第5节 实验_验证机械能守恒定律-高一物理人教版必修第二册(139页PPT)
文档属性
| 名称 | 第5节 实验_验证机械能守恒定律-高一物理人教版必修第二册(139页PPT) |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 11.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版（2019） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2025-12-26 00:00:00 | ||
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文档简介
(共139张PPT)
第八章 机械能守恒定律
第5节 实验：验证机械能守恒定律
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 纸带分析与数据处理
例1 [教材第98页“练习与应用”第1题改编]某同学做验证机械能守恒定律的实验时,不
慎将一条挑选出的纸带的一部分损坏,损坏的是前端部分。剩下的一段纸带上各相邻
点间的距离已测出并标在图8-5-1中,单位是。打点计时器工作频率为 ,重力加
速度取 。
图8-5-1
（1）质量为的重物在打点计时器打2点时的速度 __________,打5点时的速度
___________,此过程中动能增加量___________,重力势能减少量
___________。由以上可得出实验结论：____________________________________。
在误差允许的范围内,该过程机械能守恒
【解析】根据匀变速直线运动的规律,可以求出重物在打点计时器打2点时的速度
,打5点时的速度
,所以动能增加量为
,纸带从2点运动到5点,重物的重力势能减少量为
,由以上可得
出实验结论：在误差允许的范围内,该过程机械能守恒。
（2）重物增加的动能往往______（选填“大于”“小于”或“等于”）减少的重力势能,实
验中产生系统误差的原因是__________________________________。
小于
存在空气阻力、纸带受到摩擦力作用
【解析】由于空气阻力和纸带受到摩擦力作用,所以重物增加的动能小于减少的重力势能。
（3）根据实验判断下列图像正确的是（其中表示重物动能的变化量, 表示重物
下落的高度）___。
C
【解析】若重物机械能守恒,重物减少的重力势能转化为动能,即 ,可见重
物增加的动能与下落的距离成正比,选项C正确。
【学会了吗丨变式题】
1.(2025·江苏扬州期末)如图8-5-3甲所示，在验证机械能守恒定律的实验中，质量
的重物由静止释放，打点计时器在纸带上打出了一系列的点，如图乙所示，
相邻计数点间的时间间隔为，长度单位是，取 。求：
图8-5-3
（1）从起点到打下计数点的过程中，重物重力势能减小量 _______，动能
的增加量 _______。（保留两位有效数字）
【解析】重力势能的减小量
打点时重物的速度
动能的增加量 。
（2）即使在实验操作规范、数据测量及数据处理很准确的前提下，该实验求得的
也一定略大于 ，这是实验存在系统误差的必然结果，该系统误差的主要产生
原因是___。
C
A.重物下落的实际距离大于测量值 B.重物质量选用得大了
C.重物在下落的过程中，有摩擦生热 D.先释放纸带后接通打点计时器的电源
【解析】重物在下落的过程中，需要克服阻力做功，重力势能并没有全部转化为动
能，因此该系统误差的主要产生原因是重物在下落的过程中，有摩擦生热。故选C。
图8-5-4
（3）某同学利用自己做该实验时打出的纸带，测量出了各计数
点到打点计时器打下的第一个点的距离 ，算出了各计数点对应
的速度，以为横轴，以 为纵轴画出了如图8-5-4所示的图线。
则图线未过原点 的原因是_______________________________
___________________，图线的斜率近似等于___。
实验中先释放重物后接通
（打点计时器）电源
A
A.B.C.
【解析】从图像中可以看出，当重物下落的高度为0时，重物的速度不为0，说明操
作中先释放重物，后接通（打点计时器）电源。
根据机械能守恒定律可得，整理可得 ，则
图像的斜率为 ，故选A。
题型2 实验方法的迁移和创新
例2 (2023·天津卷)某同学利用图8-5-5所示的气垫导轨实验装置验证机械能守恒定律，
主要实验步骤如下：
图8-5-5
A.将桌面上的气垫导轨调至水平；
B.测出遮光条的宽度
C.将滑块移至图示位置，测出遮光条到光电门的距离
D.由静止释放滑块，读出遮光条通过光电门的遮光时间
E.称出托盘和砝码总质量，滑块（含遮光条）的质量
已知当地重力加速度为 ，回答以下问题。（用题中所给的字母表示）
（1）遮光条通过光电门时的速度大小为_ __；
【解析】遮光条通过光电门时的速度大小为 。
（2）遮光条由静止运动至光电门的过程，系统重力势能减少了______，遮光条经过
光电门时，滑块、托盘和砝码的总动能为_________________；
【解析】从释放滑块到遮光条运动至光电门，这一过程中，系统重力势能的减少量
为，滑块、托盘和砝码的总动能为 。
图8-5-6
（3）通过改变滑块的释放位置，测出多组、 数据，利用
实验数据绘制 图像如图8-5-6。若图中直线的斜率近
似等于_ ______，可认为该系统机械能守恒。
【解析】若系统机械能守恒，则有 ，
整理有 ，可知若图中直线的斜率近似等于
，可认为该系统机械能守恒。
【学会了吗丨变式题】
2.用如图8-5-7所示的实验装置验证质量分别为、的物体、 组成的系统机械
能守恒。物体从高处由静止开始下落,物体 上连接着的纸带上打出一系列的点,对
纸带上的点迹进行测量来验证机械能是否守恒。如图8-5-8所示是实验中获取的一条
纸带,0是打下的第一个点,每相邻两计数点间还有4个点未画出,计数点间的距离已在
纸带上标出。已知,。（打点计时器的打点周期为, 取
,结果保留两位有效数字）
图8-5-7
图8-5-8
（1）在纸带上打下计数点5时,的速度____ ；
2.4
【解析】在纸带上打下计数点5时, 的速度
。
（2）在打点的过程中系统动能的增加量______ ,系统重力势能的减少量
______ ,由此得出的结论是____________________________________________
_______；
在误差允许的范围内，物体、组成的系统机械
能守恒
【解析】系统动能的增加量 ，系统重力势能的减少量
，因此可得出结论：在误差允许的范围内，物体、
组成的系统机械能守恒。
（3）若某同学作出图像如图8-5-9所示,写出计算当地重力加速度 的表达式
_ _______________,并根据图像计算出当地的重力加速度____ 。
9.7
图8-5-9
【解析】由整理得 ，也可得
，所以图像的斜率为，即 ，解
得 。
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘 素养点击
基本考查点 实验原理、方法、数据处理 及注意事项等。 1.理解实验原理和实验方法,明确实验
中需要注意的问题，培养严谨求实的
科学精神。
2.根据教材实验原理和方法,设计新的
实验进行验证，培养探究问题的创新
能力。
热点及难点 根据实验原理设计实验、处 理数据。 题型及难度 选择题或填空题,难度中等。 高考中地位 重要的验证性实验,命题频率 较高。 考向1 考查实验原理及数据处理
图8-5-10
例3 (2025·河南卷)实验小组利用图8-5-10所示装置验证机械能守恒
定律。可选用的器材有:交流电源（频率 ）、铁架台、电子天
平、重锤、打点计时器、纸带、刻度尺等。
（1）下列所给实验步骤中,有4个是完成实验必需且正确的,把它们选择出来并按实验
顺序排列:__________（填步骤前面的序号）。
①先接通电源,打点计时器开始打点,然后释放纸带
②先释放纸带,然后接通电源,打点计时器开始打点
③用电子天平称量重锤的质量
④将纸带下端固定在重锤上,穿过打点计时器的限位孔,用手捏住纸带上端
⑤在纸带上选取一段,用刻度尺测量该段内各点到起点的距离,记录分析数据
⑥关闭电源,取下纸带
④①⑥⑤
【解析】根据图8-5-10可知，本实验的实验原理是通过验证重锤重力势能的减少量等
于动能的增加量，来验证机械能守恒定律，验证的关系式为 ，因为等
式两边的可以消去，所以测量重锤的质量（步骤 ）不是必需的；测量重锤下落
的高度和速度均能通过打点计时器与纸带完成，按照打点计时器与纸带的使用规则
可知，应先接通打点计时器的电源，打点计时器工作稳定后再释放纸带，步骤②错
误，所以步骤①④⑤⑥是必需且正确的，正确实验操作排序为④①⑥⑤。
（2）如图8-5-11所示是纸带上连续打出的五个点、、、、 到起点的距离。则
打出点时重锤下落的速度大小为_____ （保留三位有效数字）。
图8-5-11
1.79
【解析】重锤带动纸带做匀加速直线运动，某段时间中间时刻的速度等于该段时间
的平均速度，所以打出 点时重锤下落的速度大小
。
图8-5-12
（3）纸带上各点与起点间的距离即为重锤下落高度 ,计算相应的
重锤下落速度,并绘制如图8-5-12所示的 关系图像。理论上,
若机械能守恒,图中直线应______（填“通过”或“不通过”）原点且斜
率为____（用重力加速度大小 表示）。由图8-5-12得直线的斜率
________________（保留三位有效数字）。
通过
也可
【解析】若机械能守恒，对重锤有，整理得 ，
所以图线应通过原点且斜率为 。由图8-5-12可知直线的斜率
。
（4）定义单次测量的相对误差,其中 是重锤重力势能的减小
量，是其动能增加量，则实验相对误差为_ ________ （用字母和 表
示）;当地重力加速度大小取，则_____________ （保留两位有
效数字）,若 ，可认为在实验误差允许的范围内机械能守恒。
也可
【解析】，代入数据解得 。
【类题链接丨变式题】
类题1 (2024·浙江6月卷)在“验证机械能守恒定律”的实验中:
（1）下列操作正确的是___。
B
【解析】释放纸带时，要保证纸带竖直，以便减小纸带与限位孔之间的摩擦;另外，
重锤要靠近打点计时器，以保证纸带被充分利用。故选B。
图8-5-13
（2）实验获得一条纸带，截取点迹清晰的一段并测得
数据如图8-5-13所示。已知打点的频率为 ，则打点
“13”时，重锤下落的速度大小为_____ （保留三位有
效数字）。
3.34
【解析】由知，打点周期 ,根据匀变速直
线运动中间时刻的瞬时速度等于该过程平均速度,可得打点“13”时重锤的速度
。
（3）某同学用纸带的数据求出重力加速度，并用此 值计算得出打点
“1”到“13”过程重锤的重力势能减小值为，另计算得动能增加值为
为重锤质量 ，则该结果______（选填“能”或“不能”）验证机械能守恒定律，理由
是___。
A．在误差允许范围内
B．没有用当地的重力加速度
不能
B
【解析】该同学求出的 值是重锤和纸带受到阻力时做匀加速运动的加速度，不是当
地的重力加速度，而计算重力势能时应当用当地的重力加速度，故该结果不能验证
机械能守恒定律。
考向2 考查实验方法的拓展
图8-5-14
例4 (湖北高考题)某同学设计了一个用拉力传感器验证机械
能守恒定律的实验。一根轻绳一端连接固定的拉力传感器，
另一端连接小钢球，如图8-5-14甲所示。拉起小钢球至某一
位置由静止释放，使小钢球在竖直平面内摆动，记录钢球摆
动过程中拉力传感器示数的最大值和最小值 。改变
小钢球的初始释放位置，重复上述过程。根据测量数据在直
角坐标系中绘制的 图像是一条直线，如图乙所示。
（1）若小钢球摆动过程中机械能守恒，则图乙中直线斜率的理论值为____。
【解析】设初始位置时，轻绳与竖直方向夹角为 ，则轻绳拉力最小值为
，到最低点时轻绳拉力最大，若小钢球摆动过程中机械能守恒，则
有，，联立可得 ，即
若小钢球摆动过程中机械能守恒，则图乙中直线斜率的理论值为 。
（2）由图乙得直线的斜率为_____，小钢球的重力为_____ 。（结果均保留两位有
效数字）
-2.1
0.59
【解析】由图乙得直线的斜率为， ，则小钢球的
重力为 。
（3）该实验系统误差的主要来源是___（单选，填正确答案标号）。
A.小钢球摆动角度偏大
B.小钢球初始释放位置不同
C.小钢球摆动过程中有空气阻力
C
【解析】该实验系统误差的主要来源是小钢球摆动过程中有空气阻力，使得机械能
减小，故选C。
【类题链接丨变式题】
图8-5-15
类题2 (2025·江苏卷改编)小明同学探究机械能守恒定律，
实验装置如图8-5-15所示。实验时，将小钢球在斜槽上某位
置由静止释放，钢球沿斜槽通过末端 处的光电门，光电
门记录下钢球的遮光时间。测出钢球的直径，由 得
出其通过光电门的速度 ，再计算出动能增加量
。用刻度尺测得钢球下降的高度，计算出重力势能减少量 。
（1）安装实验装置的操作有：
①在斜槽末端安装光电门 ②调节斜槽在竖直平面内
③调节斜槽末端水平 ④将斜槽安装到底座上
其合理的顺序是___（选填“A”“B”或“C”）。
A.①②③④ B.④②③① C.④①②③
B
【解析】正确步骤为先将斜槽安置于底座，再调节斜槽在竖直平面内，然后调节斜
槽末端水平，最后安装光电门，故合理的顺序为④②③①，故选B。
（2）在斜槽上5个不同的位置由静止释放钢球。测量得出的实验数据见下表。已知
钢球的质量，重力加速度 。请将下表的数据补充完整。
4.00 5.00 6.00 7.00 8.00
4.90 6.25 7.45 8.78 10.0
7.84 9.80 11.8 13.7 ______
15.68
【解析】已知,,根据 可知,下降高度为
时减少的重力势能为 。
（3）实验数据表明，明显小于 ，钢球在下降过程中发生机械能的损失。小
明认为，机械能的损失主要是由钢球受到的摩擦力做功造成的。
图8-5-16
为验证此猜想，小明另取一个完全相同的斜槽按图8-5-16
所示平滑对接。若钢球从左侧斜槽上 点由静止释放，运
动到右侧斜槽上，最高能到达点，、 两点高度差为
。则该过程中，摩擦力做功大小的理论值 ______
（用、、 表示）。
【解析】根据动能定理可得，则 。
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：20分钟
1.[链接教材第96页图8.5-2]小明利用如图所示装置进行“验证机械能
守恒定律”的实验,下列说法正确的是( )
D
A.必须用天平测量重物的质量
B.必须用秒表测出重物下落的时间,通过计算出瞬时速度
C.应先释放纸带,再接通电源
D.打点计时器使用的是交流电源
【解析】验证机械能守恒定律时，要验证的是与是否相等，即验证 与
是否相等，故不需要用天平测量重物的质量，A错误；若用 来计算瞬时速
度 ，则相当于用机械能守恒定律来验证机械能守恒定律，B错误；为了有效使用纸
带，实验时应先接通电源，再释放纸带，故C错误；打点计时器必须采用交流电源才
能正常工作，故D正确。
2.（多选）在利用自由落体运动“验证机械能守恒定律”的实验中,有关重物质量的说
法正确的是( )
AC
A.应选用质量较大的重物,使重物的重力远大于重物和纸带所受的阻力
B.应选用质量较小的重物,使重物的惯性小一些,下落时更接近于自由落体运动
C.不需要称量重物的质量
D.必须称量重物的质量,而且要估读到
【解析】本实验的原理是利用重物自由下落验证机械能守恒定律，因此应选用质量
较大的重物，使重物和纸带所受的阻力与重物所受的重力相比可以忽略不计，从而
保证重物和纸带做自由落体运动，选项A正确，B错误；重物的质量不需要测量，选
项C正确，D错误。
3.新 创新实验方法如图为“用 研究机械能守恒定律”的实验装置。
（1）本实验每次从______（选填“同一”或“不同”）高度释放摆锤，摆锤释放器的作
用是__________________。
同一
使摆锤由静止释放
【解析】本实验每次从同一高度释放摆锤，摆锤释放器的作用是使摆锤由静止释放。
（2）在实验中测得摆锤在 点的机械能明显偏小的原因可能是___。
A
A.摆锤释放前，摆线处于松弛状态
B.光电门的光电孔在 点水平线下方
C.摆锤释放时，摆锤释放器在 位置上方
D.标尺盘水平刻度线未保持水平，且右端偏高
【解析】实验时释放摆锤前摆线要拉直，若不拉直，释放后摆锤会先自由下落，摆
线绷直时有能量损失，造成摆锤在 点的机械能偏小，故A正确；若光电门的光电孔
在点水平线下方或摆锤释放器在 位置上方，都会使得摆锤下降的实际高度偏大，
所测得的摆锤到达点时的动能增大，导致测得摆锤在 点时的机械能偏大，故B、
C错误；标尺盘水平刻度线未保持水平，且右端偏高，会使得摆锤下降的实际高度偏
大，所测得的摆锤到达点时的动能增大，导致测得摆锤在 点的机械能偏大，故D
错误。故选A。
（3）若以摆锤速度的平方为纵坐标，以摆锤距离零势能点 点的高度为横坐标，作
出的直线斜率为，纵截距为，则当地重力加速度 可表示为____，摆锤初始高度
可表示为____。
【解析】设摆锤初始高度为，摆锤距离点的高度为，摆锤的速度为,质量为 ,
根据机械能守恒定律有，则 ，
图线斜率，则当地重力加速度，纵截距为 ，则
。
4.(2025·湖北孝感期末)利用图甲装置做“验证机械能守恒定律”的实验。
图甲 图乙
（1）下列说法合理的是_____。
BC
A.实验前需要用天平称出重物的质量
B.打点计时器应该接交流电源
C.实验前应调整计时器使限位孔位于同一竖直线上
D.应先释放重物，再接通电源
【解析】本实验需要验证的公式是，等式两边的 可约去，故
不需要测量重物质量，A错误；打点计时器必须接交流电源，B正确；两限位孔必须
在同一竖直线上，这样可以保证重物下落过程中纸带能平稳通过打点计时器，减小
纸带与打点计时器之间的摩擦，C正确；应先接通电源，再释放重物，这样可以充分
利用纸带，D错误。
（2）实验中，得到图乙所示的一条纸带。在纸带上选取三个连续打出的点、、 ，
测得它们到起始点的距离分别为、、 。
已知当地重力加速度为，打点计时器打点的周期为 ，重物的
质量为，从打点到打点的过程中，重物的重力势能减少了______ ，动能
增加了______ 。（结果均保留两位小数）
【解析】重力势能减少量。由题意知 ,
则动能增加量 。
（3）下列操作可以减小实验误差的是_____。
AB
A.选择质量大、体积小的重物
B.用光电门替换打点计时器
C.利用公式 计算速度
D.测量下落高度时，选择的点尽量离起始点近一些
【解析】本实验中误差来源有摩擦阻力和空气阻力，选择质量大、体积小的重物可
以减小空气阻力，故A正确；用光电门替换打点计时器，可以消除摩擦阻力，故B正
确；速度不能用公式 来计算，因为该公式成立的前提是只受重力，即机械能
守恒，如果用该公式计算速度，相当于用机械能守恒定律来验证机械能守恒定律，
故C错误；选择离起始点远一些的点，可以减小读数误差，故D错误。
5.在验证机械能守恒定律的实验中,使质量 的重物自由下落,打点计时器在
纸带上打出一系列的点,选取一条符合实验要求的纸带，如图所示。 为纸带下落的
起始点,、、为纸带上选取的三个连续点。已知打点计时器每隔 打一个
点,当地的重力加速度为 。
（1）计算打点时重物的瞬时速度时,甲同学用计算,乙同学用 计
算 。其中所选择方法正确的是____（选填“甲”或“乙”）同学。
乙
【解析】甲同学所用的公式是机械能守恒定律结论的变形公式，在本实验中不可以
使用，乙同学的方法正确。
（2）丙同学想根据纸带上的测量数据进一步计算重物和纸带下落过程中所受的阻力,
为此他计算出纸带下落的加速度为_____,从而计算出阻力______ 。
【解析】根据，代入数据可得 ，由牛顿第二定律有
，代入数据解得 。
（3）若丁同学不慎将上述纸带从点、点之间扯断,他仅利用 点之后的纸带能否
达到验证机械能守恒定律的目的 ____。（选填“能”或“不能”）
能
【解析】仅用 点之后的纸带仍能计算重物重力势能的减少量和其动能的增加量，通
过对比仍能达到验证机械能守恒定律的目的。
B 综合练丨选考通关
建议时间：25分钟
6.(2025·安徽合肥期末)同学们在做“验证机械能守恒定律”实验时，设计了如图甲、乙
所示的两种方案。
图甲 图乙
（1）为完成图甲所示实验方案，下列说法正确的是___。
B
A.还必须要有秒表
B.可以不用测出重物的质量
C.可以根据来计算重物在 时刻的瞬时速度
【解析】打点计时器本身就是计时仪器，不需要秒表，A错误；需要验证的机械能
守恒关系式为，等式两边 可约去，故可以不用测出重物的质量，B正
确；如果用来计算重物在 时刻的瞬时速度，就相当于默认了机械能是守恒的，
这就失去了验证的价值，C错误。
（2）图乙所示方案中，已知滑块与遮光条总质量为、钩码质量为 、重力加速度为
、遮光条的宽度为。将滑块由静止释放后，在钩码的牵引下，滑块运动距离为 时
恰好通过光电门，数字计时器测得遮光条通过光电门的时间为 ，则在该过程中，系统
重力势能的减少量为______，系统动能的增加量为_ _______。（用题中字母表示）。
【解析】在该过程中，系统重力势能的减少量为 ，系统动能的增加量为
。
图丙
（3）若在进行图乙所示实验时，多次改变光电门的位置并测出
多组和，描绘出 的图像，如图丙所示，若图像的斜率
_ _______，即可认为系统机械能守恒（用题中字母表示）。
【解析】若系统机械能守恒，则有 ，即
，即，可得 。
7.如图甲所示,一同学利用光电计时器等器材做验证机
械能守恒定律的实验。有一直径为、质量为 的金属
小球从处由静止释放,下落过程中能通过 处正下方、
固定于处的光电门,测得、 间的高度差为
,光电计时器记录下小球通过光电门的时间
为,当地的重力加速度为 。则：
（1）多次改变,重复上述实验,作出随的变化图像如图乙所示,当图中已知量 、
和重力加速度及小球的直径 满足表达式_ __________________________时,可判
断小球下落过程中机械能守恒。
(或
【解析】若小球减小的重力势能等于增加的动能，可以认为小球的机械能守恒，则
有，即，解得 。
（2）实验中,因受空气阻力的影响,小球动能增加量 总是稍小于重力势能减少量
,适当降低下落高度后, 将______（选填“增加”“减少”或“不变”）。
减少
【解析】由于该过程中有空气阻力做功，而、 之间高度差越大，空气阻力做功越
多，故适当减小下落高度后， 将减少。
8.新 创新实验 (2025·河南开封期末)某同学用如图甲所示的装
置验证机械能守恒定律，他将两物块和 用跨过轻质定滑轮
的轻质细绳连接， 下端连接纸带，纸带穿过固定的打点计时
器，用天平测出、两物块的质量 ，
，从高处由静止开始下落， 拖着的纸带上打出
一系列的点，对纸带上的点迹进行测量，即可验证机械能守恒定律。图乙给出的是
实验中获取的一条纸带，0是打下的第一个点，每相邻两计数点间还有4个点
（图中未标出），计数点间的距离如图乙所示，已知打点计时器的计时周期为
，重力加速度 ，则：
（1）打点“5”的瞬间，物块的速度_____ ；
2.40
【解析】两个相邻计数点间的时间间隔为
计数点4到计数点6之间的时间间隔为
打点“5”的瞬间，物块 的速度
。
（2）在打点“0”到“5”的过程中系统势能的减小量_______ ，系统动能的增加
量_______ 。
【解析】在打点“0”到“5”的过程中物块 下降的高度
该过程中系统重力势能的减少量
系统动能的增加量 。
（3）实验结果显示，系统动能的增加量小于重力势能的减少量，主要原因可能是___。
B
A.工作电压偏高
B.存在空气阻力和摩擦阻力
C.先释放物块，后接通电源打出纸带
D.利用公式而不是利用纸带来计算物块速度
【解析】工作电压偏高会使振针打点力度偏大，有可能会使打出的点迹为短线，带来
测量误差，但这并不是使系统动能的增加量小于重力势能的减少量的原因，A错误；
空气阻力和摩擦阻力的存在使得系统机械能有损失，这是系统动能的增加量小于重力
势能的减少量的主要原因，B正确；先释放物块，后接通电源打出纸带，系统的初速
度不等于0，系统初动能不等于0，而该实验中默认系统的初动能为零，那么系统动能
增加量的测量值偏大，系统动能增加量大于重力势能的减少量，C错误；利用公式计
算物块速度，是物块速度的理论值，用速度的理论值计算得到的动能增加量也是理论
值，动能增加量的理论值一定等于重力势能的减少量，这样的做法达不到验证机械能
守恒定律的目的，没有意义。应该利用纸带计算物块的实际速度，D错误。
（4）用表示物块的速度，表示物块 下落的高度。若某同学作出的图像如图丙
所示，则当地的重力加速度_____ （结果保留三位有效数字）。
9.70
【解析】根据机械能守恒定律得 ，解得
，故图线的斜率为，由题图得 ,联立解
得 。
9.某同学采用如图所示的装置做“验证小球摆动的过程中满足机械能守恒定律”的实验。
细线上端固定在铁架台上的 点，下端悬挂一小球，将小球拉起一定角度，由静止
释放，摆到最低点时，球心恰好通过固定在铁架台上的光电门，读出小球的遮光时
间 。请回答下列问题。
（1）已知当地重力加速度为 ，为了验证机械能守恒定律，还需要测量的物理量有
______。
A.小球的直径
B.点与小球之间细线的长
C.小球的质量
D.小球释放初始位置细线与竖直方向的夹角
ABD
【解析】若要验证机械能守恒定律，需要验证小球下落过程中减少的重力势能 等
于增加的动能 。小球从释放至摆到最低点的过程中，
，,要验证 ,即验证
,等式两边消去，有 。
故为了验证机械能守恒定律，还需测量小球的直径，点与小球之间细线的长度 ,
以及小球释放初始位置细线与竖直方向的夹角 。故选A、B、D。
（2）小球通过光电门的瞬时速度 _ _。（用实验中测得的物理量符号表示）
【解析】由于小球直径较小，且通过光电门时的时间较短，因此可以用时间 内小球
的平均速度来近似表示其通过光电门时的瞬时速度，即 。
（3）通过改变小球由静止释放时细线与竖直方向的夹角 ，测出对应情况下小球通
过光电门的时间 ，为了直观地判断机械能是否守恒，可作___图像。（填字母序号）
C
A. B. C. D.
【解析】由（1）知，若机械能守恒，则应有 ，解得
，由上式可知，与 呈线性关系，所以为了直观地判断机
械能是否守恒，可作 图像。故选C。
（4）若另一小组同学用安装在 点的力传感器代替光电门完成实验。将细线拉至水
平状态，把小球由静止释放，当小球摆到点正下方时，力传感器示数 为______，
则可验证小球在摆动的过程中满足机械能守恒。（用重力加速度和小球质量 表示）
【解析】若用力传感器测得小球摆到点正下方时细线拉力为 ，根据牛顿第二定律
可得，若小球下落过程机械能守恒，则有 ，联立
可得，因此当小球摆到点正下方时，力传感器示数为 ，则可验证
小球在摆动的过程中机械能守恒。
10.某实验小组利用如图所示的实验装置来验证机械
能守恒定律,当地重力加速度为 。
（1）该小组成员用游标卡尺测得遮光条的宽度
（2）实验前需要调节气垫导轨使之水平,实验时将滑块从图示位置由静止释放,由数
字计时器读出遮光条通过光电门的时间 ,则滑块经过光电门的瞬时
速度_____ （结果保留两位有效数字）。
0.58
【解析】由于遮光条的挡光时间极短，故滑块通过光电门的瞬时速度可近似等于遮
光条通过光电门的平均速度，即 。
,用天平测得滑块与遮光条的总质量为,钩码的质量为 。
（3）在本实验中为了确保钩码减少的重力势能与滑块（含遮光条）的动能增加量近
似相等,则滑块与遮光条的总质量与钩码的质量 间应满足________;本实验中还需
要测量的物理量是___________________________________（用文字说明并用相应的
字母表示）。
滑块静止时遮光条与光电门间的距离
【解析】为了使钩码减少的重力势能近似等于滑块和遮光条增加的动能，应满足滑
块和遮光条的质量远大于钩码的质量，即 ；钩码减少的重力势能等于钩码的
重力与下落高度的乘积，而钩码下落的高度等于滑块的位移，因此为了完成机械能
守恒定律的验证，需要测量的物理量还应有滑块静止时遮光条与光电门间的距离 。
（4）本实验还可以通过改变钩码的质量测得多组数据并作出 图像来进行验
证,则下列图像符合真实实验情况的是___。
C
【解析】时，由机械能守恒定律有 ，整理得
，则该图线应为一条过原点的倾斜直线，但随着钩码质量的增加，不
再满足钩码的质量远小于滑块与遮光条的总质量，此时有 ,整理得
,即随着 的增大图线应向下弯曲，C正确。
（5）针对（4）出现的情况,有同学提出以滑块、遮光条和钩码作为系统来验证机械
能守恒定律,则这位同学写出的表达式应为______________________（用题中物理量
的符号表示）。
【解析】若以滑块、遮光条以及钩码作为系统来验证机械能守恒定律，需要验证的
表达式应为 。
图甲
11.某同学利用如图甲所示的实验装置验证机械能守恒定律。弧形
轨道末端水平,离地面的高度为。将钢球从轨道的不同高度 处由
静止释放,钢球的落地点距轨道末端的水平距离为 。
（1）若轨道完全光滑,则与满足______（用、 表示）时,
机械能守恒定律成立。
【解析】若机械能守恒定律成立，则钢球离开轨道时速度为 ，由平抛运动
规律可求得平抛运动时间为，联立可得,即 时机械能
守恒定律成立。
（2）该同学经实验测量得到几组数据,如下表所示。
2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
2.62 3.89 5.20 6.53 7.78
请在图乙所示的坐标纸上作出 关系图线。
图乙
【答案】如解析图所示
【解析】依次描点，连线,如图解析所示。注意不要画成折线。
（3）对比实验结果与理论计算得到的 关系图线（理论图线图中已画出）,自同
一高度由静止释放的钢球,水平抛出的速率的实际值______（选填“小于”或“大于”）
理论值。
小于
【解析】由图可以看出，同一高度对应的 值，理论值明显大于实际值，而在同一
高度 下的平抛运动水平射程由水平抛出的速率决定，可见水平抛出的实际速率小
于理论速率。
（4）从 关系图线中分析得出钢球水平抛出的速率的理论值和实际值差异十分
显著,你认为造成上述偏差的可能原因是______________________________________
___________________。
钢球与轨道之间存在摩擦、钢球转动
（回答任一条即可）
【解析】实际实验中，轨道与钢球间存在摩擦，钢球在轨道上下滑时机械能会减少，
因此会导致水平抛出速率的实际值比理论值小。钢球在下滑过程中会发生转动，而
转动也需要能量维持，实验中没有考虑重力势能转化成转动动能的这一部分，也会
导致实际水平抛出的速率明显小于理论速率。
C 培优练丨能力提升
建议时间：10分钟
图（a）图（b）
12.如图（a）所示,用包有白纸的圆柱棒代替纸带
和重物,蘸有颜料的毛笔固定在马达上并随之转动,
使之代替打点计时器。当烧断挂圆柱棒的细线后,
圆柱棒竖直自由落下,毛笔就在包圆柱棒的白纸上
画出记号,如图（b）所示。测得记号之间的距离依
次为、、、、 , 已知马达铭牌上标有“
”字样,根据以上内容,回答下列问题。（当地重力加速度取 ）
（1）图（b）中____（选填“左”或“右”）端是圆柱棒的悬挂端。
左
【解析】刚开始棒下落的速度小，记号之间的间隔小，所以包有白纸的圆柱棒右端
向下，左端是悬挂端。
（2）根据所给的数据,可知毛笔画下记号时,圆柱棒下落的速度______ ,圆
柱棒竖直下落的加速度为_____ 。
【解析】由马达铭牌上的字样“ ”算出毛笔画线的时间间隔为
根据算出毛笔画下记号 时圆柱棒的速度
根据 可得，圆柱棒竖直下落的加速度为
。
（3）根据所给的数据,验证棒在下落过程中机械能守恒。
【答案】见解析
【解析】根据算出毛笔画下记号 时圆柱棒的速度
故从到 圆柱棒增加的动能为
减少的重力势能为
可见与 在误差允许范围内相等，这就验证了圆柱棒自由下落时机械能是守恒的。
例1 (2025·广东东莞期末)如图所示，质量相同的两物体、 ，用不可伸长的轻绳跨
过一轻质定滑轮连接，用外力使静止在水平桌面上，此时 静止在空中。撤去此外
力后，开始下降，始终未离开桌面，忽略一切摩擦阻力和空气阻力，对于从 开
始下降到接触桌面前的过程，下列说法正确的是( )
D
A.的速度大小大于 的速度大小
B. 的机械能守恒
C.、 所组成的系统机械能增加
D.绳子拉力对做的功等于 机械能的增加量
提升课 专题集训
专题1 机械能守恒定律的综合应用
类型1 轻绳连接体
1 连接体组成的系统机械能守恒问题
【解析】
选项 分析 正误
A 将的速度沿绳分解可得（ 为连接 处的绳子与水平方 向的夹角），由于,可知的速度大小小于 的速度大小。
B 因下降时绳子的拉力对做负功，则 的机械能减小。
C 、 所组成的系统中只有重力做功，则机械能守恒。
D 由功能关系可知，绳子拉力对做的功等于 机械能的增加量。 √
例2 如图所示,有一轻质杆可绕 点在竖直平面内自由转动,在杆的另一端和中点分别
固定一个质量为的小球、,杆长为，重力加速度为 。开始时,杆静止在水平位
置,已知释放杆后,小球的速度大小一直为小球的两倍，则杆转到竖直位置时,、
两小球的速度各是多少？
【答案】
类型2 轻杆连接体
【解析】把、两小球和杆看成一个系统,杆对、 两小球的弹力为系统的内力,对
系统而言,只有重力做功,系统的机械能守恒。（此处易误以为杆的弹力对、 两小
球均不做功，、各自的机械能守恒。）设杆转到竖直位置时，、 两小球的速度
分别是和,以球在最低点所处的水平面为零势能面,则初状态：系统动能 ,
重力势能
末状态（即杆转到竖直位置）
系统动能
重力势能
由机械能守恒定律得
. .
. .
①
其中 ②
联立①②式解得, 。
例3 (2025·郑州外国语学校调研)如图所示，质量分别为、的小物块和 通过劲
度系数为的轻弹簧相连接，竖直静止在水平地面上。若给小物块 一竖直方向的瞬
时速度，之后小物块恰好能离开地面，弹簧始终处于弹性限度内。重力加速度为 ，
弹簧的弹性势能（为弹簧的形变量），则小物块 获得的初速度大小为
( )
A
A. B. C. D.
类型3 轻弹簧连接体
【解析】初始时，小物块静止，有
之后小物块恰好能离开地面，则有
小物块、 与弹簧组成的系统机械能守恒，有
联立解得 ，故选A。
2 非质点类物体机械能守恒问题
类型1 “液柱”类问题
例4 (2025·陕西师范大学附属中学期末)如图所示，粗细均匀、两端开口
的 形管内装有同种液体，开始时阀门处于关闭状态，两边液柱高度差为
，管中液柱总长度为 ，后来打开阀门让液体自由流动，不计摩擦阻力，
重力加速度为 ，当两边液柱高度相等时，液柱流动的速度为( )
A
A. B. C. D.
【解析】设管的横截面积为，液体的密度为 。打开阀门后，液体开始流动，不计
摩擦阻力，液体机械能守恒，减少的重力势能转化为动能。如图所示，两边液柱相
平时，相当于右管高的液柱移到左管中，此部分液体的重心下降的高度为 ，由
机械能守恒定律得，解得 ，A正确。
类型2 “链条”类问题
例5 (2025·湖南湘潭期中)如图甲所示，为一长度为的均匀链条，总质量为 ，一
半放在水平桌面上，一半竖直下垂。如图乙所示，为两个质量均为 的小球组成
的系统，中间用不计质量、不可伸长的细绳相连，一个放在水平桌面上，一个竖直
下垂，水平部分和竖直部分细绳的长度均为 ，小球可视为质点。取水平桌面所在的
平面为零势能面，重力加速度大小为，不计一切摩擦。用外力使和 静止在图示
位置，关于从刚撤去外力到、 刚好离开桌面这个过程，下列说法不正确的是
( )
图甲
图乙
A.刚好离开桌面时速度大小为
B.两者刚好离开水平桌面时，的重力瞬时功率大于 的重力瞬时功率
C.的重力做功为，的重力做功为
D.重力势能的减少量小于 重力势能的减少量
√
【解析】
因为，即，故两者刚好离开水平桌面时，的重力瞬时功率大于
的重力瞬时功率，B正确。由 可知重力势能的减少量等于重力做的功，
因为，所以重力势能的减少量大于 重力势能的减少
量，故D错误。
强化集训
针对训练
1.(2025·安徽滁州期末)如图所示，可视为质点的小球、
用不可伸长的细软线连接，跨过固定在地面上半径为 的光
滑圆柱，的质量为的3倍。当位于地面时， 恰与圆柱
轴心等高。将由静止释放， 下落到地面时不再弹起，不
计空气阻力，则 上升的最大高度是( )
A
A. B. C. D.
【解析】设的质量为，则的质量为，球恰好落地前，、 组成的系统机械
能守恒，有，解得刚要落地时，、 的速度大小
，设落地后，能上升的高度为,对运用动能定理得 ，
解得，则上升的最大高度为 ，故选A。
2.(2025·山西朔州模拟)如图所示，折成 的光滑细杆固定在竖直面内， 段
水平，用轻杆通过光滑铰链连接的、两个小球分别套在细杆的段和段， 、
可视为质点，开始时小球在点，由静止释放两小球，在小球向左运动到 点的
过程中，下列说法正确的是( )
D
A.小球 重力的功率越来越大
B.轻杆对小球 做正功
C.轻杆对小球 作用力的功率越来越大
D.小球动能的增加量等于小球 机械能的减少量
【解析】
当、运动到图示位置时，设轻杆与竖直方向的夹角为 ，与水平方向的夹角为 。
选 项 分析 正
误
A 根据,结合上述分析可知小球 重力的功率先增大后减小。
B 的动能变化量为零，而的重力势能减小，故轻杆对小球 做负功。
C 当运动到点时 ，此时轻杆对小球 作用力的功率 ，，可知 ，即功率不可能越来越大。
D 对、 及轻杆组成的系统而言，只有重力做功，系统机械能守恒，轻杆质 量可忽略不计，即小球和小球的机械能之和保持不变，又小球 的重力势 能不变，则小球动能的增加量等于小球 机械能的减少量。 √
3.（多选）如图所示，将质量为 的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质
量为的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的小定滑轮与直杆的距离为 ，杆
上的点与定滑轮等高，杆上的点在点下方且与点间的距离为。现将环从 点
处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是( )
BC
A.环到达点时，环的速度大小是重物的
B.环从到 ，机械能减少
C.环能下降的最大距离为
D.环到达点时，重物上升的高度为
【解析】对环在 点的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向进行分解，环沿绳子方向上
的分速度大小等于重物的速度大小，有，解得 ，
所以环的速度大小是重物的 倍，选项A错误；环和重物组成的系统机械能守恒，
环从到，重物的机械能增加，故环的机械能减少，选项B正确；设环下滑 时，环
和重物的速度均为0，此时重物上升的最大高度为 ，根据系统的
机械能守恒有，解得 ，故选项C正确；根据几何关系知，环
从下滑至点时，重物上升的高度 ，故选项D错误。
4.如图所示，有一条长为 的均匀金属链条，一半在光滑斜面上，另一半沿竖直方向
下垂在空中，斜面倾角为 ，当链条从静止开始释放后链条竖直部分向下滑动，求
链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大。（重力加速度为 ）
【答案】
【解析】取斜面的最高点所在的水平面为零势能参考平面，链条的总质量设为 ，
则开始时斜面上的那部分链条（分段法）的重力势能为
竖直的那部分链条的重力势能为
则开始时整条链条的机械能为
当链条刚好全部滑出斜面时，重力势能为
动能为 ，则机械能为
. .
. .
因为只有重力做功，所以链条的机械能守恒，则由机械能守恒定律得 ,即
解得 。
高考链接
5.(江苏高考题，多选)如图所示，三个小球、、的质量均为，与、 间通过
铰链用轻杆连接，杆长为，、 置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，弹簧处于
原长。现由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角 由 变为 ，、、
在同一竖直平面内运动，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为 。则在
此过程中( )
AB
A.的动能达到最大前，受到地面的支持力小于
B.的动能最大时，受到地面的支持力等于
C.弹簧的弹性势能最大时， 的加速度方向竖直向下
D.弹簧的弹性势能最大值为
【解析】的动能最大时，设和受到地面的支持力大小均为 ，此时整体在竖直方
向受力平衡，可得，所以，在的动能达到最大前， 一直加速
下降，处于失重状态，所以受到地面的支持力小于，故A、B正确； 到达最
低点时动能为零，此时弹簧的弹性势能最大， 的加速度方向向上，故C错误；由C
项分析可知， 到达最低点时弹簧的弹性势能最大，此时三个小球的动能均为零，由
机械能守恒定律得，弹性势能的最大值为 ，
故D错误。
6.(福建高考题)如图所示，表面光滑的固定斜面顶端安装一定滑轮，小物块、 用
轻绳连接并跨过滑轮（不计滑轮的质量和摩擦）。初始时刻，、 处于同一高度并
恰好静止。剪断轻绳后下落、 沿斜面下滑，则从剪断轻绳到物块着地，两物块
( )
D
A.速率的变化量不同 B.机械能的变化量不同
C.重力势能的变化量相同 D.重力做功的平均功率相同
【解析】斜面倾角为 ，刚开始、 处于静止状态，根据受力平衡有
，所以。剪断轻绳后自由下落，沿斜面下滑，、 都
只有重力做功，从剪断轻绳到物块着地，根据动能定理得 ，解得
，又因为两物块下落高度相同，所以、 速率的变化量相同，故A错
误；、 下落过程中都只有重力做功，机械能守恒，故两物块机械能的变化量相同，
均为零，B错误；重力势能的变化量，由于下落高度相同，、 的质量
不相等，所以它们重力势能的变化量也不相同，故C错误；由匀变速运动规律得，
运动的时间为，则重力对做功的平均功率为， 运
动的时间满足，解得，则重力对 做功的平均功
率为，又因为 ，所以 ，故D
正确。
7.(河北高考题，多选)如图所示，轻质定滑轮固定在天花板上，物体 和
用不可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上，质量， 时刻
将两物体由静止释放，物体的加速度大小为。 时刻轻绳突然断开，
物体能够达到的最高点恰与物体释放位置处于同一高度，取 时
刻物体所在水平面为零势能面，此时物体的机械能为 。重力加速度
BCD
A.物体和的质量之比为 B.时刻物体的机械能为
C.时刻物体重力的功率为 D.时刻物体的速度大小为
大小为 ，不计摩擦和空气阻力，两物体均可视为质点。下列说法正确的是
( )
【解析】时刻将两物体由静止释放，物体的加速度大小为 ，设轻绳的拉
力大小为,根据牛顿第二定律可知，, ,联立解得
，故A错误；时刻，、的速度大小为， 升高的位移为
，此后 做竖直上抛运动，则速度减为0的时间为
，竖直上抛的位移，则整个过程 上升的高度
，可知初始时刻到零势能面的高度为 ,对应的机
械能，时刻物体的机械能为（其中 为轻绳的
拉力大小），根据牛顿第二定律有,联立解得，故B正确；
时刻物体的速度大小为 ，其重力的功率为
，故C、D正确。
类型1 基本应用
例1 如图所示，卷扬机的绳索通过定滑轮用力 拉
位于粗糙斜面上的木箱，使之沿斜面加速向上移
动。在移动过程中，下列说法正确的是( )
C
A. 对木箱做的功等于木箱增加的动能与木箱克服摩擦力做的功之和
B. 对木箱做的功等于木箱克服摩擦力和克服重力所做的功之和
C.木箱克服重力所做的功等于木箱增加的重力势能
D. 对木箱做的功小于木箱增加的动能与木箱克服摩擦力所做的功之和
【解析】木箱沿粗糙斜面加速向上移动，由功能关系可知， 对木箱做的功数值上等
于木箱增加的动能、重力势能以及木箱克服摩擦力做的功之和，故A、B、D错误；
木箱在加速向上移动的过程中，克服重力所做的功在数值上等于木箱增加的重力势
能，故C正确。
专题2 功能关系 能量守恒定律
类型2 直线运动中的功能关系
例2 (2025·云南卷)如图所示，质量为的滑块（视为质点）与水平面上 段的动摩
擦因数为，与其余部分的动摩擦因数为，且 。第一次，滑块从Ⅰ位置以速
度向右滑动，通过 段后停在水平面上的某一位置，整个运动过程中，滑块的位
移大小为，所用时间为；第二次，滑块从Ⅱ位置以相同速度 向右滑动，通过
段后停在水平面上的另一位置，整个运动过程中，滑块的位移大小为 ，所用时
间为 。忽略空气阻力，水平面足够长，则( )
A
A. B. C. D.
【解析】对滑块两次运动的整个过程，根据能量守恒定律有
，
，可得 ，故C、
D错误。根据牛顿第二定律有 ，可得滑块在水平面
上的加速度大小，由于，故滑块在 段的加速度大，根据前面分析
可知两次运动的总位移相等，即两次运动过程中 图像与横轴围成图形的面积相
等，由于第二次时滑块距离点较近，根据公式 可知，第二次到
达点时速度较大，作出滑块两次运动的图像，如图所示，可得 ，故A
正确，B错误。
类型3 传送带模型中的功能关系
例3 如图甲所示，长为、倾角为 的传送带逆时针匀速转动，物块 和物
块 通过足够长的细线相连（细线跨过光滑的定滑轮），细线倾斜部分与传送带平行。
现将物块从传送带顶端由静止释放，此后物块的动能随位移变化的 图像如
图乙所示。已知物块的质量为物块质量的5倍，重力加速度为， ，
，图像中、 均为已知量。求：
图甲
图乙
（1）物块与传送带间的动摩擦因数及其在 段内运动的加速度大小；
【答案】
【解析】设物块的质量为，当的位移为时，有, ,
联立解得
同理可得，当的位移为时，
段内,对、 组成的系统，由能量守恒定律得
（【点拨】 刚运动时速率小于传送带的速率，受到的
摩擦力沿传送带向下。）
. .
段内，对系统由能量守恒定律得
（【点拨】段内， 受到的摩擦力沿传送带向
上。）
段内由牛顿第二定律
对有
对有
联立解得,，加速度大小 。
. .
（2）物块在段内相对于传送带滑动的总路程及其在 段内与传送带由
于摩擦产生的热量。
【答案】
【解析】由图乙可知的位移为时恰好与传送带共速，设传送带的速度大小为 ，
段内对由运动学公式得
二者之间的相对位移为
设的位移为时的速度为，则
解得
内的位移为
二者的相对位移为
所以物块在段内相对于传送带滑动的总路程为
段内 与传送带由于摩擦产生的热量为
结合（1）中分析得 。
类型4 滑块—滑板模型中的功能关系
例4 如图所示，水平地面上有一长、质量 的长板，其右端上方有一
固定挡板。质量的小滑块从长板的左端以 的初速度向右运动，
同时长板在水平拉力作用下以 的速度向右匀速运动，滑块与挡板相碰后
速度为0，长板继续匀速运动，直到长板与滑块分离。已知长板与地面间的动摩擦因
数，滑块与长板间的动摩擦因数，重力加速度取 。求：
（1）滑块从长板的左端运动至挡板处的过程，长板的位移 ；
【答案】
【解析】开始时，滑块在板上做匀减速运动,，解得
根据运动学公式得
解得（ 舍去）
碰到挡板前滑块速度 ，说明滑块一直匀减速，板移动
的位移 。
（2）滑块碰到挡板前，水平拉力大小 ；
【答案】
【解析】对板受力分析如图所示，有
其中，，解得 。
（3）滑块从长板的左端运动至与长板分离的过程，系统因摩擦产生的热量 。
【答案】
【解析】 滑块与挡板碰撞前，滑块与长板因摩擦产生的热量
滑块与挡板碰撞后，滑块与长板因摩擦产生的热量
整个过程中，长板与地面因摩擦产生的热量
所以，系统因摩擦产生的热量
。
滑块与挡板碰撞前，长板受到的拉力为 ［第（2）问可知］
做功为
滑块与挡板碰撞后，长板受到的拉力为
， 做功为
碰到挡板前滑块速度，滑块动能变化 ,所以系统因摩
擦产生的热量
。
类型5 曲线运动中的功能关系
例5 如图所示,光滑曲面与水平面平滑连接于点, 右端
连接内壁光滑、半径为的细圆管,管口 端正下方直立一根
劲度系数为的轻弹簧,轻弹簧一端固定,另一端恰好与管口 端平
齐。可视为质点、质量为的滑块从曲面上距的高度为 处
由静止开始下滑,滑块与间的动摩擦因数,进入管口 端时
与圆管恰好无作用力,通过 后压缩弹簧,在压缩弹簧的过程中,滑块速度最大时弹簧
的弹性势能为 ,求：
（1）滑块到达点时的速度大小 ；
【答案】
【解析】滑块在曲面上下滑过程中机械能守恒,有
解得滑块到达点时的速度 。
（2）水平面的长度 ；
【答案】
【解析】滑块进入管口时对圆管恰好无作用力,只受重力,根据牛顿第二定律有
解得滑块到达点时的速度
滑块由到 的过程中,根据动能定理有
解得水平面的长度 。
（3）在压缩弹簧的过程中滑块的最大速度 。
【答案】
【解析】当滑块的加速度为零时有最大速度 ,此时有
,弹簧的弹性势能为
滑块由经 到压缩弹簧速度达到最大的过程,有
解得 。
强化集训
针对训练
1.新极限运动 如图所示是高空翼装飞行爱好者在空中滑翔的情景，在空中长距离滑
翔的过程中滑翔爱好者( )
D
A.机械能守恒 B.重力势能的减小量小于重力做的功
C.重力势能的减小量等于动能的增加量 D.动能的增加量等于合力做的功
【解析】
选项 分析 正误
A 滑翔的过程中除重力做功外，还有空气阻力做功，机械能不守恒。
B 由功能关系可知，重力势能的减小量等于重力做的功。
C 由能量守恒定律可知，重力势能的减小量等于动能的增加量与克服 阻力所做的功之和。
D 由动能定理可知，合外力所做的功等于动能的变化量。 √
2.（多选）某物体以初动能冲上一足够长斜面，再次回到出发点时，其动能为 ，
若使物体以 的初动能第二次冲上斜面，则从第二次冲上斜面到其再次返回出发点
的过程中，以下说法正确的是( )
AD
A.第二次运动的总路程是第一次的两倍
B.第二次运动回到出发点时，速度是第一次回到出发点时的两倍
C.第二次运动回到出发点时，动能为
D.第二次运动到达最高点时，其机械能为 （以出发点所在平面为参考平面）
【解析】设物体以初动能冲上斜面时的初速度为，则以初动能 冲上斜面时，
初速度为，冲上斜面后加速度相同，根据 ，可知第二次冲上斜面
的位移是第一次的两倍，第二次运动的总路程是第一次的两倍，故A正确；设第一
次沿斜面向上运动的位移为，根据功能关系有 ，第二次运动回
到出发点时，动能为 ，第二次运动回到出发点时，速度是
第一次回到出发点的 倍，故B、C错误；第二次运动到达最高点时，其机械能为
，故D正确。
3.2022年北京冬奥会上有一种女子单板滑雪 形池项目，如图所示为
形池模型，池内各处粗糙程度相同，其中、为 形池两侧边缘，
且在同一水平面。某运动员从点上方高的点处自由下落由左侧
点沿切线进入池中，从右侧点沿切线飞出形池后上升至最高位置
点（相对点高度为）。不计空气阻力，为 形池最低点，重力加
速度为 ，则运动员( )
D
A.第一次从到的过程中，机械能损失
B.运动员两次经过点时对 形池的压力相同
C.从向下返回一定不能再次经过 点
D.从向下返回一定能越过 点再上升一定高度
【解析】设、所在平面为零势能面，运动员从到 的过程由机械能守恒定律有
，从到的过程，由机械能守恒定律有，所以第一次从到 的
过程中，机械能损失为，故A错误；运动员在 点有
，由于运动员第一次经过点时的速度大于第二次经过 点时的速度，
所以运动员第一次经过点时受到的支持力大于第二次经过 点时受到的支持力，根
据牛顿第三定律可知，运动员第一次经过点时对形池的压力大于第二次经过 点
时对形池的压力，故B错误；结合A项分析可知，第一次从到 的过程中，运动员
克服摩擦力做功的大小为，由于从返回的过程，经过 形池某一
位置的速度总是比从到过程经过 形池相同位置的速度小，可知返回过程的平均
摩擦力比从到过程的平均摩擦力小，所以返回时从到 的过程中，运动员克服摩
擦力做的功小于，可知运动员从向下返回时，一定能越过 点再上升一定高
度，故C错误，D正确。
4.[滑块—滑板模型]如图甲所示，一长木板静止在水平地面上，在 时刻，一小
物块以一定速度从左端滑上长木板，此后长木板运动的 图像如图乙所示。已知
小物块与长木板的质量均为，木板足够长 ，求：
（1）长木板与地面以及小物块与长木板间动摩擦因数的值；
【答案】
【解析】设长木板与小物块间动摩擦因数为，长木板与地面间动摩擦因数为 ，
对长木板，由牛顿第二定律得
由运动学规律有
之后木板和物块相对静止，共同做匀减速运动，由牛顿第二定律得
由运动学规律有
由图乙可知，，
联立解得， 。
（2）在整个运动过程中，系统所产生的热量。
【答案】
【解析】对小物块，在其减速至与长木板共速过程中，有 ，
在整个过程中，对系统应用能量守恒定律得，系统所产生的热量
联立解得 。
5.如图所示，是罐装饮料生产线的一个环节。机械臂每隔一秒将一
个饮料罐无初速度放在水平传送带上，经
过后饮料罐与传送带达到相同的速度，再经过 饮
料罐离开传送带。已知传送带的运行速率 ，一个饮料
罐的质量为，重力加速度 ,求：
（1）饮料罐与传送带之间的动摩擦因数 ；
【答案】0.4
【解析】饮料罐加速阶段的加速度大小
根据牛顿第二定律有
解得 。
（2）相邻两个饮料罐间的最大距离和最小距离 ；
【答案】
【解析】当第二个饮料罐刚刚放上传送带时，两个饮料罐间距离最小，最小值为
当第二个饮料罐速度与传送带速度相等时，两个饮料罐之间的距离最大，最大值为
。
【点拨】从第二个饮料罐放上传送带到其与传送带共速，二者的相对位移。
. .
（3）第一个饮料罐放上后，一分钟内由于传送带受饮料罐的摩擦力使得电动机多做
的功 。
【答案】
【解析】电动机多做的功等于摩擦力对传送带所做负功的绝对值，每多放一个饮料
罐，电动机需要多做的功为
一分钟内电动机多做的功 。
高考链接
6.(2025·山东卷)一辆电动小车上的光伏电池，将太阳能转换成的电能全部给电动机
供电，刚好维持小车以速度匀速运动，此时电动机的效率为 。已知小车的质量
为，运动过程中受到的阻力（为常量），该光伏电池的光电转换效率为 ，
则光伏电池单位时间内获得的太阳能为( )
A
A. B. C. D.
【解析】小车匀速运动时，电动机的输出功率等于小车受到的阻力的功率，有
，所以电动机的输入功率（光伏电池的输出功率）为
，则光伏电池的输入功率（单位时间内获得的太阳能）为
，A正确。
7.(2024·江苏卷)如图所示，粗糙斜面的动摩擦因数为 ，倾角为
，斜面长为。一个质量为 的物块（可视为质点）在电动机
作用下，从点由静止加速至点时达到最大速度 ，之后匀速
（1）段长 ；
【答案】
【解析】物块在段运动的过程中，由牛顿第二定律得
由运动学公式有
联立解得 。
运动至点，关闭电动机，物块恰好到达最高点点。重力加速度为 ，不计电动机
产生电热所消耗的电能。求：
（2）段电动机的输出功率 ；
【答案】
【解析】物块在 段匀速运动，则电动机的牵引力为
由得 。
（3）全过程物块增加的机械能和电动机消耗的总电能 的比值。
【答案】
【解析】全过程物块增加的机械能为
整个过程由能量守恒定律得，电动机消耗的总电能转化为物块增加的机械能和摩擦
产生的内能，故可知
则 。
第八章 机械能守恒定律
第5节 实验：验证机械能守恒定律
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 纸带分析与数据处理
例1 [教材第98页“练习与应用”第1题改编]某同学做验证机械能守恒定律的实验时,不
慎将一条挑选出的纸带的一部分损坏,损坏的是前端部分。剩下的一段纸带上各相邻
点间的距离已测出并标在图8-5-1中,单位是。打点计时器工作频率为 ,重力加
速度取 。
图8-5-1
（1）质量为的重物在打点计时器打2点时的速度 __________,打5点时的速度
___________,此过程中动能增加量___________,重力势能减少量
___________。由以上可得出实验结论：____________________________________。
在误差允许的范围内,该过程机械能守恒
【解析】根据匀变速直线运动的规律,可以求出重物在打点计时器打2点时的速度
,打5点时的速度
,所以动能增加量为
,纸带从2点运动到5点,重物的重力势能减少量为
,由以上可得
出实验结论：在误差允许的范围内,该过程机械能守恒。
（2）重物增加的动能往往______（选填“大于”“小于”或“等于”）减少的重力势能,实
验中产生系统误差的原因是__________________________________。
小于
存在空气阻力、纸带受到摩擦力作用
【解析】由于空气阻力和纸带受到摩擦力作用,所以重物增加的动能小于减少的重力势能。
（3）根据实验判断下列图像正确的是（其中表示重物动能的变化量, 表示重物
下落的高度）___。
C
【解析】若重物机械能守恒,重物减少的重力势能转化为动能,即 ,可见重
物增加的动能与下落的距离成正比,选项C正确。
【学会了吗丨变式题】
1.(2025·江苏扬州期末)如图8-5-3甲所示，在验证机械能守恒定律的实验中，质量
的重物由静止释放，打点计时器在纸带上打出了一系列的点，如图乙所示，
相邻计数点间的时间间隔为，长度单位是，取 。求：
图8-5-3
（1）从起点到打下计数点的过程中，重物重力势能减小量 _______，动能
的增加量 _______。（保留两位有效数字）
【解析】重力势能的减小量
打点时重物的速度
动能的增加量 。
（2）即使在实验操作规范、数据测量及数据处理很准确的前提下，该实验求得的
也一定略大于 ，这是实验存在系统误差的必然结果，该系统误差的主要产生
原因是___。
C
A.重物下落的实际距离大于测量值 B.重物质量选用得大了
C.重物在下落的过程中，有摩擦生热 D.先释放纸带后接通打点计时器的电源
【解析】重物在下落的过程中，需要克服阻力做功，重力势能并没有全部转化为动
能，因此该系统误差的主要产生原因是重物在下落的过程中，有摩擦生热。故选C。
图8-5-4
（3）某同学利用自己做该实验时打出的纸带，测量出了各计数
点到打点计时器打下的第一个点的距离 ，算出了各计数点对应
的速度，以为横轴，以 为纵轴画出了如图8-5-4所示的图线。
则图线未过原点 的原因是_______________________________
___________________，图线的斜率近似等于___。
实验中先释放重物后接通
（打点计时器）电源
A
A.B.C.
【解析】从图像中可以看出，当重物下落的高度为0时，重物的速度不为0，说明操
作中先释放重物，后接通（打点计时器）电源。
根据机械能守恒定律可得，整理可得 ，则
图像的斜率为 ，故选A。
题型2 实验方法的迁移和创新
例2 (2023·天津卷)某同学利用图8-5-5所示的气垫导轨实验装置验证机械能守恒定律，
主要实验步骤如下：
图8-5-5
A.将桌面上的气垫导轨调至水平；
B.测出遮光条的宽度
C.将滑块移至图示位置，测出遮光条到光电门的距离
D.由静止释放滑块，读出遮光条通过光电门的遮光时间
E.称出托盘和砝码总质量，滑块（含遮光条）的质量
已知当地重力加速度为 ，回答以下问题。（用题中所给的字母表示）
（1）遮光条通过光电门时的速度大小为_ __；
【解析】遮光条通过光电门时的速度大小为 。
（2）遮光条由静止运动至光电门的过程，系统重力势能减少了______，遮光条经过
光电门时，滑块、托盘和砝码的总动能为_________________；
【解析】从释放滑块到遮光条运动至光电门，这一过程中，系统重力势能的减少量
为，滑块、托盘和砝码的总动能为 。
图8-5-6
（3）通过改变滑块的释放位置，测出多组、 数据，利用
实验数据绘制 图像如图8-5-6。若图中直线的斜率近
似等于_ ______，可认为该系统机械能守恒。
【解析】若系统机械能守恒，则有 ，
整理有 ，可知若图中直线的斜率近似等于
，可认为该系统机械能守恒。
【学会了吗丨变式题】
2.用如图8-5-7所示的实验装置验证质量分别为、的物体、 组成的系统机械
能守恒。物体从高处由静止开始下落,物体 上连接着的纸带上打出一系列的点,对
纸带上的点迹进行测量来验证机械能是否守恒。如图8-5-8所示是实验中获取的一条
纸带,0是打下的第一个点,每相邻两计数点间还有4个点未画出,计数点间的距离已在
纸带上标出。已知,。（打点计时器的打点周期为, 取
,结果保留两位有效数字）
图8-5-7
图8-5-8
（1）在纸带上打下计数点5时,的速度____ ；
2.4
【解析】在纸带上打下计数点5时, 的速度
。
（2）在打点的过程中系统动能的增加量______ ,系统重力势能的减少量
______ ,由此得出的结论是____________________________________________
_______；
在误差允许的范围内，物体、组成的系统机械
能守恒
【解析】系统动能的增加量 ，系统重力势能的减少量
，因此可得出结论：在误差允许的范围内，物体、
组成的系统机械能守恒。
（3）若某同学作出图像如图8-5-9所示,写出计算当地重力加速度 的表达式
_ _______________,并根据图像计算出当地的重力加速度____ 。
9.7
图8-5-9
【解析】由整理得 ，也可得
，所以图像的斜率为，即 ，解
得 。
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘 素养点击
基本考查点 实验原理、方法、数据处理 及注意事项等。 1.理解实验原理和实验方法,明确实验
中需要注意的问题，培养严谨求实的
科学精神。
2.根据教材实验原理和方法,设计新的
实验进行验证，培养探究问题的创新
能力。
热点及难点 根据实验原理设计实验、处 理数据。 题型及难度 选择题或填空题,难度中等。 高考中地位 重要的验证性实验,命题频率 较高。 考向1 考查实验原理及数据处理
图8-5-10
例3 (2025·河南卷)实验小组利用图8-5-10所示装置验证机械能守恒
定律。可选用的器材有:交流电源（频率 ）、铁架台、电子天
平、重锤、打点计时器、纸带、刻度尺等。
（1）下列所给实验步骤中,有4个是完成实验必需且正确的,把它们选择出来并按实验
顺序排列:__________（填步骤前面的序号）。
①先接通电源,打点计时器开始打点,然后释放纸带
②先释放纸带,然后接通电源,打点计时器开始打点
③用电子天平称量重锤的质量
④将纸带下端固定在重锤上,穿过打点计时器的限位孔,用手捏住纸带上端
⑤在纸带上选取一段,用刻度尺测量该段内各点到起点的距离,记录分析数据
⑥关闭电源,取下纸带
④①⑥⑤
【解析】根据图8-5-10可知，本实验的实验原理是通过验证重锤重力势能的减少量等
于动能的增加量，来验证机械能守恒定律，验证的关系式为 ，因为等
式两边的可以消去，所以测量重锤的质量（步骤 ）不是必需的；测量重锤下落
的高度和速度均能通过打点计时器与纸带完成，按照打点计时器与纸带的使用规则
可知，应先接通打点计时器的电源，打点计时器工作稳定后再释放纸带，步骤②错
误，所以步骤①④⑤⑥是必需且正确的，正确实验操作排序为④①⑥⑤。
（2）如图8-5-11所示是纸带上连续打出的五个点、、、、 到起点的距离。则
打出点时重锤下落的速度大小为_____ （保留三位有效数字）。
图8-5-11
1.79
【解析】重锤带动纸带做匀加速直线运动，某段时间中间时刻的速度等于该段时间
的平均速度，所以打出 点时重锤下落的速度大小
。
图8-5-12
（3）纸带上各点与起点间的距离即为重锤下落高度 ,计算相应的
重锤下落速度,并绘制如图8-5-12所示的 关系图像。理论上,
若机械能守恒,图中直线应______（填“通过”或“不通过”）原点且斜
率为____（用重力加速度大小 表示）。由图8-5-12得直线的斜率
________________（保留三位有效数字）。
通过
也可
【解析】若机械能守恒，对重锤有，整理得 ，
所以图线应通过原点且斜率为 。由图8-5-12可知直线的斜率
。
（4）定义单次测量的相对误差,其中 是重锤重力势能的减小
量，是其动能增加量，则实验相对误差为_ ________ （用字母和 表
示）;当地重力加速度大小取，则_____________ （保留两位有
效数字）,若 ，可认为在实验误差允许的范围内机械能守恒。
也可
【解析】，代入数据解得 。
【类题链接丨变式题】
类题1 (2024·浙江6月卷)在“验证机械能守恒定律”的实验中:
（1）下列操作正确的是___。
B
【解析】释放纸带时，要保证纸带竖直，以便减小纸带与限位孔之间的摩擦;另外，
重锤要靠近打点计时器，以保证纸带被充分利用。故选B。
图8-5-13
（2）实验获得一条纸带，截取点迹清晰的一段并测得
数据如图8-5-13所示。已知打点的频率为 ，则打点
“13”时，重锤下落的速度大小为_____ （保留三位有
效数字）。
3.34
【解析】由知，打点周期 ,根据匀变速直
线运动中间时刻的瞬时速度等于该过程平均速度,可得打点“13”时重锤的速度
。
（3）某同学用纸带的数据求出重力加速度，并用此 值计算得出打点
“1”到“13”过程重锤的重力势能减小值为，另计算得动能增加值为
为重锤质量 ，则该结果______（选填“能”或“不能”）验证机械能守恒定律，理由
是___。
A．在误差允许范围内
B．没有用当地的重力加速度
不能
B
【解析】该同学求出的 值是重锤和纸带受到阻力时做匀加速运动的加速度，不是当
地的重力加速度，而计算重力势能时应当用当地的重力加速度，故该结果不能验证
机械能守恒定律。
考向2 考查实验方法的拓展
图8-5-14
例4 (湖北高考题)某同学设计了一个用拉力传感器验证机械
能守恒定律的实验。一根轻绳一端连接固定的拉力传感器，
另一端连接小钢球，如图8-5-14甲所示。拉起小钢球至某一
位置由静止释放，使小钢球在竖直平面内摆动，记录钢球摆
动过程中拉力传感器示数的最大值和最小值 。改变
小钢球的初始释放位置，重复上述过程。根据测量数据在直
角坐标系中绘制的 图像是一条直线，如图乙所示。
（1）若小钢球摆动过程中机械能守恒，则图乙中直线斜率的理论值为____。
【解析】设初始位置时，轻绳与竖直方向夹角为 ，则轻绳拉力最小值为
，到最低点时轻绳拉力最大，若小钢球摆动过程中机械能守恒，则
有，，联立可得 ，即
若小钢球摆动过程中机械能守恒，则图乙中直线斜率的理论值为 。
（2）由图乙得直线的斜率为_____，小钢球的重力为_____ 。（结果均保留两位有
效数字）
-2.1
0.59
【解析】由图乙得直线的斜率为， ，则小钢球的
重力为 。
（3）该实验系统误差的主要来源是___（单选，填正确答案标号）。
A.小钢球摆动角度偏大
B.小钢球初始释放位置不同
C.小钢球摆动过程中有空气阻力
C
【解析】该实验系统误差的主要来源是小钢球摆动过程中有空气阻力，使得机械能
减小，故选C。
【类题链接丨变式题】
图8-5-15
类题2 (2025·江苏卷改编)小明同学探究机械能守恒定律，
实验装置如图8-5-15所示。实验时，将小钢球在斜槽上某位
置由静止释放，钢球沿斜槽通过末端 处的光电门，光电
门记录下钢球的遮光时间。测出钢球的直径，由 得
出其通过光电门的速度 ，再计算出动能增加量
。用刻度尺测得钢球下降的高度，计算出重力势能减少量 。
（1）安装实验装置的操作有：
①在斜槽末端安装光电门 ②调节斜槽在竖直平面内
③调节斜槽末端水平 ④将斜槽安装到底座上
其合理的顺序是___（选填“A”“B”或“C”）。
A.①②③④ B.④②③① C.④①②③
B
【解析】正确步骤为先将斜槽安置于底座，再调节斜槽在竖直平面内，然后调节斜
槽末端水平，最后安装光电门，故合理的顺序为④②③①，故选B。
（2）在斜槽上5个不同的位置由静止释放钢球。测量得出的实验数据见下表。已知
钢球的质量，重力加速度 。请将下表的数据补充完整。
4.00 5.00 6.00 7.00 8.00
4.90 6.25 7.45 8.78 10.0
7.84 9.80 11.8 13.7 ______
15.68
【解析】已知,,根据 可知,下降高度为
时减少的重力势能为 。
（3）实验数据表明，明显小于 ，钢球在下降过程中发生机械能的损失。小
明认为，机械能的损失主要是由钢球受到的摩擦力做功造成的。
图8-5-16
为验证此猜想，小明另取一个完全相同的斜槽按图8-5-16
所示平滑对接。若钢球从左侧斜槽上 点由静止释放，运
动到右侧斜槽上，最高能到达点，、 两点高度差为
。则该过程中，摩擦力做功大小的理论值 ______
（用、、 表示）。
【解析】根据动能定理可得，则 。
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：20分钟
1.[链接教材第96页图8.5-2]小明利用如图所示装置进行“验证机械能
守恒定律”的实验,下列说法正确的是( )
D
A.必须用天平测量重物的质量
B.必须用秒表测出重物下落的时间,通过计算出瞬时速度
C.应先释放纸带,再接通电源
D.打点计时器使用的是交流电源
【解析】验证机械能守恒定律时，要验证的是与是否相等，即验证 与
是否相等，故不需要用天平测量重物的质量，A错误；若用 来计算瞬时速
度 ，则相当于用机械能守恒定律来验证机械能守恒定律，B错误；为了有效使用纸
带，实验时应先接通电源，再释放纸带，故C错误；打点计时器必须采用交流电源才
能正常工作，故D正确。
2.（多选）在利用自由落体运动“验证机械能守恒定律”的实验中,有关重物质量的说
法正确的是( )
AC
A.应选用质量较大的重物,使重物的重力远大于重物和纸带所受的阻力
B.应选用质量较小的重物,使重物的惯性小一些,下落时更接近于自由落体运动
C.不需要称量重物的质量
D.必须称量重物的质量,而且要估读到
【解析】本实验的原理是利用重物自由下落验证机械能守恒定律，因此应选用质量
较大的重物，使重物和纸带所受的阻力与重物所受的重力相比可以忽略不计，从而
保证重物和纸带做自由落体运动，选项A正确，B错误；重物的质量不需要测量，选
项C正确，D错误。
3.新 创新实验方法如图为“用 研究机械能守恒定律”的实验装置。
（1）本实验每次从______（选填“同一”或“不同”）高度释放摆锤，摆锤释放器的作
用是__________________。
同一
使摆锤由静止释放
【解析】本实验每次从同一高度释放摆锤，摆锤释放器的作用是使摆锤由静止释放。
（2）在实验中测得摆锤在 点的机械能明显偏小的原因可能是___。
A
A.摆锤释放前，摆线处于松弛状态
B.光电门的光电孔在 点水平线下方
C.摆锤释放时，摆锤释放器在 位置上方
D.标尺盘水平刻度线未保持水平，且右端偏高
【解析】实验时释放摆锤前摆线要拉直，若不拉直，释放后摆锤会先自由下落，摆
线绷直时有能量损失，造成摆锤在 点的机械能偏小，故A正确；若光电门的光电孔
在点水平线下方或摆锤释放器在 位置上方，都会使得摆锤下降的实际高度偏大，
所测得的摆锤到达点时的动能增大，导致测得摆锤在 点时的机械能偏大，故B、
C错误；标尺盘水平刻度线未保持水平，且右端偏高，会使得摆锤下降的实际高度偏
大，所测得的摆锤到达点时的动能增大，导致测得摆锤在 点的机械能偏大，故D
错误。故选A。
（3）若以摆锤速度的平方为纵坐标，以摆锤距离零势能点 点的高度为横坐标，作
出的直线斜率为，纵截距为，则当地重力加速度 可表示为____，摆锤初始高度
可表示为____。
【解析】设摆锤初始高度为，摆锤距离点的高度为，摆锤的速度为,质量为 ,
根据机械能守恒定律有，则 ，
图线斜率，则当地重力加速度，纵截距为 ，则
。
4.(2025·湖北孝感期末)利用图甲装置做“验证机械能守恒定律”的实验。
图甲 图乙
（1）下列说法合理的是_____。
BC
A.实验前需要用天平称出重物的质量
B.打点计时器应该接交流电源
C.实验前应调整计时器使限位孔位于同一竖直线上
D.应先释放重物，再接通电源
【解析】本实验需要验证的公式是，等式两边的 可约去，故
不需要测量重物质量，A错误；打点计时器必须接交流电源，B正确；两限位孔必须
在同一竖直线上，这样可以保证重物下落过程中纸带能平稳通过打点计时器，减小
纸带与打点计时器之间的摩擦，C正确；应先接通电源，再释放重物，这样可以充分
利用纸带，D错误。
（2）实验中，得到图乙所示的一条纸带。在纸带上选取三个连续打出的点、、 ，
测得它们到起始点的距离分别为、、 。
已知当地重力加速度为，打点计时器打点的周期为 ，重物的
质量为，从打点到打点的过程中，重物的重力势能减少了______ ，动能
增加了______ 。（结果均保留两位小数）
【解析】重力势能减少量。由题意知 ,
则动能增加量 。
（3）下列操作可以减小实验误差的是_____。
AB
A.选择质量大、体积小的重物
B.用光电门替换打点计时器
C.利用公式 计算速度
D.测量下落高度时，选择的点尽量离起始点近一些
【解析】本实验中误差来源有摩擦阻力和空气阻力，选择质量大、体积小的重物可
以减小空气阻力，故A正确；用光电门替换打点计时器，可以消除摩擦阻力，故B正
确；速度不能用公式 来计算，因为该公式成立的前提是只受重力，即机械能
守恒，如果用该公式计算速度，相当于用机械能守恒定律来验证机械能守恒定律，
故C错误；选择离起始点远一些的点，可以减小读数误差，故D错误。
5.在验证机械能守恒定律的实验中,使质量 的重物自由下落,打点计时器在
纸带上打出一系列的点,选取一条符合实验要求的纸带，如图所示。 为纸带下落的
起始点,、、为纸带上选取的三个连续点。已知打点计时器每隔 打一个
点,当地的重力加速度为 。
（1）计算打点时重物的瞬时速度时,甲同学用计算,乙同学用 计
算 。其中所选择方法正确的是____（选填“甲”或“乙”）同学。
乙
【解析】甲同学所用的公式是机械能守恒定律结论的变形公式，在本实验中不可以
使用，乙同学的方法正确。
（2）丙同学想根据纸带上的测量数据进一步计算重物和纸带下落过程中所受的阻力,
为此他计算出纸带下落的加速度为_____,从而计算出阻力______ 。
【解析】根据，代入数据可得 ，由牛顿第二定律有
，代入数据解得 。
（3）若丁同学不慎将上述纸带从点、点之间扯断,他仅利用 点之后的纸带能否
达到验证机械能守恒定律的目的 ____。（选填“能”或“不能”）
能
【解析】仅用 点之后的纸带仍能计算重物重力势能的减少量和其动能的增加量，通
过对比仍能达到验证机械能守恒定律的目的。
B 综合练丨选考通关
建议时间：25分钟
6.(2025·安徽合肥期末)同学们在做“验证机械能守恒定律”实验时，设计了如图甲、乙
所示的两种方案。
图甲 图乙
（1）为完成图甲所示实验方案，下列说法正确的是___。
B
A.还必须要有秒表
B.可以不用测出重物的质量
C.可以根据来计算重物在 时刻的瞬时速度
【解析】打点计时器本身就是计时仪器，不需要秒表，A错误；需要验证的机械能
守恒关系式为，等式两边 可约去，故可以不用测出重物的质量，B正
确；如果用来计算重物在 时刻的瞬时速度，就相当于默认了机械能是守恒的，
这就失去了验证的价值，C错误。
（2）图乙所示方案中，已知滑块与遮光条总质量为、钩码质量为 、重力加速度为
、遮光条的宽度为。将滑块由静止释放后，在钩码的牵引下，滑块运动距离为 时
恰好通过光电门，数字计时器测得遮光条通过光电门的时间为 ，则在该过程中，系统
重力势能的减少量为______，系统动能的增加量为_ _______。（用题中字母表示）。
【解析】在该过程中，系统重力势能的减少量为 ，系统动能的增加量为
。
图丙
（3）若在进行图乙所示实验时，多次改变光电门的位置并测出
多组和，描绘出 的图像，如图丙所示，若图像的斜率
_ _______，即可认为系统机械能守恒（用题中字母表示）。
【解析】若系统机械能守恒，则有 ，即
，即，可得 。
7.如图甲所示,一同学利用光电计时器等器材做验证机
械能守恒定律的实验。有一直径为、质量为 的金属
小球从处由静止释放,下落过程中能通过 处正下方、
固定于处的光电门,测得、 间的高度差为
,光电计时器记录下小球通过光电门的时间
为,当地的重力加速度为 。则：
（1）多次改变,重复上述实验,作出随的变化图像如图乙所示,当图中已知量 、
和重力加速度及小球的直径 满足表达式_ __________________________时,可判
断小球下落过程中机械能守恒。
(或
【解析】若小球减小的重力势能等于增加的动能，可以认为小球的机械能守恒，则
有，即，解得 。
（2）实验中,因受空气阻力的影响,小球动能增加量 总是稍小于重力势能减少量
,适当降低下落高度后, 将______（选填“增加”“减少”或“不变”）。
减少
【解析】由于该过程中有空气阻力做功，而、 之间高度差越大，空气阻力做功越
多，故适当减小下落高度后， 将减少。
8.新 创新实验 (2025·河南开封期末)某同学用如图甲所示的装
置验证机械能守恒定律，他将两物块和 用跨过轻质定滑轮
的轻质细绳连接， 下端连接纸带，纸带穿过固定的打点计时
器，用天平测出、两物块的质量 ，
，从高处由静止开始下落， 拖着的纸带上打出
一系列的点，对纸带上的点迹进行测量，即可验证机械能守恒定律。图乙给出的是
实验中获取的一条纸带，0是打下的第一个点，每相邻两计数点间还有4个点
（图中未标出），计数点间的距离如图乙所示，已知打点计时器的计时周期为
，重力加速度 ，则：
（1）打点“5”的瞬间，物块的速度_____ ；
2.40
【解析】两个相邻计数点间的时间间隔为
计数点4到计数点6之间的时间间隔为
打点“5”的瞬间，物块 的速度
。
（2）在打点“0”到“5”的过程中系统势能的减小量_______ ，系统动能的增加
量_______ 。
【解析】在打点“0”到“5”的过程中物块 下降的高度
该过程中系统重力势能的减少量
系统动能的增加量 。
（3）实验结果显示，系统动能的增加量小于重力势能的减少量，主要原因可能是___。
B
A.工作电压偏高
B.存在空气阻力和摩擦阻力
C.先释放物块，后接通电源打出纸带
D.利用公式而不是利用纸带来计算物块速度
【解析】工作电压偏高会使振针打点力度偏大，有可能会使打出的点迹为短线，带来
测量误差，但这并不是使系统动能的增加量小于重力势能的减少量的原因，A错误；
空气阻力和摩擦阻力的存在使得系统机械能有损失，这是系统动能的增加量小于重力
势能的减少量的主要原因，B正确；先释放物块，后接通电源打出纸带，系统的初速
度不等于0，系统初动能不等于0，而该实验中默认系统的初动能为零，那么系统动能
增加量的测量值偏大，系统动能增加量大于重力势能的减少量，C错误；利用公式计
算物块速度，是物块速度的理论值，用速度的理论值计算得到的动能增加量也是理论
值，动能增加量的理论值一定等于重力势能的减少量，这样的做法达不到验证机械能
守恒定律的目的，没有意义。应该利用纸带计算物块的实际速度，D错误。
（4）用表示物块的速度，表示物块 下落的高度。若某同学作出的图像如图丙
所示，则当地的重力加速度_____ （结果保留三位有效数字）。
9.70
【解析】根据机械能守恒定律得 ，解得
，故图线的斜率为，由题图得 ,联立解
得 。
9.某同学采用如图所示的装置做“验证小球摆动的过程中满足机械能守恒定律”的实验。
细线上端固定在铁架台上的 点，下端悬挂一小球，将小球拉起一定角度，由静止
释放，摆到最低点时，球心恰好通过固定在铁架台上的光电门，读出小球的遮光时
间 。请回答下列问题。
（1）已知当地重力加速度为 ，为了验证机械能守恒定律，还需要测量的物理量有
______。
A.小球的直径
B.点与小球之间细线的长
C.小球的质量
D.小球释放初始位置细线与竖直方向的夹角
ABD
【解析】若要验证机械能守恒定律，需要验证小球下落过程中减少的重力势能 等
于增加的动能 。小球从释放至摆到最低点的过程中，
，,要验证 ,即验证
,等式两边消去，有 。
故为了验证机械能守恒定律，还需测量小球的直径，点与小球之间细线的长度 ,
以及小球释放初始位置细线与竖直方向的夹角 。故选A、B、D。
（2）小球通过光电门的瞬时速度 _ _。（用实验中测得的物理量符号表示）
【解析】由于小球直径较小，且通过光电门时的时间较短，因此可以用时间 内小球
的平均速度来近似表示其通过光电门时的瞬时速度，即 。
（3）通过改变小球由静止释放时细线与竖直方向的夹角 ，测出对应情况下小球通
过光电门的时间 ，为了直观地判断机械能是否守恒，可作___图像。（填字母序号）
C
A. B. C. D.
【解析】由（1）知，若机械能守恒，则应有 ，解得
，由上式可知，与 呈线性关系，所以为了直观地判断机
械能是否守恒，可作 图像。故选C。
（4）若另一小组同学用安装在 点的力传感器代替光电门完成实验。将细线拉至水
平状态，把小球由静止释放，当小球摆到点正下方时，力传感器示数 为______，
则可验证小球在摆动的过程中满足机械能守恒。（用重力加速度和小球质量 表示）
【解析】若用力传感器测得小球摆到点正下方时细线拉力为 ，根据牛顿第二定律
可得，若小球下落过程机械能守恒，则有 ，联立
可得，因此当小球摆到点正下方时，力传感器示数为 ，则可验证
小球在摆动的过程中机械能守恒。
10.某实验小组利用如图所示的实验装置来验证机械
能守恒定律,当地重力加速度为 。
（1）该小组成员用游标卡尺测得遮光条的宽度
（2）实验前需要调节气垫导轨使之水平,实验时将滑块从图示位置由静止释放,由数
字计时器读出遮光条通过光电门的时间 ,则滑块经过光电门的瞬时
速度_____ （结果保留两位有效数字）。
0.58
【解析】由于遮光条的挡光时间极短，故滑块通过光电门的瞬时速度可近似等于遮
光条通过光电门的平均速度，即 。
,用天平测得滑块与遮光条的总质量为,钩码的质量为 。
（3）在本实验中为了确保钩码减少的重力势能与滑块（含遮光条）的动能增加量近
似相等,则滑块与遮光条的总质量与钩码的质量 间应满足________;本实验中还需
要测量的物理量是___________________________________（用文字说明并用相应的
字母表示）。
滑块静止时遮光条与光电门间的距离
【解析】为了使钩码减少的重力势能近似等于滑块和遮光条增加的动能，应满足滑
块和遮光条的质量远大于钩码的质量，即 ；钩码减少的重力势能等于钩码的
重力与下落高度的乘积，而钩码下落的高度等于滑块的位移，因此为了完成机械能
守恒定律的验证，需要测量的物理量还应有滑块静止时遮光条与光电门间的距离 。
（4）本实验还可以通过改变钩码的质量测得多组数据并作出 图像来进行验
证,则下列图像符合真实实验情况的是___。
C
【解析】时，由机械能守恒定律有 ，整理得
，则该图线应为一条过原点的倾斜直线，但随着钩码质量的增加，不
再满足钩码的质量远小于滑块与遮光条的总质量，此时有 ,整理得
,即随着 的增大图线应向下弯曲，C正确。
（5）针对（4）出现的情况,有同学提出以滑块、遮光条和钩码作为系统来验证机械
能守恒定律,则这位同学写出的表达式应为______________________（用题中物理量
的符号表示）。
【解析】若以滑块、遮光条以及钩码作为系统来验证机械能守恒定律，需要验证的
表达式应为 。
图甲
11.某同学利用如图甲所示的实验装置验证机械能守恒定律。弧形
轨道末端水平,离地面的高度为。将钢球从轨道的不同高度 处由
静止释放,钢球的落地点距轨道末端的水平距离为 。
（1）若轨道完全光滑,则与满足______（用、 表示）时,
机械能守恒定律成立。
【解析】若机械能守恒定律成立，则钢球离开轨道时速度为 ，由平抛运动
规律可求得平抛运动时间为，联立可得,即 时机械能
守恒定律成立。
（2）该同学经实验测量得到几组数据,如下表所示。
2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
2.62 3.89 5.20 6.53 7.78
请在图乙所示的坐标纸上作出 关系图线。
图乙
【答案】如解析图所示
【解析】依次描点，连线,如图解析所示。注意不要画成折线。
（3）对比实验结果与理论计算得到的 关系图线（理论图线图中已画出）,自同
一高度由静止释放的钢球,水平抛出的速率的实际值______（选填“小于”或“大于”）
理论值。
小于
【解析】由图可以看出，同一高度对应的 值，理论值明显大于实际值，而在同一
高度 下的平抛运动水平射程由水平抛出的速率决定，可见水平抛出的实际速率小
于理论速率。
（4）从 关系图线中分析得出钢球水平抛出的速率的理论值和实际值差异十分
显著,你认为造成上述偏差的可能原因是______________________________________
___________________。
钢球与轨道之间存在摩擦、钢球转动
（回答任一条即可）
【解析】实际实验中，轨道与钢球间存在摩擦，钢球在轨道上下滑时机械能会减少，
因此会导致水平抛出速率的实际值比理论值小。钢球在下滑过程中会发生转动，而
转动也需要能量维持，实验中没有考虑重力势能转化成转动动能的这一部分，也会
导致实际水平抛出的速率明显小于理论速率。
C 培优练丨能力提升
建议时间：10分钟
图（a）图（b）
12.如图（a）所示,用包有白纸的圆柱棒代替纸带
和重物,蘸有颜料的毛笔固定在马达上并随之转动,
使之代替打点计时器。当烧断挂圆柱棒的细线后,
圆柱棒竖直自由落下,毛笔就在包圆柱棒的白纸上
画出记号,如图（b）所示。测得记号之间的距离依
次为、、、、 , 已知马达铭牌上标有“
”字样,根据以上内容,回答下列问题。（当地重力加速度取 ）
（1）图（b）中____（选填“左”或“右”）端是圆柱棒的悬挂端。
左
【解析】刚开始棒下落的速度小，记号之间的间隔小，所以包有白纸的圆柱棒右端
向下，左端是悬挂端。
（2）根据所给的数据,可知毛笔画下记号时,圆柱棒下落的速度______ ,圆
柱棒竖直下落的加速度为_____ 。
【解析】由马达铭牌上的字样“ ”算出毛笔画线的时间间隔为
根据算出毛笔画下记号 时圆柱棒的速度
根据 可得，圆柱棒竖直下落的加速度为
。
（3）根据所给的数据,验证棒在下落过程中机械能守恒。
【答案】见解析
【解析】根据算出毛笔画下记号 时圆柱棒的速度
故从到 圆柱棒增加的动能为
减少的重力势能为
可见与 在误差允许范围内相等，这就验证了圆柱棒自由下落时机械能是守恒的。
例1 (2025·广东东莞期末)如图所示，质量相同的两物体、 ，用不可伸长的轻绳跨
过一轻质定滑轮连接，用外力使静止在水平桌面上，此时 静止在空中。撤去此外
力后，开始下降，始终未离开桌面，忽略一切摩擦阻力和空气阻力，对于从 开
始下降到接触桌面前的过程，下列说法正确的是( )
D
A.的速度大小大于 的速度大小
B. 的机械能守恒
C.、 所组成的系统机械能增加
D.绳子拉力对做的功等于 机械能的增加量
提升课 专题集训
专题1 机械能守恒定律的综合应用
类型1 轻绳连接体
1 连接体组成的系统机械能守恒问题
【解析】
选项 分析 正误
A 将的速度沿绳分解可得（ 为连接 处的绳子与水平方 向的夹角），由于,可知的速度大小小于 的速度大小。
B 因下降时绳子的拉力对做负功，则 的机械能减小。
C 、 所组成的系统中只有重力做功，则机械能守恒。
D 由功能关系可知，绳子拉力对做的功等于 机械能的增加量。 √
例2 如图所示,有一轻质杆可绕 点在竖直平面内自由转动,在杆的另一端和中点分别
固定一个质量为的小球、,杆长为，重力加速度为 。开始时,杆静止在水平位
置,已知释放杆后,小球的速度大小一直为小球的两倍，则杆转到竖直位置时,、
两小球的速度各是多少？
【答案】
类型2 轻杆连接体
【解析】把、两小球和杆看成一个系统,杆对、 两小球的弹力为系统的内力,对
系统而言,只有重力做功,系统的机械能守恒。（此处易误以为杆的弹力对、 两小
球均不做功，、各自的机械能守恒。）设杆转到竖直位置时，、 两小球的速度
分别是和,以球在最低点所处的水平面为零势能面,则初状态：系统动能 ,
重力势能
末状态（即杆转到竖直位置）
系统动能
重力势能
由机械能守恒定律得
. .
. .
①
其中 ②
联立①②式解得, 。
例3 (2025·郑州外国语学校调研)如图所示，质量分别为、的小物块和 通过劲
度系数为的轻弹簧相连接，竖直静止在水平地面上。若给小物块 一竖直方向的瞬
时速度，之后小物块恰好能离开地面，弹簧始终处于弹性限度内。重力加速度为 ，
弹簧的弹性势能（为弹簧的形变量），则小物块 获得的初速度大小为
( )
A
A. B. C. D.
类型3 轻弹簧连接体
【解析】初始时，小物块静止，有
之后小物块恰好能离开地面，则有
小物块、 与弹簧组成的系统机械能守恒，有
联立解得 ，故选A。
2 非质点类物体机械能守恒问题
类型1 “液柱”类问题
例4 (2025·陕西师范大学附属中学期末)如图所示，粗细均匀、两端开口
的 形管内装有同种液体，开始时阀门处于关闭状态，两边液柱高度差为
，管中液柱总长度为 ，后来打开阀门让液体自由流动，不计摩擦阻力，
重力加速度为 ，当两边液柱高度相等时，液柱流动的速度为( )
A
A. B. C. D.
【解析】设管的横截面积为，液体的密度为 。打开阀门后，液体开始流动，不计
摩擦阻力，液体机械能守恒，减少的重力势能转化为动能。如图所示，两边液柱相
平时，相当于右管高的液柱移到左管中，此部分液体的重心下降的高度为 ，由
机械能守恒定律得，解得 ，A正确。
类型2 “链条”类问题
例5 (2025·湖南湘潭期中)如图甲所示，为一长度为的均匀链条，总质量为 ，一
半放在水平桌面上，一半竖直下垂。如图乙所示，为两个质量均为 的小球组成
的系统，中间用不计质量、不可伸长的细绳相连，一个放在水平桌面上，一个竖直
下垂，水平部分和竖直部分细绳的长度均为 ，小球可视为质点。取水平桌面所在的
平面为零势能面，重力加速度大小为，不计一切摩擦。用外力使和 静止在图示
位置，关于从刚撤去外力到、 刚好离开桌面这个过程，下列说法不正确的是
( )
图甲
图乙
A.刚好离开桌面时速度大小为
B.两者刚好离开水平桌面时，的重力瞬时功率大于 的重力瞬时功率
C.的重力做功为，的重力做功为
D.重力势能的减少量小于 重力势能的减少量
√
【解析】
因为，即，故两者刚好离开水平桌面时，的重力瞬时功率大于
的重力瞬时功率，B正确。由 可知重力势能的减少量等于重力做的功，
因为，所以重力势能的减少量大于 重力势能的减少
量，故D错误。
强化集训
针对训练
1.(2025·安徽滁州期末)如图所示，可视为质点的小球、
用不可伸长的细软线连接，跨过固定在地面上半径为 的光
滑圆柱，的质量为的3倍。当位于地面时， 恰与圆柱
轴心等高。将由静止释放， 下落到地面时不再弹起，不
计空气阻力，则 上升的最大高度是( )
A
A. B. C. D.
【解析】设的质量为，则的质量为，球恰好落地前，、 组成的系统机械
能守恒，有，解得刚要落地时，、 的速度大小
，设落地后，能上升的高度为,对运用动能定理得 ，
解得，则上升的最大高度为 ，故选A。
2.(2025·山西朔州模拟)如图所示，折成 的光滑细杆固定在竖直面内， 段
水平，用轻杆通过光滑铰链连接的、两个小球分别套在细杆的段和段， 、
可视为质点，开始时小球在点，由静止释放两小球，在小球向左运动到 点的
过程中，下列说法正确的是( )
D
A.小球 重力的功率越来越大
B.轻杆对小球 做正功
C.轻杆对小球 作用力的功率越来越大
D.小球动能的增加量等于小球 机械能的减少量
【解析】
当、运动到图示位置时，设轻杆与竖直方向的夹角为 ，与水平方向的夹角为 。
选 项 分析 正
误
A 根据,结合上述分析可知小球 重力的功率先增大后减小。
B 的动能变化量为零，而的重力势能减小，故轻杆对小球 做负功。
C 当运动到点时 ，此时轻杆对小球 作用力的功率 ，，可知 ，即功率不可能越来越大。
D 对、 及轻杆组成的系统而言，只有重力做功，系统机械能守恒，轻杆质 量可忽略不计，即小球和小球的机械能之和保持不变，又小球 的重力势 能不变，则小球动能的增加量等于小球 机械能的减少量。 √
3.（多选）如图所示，将质量为 的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质
量为的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的小定滑轮与直杆的距离为 ，杆
上的点与定滑轮等高，杆上的点在点下方且与点间的距离为。现将环从 点
处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是( )
BC
A.环到达点时，环的速度大小是重物的
B.环从到 ，机械能减少
C.环能下降的最大距离为
D.环到达点时，重物上升的高度为
【解析】对环在 点的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向进行分解，环沿绳子方向上
的分速度大小等于重物的速度大小，有，解得 ，
所以环的速度大小是重物的 倍，选项A错误；环和重物组成的系统机械能守恒，
环从到，重物的机械能增加，故环的机械能减少，选项B正确；设环下滑 时，环
和重物的速度均为0，此时重物上升的最大高度为 ，根据系统的
机械能守恒有，解得 ，故选项C正确；根据几何关系知，环
从下滑至点时，重物上升的高度 ，故选项D错误。
4.如图所示，有一条长为 的均匀金属链条，一半在光滑斜面上，另一半沿竖直方向
下垂在空中，斜面倾角为 ，当链条从静止开始释放后链条竖直部分向下滑动，求
链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大。（重力加速度为 ）
【答案】
【解析】取斜面的最高点所在的水平面为零势能参考平面，链条的总质量设为 ，
则开始时斜面上的那部分链条（分段法）的重力势能为
竖直的那部分链条的重力势能为
则开始时整条链条的机械能为
当链条刚好全部滑出斜面时，重力势能为
动能为 ，则机械能为
. .
. .
因为只有重力做功，所以链条的机械能守恒，则由机械能守恒定律得 ,即
解得 。
高考链接
5.(江苏高考题，多选)如图所示，三个小球、、的质量均为，与、 间通过
铰链用轻杆连接，杆长为，、 置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，弹簧处于
原长。现由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角 由 变为 ，、、
在同一竖直平面内运动，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为 。则在
此过程中( )
AB
A.的动能达到最大前，受到地面的支持力小于
B.的动能最大时，受到地面的支持力等于
C.弹簧的弹性势能最大时， 的加速度方向竖直向下
D.弹簧的弹性势能最大值为
【解析】的动能最大时，设和受到地面的支持力大小均为 ，此时整体在竖直方
向受力平衡，可得，所以，在的动能达到最大前， 一直加速
下降，处于失重状态，所以受到地面的支持力小于，故A、B正确； 到达最
低点时动能为零，此时弹簧的弹性势能最大， 的加速度方向向上，故C错误；由C
项分析可知， 到达最低点时弹簧的弹性势能最大，此时三个小球的动能均为零，由
机械能守恒定律得，弹性势能的最大值为 ，
故D错误。
6.(福建高考题)如图所示，表面光滑的固定斜面顶端安装一定滑轮，小物块、 用
轻绳连接并跨过滑轮（不计滑轮的质量和摩擦）。初始时刻，、 处于同一高度并
恰好静止。剪断轻绳后下落、 沿斜面下滑，则从剪断轻绳到物块着地，两物块
( )
D
A.速率的变化量不同 B.机械能的变化量不同
C.重力势能的变化量相同 D.重力做功的平均功率相同
【解析】斜面倾角为 ，刚开始、 处于静止状态，根据受力平衡有
，所以。剪断轻绳后自由下落，沿斜面下滑，、 都
只有重力做功，从剪断轻绳到物块着地，根据动能定理得 ，解得
，又因为两物块下落高度相同，所以、 速率的变化量相同，故A错
误；、 下落过程中都只有重力做功，机械能守恒，故两物块机械能的变化量相同，
均为零，B错误；重力势能的变化量，由于下落高度相同，、 的质量
不相等，所以它们重力势能的变化量也不相同，故C错误；由匀变速运动规律得，
运动的时间为，则重力对做功的平均功率为， 运
动的时间满足，解得，则重力对 做功的平均功
率为，又因为 ，所以 ，故D
正确。
7.(河北高考题，多选)如图所示，轻质定滑轮固定在天花板上，物体 和
用不可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上，质量， 时刻
将两物体由静止释放，物体的加速度大小为。 时刻轻绳突然断开，
物体能够达到的最高点恰与物体释放位置处于同一高度，取 时
刻物体所在水平面为零势能面，此时物体的机械能为 。重力加速度
BCD
A.物体和的质量之比为 B.时刻物体的机械能为
C.时刻物体重力的功率为 D.时刻物体的速度大小为
大小为 ，不计摩擦和空气阻力，两物体均可视为质点。下列说法正确的是
( )
【解析】时刻将两物体由静止释放，物体的加速度大小为 ，设轻绳的拉
力大小为,根据牛顿第二定律可知，, ,联立解得
，故A错误；时刻，、的速度大小为， 升高的位移为
，此后 做竖直上抛运动，则速度减为0的时间为
，竖直上抛的位移，则整个过程 上升的高度
，可知初始时刻到零势能面的高度为 ,对应的机
械能，时刻物体的机械能为（其中 为轻绳的
拉力大小），根据牛顿第二定律有,联立解得，故B正确；
时刻物体的速度大小为 ，其重力的功率为
，故C、D正确。
类型1 基本应用
例1 如图所示，卷扬机的绳索通过定滑轮用力 拉
位于粗糙斜面上的木箱，使之沿斜面加速向上移
动。在移动过程中，下列说法正确的是( )
C
A. 对木箱做的功等于木箱增加的动能与木箱克服摩擦力做的功之和
B. 对木箱做的功等于木箱克服摩擦力和克服重力所做的功之和
C.木箱克服重力所做的功等于木箱增加的重力势能
D. 对木箱做的功小于木箱增加的动能与木箱克服摩擦力所做的功之和
【解析】木箱沿粗糙斜面加速向上移动，由功能关系可知， 对木箱做的功数值上等
于木箱增加的动能、重力势能以及木箱克服摩擦力做的功之和，故A、B、D错误；
木箱在加速向上移动的过程中，克服重力所做的功在数值上等于木箱增加的重力势
能，故C正确。
专题2 功能关系 能量守恒定律
类型2 直线运动中的功能关系
例2 (2025·云南卷)如图所示，质量为的滑块（视为质点）与水平面上 段的动摩
擦因数为，与其余部分的动摩擦因数为，且 。第一次，滑块从Ⅰ位置以速
度向右滑动，通过 段后停在水平面上的某一位置，整个运动过程中，滑块的位
移大小为，所用时间为；第二次，滑块从Ⅱ位置以相同速度 向右滑动，通过
段后停在水平面上的另一位置，整个运动过程中，滑块的位移大小为 ，所用时
间为 。忽略空气阻力，水平面足够长，则( )
A
A. B. C. D.
【解析】对滑块两次运动的整个过程，根据能量守恒定律有
，
，可得 ，故C、
D错误。根据牛顿第二定律有 ，可得滑块在水平面
上的加速度大小，由于，故滑块在 段的加速度大，根据前面分析
可知两次运动的总位移相等，即两次运动过程中 图像与横轴围成图形的面积相
等，由于第二次时滑块距离点较近，根据公式 可知，第二次到
达点时速度较大，作出滑块两次运动的图像，如图所示，可得 ，故A
正确，B错误。
类型3 传送带模型中的功能关系
例3 如图甲所示，长为、倾角为 的传送带逆时针匀速转动，物块 和物
块 通过足够长的细线相连（细线跨过光滑的定滑轮），细线倾斜部分与传送带平行。
现将物块从传送带顶端由静止释放，此后物块的动能随位移变化的 图像如
图乙所示。已知物块的质量为物块质量的5倍，重力加速度为， ，
，图像中、 均为已知量。求：
图甲
图乙
（1）物块与传送带间的动摩擦因数及其在 段内运动的加速度大小；
【答案】
【解析】设物块的质量为，当的位移为时，有, ,
联立解得
同理可得，当的位移为时，
段内,对、 组成的系统，由能量守恒定律得
（【点拨】 刚运动时速率小于传送带的速率，受到的
摩擦力沿传送带向下。）
. .
段内，对系统由能量守恒定律得
（【点拨】段内， 受到的摩擦力沿传送带向
上。）
段内由牛顿第二定律
对有
对有
联立解得,，加速度大小 。
. .
（2）物块在段内相对于传送带滑动的总路程及其在 段内与传送带由
于摩擦产生的热量。
【答案】
【解析】由图乙可知的位移为时恰好与传送带共速，设传送带的速度大小为 ，
段内对由运动学公式得
二者之间的相对位移为
设的位移为时的速度为，则
解得
内的位移为
二者的相对位移为
所以物块在段内相对于传送带滑动的总路程为
段内 与传送带由于摩擦产生的热量为
结合（1）中分析得 。
类型4 滑块—滑板模型中的功能关系
例4 如图所示，水平地面上有一长、质量 的长板，其右端上方有一
固定挡板。质量的小滑块从长板的左端以 的初速度向右运动，
同时长板在水平拉力作用下以 的速度向右匀速运动，滑块与挡板相碰后
速度为0，长板继续匀速运动，直到长板与滑块分离。已知长板与地面间的动摩擦因
数，滑块与长板间的动摩擦因数，重力加速度取 。求：
（1）滑块从长板的左端运动至挡板处的过程，长板的位移 ；
【答案】
【解析】开始时，滑块在板上做匀减速运动,，解得
根据运动学公式得
解得（ 舍去）
碰到挡板前滑块速度 ，说明滑块一直匀减速，板移动
的位移 。
（2）滑块碰到挡板前，水平拉力大小 ；
【答案】
【解析】对板受力分析如图所示，有
其中，，解得 。
（3）滑块从长板的左端运动至与长板分离的过程，系统因摩擦产生的热量 。
【答案】
【解析】 滑块与挡板碰撞前，滑块与长板因摩擦产生的热量
滑块与挡板碰撞后，滑块与长板因摩擦产生的热量
整个过程中，长板与地面因摩擦产生的热量
所以，系统因摩擦产生的热量
。
滑块与挡板碰撞前，长板受到的拉力为 ［第（2）问可知］
做功为
滑块与挡板碰撞后，长板受到的拉力为
， 做功为
碰到挡板前滑块速度，滑块动能变化 ,所以系统因摩
擦产生的热量
。
类型5 曲线运动中的功能关系
例5 如图所示,光滑曲面与水平面平滑连接于点, 右端
连接内壁光滑、半径为的细圆管,管口 端正下方直立一根
劲度系数为的轻弹簧,轻弹簧一端固定,另一端恰好与管口 端平
齐。可视为质点、质量为的滑块从曲面上距的高度为 处
由静止开始下滑,滑块与间的动摩擦因数,进入管口 端时
与圆管恰好无作用力,通过 后压缩弹簧,在压缩弹簧的过程中,滑块速度最大时弹簧
的弹性势能为 ,求：
（1）滑块到达点时的速度大小 ；
【答案】
【解析】滑块在曲面上下滑过程中机械能守恒,有
解得滑块到达点时的速度 。
（2）水平面的长度 ；
【答案】
【解析】滑块进入管口时对圆管恰好无作用力,只受重力,根据牛顿第二定律有
解得滑块到达点时的速度
滑块由到 的过程中,根据动能定理有
解得水平面的长度 。
（3）在压缩弹簧的过程中滑块的最大速度 。
【答案】
【解析】当滑块的加速度为零时有最大速度 ,此时有
,弹簧的弹性势能为
滑块由经 到压缩弹簧速度达到最大的过程,有
解得 。
强化集训
针对训练
1.新极限运动 如图所示是高空翼装飞行爱好者在空中滑翔的情景，在空中长距离滑
翔的过程中滑翔爱好者( )
D
A.机械能守恒 B.重力势能的减小量小于重力做的功
C.重力势能的减小量等于动能的增加量 D.动能的增加量等于合力做的功
【解析】
选项 分析 正误
A 滑翔的过程中除重力做功外，还有空气阻力做功，机械能不守恒。
B 由功能关系可知，重力势能的减小量等于重力做的功。
C 由能量守恒定律可知，重力势能的减小量等于动能的增加量与克服 阻力所做的功之和。
D 由动能定理可知，合外力所做的功等于动能的变化量。 √
2.（多选）某物体以初动能冲上一足够长斜面，再次回到出发点时，其动能为 ，
若使物体以 的初动能第二次冲上斜面，则从第二次冲上斜面到其再次返回出发点
的过程中，以下说法正确的是( )
AD
A.第二次运动的总路程是第一次的两倍
B.第二次运动回到出发点时，速度是第一次回到出发点时的两倍
C.第二次运动回到出发点时，动能为
D.第二次运动到达最高点时，其机械能为 （以出发点所在平面为参考平面）
【解析】设物体以初动能冲上斜面时的初速度为，则以初动能 冲上斜面时，
初速度为，冲上斜面后加速度相同，根据 ，可知第二次冲上斜面
的位移是第一次的两倍，第二次运动的总路程是第一次的两倍，故A正确；设第一
次沿斜面向上运动的位移为，根据功能关系有 ，第二次运动回
到出发点时，动能为 ，第二次运动回到出发点时，速度是
第一次回到出发点的 倍，故B、C错误；第二次运动到达最高点时，其机械能为
，故D正确。
3.2022年北京冬奥会上有一种女子单板滑雪 形池项目，如图所示为
形池模型，池内各处粗糙程度相同，其中、为 形池两侧边缘，
且在同一水平面。某运动员从点上方高的点处自由下落由左侧
点沿切线进入池中，从右侧点沿切线飞出形池后上升至最高位置
点（相对点高度为）。不计空气阻力，为 形池最低点，重力加
速度为 ，则运动员( )
D
A.第一次从到的过程中，机械能损失
B.运动员两次经过点时对 形池的压力相同
C.从向下返回一定不能再次经过 点
D.从向下返回一定能越过 点再上升一定高度
【解析】设、所在平面为零势能面，运动员从到 的过程由机械能守恒定律有
，从到的过程，由机械能守恒定律有，所以第一次从到 的
过程中，机械能损失为，故A错误；运动员在 点有
，由于运动员第一次经过点时的速度大于第二次经过 点时的速度，
所以运动员第一次经过点时受到的支持力大于第二次经过 点时受到的支持力，根
据牛顿第三定律可知，运动员第一次经过点时对形池的压力大于第二次经过 点
时对形池的压力，故B错误；结合A项分析可知，第一次从到 的过程中，运动员
克服摩擦力做功的大小为，由于从返回的过程，经过 形池某一
位置的速度总是比从到过程经过 形池相同位置的速度小，可知返回过程的平均
摩擦力比从到过程的平均摩擦力小，所以返回时从到 的过程中，运动员克服摩
擦力做的功小于，可知运动员从向下返回时，一定能越过 点再上升一定高
度，故C错误，D正确。
4.[滑块—滑板模型]如图甲所示，一长木板静止在水平地面上，在 时刻，一小
物块以一定速度从左端滑上长木板，此后长木板运动的 图像如图乙所示。已知
小物块与长木板的质量均为，木板足够长 ，求：
（1）长木板与地面以及小物块与长木板间动摩擦因数的值；
【答案】
【解析】设长木板与小物块间动摩擦因数为，长木板与地面间动摩擦因数为 ，
对长木板，由牛顿第二定律得
由运动学规律有
之后木板和物块相对静止，共同做匀减速运动，由牛顿第二定律得
由运动学规律有
由图乙可知，，
联立解得， 。
（2）在整个运动过程中，系统所产生的热量。
【答案】
【解析】对小物块，在其减速至与长木板共速过程中，有 ，
在整个过程中，对系统应用能量守恒定律得，系统所产生的热量
联立解得 。
5.如图所示，是罐装饮料生产线的一个环节。机械臂每隔一秒将一
个饮料罐无初速度放在水平传送带上，经
过后饮料罐与传送带达到相同的速度，再经过 饮
料罐离开传送带。已知传送带的运行速率 ，一个饮料
罐的质量为，重力加速度 ,求：
（1）饮料罐与传送带之间的动摩擦因数 ；
【答案】0.4
【解析】饮料罐加速阶段的加速度大小
根据牛顿第二定律有
解得 。
（2）相邻两个饮料罐间的最大距离和最小距离 ；
【答案】
【解析】当第二个饮料罐刚刚放上传送带时，两个饮料罐间距离最小，最小值为
当第二个饮料罐速度与传送带速度相等时，两个饮料罐之间的距离最大，最大值为
。
【点拨】从第二个饮料罐放上传送带到其与传送带共速，二者的相对位移。
. .
（3）第一个饮料罐放上后，一分钟内由于传送带受饮料罐的摩擦力使得电动机多做
的功 。
【答案】
【解析】电动机多做的功等于摩擦力对传送带所做负功的绝对值，每多放一个饮料
罐，电动机需要多做的功为
一分钟内电动机多做的功 。
高考链接
6.(2025·山东卷)一辆电动小车上的光伏电池，将太阳能转换成的电能全部给电动机
供电，刚好维持小车以速度匀速运动，此时电动机的效率为 。已知小车的质量
为，运动过程中受到的阻力（为常量），该光伏电池的光电转换效率为 ，
则光伏电池单位时间内获得的太阳能为( )
A
A. B. C. D.
【解析】小车匀速运动时，电动机的输出功率等于小车受到的阻力的功率，有
，所以电动机的输入功率（光伏电池的输出功率）为
，则光伏电池的输入功率（单位时间内获得的太阳能）为
，A正确。
7.(2024·江苏卷)如图所示，粗糙斜面的动摩擦因数为 ，倾角为
，斜面长为。一个质量为 的物块（可视为质点）在电动机
作用下，从点由静止加速至点时达到最大速度 ，之后匀速
（1）段长 ；
【答案】
【解析】物块在段运动的过程中，由牛顿第二定律得
由运动学公式有
联立解得 。
运动至点，关闭电动机，物块恰好到达最高点点。重力加速度为 ，不计电动机
产生电热所消耗的电能。求：
（2）段电动机的输出功率 ；
【答案】
【解析】物块在 段匀速运动，则电动机的牵引力为
由得 。
（3）全过程物块增加的机械能和电动机消耗的总电能 的比值。
【答案】
【解析】全过程物块增加的机械能为
整个过程由能量守恒定律得，电动机消耗的总电能转化为物块增加的机械能和摩擦
产生的内能，故可知
则 。