第八章 机械能守恒定律 章末总结-高一物理人教版必修第二册(58页PPT)

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第八章 机械能守恒定律
培优帮丨章末总结
例1 图像](2025·四川眉山期末，多选)新能源汽车的发展是为了减少对传统燃
料的依赖，减少环境污染和温室气体的排放。如图8-1所示为一辆国产汽车在某次行
驶测试时的加速度和车速倒数的关系图像。若汽车质量为 ，它由静止
开始沿平直公路行驶，且行驶中所受阻力恒定，最大车速为 ，下列说法正确
的是( )
AB
图8-1
A.汽车匀加速所需时间为
B.汽车所受牵引力的额定功率为
C.汽车在车速为时，功率为
D.汽车所受阻力为
信息提取析题意
【解析】汽车匀加速所需时间为 ，故A正确。当汽车以最大速度
做匀速直线运动时，有，；当 时，汽车的
加速度，根据牛顿第二定律可得 ，联立解得
，，故B正确，D错误。汽车在车速为
时，根据牛顿第二定律有，代入数据解得 ，故C错误。
例2 (2025·广东深圳期中,多选)如图8-2所示，无人驾驶小车在水平 段以恒定功率
、速率匀速行驶，在斜坡段以恒定功率、速率 匀速行驶。
已知小车总质量为，，段的倾角为 ，重力加速度 取
，不计空气阻力。下列说法正确的有( )
ABD
图8-2
A.从到,小车牵引力大小为 B.从到,小车克服摩擦力做功
C.从到,小车重力势能增加 D.从到,小车克服摩擦力做功
会整合 专题归纳
专题1 常见力做功的特点
信息提取析题意
关键表述 物理量及其关系
恒定功率 不变
段匀速行驶 牵引力等于摩擦力与重力沿斜面方向的分力之和
,段的倾角为 、两点间的高度差为
【解析】
图8-3
例3 （多选）人用绳子通过光滑定滑轮拉静止在地面上的物体, 穿
在光滑的竖直杆上,当人以速度竖直向下匀速拉绳使质量为 的物体
上升高度后到达如图8-3所示位置时,绳与竖直杆的夹角为 。已知
重力加速度为 ,则( )
AD
A.此时物体的速度为
B.此时物体的速度为
C.该过程中绳对物体做的功为
D.该过程中绳对物体做的功为
专题2 动能定理和机械能守恒定律的应用
例4 新杂技表演 如图8-5所示为杂技演员进行摩托车表演，轨道由倾斜直线轨道 、
圆弧形轨道、光滑半圆形轨道、水平轨道组成,轨道的半径 ,
轨道的半径,轨道最低点距水平地面的高度。表演者从 点驾
驶摩托车由静止开始沿轨道运动,接着沿轨道运动,然后从 点离开轨道,最
后落到地面上的点。已知表演者与摩托车的总质量 ,表演者与摩托车可
视为质点,阻力不计。取 。
图8-5
（1）某次表演中,通过点时轨道对摩托车的支持力 ,求表演者与摩托车
经过点时的速度大小 。
【答案】
【解析】摩托车受到轨道的支持力
对摩托车在点应用牛顿第二定律可得
解得 。
（2）若表演者与摩托车恰好能经过最高点且安全完成完整表演,求点与 点的水
平距离 。
【答案】
【解析】表演者恰好能经过最高点,应用牛顿第二定律可得
从点到 点,由机械能守恒定律可得
解得
平抛运动的竖直位移
所以运动时间,因此表演者落点点与 点的水平距离
。
例5 [教材第99页“复习与提高”A组第6题改编]轻质弹簧原长为 ,将弹簧竖直放置在
地面上,在其顶端将一质量为 的物体由静止释放,当弹簧被压缩到最短时,弹簧长度
为。现将该弹簧水平放置,一端固定在点,另一端与物块接触但不连接。 是长度
为的水平轨道,端与半径为的光滑半圆轨道相切,半圆的直径 竖直,如图8-6
所示。物块与间的动摩擦因数。用外力推动物块,将弹簧压缩至长度 ,然
后放开,开始沿轨道运动。重力加速度大小为 。
图8-6
专题3 解决动力学问题的两种观点
（1）若的质量为,求到达点时速度的大小,以及它离开圆轨道后落回到 上的
位置与 点之间的距离；
【答案】
【解析】依题意知,当弹簧竖直放置,长度被压缩至时,质量为 的物体的动能为零,
其重力势能转化为弹簧的弹性势能。由机械能守恒定律可知,弹簧长度为 时的弹性势
能 ①
设的质量为,到达点时的速度大小为,由动能定理得 ②
联立①②式,取并代入题给数据得 ③
若能沿圆轨道运动到点,其到达点时的向心力不能小于重力,即 此时的速度大小
应满足 ④
设滑到点时的速度为 ,由机械能守恒定律得
⑤
联立③⑤式得 ⑥
满足④式要求,故能运动到点,并从点以速度水平射出做平抛运动。设 落回
到轨道所需的时间为,由运动学公式得 ⑦
落回到上的位置与点之间的距离为 ⑧
联立⑥⑦⑧式得 ⑨。
（2）若能滑上圆轨道,且仍能沿圆轨道滑下,求 的质量的取值范围。
【答案】
【解析】为使能滑上圆轨道,且仍能沿圆轨道滑下,它到达 点时的速度应大于零。
由①②式可知
要使仍能沿圆轨道滑下, 在圆轨道上的上升高度不能超过半圆轨道上与圆心等高的
点与地面之间的距离。由机械能守恒定律有
联立①②⑩ 式得 。
类型1 功和能量的分析
例6 （清华大学强基计划试题,多选）关于功和能量,下列说法正确的是( )
AB
A.一对相互作用力做功的总和与参考系的选取无关
B.在一个惯性系中机械能守恒，则在所有惯性系中机械能都守恒
C.力做功与参考系的选取无关
D.非惯性系中,动能定理依然可以直接使用
尖子生 强基自招
命题点 运用能量观点求解物理问题
【解析】一对相互作用力做功的总和等于力乘以相对位移，相对位移与参考系的选
取无关,所以一对相互作用力做功的总和与参考系的选取无关,选项A正确。在一个惯
性系中牛顿第二定律成立,则在所有惯性系中牛顿第二定律都成立,可见在此基础上建
立的功和能应该有相同的规律,所以选项B正确。力做功涉及位移,对不同的参考系而
言,位移可能不同，所以做功的大小与参考系的选取有关,选项C错误。在非惯性系中,
必须得加上惯性力才能继续使用牛顿第二定律（牛顿第二定律在非惯性参考系中是
不适用的,为了在非惯性系中仍能用牛顿第二定律来分析物体的运动,必须引进惯性力
［详见《教材帮》（高中物理人教版必修第一册）］的概念,惯性力只是一种假想的
力,实际并不存在。）,在此基础上建立的功和能应该有 相同的规律，即在非惯性系
中,必须得加上惯性力做功, 才能继续使用动能定理，所以选项D错误。
. .
. .
【强化训练丨变式题】
1.（清华大学保送生考试）如图8-7所示,置于光滑水平面上的长木板 的左端有一物
体,、间有摩擦,现用恒力将拉至的右端,第一次将固定在水平面上, 做的功
为,产生的内能增量为,第二次使可自由滑动,做的功为 ,产生的内能增量为
,则( )
C
图8-7
A., B.,
C., D.,
【解析】设、间的摩擦力为，木板长为，第一次木板固定，则 ,
。第二次木板不固定，当用恒力将拉至的右端时，设木板的位移为 ，
则，。所以有， 。
类型2 动能定理的应用
例7 (南开大学强基计划试题)如图8-8所示,一质量为的小物体,放在半径为 的光滑
半球上,初始时它们相对静止,然后半球面以加速度 向右匀加速运动,小物体从最
高点滑下,求物体离开球面时离地面的高度 。
图8-8
【答案】
图8-9
【解析】以半球面为参考系（非惯性参考系）,物体恰好要脱离
半球面时,受重力和惯性力 作用,如图8-9所示。
由牛顿第二定律得
在下滑过程中,由动能定理得
由几何关系得,
联立解得, （舍去）。
【强化训练丨变式题】
2.（清华大学“领军计划”试题）如图8-10所示,质量为的小球从高为 的地方释放,如
果恰好对光滑管道（内径不计）上的点无挤压,求的值；如果恰好对管道的 点
（圆弧的最高点）无挤压,求的值。（图中两虚线夹角为 ,圆弧曲率半径为 ）
图8-10
【答案】
【解析】若小球恰好对点无挤压，则在 点，根据牛顿第二定律有
①
小球从开始运动到运动至 点的过程中，根据动能定理有
②
联立①②式，得 。
若小球恰好对点无挤压，则在点，根据牛顿第二定律有 ③
小球从开始运动到运动至 点的过程中，根据动能定理，有
④
联立③④式，得 。
类型3 机械能守恒定律的应用
图8-11
例8 （中科大自主招生试题）如图8-11所示,一颗珠子穿在一个固定
在竖直平面、半径为 的圆环上,可以沿着圆环自由滑动。现用一个
轻质橡皮筋连接圆环最高点和珠子,初始时刻珠子静止于圆环最低点,
此时圆环作用在珠子上的力为其重量的两倍。轻轻拨动珠子,珠子开
始沿着圆环向上滑动,当它滑过三分之一圆周时速度达到最大。试求
完全放松后橡皮筋的长度。
思路点拨（1）二倍角公式： 。（2）二次函数
,当时 取最大值。
【答案】
【解析】 设完全放松后橡皮筋的长度为 ,初始时刻珠子静止于圆环最低点,有
①
当珠子沿着圆环向上滑动到 点时,根据机械能守恒定律,对橡皮筋和珠子组成的系统有
（弹簧的弹性势能公式为
，其中为劲度系数， 为形变量。）②
其中 ③
. .
联立式②和式③,得
令
当 取最大值时,有
④
联立式①和式④,得 。
设完全放松后橡皮筋的长度为 ,初始时刻珠子静止于圆环最低点,有
。由题意知,珠子滑过三分之一圆周时速度最大,则此时切向加速度
为0,由几何关系知 ,联立解得 。
【强化训练丨变式题】
3.（北京大学夏令营试题）水平地面上有一车厢以恒定速度 向右运动,车厢内的单摆
开始时在外力的作用下相对车厢静止,摆线与竖直方向的夹角为 ,其方位如图8-12所示,
设摆线长为,摆球的质量为 ,撤去外力后,摆球从初始位置开始运动到第一次到达最低
点位置时,相对地面参考系水平向右的速度是______________________；在地面参考系
中,此过程摆线张力对摆球在水平方向上做的功为_______________________。
图8-12
【解析】在车厢参考系中，设小球到达最低点时的速度大小为 ,根据动能定理有
，解得 ，在地面参考系中，小球到达
最低点时的速度为 ，在地面参考系中，根据动
能定理有，解得 。
图8-13
4.（清华大学夏令营试题节选）弹跳杆运动是一
项广受欢迎的运动。某种弹跳杆的结构如图8-13
甲所示,一根弹簧套在 形跳杆上,弹簧的下端固
定在跳杆的底部,上端固定在一个套在跳杆上的
脚踏板底部,一质量为 的小孩站在该种弹跳杆
的脚踏板上,当他和跳杆处于竖直静止状态时,弹簧的压缩量为 。从此刻起小孩做了
一系列预备动作,使弹簧达到最大压缩量,如图乙 所示；此后他开始进入正式的
运动阶段,在正式运动阶段,小孩先保持稳定姿态竖直上升,在弹簧恢复原长时,小孩抓
住跳杆,使得他和跳杆瞬间#2
达到共同速度,如图乙 所示；紧接着他保持稳定姿态竖直上升到最大高度,如图乙
所示；然后自由下落。跳杆下端触地（不反弹）的同时小孩采取动作,使弹簧最大
压缩量再次达到 ；此后又保持稳定姿态竖直上升……重复上述过程。小孩运动的
全过程中弹簧始终处于弹性限度内,已知跳杆的质量为,重力加速度为 。空气阻力、
弹簧和脚踏板的质量以及弹簧和脚踏板与跳杆间的摩擦均可忽略不计。#2.1
（1）求弹跳杆中弹簧的劲度系数,并在图丙中画出该弹簧弹力 的大小随弹簧压缩
量 变化的示意图；
（2）借助弹簧弹力的大小随弹簧压缩量变化的 图像可以确定弹力做功的规
律,在此基础上,求在图乙所示的过程中,小孩在上升阶段的最大速率。
【答案】见解析
【解析】（1）小孩处于静止状态时，根据平衡条件，有
解得 。
图像如图所示。
（2）题图乙状态弹簧的弹性势能为
小孩从题图乙至题图乙 的过程中，先做加速运动后做减速运动，对小孩进行
受力分析知，当弹簧弹力与重力等大时，小孩向上运动的速度最大，设其最大速度
为,此时弹簧压缩量为，弹簧的弹性势能为
从题图乙 至小孩向上运动速度达到最大的过程中，小孩和弹簧组成的系统机械能
守恒，有
解得 。
设情境 素养提升
问题情境1 水车运水—— 传统文化
图8-14
例9 (2025·山东青岛期末)如图8-14所示，某水车边缘均匀分布着30个盛
水的竹筒，在水流冲击下，水车边缘以 的速率匀速转动，当装满
水的竹筒到达最高处时将水全部倒入水槽中。已知水车的半径为 ，
每个竹筒中装入水的质量均为 。忽略竹筒装水的过程和水车浸入水
的深度，重力加速度 ，则水车运水的功率为( )
A
A. B. C. D.
【解析】
问题情境2 风力发电——科学态度与责任
图8-15
例10 [教材第100页“复习与提高”B组第3题改编](2025·浙江丽水期末)如
图8-15，某地有一风力发电机，它的叶片转动时可形成半径为 的圆
面。假设某天内该地区的平均风速是 ，风向恰好跟叶片转动产生
的圆面垂直，已知空气的密度为 ，风力发电机能将此圆面内
的空气动能转化为电能。下列说法正确的是( )
D
A.风力发电机的发电功率与风速的平方成正比
B.风力发电机1天能发的电能约为
C.单位时间内冲击风力发电机叶片转动产生的圆面的气流体积约为
D.单位时间内冲击风力发电机叶片转动产生的圆面的气流动能约为
【解析】单位时间内冲击风力发电机叶片转动产生的圆面的气流的体积为
,单位时间内冲击风力发电机叶片转
动产生的圆面的气流的质量为 ,则单位时间内冲
击风力发电机叶片转动产生的圆面的气流动能为
，故C错误，D正确。风力发
电机的发电功率为
（其中 ），故A错误。风力发电机1天能发的电能为
，故B错误。
问题情境3 著名的牛顿“水桶实验”——科学探究
图8-16
例11 （多选）我们知道,处于自然状态的水都是向重力势能更低处流动
的,当水不再流动时,同一滴水在水表面的不同位置具有相同的重力势能,
即水面是等势面。通常稳定状态下水面为水平面,但将一桶水绕竖直固定
中心轴以恒定的角速度 转动,稳定时水面呈凹状,如图8-16所示。这一
现象依然可用等势面解释：以桶为参考系,桶中的水还多受到一个“力”,
同时水还具有一个与这个“力”对应的“势能”。为便于研究,在过桶竖直轴线的平面上,
以水面最低处为坐标原点、以竖直向上为轴正方向建立直角坐标系,质量为 的
小水滴（可视为质点）在这个坐标系下具有的“势能”可表示为 。该
“势能”与小水滴的重力势能之和为其总势能,水会向总势能更低的地方流动,稳定时水
面上的相同质量的水将具有相同的总势能。根据以上信息可知,下列说法正确的是
( )
A.与该“势能”对应的“力”对水面上小水滴做的功与路径无关
B.小水滴沿水面向上移动时该“势能”增加
C.小水滴沿水面向上移动时重力势能的增加量大于该“势能”的减少量
D.与该“势能”对应的“力”的大小随 的增加而增大
√
√
【解析】由于该力做功与重力做功类似,对应了一种势能,所以该“力”对水面上小水滴
做的功与路径无关,故A正确；小水滴沿水面上移时对应的 增大,由
知,该“势能”减小,故B错误；由题意可知,水面上的小水滴具有的重
力势能和该“力”对应的“势能”之和不变,小水滴沿水面向上移动时重力势能增加,该
“势能”减小,所以小水滴沿水面向上移动时重力势能的增加量等于该“势能”的减少量,
故C错误；该“势能”的表达式可类比于弹簧弹性势能的表达式 ,弹簧离平衡
位置越远,弹力越大,因此该“势能”对应的“力”随 的增大而增大,D正确。
刷真题 体验高考
1.(2023·全国甲卷)一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平
抛运动过程中( )
B
A.机械能一直增加 B.加速度保持不变
C.速度大小保持不变 D.被推出后瞬间动能最大
【解析】铅球被水平抛出，只受重力作用，加速度始终为重力加速度 ，机械能守恒，
A错误，B正确；平抛运动过程中，铅球的水平方向分速度保持不变，竖直方向分速
度变大，则铅球运动过程中速度一直增大，动能也一直增大，C、D错误。
2.(2024·浙江6月卷)一个音乐喷泉喷头出水口的横截面积为 ，喷水速度约
为，水的密度为 ，则该喷头喷水的功率约为( )
C
A. B. C. D.
【解析】设时间内从喷头喷出的水的质量为,则 ，由动能定理得，喷
头对水做的功为，则喷头喷水的功率 ，代入数据
解得 ，C正确。
3.(湖南高考题)“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。总质量
为 的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的
额定功率均为，若动车组所受的阻力与其速率成正比（， 为常量），动
车组能达到的最大速度为 。下列说法正确的是( )
C
A.动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B.若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C.若四节动力车厢输出的总功率为，则动车组匀速行驶的速度为
D.若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间 达到最大速
度，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为
【解析】根据牛顿第二定律有 ，动车组做匀加速直线运动时加速度恒定，
而加速运动过程速度是变化的，故牵引力是变力，A项错误；若四节动力车厢输出
功率均为额定值，有 ，加速度是变化的，B项错误；动车组达到最大速
度匀速运动时，有，若四节动力车厢输出的总功率为 ，设动车组匀
速行驶时的速率为,则有,解得 ，C项正确；若四节动力车厢输
出功率为额定值，对整个过程由动能定理得,则 ,
D项错误。
4.(2024·山东卷)如图8-17所示，质量均为 的甲、乙
两同学，分别坐在水平放置的轻木板上，木板通过
B
图8-17
A. B.
C. D.
一根原长为的轻质弹性绳连接，连接点等高且间距为 。两木板与地面间动
摩擦因数均为 ，弹性绳劲度系数为，被拉伸时弹性势能（ 为绳的伸长
量）。现用水平力 缓慢拉动乙所坐木板，直至甲所坐木板刚要离开原位置，此过程
中两人与所坐木板保持相对静止， 保持不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力
加速度大小为，则 所做的功等于( )
【解析】 （解析法）
当甲所坐木板刚要离开原位置时，对甲及其所坐木板整体有 ，解得弹性
绳的伸长量，则此时弹性绳的弹性势能为 。从开始拉动
乙所坐木板到甲所坐木板刚要离开原位置的过程，乙所坐木板的位移为
，则由功能关系可知该过程所做的功
（【点拨】，故可认为弹性绳的初始弹性势能为0。） ，B正确。
（图像法）
画出外力与乙所坐的木板的位移 的关系图像如图所示，则外
力 做的功
，B
正确。
. .
图8-18
5.(2025·四川卷)如图8-18所示，倾角为 的光滑斜面固定在
水平地面上，安装在其顶端的电动机通过不可伸长轻绳与小
车相连，小车上静置一物块。小车与物块质量均为 ，两者
之间动摩擦因数为。电动机以恒定功率 拉动小车由静止开
始沿斜面向上运动。经过一段时间，小车与物块的速度刚好
C
A.物块的位移大小为 B.物块机械能增加量为
C.小车的位移大小为 D.小车机械能增加量为
相同，大小为 。运动过程中轻绳与斜面始终平行，小车和斜面均足够长，重力加
速度大小为 ，忽略其他摩擦。则这段时间内( )
【解析】对物块，根据牛顿第二定律有，解得 ，
根据运动学公式有，解得物块的位移大小为 ，故A错误；物块机
械能增加量为 ，故B错误；对小车，根据动能
定理有，其中 ，联立解得
，故C正确；小车机械能增加量为
，故D错误。
图8-19
6.(2024·新课标卷)将重物从高层楼房的窗外运到地面时，为安全
起见，要求下降过程中重物与楼墙保持一定的距离。 如图8-19，
一种简单的操作方法是一人在高处控制一端系在重物上的绳子 ，
另一人在地面控制另一根一端系在重物上的绳子 ，二人配合可使
重物缓慢竖直下降。若重物的质量 ，重力加速度大小
。当绳与竖直方向的夹角 时， 绳与竖直方
向的夹角 。
（1）求此时、 绳中拉力的大小;
【答案】
【解析】由题意可知，重物缓慢下降过程中受力平衡，设绳中拉力的大小为、
绳中拉力的大小为 ，则
在竖直方向上有
在水平方向上有
联立并代入数据解得、 。
（2）若开始竖直下降时重物距地面的高度 ，求在重物下降到地面的过程中，
两根绳子拉力对重物做的总功。
【答案】
【解析】重物下降到地面的过程，根据动能定理有
代入数据解得 。
7.(2023·辽宁卷)某大型水陆两栖飞机具有水面滑行汲水和空中投水等功能。某次演
练中，该飞机在水面上由静止开始匀加速直线滑行并汲水，速度达到 时
离开水面，该过程滑行距离、汲水质量 。离开水面后，
飞机攀升高度时速度达到 ，之后保持水平匀速飞行，待接近
目标时开始空中投水。取重力加速度 。求:
（1）飞机在水面滑行阶段的加速度的大小及滑行时间 ；
【答案】
【解析】飞机在水面滑行阶段，由匀变速直线运动规律有
，解得
又，解得 。
（2）整个攀升阶段，飞机汲取的水的机械能增加量 。
【答案】
【解析】整个攀升阶段，对飞机汲取的水分析，由机械能的定义得
解得 。
图8-20
8.（全国卷Ⅱ高考题）为提高冰球运动员的加速能力,教练员在冰面上
与起跑线相距和 处分别放置一个挡板和一面小旗,如图8-
20所示。训练时,让运动员和冰球都位于起跑线上,教练员将冰球以初
速度 击出,使冰球在冰面上沿垂直于起跑线的方向滑向挡板；冰球
被击出的同时,运动员垂直于起跑线从静止出发滑向小旗。训练要求
当冰球到达挡板时,运动员至少到达小旗处。假定运动员在滑行过程
中做匀加速运动,冰球到达挡板时的速度为,重力加速度大小为 。求:
（1）冰球与冰面之间的动摩擦因数；
【答案】
【解析】设冰球的质量为，冰球与冰面之间的动摩擦因数为 ，由动能定理得
解得 。
（2）满足训练要求的运动员的最小加速度。
【答案】
【解析】冰球到达挡板时，满足训练要求的运动员中，刚好到达小旗处的运动员的
加速度最小。设这种情况下，冰球和运动员的加速度大小分别为和 ，所用的时
间为。由运动学公式得,,
联立以上几式，解得 。
9.(2025·福建卷)如图8-21甲，水平地面上有并排放置的、 两个物块，两物块质量
均为，与地面间动摩擦因数为，与地面间无摩擦，两物块在外力
的作用下向右前进，随位移的变化图像如图乙所示，为圆弧轨道最低点， 为
圆弧轨道最高点，圆弧轨道与水平地面平滑连接，初始时水平地面上、与 点间
的距离大于。重力加速度 ,求:
图8-21
（1）内 做的功；
【答案】
【解析】图像与坐标轴所围的面积表示 所做的功的大小,由题图乙可知
内所做的功 。
（2）时，与 之间的弹力大小；
【答案】
【解析】由题图乙可知，后外力开始变化，可知，时、 有相同
的加速度
地面对的摩擦力大小
对、整体，由牛顿第二定律得
由于与地面间无摩擦，对，由牛顿第二定律得
联立解得、间的弹力大小 。
（3）要保证能到达 点，圆弧半径满足的条件。
【答案】
【解析】当时、分离，由（2）中分析可知时、 分离，由
题图乙可知，此时
初始时水平地面上、与点间的距离大于，对、 从开始运动到分离过程，
由动能定理得
由图像与坐标轴所围的面积表示 所做的功的大小，可得
假设可以运动到圆弧轨道最高点，对,从与分离点到运动到 点的过程，由动
能定理得
要保证能到达点，则到达点的速度满足
联立解得 。