万有引力为零，因此对于蛟龙
号，下潜深度为时， ，B错误；由以上分析可得
，故C正确，D错误。
【学会了吗丨变式题】
图7-2-9
2.(2025·江苏省苏州中学期中)如图7-2-9所示是中国科学院沈阳自动
化研究所主持研制的作业型全海深自主遥控潜水器海斗一号，最大
下潜深度超过10 000米。若把地球看成质量分布均匀的球体，已知
质量分布均匀的球壳对球壳内任一质点的万有引力为零，忽略地球
D
A. B. C. D.
的自转，则下列关于海斗一号下潜时所在处的重力加速度和下潜深度 的关系图像
可能正确的是( )
【解析】设地球的质量为，地球的半径为，海斗一号的质量为,海斗一号下潜
深度时，地球内以地心为球心、以为半径的球体的质量为 ，则根据密度相等
有 ，由于质量分布均匀的球壳对球壳内任一质点的万有引力为零，再
结合万有引力定律有，联立以上两式并整理可得 ，故
图线为一条纵截距为正、斜率为负的直线，选项D正确。
图7-2-10
例11 如图7-2-10所示，一个质量均匀分布、半径为 的球体对球外
质点（未画出）的万有引力为，如果在球体中央挖去半径为 的
球体，且，则原球体剩余部分对质点 的万有引力变为
( )
C
A. B. C. D.
类型3 用“填补法”计算万有引力
[第1步:求挖去前，球体对质点 的万有引力]
设点与质点的距离为，挖去前球体质量为，质点质量为
则挖去前，球体对质点的万有引力
[第2步:求挖去的部分对质点的万有引力 ]
设挖去部分的质量为，球体的密度为
则有 ，
由于，可知
[第3步:求剩余部分对质点的万有引力 ]
。
【学会了吗丨变式题】
3.[教材第71页“复习与提高”B组第3题改编] (2025·辽宁大连市第八中学月考)有一质
量为、半径为、密度均匀的球体，在距离球心为的地方有一质量为 的质点，
现在球体中挖出一半径为 的空腔，如图7-2-11所示，然后又在空腔部分填满另外一
种密度为原来3倍的物质，则填充后的实心球体对质点的万有引力为( )
B
图7-2-11
A. B. C. D.
[第1步:求没挖时，球体对质点的万有引力]
由万有引力定律得，没挖时，球体对质点的万有引力为
[第2步:求挖去的部分对质点的万有引力]
根据知，挖去部分的质量是原球体质量的 ，则挖去部分对质点的万有
引力为
[第3步:求剩余部分对质点的万有引力]
剩余部分对质点的万有引力为
[第4步:求填充部分对质点的万有引力]
在挖出的空腔中填满密度为原来球体密度3倍的物质，该物质的总质量为 ，对质
点的万有引力
[第5步:求填充后的实心球体对质点的万有引力]
，B项正确。
题型2 运用万有引力定律求解综合问题
例12 火星半径是地球半径的 ，火星质量大约是地球质量的 ，地球表面上有一质
量的航天员。地球表面重力加速度取 。
（1）航天员在火星表面上受到的重力是多大？
【答案】
【解析】设地球的质量为，半径为，火星的质量为，半径为 。在地球表面有
，得
同理可知，在火星上有
即
航天员在火星上受到的重力
。
（2）若航天员在地球表面能跳 高，那他在火星表面能跳多高？（航天员可看
作质点，航天员起跳的初速度不变）
【答案】
【解析】在地球表面航天员能跳起的高度
在火星表面航天员能跳起的高度
综上可知， 。
【学会了吗丨变式题】
4.(2025·广东广州期中)如图7-2-12所示，航天员在地球表面将小球以一定的水平初速
度向倾角 的斜面抛出，经 时间小球恰好垂直撞在斜面上。 若航天员站在
某质量分布均匀的星球表面，将小球以相同的初速度水平向该斜面抛出，小球落到
斜面上时其位移恰与斜面垂直。已知地球表面重力加速度为 ，该星球表面的重力加
速度为，该星球的半径为，引力常量为，， ，求：
图7-2-12
（1）小球在该星球上的飞行时间；
【答案】
【解析】在地球表面，由于小球经 时间恰好垂直撞在斜面上，根据平抛运动速度规
律得， ，又因为，解得
在星球表面，重力加速度 ,由于小球落到斜面上时其位移恰与斜面垂直，根
据平抛运动位移规律可得， ，又因为， ，联立
解得 。
（2）该星球的密度 。
【答案】
【解析】在星球表面，对质量为 的物体，根据万有引力和重力的关系可得
，解得该星球的质量为，根据密度公式得 ，又因为
，联立解得该星球的密度为 。
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘 素养点击
基本考查点 物理学史，万有引力定律的发 现与应用。 1.善于运用理论分析问题，体会
“月—地检验”的目的和重要意义。
认识大胆猜想与严格论证在科学
发现中的重要性。
2.学习引力常量的测量方法，认识
科学实验在科学历史发展中的重
要作用。
热点及难点 月—地检验，万有引力定律的 综合应用。 题型及难度 常以选择题的形式出现，难度 中等。 高考中地位 天体运动的重要基础，高考热 点内容。 考向1 考查对万有引力的理解
例13 (全国乙卷高考题)2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表
面约 的天宫二号空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。
通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的天宫二号中，航天员可以自由地漂
浮,这表明他们( )
C
A.所受地球引力的大小近似为零
B.所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C.所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D.在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
【解析】
规律 理解应用
万有引力定 律: 相较于地球半径（约为 ）,航天员离地球并不是太远，所受
地球引力小于在地球表面所受地球引力,但不至于近似为零，A项错
误。
航天员在太空中处于完全失重状态,航天员随飞船绕地球做匀速圆周
运动，故所受合力不为零，B项错误。
航天员随飞船一起做匀速圆周运动,向心力几乎完全由地球引力来提
供，航天员所受其他力均太小,近乎为零，C项正确。
航天员在地球表面所受引力大于在天宫二号中所受引力（即随飞船
做圆周运动所需要的向心力），D项错误。
考向2 万有引力定律的基本应用
例14 (山东高考题)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系
到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星
车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。如图7-2-13所示，在着陆前，“祝融”和“玉兔”都
会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的
作用力大小之比为( )
B
图7-2-13
A. B. C. D.
【解析】在星球表面,根据物体所受的万有引力等于重力得，解得 ，
故，悬停时,两车均受力平衡,即 ，选项B
正确。
考向3 考查月—地检验的原理和过程
例15 (2023·山东卷)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与
天体间（如地球与月球）的引力具有相同的性质，且都满足 。已知地月之间
的距离 大约是地球
半径的60倍，地球表面的重力加速度为 ，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期
为( )
C
A. B. C. D.
【解析】
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：15分钟
1.(2024·广西卷)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力
不相同。图中、和 处单位质量的海水受月球引力大小在( )
A
A.处最大 B. 处最大
C.处最大 D.、处相等， 处最小
【解析】根据万有引力公式可知， 处单位质量的海水受到月球的引力最
大，本题选A。
2.把行星运动近似看成匀速圆周运动以后，开普勒第三定律可写为 ，则
( )
C
A.行星受太阳的引力
B.行星所受太阳的引力都相同
C.行星受太阳的引力
D.质量越大的行星所受太阳的引力一定越大
【解析】行星受到的太阳的引力提供行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力，由向心
力公式可知，又因为，,整理得 ，A错误，C正确；
太阳与行星间的引力与太阳、行星的质量及太阳与行星间的距离有关，B、D错误。
3.[教材第54页“练习与应用”第3题改编](2025·河北石家庄一中月考)木卫三是太阳系
中最大的卫星，主要由硅酸盐岩石和冰体构成。木卫三的平均半径约为 ，
是月球半径的1.5倍，质量约为 ，是月球质量的2倍，假设质量相等的两
个飞行器分别落在木卫三和月球的表面，木卫三和月球对其表面飞行器的引力大小
之比为( )
D
A. B. C. D.
【解析】
4.地球的半径为，忽略地球自转，地球表面处物体所受的重力为 ，等于物体所
受的万有引力。关于物体在下列位置所受万有引力大小的说法正确的是 ( )
C
A.离地面高度处为 B.离地面高度处为
C.离地面高度处为 D.离地面高度处为
【解析】地球表面处物体所受的重力等于地球对物体的万有引力，所以有
地面上：
离地面高度处：
离地面高度处：
离地面高度处：
综上所述，C正确。
5.某星球质量为地球质量的3倍，其半径为地球半径的2倍。在该星球表面以
的初速度竖直向上抛出一物体，则物体从被抛出到落回抛出点需要的时间为
( )
D
A. B. C. D.
【解析】设星球质量为，半径为，地球质量为，半径为，物体质量为 。
根据万有引力等于物体在天体表面所受重力得，解得 ，故星球表面
与地球表面的重力加速度之比为，因 ，得
。
在该星球表面以 的初速度竖直向上抛出一物体，根据竖直上抛运动规律得，
物体从被抛出到落回抛出点需要的时间 ，故D正确，A、B、C
错误。
B 综合练丨选考通关
建议时间：25分钟
6.假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小
为，在赤道的大小为；地球自转的周期为，引力常量为 ，则地球的半径为
( )
A
A. B. C. D.
【解析】在两极处，地球对物体的万有引力等于物体的重力，则有
在赤道处，地球对物体的万有引力和物体重力的合力提供物体做圆周运动的向心力，
则有
联立解得 ，故A正确，B、C、D错误。
7.若在某行星和地球表面附近，以相同的速率平抛一物体，物体下落的高度相同，
在水平方向运动的距离之比为 ，已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径
为 。由此可知，该行星的半径约为( )
C
A. B. C. D.
【解析】设物体做平抛运动的高度为,初速度为,运动时间为,水平位移为 ,在行星
和地球上的重力加速度分别为和。由平抛运动规律知：竖直方向 ,水
平方向 ,由天体表面附近物体受到的万有引力近似等于物体的重力得
。由以上三式得。设行星的半径为 ,则
,即 ,选项C正确。
8.假设地球是一半径为 、质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内物
体的引力为零，不考虑地球自转的影响，距离地球球心为 处的重力加速度大小可能
为如下图像中的哪一个( )
A
A. B. C. D.
【解析】设地球的密度为 ，当物体处于地心时，所受万有引力为零，重力加速度
为零；当距地心距离为时，相当于只有半径为 的球体对其产生万有引力，根
据得,解得，即重力加速度与 成正比，由此可
判断选项B、D错误；当时，由得，重力加速度 与
的平方成反比，故选项A正确,C错误。
9.(2025·广东广州市培英中学月考，多选)如图甲所示，一颗地球的卫星绕以地球为
焦点的椭圆轨道运行，轨道远地点为，近地点为 ，卫星受到地球的万有引力大小
随时间 的变化情况如图乙所示。下列说法正确的是( )
AC
A.卫星运动周期是
B.卫星运动周期是
C.地球与点间距离是地球与 点间距离的2倍
D.地球与点间距离是地球与 点间距离的4倍
【解析】由题图乙可知，卫星从近地点到远地点再回到近地点 ，运动一周，万
有引力完成一个周期性变化，这个过程所用时间为，所以卫星运动周期为 ，故
A正确，B错误；设地球质量为,卫星质量为,地球与近地点间的距离为 ，与
远地点间的距离为，则根据万有引力定律知，卫星在 点所受万有引力大小为
,在点所受万有引力大小为，两式相比得 ，
即地球与点间距离是地球与 点间距离的2倍，故C正确，D错误。
10.（多选）如图所示，在质量为且均匀分布的半径为的球内挖去半径为 的球，
在球外两球的圆心连线上距球表面的位置放一质量为、可视为质点的小球 。已
知，两球心、间距离为 ，质量分布均匀的球壳对壳内质点的引力为零。
则下列说法正确的是( )
ACD
A.剩余部分对小球的引力的方向在 连线上
B.剩余部分对小球的引力大小为
C.若将小球 放入图中的空腔内，则小球在空腔内的任何位置
受到剩余部分对它的万有引力是相等的
D.被挖去部分的质量为
【解析】
小球 在题图所示位置
[第1步:求原球体对的万有引力 ]
根据万有引力定律可得
[第2步:求挖去的球体对的万有引力 ]
挖去的球体半径 ，根据质量与体积成正比的关系可知，挖去的球体质量为
则挖去的球体对的万有引力为
[第3步:求剩余部分对的万有引力 ]
，方向在连线上,由指向 ，A、D正确，B错误。
将小球 放入空腔内任一位置
[第1步:求原球体对的万有引力 ]
如图所示，设, ，根据质量分布均匀的球壳
对球壳内任一质点的万有引力为零，可得
[第2步:求挖去的球体对的万有引力 ]
同理，
[第3步:求剩余部分对的万有引力，即在空腔内受到的万有引力 ]
由力的合成知，在空腔内受到的万有引力满足,由于 ,
,则矢量三角形与 相似,如图所示
故，方向沿 ，可知小球在空腔内的任何位置受到剩
余部分对它的万有引力是相等的，故C正确。
11.[链接教材第53页“拓展学习”](2025·河北唐山市第一中学月考)1798年，卡文迪什
在《伦敦皇家学会哲学学报》论文中发表了“扭秤”的思想。请回答下列问题。
（1）卡文迪什扭秤实验中测量 时采用的主要研究方法是___。
D
A.控制变量法 B.累积法 C.转换研究对象法 D.放大法
【解析】卡文迪什扭秤实验中测量 时采用的主要研究方法是放大法，故选D。
（2）关于卡文迪什扭秤实验,下列说法正确的是_____。
BC
A.大球和小球之间的距离和其尺寸数量级相当，不可当作质点，万有引力定律不适用
B.扭秤装在封闭的箱子里是为了防止空气不均匀受热引起的气流对微小力测量的干扰
C.卡文迪什利用扭秤测定了引力常量的数值，被称为第一个测量地球质量的人
D.大球和小球除了相互之间的引力之外还会受到重力，重力对该实验的测量有影响
【解析】
选 项 分析 正 误 选 项 分析 正
误
A 大球和小球之间的距离和其 尺寸数量级相当，但是可认 为球的质量都集中在球心位 置，万有引力定律仍适用。 C 卡文迪什利用扭秤测定了引力常量 的数值，被称为第一个测量地球质 量的人。 √
B 扭秤装在封闭的箱子里是为 了防止空气不均匀受热引起 的气流对微小力测量的干 扰。 √ D 大球和小球除了相互之间的引力之 外还会受到重力，但是重力沿竖直 方向，不影响水平方向引力的测 量。
（3）卡文迪什扭秤的某种现代简化模型如图所示，两个
质量均为的小球固定在一根总长度为 的轻杆两端，
用一根石英悬丝将轻杆水平悬挂起来，距离小球 处放置
两个质量均为 的大球。根据万有引力定律知，固定小
球的轻杆会因受力而转动，从而使石英悬丝扭转，最终
引力力矩与悬丝的弹性恢复力矩大小相等时装置静止不动。已知引力力矩大小可以
表示为引力的大小乘以作用点到支点的距离，弹性恢复力矩可以表示为常数 乘以悬
丝旋转角。激光水平入射到固定于悬丝上的平面镜上，弧形标尺到平面镜的距离为
。从静止释放轻杆到最终平衡的过程中，弧形标尺上反射光点移动的距离为 ，则
引力常量的表达式为 _ _______。（用题中给出的物理量符号表示）
【解析】平面镜转过的角度等于悬丝扭转的角度， （【点拨】入射光线不变，
反射光线偏转角度的变化量是平面镜转动角度的2倍。）
装置平衡时满足
由万有引力定律可得
联立解得 。
. .
C 培优练丨能力提升
建议时间：15分钟
12.(2025·黑龙江哈尔滨市第九中学校月考)精确的实验发现，在地球表面不同的地
方，的大小一般是不同的。在赤道的海平面处为，在北极处 为
。已知地球质量为，引力常量为，地球可视为半径为 、质量分布均
匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。将质量为 的待测物
体悬挂在弹簧测力计上，物体静止后，下列说法正确的是( )
C
A.在北极处，弹簧测力计读数
B.在赤道处，弹簧测力计读数
C.在北极沿地轴方向深度为的矿井内，弹簧测力计读数为
D.在轨道半径为的空间站中，弹簧测力计读数为
【解析】
选项 分析 正误
A 在北极处，地球自转的向心加速度为零，弹簧测力计读数等于物体所 受万有引力，即 。
B 在赤道处，物体随地球自转需要的向心力由万有引力提供，弹簧测力 计读数 。
选项 分析 正误
C 质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在北极沿地轴方向深 度为的矿井内，待测物体所受重力等于半径为 的球体对它的万 有引力，半径为的球体的质量为 ，故弹簧测力计 读数 。 √
D 空间站中待测物体处于完全失重状态，弹簧测力计读数为零。
续表
13.新 新定义题(2025·云南师范大学附属中学期中，多选)工程
上常利用“重力加速度反常”来探测矿体，原理简化如图所示，
为某地区地面附近的一点， 点下方无矿体时，地下岩石的
平均密度为 ，点正常重力加速度为，若在 点下方存在一
半径为的球形矿体，则点的重力加速度变为 。若矿体的
BC
A.若 ，则 B.若，则
C.若增大为原来的2倍，则 D.若增大为原来的2倍，则
平均密度为，矿体的中心与点的距离为，定义“重力加速度反常值” ，
已知当 时，测得“重力加速度反常值”为 ，下列说法正确的是( )
【解析】设地球质量为，半径为，若点下方无矿体时，对点处质量为 的物
体，根据万有引力等于重力得
若在点下方存在一半径为的球形矿体，则点的重力加速度变为 ，已知矿体的
平均密度为，则对点处质量为 的物体，有
联立解得
则“重力加速度反常值”
已知当 时，测得“重力加速度反常值”为 。
若 ，则，故A错误；若，则，故B正确；若 增大为原
来的2倍，则，故C正确；若增大为原来的2倍，则 ，故D错误。