第七章 万有引力与宇宙航行 章末总结-高一物理人教版必修第二册(40页PPT)

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第七章 万有引力与宇宙航行
培优帮丨章末总结
例1 (2025·西安交通大学附属中学月考)如图7-1，质量分别为和的两个星球和
在引力作用下都绕点做匀速圆周运动，星球和的中心连线之间的距离为 。已知
、的中心和点始终共线，和分别在点的两侧。引力常量为 。
图7-1
（1）求两星球做圆周运动的周期。
【答案】
【解析】设星球做圆周运动的半径为，星球做圆周运动的半径为。和绕 点
做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，和 有相同的角速度和周期，
因此有,
联立解得,
对 ，根据牛顿第二定律和万有引力定律得
化简得 。
（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球分别看成上述星球
和，月球绕其轨道中心运行的周期记为 。但在近似处理问题时，常常认为月球
是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为 。已知地球和月球的质量分别为
和。求与 的平方之比。（结果保留三位小数）
【答案】1.012
【解析】将地月系统看成双星系统，由（1）得
将月球的运动看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得
化简得
故 。
例2 (2025·南昌大学附属中学期中，多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系
统，其中有一种三星系统如图 7-2所示，三颗质量均为 的星体位于等边三角形的
三个顶点，三角形边长为 ，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕
三角形中心做匀速圆周运动，引力常量为 ，则( )
ABC
图7-2
A.每颗星体做匀速圆周运动的线速度为
B.每颗星体做匀速圆周运动的角速度为
C.每颗星体做匀速圆周运动的周期为
D.每颗星体做匀速圆周运动的加速度与三星的质量无关
【解析】由题图可知，每颗星体做匀速圆周运动的半径 ，由牛顿第
二定律得，解得 ，
，， ，故A、B、C均正确，D错误。
例3 在天体演变的过程中,红色巨星发生“超新星爆炸”后,可以形成中子星（电子被迫
同原子核中的质子相结合而形成中子）,中子星具有极高的密度。
（1）若已知一颗中子星的密度是 ,该中子星的卫星绕它做圆周运动,求该
中子星的卫星运行的最小周期。
【答案】
【解析】运行周期最小时，卫星绕中子星表面运行，轨道半径为中子星半径，设为
。中子星与卫星间的万有引力充当卫星运动的向心力，即
而
联立解得 。
（2）中子星也在绕自转轴自转,若一颗中子星自转的角速度为 ,为了不因
自转而瓦解,它的密度至少应为多少？（假设中子星是通过中子间的万有引力结合成
的球形星体,引力常量为 ）
【答案】
【解析】中子星自转但没有解体的临界情况是中子星赤道处物体受到的万有引力全
部用来提供向心力，则有
得
则中子星的最小密度 。
例4 地球赤道上有一物体随地球自转，所受的向心力为，向心加速度为 ，线速
度为，角速度为 ；在地球表面附近绕地球做圆周运动的人造地球卫星
（高度忽略），所受的向心力为，向心加速度为，线速度为，角速度为 ；
地球的同步卫星所受的向心力为，向心加速度为，线速度为，角速度为 ；
地球表面的重力加速度为，第一宇宙速度为 。假设三者质量相等，则( )
D
A. B. C. D.
会整合 专题归纳
专题 万有引力定律在天文学上的应用
【解析】由题意知，设三者的轨道半径分别为、、，则 ，
对于卫星有，因，所以，故 ，即D项正确；由
，，可知，对于卫星有，因，所以 ，故
，，B项错误；由可知 ，A项错误；由
，，可知，对卫星有，因，所以 ，故
， ，C项错误。
例5 （中科大自主招生试题）假设地球为质量均匀分布的球体。已知地球表面的重
力加速度在两极处的大小为，在赤道处的大小为，地球半径为 ，则地球自转的
周期 为_ ________。
【解析】设地球的质量为，地球上某一物体的质量为 ，根据万有引力与重力的
关系，有
①
②
联立①②式，得 。
尖子生 强基自招
命题点 天体运动中物理量的求解
例6 （“北约”联盟自主招生试题）将地球半径、自转周期、地面重力加速度 取
为已知量，则地球同步卫星的轨道半径为_ _______，轨道速度与第一宇宙速度的比
值为_ _______。
【解析】以表示地球的质量，表示同步卫星的质量， 表示地球表面处某一物
体的质量， 表示同步卫星的轨道半径。根据万有引力定律和牛顿第二定律，有
，
联立解得
同步卫星的轨道速度，第一宇宙速度，所以 。
【强化训练丨变式题】
1.(清华大学领军计划试题)地球质量大约是月球质量的81倍，地月距离约为38万千米，
两者中心连线上有一个被称作“拉格朗日点”的位置，一飞行器处于该点，在几乎不
消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做圆周运动，则这个点到地球的距离约为
( )
C
A.3.8万千米 B.5.8万千米 C.32万千米 D.34万千米
【解析】以表示地球的质量，表示月球的质量，表示飞行器的质量， 表示地
月距离，表示飞行器到月球的距离， 表示月球公转的角速度。根据万有引力定
律和牛顿第二定律，有， 。联立以上
两式，得,由于 的值很小，在近似计算中
，即,,解得 。所以,飞
行器与地球的距离为 万千米。C选项正确。
2.(中科大强基计划试题)银河系的半径约为 光年，可见物体总质量约为太
阳质量的2 100亿倍，是地球质量的 倍。太阳在银河系的一条旋臂上，
离银心约光年，约为地球半径的 倍,地球第一宇宙速
度 。
（1）不妨把银河系看作一个质量均匀分布的球，计算太阳绕银心旋转的线速度。
【答案】
【解析】设可见物质的总质量为，太阳轨道内可见物质的质量为 ，太阳质量为
。太阳绕银心旋转的线速度为 ,则有
①
②
联立①②式，得
代入数据，得理论上太阳绕银心旋转的线速度 。
（2）已知太阳绕银心旋转一周约 亿年，问：太阳绕银心旋转的实际平均速
度多大？
【答案】
【解析】太阳绕银心旋转的实际平均速度
（式中为光速， 为年）。
（3）实际上太阳转得快可以用银河系内存在暗物质来解释。假设暗物质也均匀分布，
计算银河系暗物质密度与可见物质密度之比。
【答案】
【解析】银河系中可能存在暗物质，它也对太阳有引力作用，设太阳轨道内暗物质
的质量为，则有
可得
从而得银河系暗物质密度与可见物质密度之比为
。
设情境 素养提升
问题情境1 二十四节气——物理观念
图7-3
例7 (2025·广东广州市第六中学期末)节气是指二十四个时节和气
候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，早在西汉
《淮南子》中就有记载。现行二十四节气是按地球和太阳的连线
扫过的角度来划分的，连线每扫过 定为一个节气，如图7-3所
示为某一年北半球二十四个节气时地球在公转轨道上位置的示意
C
A.“芒种”时地球受太阳的引力比“小满”时大
B.“芒种”到“小暑”的时间间隔比“大雪”到“小寒”的短
C.“立春”时地球公转的加速度大于“立秋”时地球公转的加速度
D.地球自转周期的平方与轨道半长轴三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数
图，其中“冬至”时地球在近日点附近，则下列说法正确的是 ( )
【解析】
选项 分析 正误
A “芒种”时地球与太阳间距离大于“小满”时地球与太阳间距离，根据万 有引力定律 可知，“芒种”时地球受太阳的引力小。
B “芒种”到“小暑”地球到太阳的平均距离大于“大雪”到“小寒”地球到太 阳的平均距离，由开普勒第二定律可知，“芒种”到“小暑”地球的平均 速率小，所用时间长。
选项 分析 正误
C 地球绕太阳运动，根据万有引力提供向心力有 ，“立春”时地 球与太阳间的距离小于“立秋”时地球与太阳间的距离，故“立春”时地 球公转的加速度大。 √
D 根据开普勒第三定律和万有引力定律可知，地球公转周期的平方与轨 道半长轴三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数。
续表
问题情境2 神舟二十号载人飞船——科学思维
例8 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功对接于空间站天和核心舱径向端口。
神舟二十号先到达天和核心舱轨道正下方 的停泊点并保持相对静止，完成各种测控
后，开始沿地心与天和核心舱连线（径向）方向向天和核心舱靠近，以很小的相对
速度完成精准的端口对接。对接技术非常复杂，故作如下简化：地球质量为 ，引
力常量为，忽略地球自转的影响；核心舱运动轨道是半径为 的圆；对接前核心舱
的总质量为，神舟二十号质量为 。
（1）计算核心舱绕地球运动的周期 。
【答案】
【解析】核心舱绕地球运动，万有引力提供向心力，则
解得 。
（2）在观看对接过程时，同学们对神舟二十号维持在停泊点的状态展开讨论。
小谢同学认为：神舟二十号在核心舱下方，轨道更低，运行速度理应更快，所需向
心力更大，说明需要开动发动机给飞船提供一个指向地心的推力才能使飞船维持在
停泊点。
小时同学认为：神舟二十号在核心舱下方，却与核心舱同步环绕，所需向心力更小，
说明需要开动发动机给飞船提供一个背离地心的推力才能使飞船维持在停泊点。
请计算说明哪位同学的想法正确，并求出神舟二十号维持在停泊点所需推力 的大小
和方向。
【答案】见解析
【解析】神舟二十号维持在停泊点时，与核心舱同步环绕，核心舱与神舟二十号的
周期相同。
对核心舱，有
对神舟二十号，有
联立解得
故推力 的方向与万有引力的方向相反，即背离地心，指向核心舱，故小时同学的想
法正确。
刷真题 体验高考
1.(2025· 新课标卷)天都一号通导技术试验卫星测距试验的成功，标志着我国在深空
轨道精密测量领域取得了技术新突破。天都一号在环月椭圆轨道上运行时( )
C
A.受月球的引力大小保持不变 B.相对月球的速度大小保持不变
C.离月球越近，其相对月球的速度越大 D.离月球越近，其所受月球的引力越小
【解析】天都一号在环月椭圆轨道上运行时,与月球间的距离不断发生变化，根据
可知，受月球的引力大小发生变化，离月球越近，引力越大，故A、D错误；
根据开普勒第二定律可知，天都一号在环月椭圆轨道上运行时，相对月球的速度大
小改变，近月点速度最大，远月点速度最小，即离月球越近，相对月球的速度越大，
故B错误，C正确。
2.(2025·广东卷)一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分
别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是( )
D
A.公转周期约为6年
B.从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C.从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D.在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
【解析】
选项 分析 正误
A 根据题意，设地球与太阳间距离为 ，则小行星公转轨道的半长轴为 ，由开普勒第三定律有，结合 年， 解得小行星公转周期 年。
B 从远日点到近日点，小行星与太阳之间的距离逐渐减小，由万有引力 定律 可知，小行星受太阳引力逐渐增大。
选项 分析 正误
C 由开普勒第二定律可知，从远日点到近日点，小行星线速度大小逐渐 增大。
D 对环绕太阳运行的天体，由万有引力定律和牛顿第二定律有 ，解得 ，可知小行星在近日点的加速度与地球公转 加速度之比为 。 √
续表
3.(2025·河南卷)2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星 ，它绕
其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知轨道半径约为日地距离的 ，
其母恒星质量约为太阳质量的，则 绕其母恒星的运动周期约为( )
A
A.13天 B.27天 C.64天 D.128天
【解析】对地球绕太阳的运动，根据万有引力提供向心力得 ①
对类地行星 绕其母恒星的运动，同理有
②
联立①②解得
又，，地球绕太阳运行的周期 约为365天，（【点拨】生活常识，
也是隐含条件。）解得 天，故选A。
. .
图7-4
4.(2023·广东卷)如图7-4（a）所示，太阳系外的一颗行星 绕
恒星做匀速圆周运动。由于的遮挡，探测器探测到 的亮
度随时间做如图（b）所示的周期性变化，该周期与 的公转
周期相同。已知的质量为，引力常量为。关于 的公转，
下列说法正确的是( )
B
A.周期为 B.半径为
C.角速度的大小为 D.加速度的大小为
【解析】由题图（b）可知探测器探测到的亮度随时间变化的周期，则
的公转周期为，故A错误；绕恒星 做匀速圆周运动，由万有引力提供向心
力可得，解得半径为，故B正确； 的角速度
为，故C错误； 的加速度大小为
，故D错误。
5.(2025·陕晋青宁卷)我国计划于2028年前后发射天问三号火星探测系统，实现火星
取样返回。其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动，轨道半径约 ，轨道周期
约。引力常量取 ，根据以上数据可推算出火星的( )
A
A.质量 B.体积 C.逃逸速度 D.自转周期
【解析】轨道器绕火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，可得
，题中已知的物理量有轨道半径，轨道周期 ，
引力常量 ，可推算出火星的质量，故A正确；若想推算火星的体积、逃逸速度和自
转周期，还需要知道火星的半径，故B、C、D错误。
6.(2024·湖南卷，多选)2024年5月3日，嫦娥六号探测器顺利进入地月转移轨道，正
式开启月球之旅。相较于嫦娥四号和嫦娥五号，本次的主要任务是登陆月球背面进
行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道
返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表
面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的 。关于返回舱在该绕月
轨道上的运动，下列说法正确的是( )
BD
A.其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的 倍
D.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的 倍
【解析】
7.(2023·湖南卷)根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不
断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的
倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的 倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星
将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，
自转变快。不考虑恒星与其他物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的
倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是( )
B
A.同一恒星表面任意位置的重力加速度相同
B.恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大
C.恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变
D.中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度
【解析】
如图所示，恒星自转 万有引力有两个效果—
从赤道到两极， ,A错误
两极， ，B正确
第一宇宙速度 ,C错误
逃逸速度
错误