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华东师大版2025—2026学年八年级上册期末模拟名校真题卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·雅安期末）在下列哪两个数之间（ ）
A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6
2．（2024八上·道县期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则， B．若，则，
C．若，则 D．若，则
3．（2024八上·芙蓉期末）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024八上·长春期末）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024八上·黔东南期末）如图，是和的公共边，下列条件不能判定的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2024八上·浏阳期末）计算____．
A． B． C． D．
7．（2024八上·湖北期末）若，，则的值为（ ）
A． B． C．-13 D．-5
8．（2024八上·温州期末）设，则（ ）
A．24 B．25 C． D．
9．（2024八上·临江期末）如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；⑤，正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．（2024八上·北仑期末）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝
A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·安乡县期末）比较大小： ．（填“＞”“＜“或“＝”）
12．（2024八上·龙江期末）已知是等腰三角形，边上的高恰好等于边长的一半，则的度数为 ．
13．（2024八上·桦甸期末）若，则 ．
14．（2024八上·化州期末）如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为，梯子的底端B到墙根O的距离为，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么的长是 ．
15．（2024八上·朝阳期末）下表记录了一些数的平方：
17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18
289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324
下列结论：①；②的整数部分为7；③30976的平方根是；④一定有4个整数的算术平方根在17.4~17.5之间，其中正确的是 （填序号）．
16．（2024八上·龙江期末）在△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，∠ACD是△ABC的外角 ∠ACD和∠ABC的平分线交于点E，则∠AEB＝
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023八上·苍溪期末）因式分解：
（1）a2-9b2；
（2）2a2-4ab+2b2.
18．（2022八上·西城期末）计算：
（1）；
（2）；
（3）
19．（2024八上·新都期末） 如图，已知，，
（1）求证∶；
（2）若平分， ，求的长度
20．（2024八上·遂川期末）如图，，，，分别是边上的点，，．
（1）求证：；
（2）若，，请直接写出的度数．
21．（2024八上·万州期末）为中华之崛起，关心爱护青少年，国家教育部实施了双减政策和五项管理.随着手机的普及，学生使用手机对学校的管理和学生的发展带来了诸多的不利影响，为此，万州区教委对该区部分学校的八年级学生每周使用手机的情况做了调查分析，并把每周使用手机的时间t（小时）的情况分为四个层级，A级：t＝0；B级：；C级：；D级：.并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）.
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了 ▲ 名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中A的圆心角为 ；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该区近14000名八年级学生中大约有多少名学生使用手机的时间在2小时以上．
22．（2024八上·惠州期末）回答下列问题：
（1）计算：① ；② ．
③ ；④ ．
（2）总结公式
（3）已知a，b，m均为整数，且．求m的所有可能值．
23．（2024八上·遵义期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，DC⊥AC，垂足为C，AD交线段BC于F，E是AC边上一点，连接BE，交AD于点G且BE＝AD．
（1）猜猜BE与AD有怎样的位置关系？说说你的理由；
（2）若BE是∠ABC的角平分线，试说明△CFD是等腰三角形．
24．（2024八上·万州期末）已知，在四边形中，，连接．
（1）如图1，若，，，求的面积；
（2）如图2，若，平分，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，若点P是射线上一动点，连接．将线段绕着点D顺时针旋转，点P的对应点为，若，请直接写出的最小值．
25．（2024八上·吉林期末）用图①中的1张边长为m的正方形M图纸、1张边长为n的正方形N图纸和2张边长分别为m，n的长方形D图纸拼成图②的一张大正方形图片，观察图形，并解答下列问题.
（1）由图②和图①可以得到关于面积的等式为 .
（2）小丽同学用图①中这三张图纸拼出一张面积为（2m+3n）（3m+2n）的大长方形图片，求需要M，N，D三种纸片各多少张.
（3）如图③，已知点P为线段AF上的动点，分别以PF，AP为边在AF的两侧作正方形PMEF和正方形APCD.若AF=5，且两个正方形的面积之和为S1＋S2=13，利用（1）中得到的结论求图③中阴影部分面积S△PCF.
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华东师大版2025—2026学年八年级上册期末模拟名校真题卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·雅安期末）在下列哪两个数之间（ ）
A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6
【答案】D
【解析】【解答】解：依题意，
∵
∴
故答案为：D
【分析】根据估计即可。
2．（2024八上·道县期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则， B．若，则，
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】【解答】解：A：若，则，或a<0，b<0，为假命题，不符合题意；
B：若，则，b>0或a>0，b<0，为假命题，不符合题意；
C：若，当c>0时，则，为假命题，不符合题意；
D：若a>b，则-5a<-5b，为真命题，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据真命题的定义即可求出答案.
3．（2024八上·芙蓉期末）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B．是因式分解，故本选项符合题意；
C．右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D．右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】因式分解就是把一个多项式分解为几个整式的积的形式，据此求解。
4．（2024八上·长春期末）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：
当AB为腰时，点C的个数有2个；当AB为底时，点C的个数有1个。
综上所述：点C的个数为3个，
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质先作图，再求解即可。
5．（2024八上·黔东南期末）如图，是和的公共边，下列条件不能判定的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】【解答】解：A、由SAS能判定 ，不符合题意；
B、由SSA不能判定 ，符合题意；
C、由SSS能判定 ，不符合题意；
D、由ASA能判定 ，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的判定方法：SAS、SSS、ASA即可判断.
6．（2024八上·浏阳期末）计算____．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：（x-1）2=x2-2x+1.
故答案为：C。
【分析】根据完全平方公式正确展开，即可得出答案。
7．（2024八上·湖北期末）若，，则的值为（ ）
A． B． C．-13 D．-5
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据幂的乘方法则和同底数幂的除法法则计算求解即可。
8．（2024八上·温州期末）设，则（ ）
A．24 B．25 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由，
可得：，
∴，
∴，
∴
.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件可得a+1=，则(a+1)2=a2+2a+1=7，化简可得a2+2a=6，则3a3+12a2-6a-12=3a(a2+2a)+6a2-6a-12=18a+6a2-6a-12=6(a2+2a)-12，然后代入计算即可.
9．（2024八上·临江期末）如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；⑤，正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠BPC=180°-60°=120°；
∴①正确；
∵BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB， 和相交于点，
∴AP平分∠BAC；
∴②正确；
如果AP=PC，则∠PAC=∠PCA，
∴∠BAC=∠BCA=60°，
∴△ABC是等边三角形，
与题意△ABC是任意三角形不符，
∴③不正确；
过点P分别作PE⊥AC于点E，作PF⊥AB于点F，作PH⊥BC于点H，
∴∠AFP=∠AGP=90°，∠BAC=60°，
∴∠FPG=120°，
∵∠DPE=∠BPC=120°，
∴∠DPF=∠EPG，
又∵AP平分∠BAC，
∴PE=PF，
∴△PEG≌△PFD，
∴FD=EG，
在Rt△BPF和Rt△BPH中，
∵BP=BP，PF=PH，
∴Rt△BPF≌Rt△BPH，
∴BF=BH，
同理可证：CH=CE，
∵BF=BD+FD，
∴BF=BD+EG，
∵CG=CE-EG，
∴BC=BH+CH=BD+EG+CE-EG，
∴BD+CE=BC；
∴④正确；
∵S△PBA=，S△PCA=，PF=PG，
∴S△PBA∶S△PCA=∶，
∴S△PBA∶S△PCA=AB∶AC.
∴⑤正确。
综上，正确的有：①②④⑤共4个。
故答案为：B。
【分析】首先根据角平分线的定义及三角形内角和定理可求得①②正确；再用反证法即可说明③不正确；过点P分别作PE⊥AC于点E，作PF⊥AB于点F，作PH⊥BC于点H，通过证明三角形全等可得出BH=BF=BD+EG，CH=CG=CE-EG，故而得出BD+CE=BC，得出④正确；然后根据三角形的面积计算公式，及角的平分线的性质，即可得出S△PBA∶S△PCA=AB∶AC，得出⑤正确，综上即可得出答案。
10．（2024八上·北仑期末）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝
A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AC＝BC，∠DAC＝30°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，
∴△AEC≌△CFH，
∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，
∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，
∴∠AFB＝105°.
故答案为：B.
【分析】作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，证出△AEC≌△CFH，得出CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，从而得出当F为AC与BH的交点时，BF+CE的值最小，再利用三角形外角性质得出∠AFB＝∠FBC+∠FCB，即可得出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·安乡县期末）比较大小： ．（填“＞”“＜“或“＝”）
【答案】<
【解析】【解答】解：∵，
∵
∴
【分析】运用平方法可直接比较大小：先将两个数分别平方，并比较大小，然后根据两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小，即可得出答案.
12．（2024八上·龙江期末）已知是等腰三角形，边上的高恰好等于边长的一半，则的度数为 ．
【答案】或或
【解析】【解答】解：
如图1图2图3；分三种情况：①AB=BC，AD⊥BC，AD在三角形的内部，因为△ABC是等腰三角形，所以AD=BC=AB
∴ sin∠B==，
∴∠B=30°， ∠C=
∴ ∠BAC=∠C=75°
②AC=BC，AD⊥BC，AD在三角形的外部，
由题意知， AD=BC=AC，
∴ sin∠ACD==，
∴∠ACD=30°=∠B+∠CAB，
∵ ∠B=∠CAB
∴∠BAC=15°
③AC=BC，AD⊥BC，BC边为等腰三角形的底边，由等腰三角形的底边上的高与底边上中线，顶角的平分线重合知，点D为BC的中点，由题意知，AD=BC=CD=BD，
∴△ABD，△ADC均为等腰直角三角形
∴∠BAD=∠CAD=45°
∴∠BAC=90°
所以∠BAC的度数为15°、75°或90°
故答案为：15°、75°或90°.
【分析】本题要分情况讨论，根据等腰三角形的性质来分析：①当AD在三角形的内部，②AD在三角形的外部以③BC边为等腰三角形的底边三种情况：本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理、三角形的外角的性质；本题要分三种情况讨论：前两种情况为∠BAC为等腰三角形的底角，且AD在三角形内部还是外部；第三种为∠BAC为等腰三角形的顶角；
13．（2024八上·桦甸期末）若，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得，
∴2n=4，，
∴n=2，
∴m=4，
故答案为：4
【分析】先根据完全平方公式化简，进而结合题意即可得到n，从而即可得到m。
14．（2024八上·化州期末）如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为，梯子的底端B到墙根O的距离为，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么的长是 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：在直角三角形中，
，，
，
，，
，
在中
，
故答案为：8．
【分析】利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，又由题意可知利用勾股定理求出，再根据边之间的关系即可求出答案.
15．（2024八上·朝阳期末）下表记录了一些数的平方：
17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18
289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324
下列结论：①；②的整数部分为7；③30976的平方根是；④一定有4个整数的算术平方根在17.4~17.5之间，其中正确的是 （填序号）．
【答案】①③④
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的整数部分为6，
故②错误；
∵，
∴，
∴，
∴30976的平方根是，
故③正确；
∵，
∴这四个数的算术平方根在17.4~17.5之间，
故④正确；
综上所述，正确的是①③④，
故答案为：①③④．
【分析】利用算术平方根，无理数的估算，平方根等对每个结论逐一判断求解即可。
16．（2024八上·龙江期末）在△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，∠ACD是△ABC的外角 ∠ACD和∠ABC的平分线交于点E，则∠AEB＝
【答案】25
【解析】【解答】解：如图示：
过点 ，分别作 交 于点 ， 交 于点 ， ，交 延长线于点 ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴
在 和 中，
∴ ，
故答案为：25.
【分析】过点E，分别作 EF⊥BD于点E， EG⊥AC于点G，EH⊥AB交AB延长线于点H ，由角平分线上的点到角两边的距离相等得EH=EF=EG，根据三角形外角的性质得∠HAC=∠ABC+∠ACB=112°，由角平分线的定义得∠EAO=∠HAC，∠EBC=∠ABC，在△AOE和△BOC中， 由∠AEB=∠OBC+∠OCB-∠OAE即可求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023八上·苍溪期末）因式分解：
（1）a2-9b2；
（2）2a2-4ab+2b2.
【答案】（1）解：a2-9b2＝（a+3b）（a-3b）；
（2）解：2a2-4ab+2b2
＝2（a2-2ab+b2）
＝2（a-b）2.
【解析】【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式2，再将剩下的商式利用完全平方公式分解即可.
18．（2022八上·西城期末）计算：
（1）；
（2）；
（3）
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【解析】【分析】（1）利用单项式乘单项式的计算方法求解即可；
（2）利用多项式乘多项式的计算方法求解即可；
（3）利用多项式除以单项式的计算方法求解即可。
19．（2024八上·新都期末） 如图，已知，，
（1）求证∶；
（2）若平分， ，求的长度
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
则．
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得，再结合利用等角的补角相等可得，从而证出；
（2）结合，利用等角的余角相等可得，利用等角对等边的性质及等量代换可得，最后利用勾股定理求出即可.
20．（2024八上·遂川期末）如图，，，，分别是边上的点，，．
（1）求证：；
（2）若，，请直接写出的度数．
【答案】（1）证明：，，
，
（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
又，
，
（同位角相等，两直线平行），
（2）解：．
【解析】【解答】（2）解：
故填：114°
【分析】（1）从已知入手，由对顶角相等得到符合同旁内角互补的条件，可证，根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，等量代换可得相等的另一组同位角， 由同位角相等判定两直线DE和BC平行；
（2）根据平行的性质，可计算出，且知，故根据外角定理三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和可计算出的度数。
21．（2024八上·万州期末）为中华之崛起，关心爱护青少年，国家教育部实施了双减政策和五项管理.随着手机的普及，学生使用手机对学校的管理和学生的发展带来了诸多的不利影响，为此，万州区教委对该区部分学校的八年级学生每周使用手机的情况做了调查分析，并把每周使用手机的时间t（小时）的情况分为四个层级，A级：t＝0；B级：；C级：；D级：.并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）.
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了 ▲ 名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中A的圆心角为 ；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该区近14000名八年级学生中大约有多少名学生使用手机的时间在2小时以上．
【答案】（1）解：；条形统计图补充完整为：
（2）
（3）解：名，
答：大约有名学生使用手机的时间在2小时以上．
【解析】【解答】解：（1）解：此次抽样调查中，共调查了（名），
名，
条形统计图补充完整为：
故答案为：；
（2）解：A的圆心角为，
故答案为：；
（3）解：名，
答：大约有名学生使用手机的时间在2小时以上．
【分析】本题考查对统计图知识.
（1）根据B级人数除以B级所占的百分比，可求出抽测的总人数；根据抽测总人数=各部分人数之和，据此利用抽测总人数减去A级、B级人数，D级人数，可得C级人数，根据C级人数，进而可求出补全条形统计图；
（2）根据扇形统计图中圆心角的度数=所占比例乘以，据此利用A级所占的百分比乘以，可求出答案；
（3）利用学校总人数乘以D级所占百分比，可求出答案．
22．（2024八上·惠州期末）回答下列问题：
（1）计算：① ；② ．
③ ；④ ．
（2）总结公式
（3）已知a，b，m均为整数，且．求m的所有可能值．
【答案】（1）；；；．
（2）（a+b）
（3）解：（x+a）（x+b）=x2+mx+5，
∴x2+（a+b）x+ab=x2+mx+5，
∴a+b=m，ab=5，
∵a，b，m均为整数，
∴a=1，b=5或a=-1，b=-5或a=5，b=1或a=-5，b=-1，
当a=1，b=5时，m=a+b=1+5=6；
当a=-1，b=-5时，m=a+b=-1-5=-6；
当a=5，b=1时，m=a+b=5+1=6；
当a=-5，b=-1时，m=a+b=-5-1=-6；
综上，m的所有可能值为6或-6.
【解析】【解答】解：（1）①（x+2）（x+3）
=x2+3x+2x+6
=x2+5x+6；
②（x+2）（x-3）
=x2-3x+2x-6
=x2-x-6；
③（x-2）（x+3）
=x2+3x-2x-6
=x2+x-6；
④（x-2）（x-3）
=x2-3x-2x+6
=x2-5x+6；
故答案为：x2+5x+6；x2-x-6；x2+x-6；x2-5x+6.
（2）（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab；
故答案为：（a+b）；
【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则分别计算①②③④这四个式子即可的得出答案；
（2）根据（1）中的结果总结公式即可；
（3）运用（2）中的结论计算等式的左边，然后根据左右两边相等得到a+b=m，ab=5，再根据a、b、m均为整数，得出a=1，b=5或a=-1，b=-5或a=5，b=1或a=-5，b=-1，最后计算即可得出m的所有可能值.
23．（2024八上·遵义期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，DC⊥AC，垂足为C，AD交线段BC于F，E是AC边上一点，连接BE，交AD于点G且BE＝AD．
（1）猜猜BE与AD有怎样的位置关系？说说你的理由；
（2）若BE是∠ABC的角平分线，试说明△CFD是等腰三角形．
【答案】（1）解：BE⊥AD，理由如下：
∵∠BAC＝90°，DC⊥AC，
∴∠ACD＝∠BAE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CAD中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CAD（HL），
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠AGE＝∠ABE+∠BAG＝∠CAD+∠BAG＝∠BAC＝90°，
∴BE⊥AD．
（2）解：∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE＝∠CAD，
∴∠CBE＝∠CAD，
∵∠AGE＝∠FGB，
∴∠AEB＝∠BFG，
∵Rt△ABE≌Rt△CAD，
∴∠AEB＝∠D，
∴∠BFG＝∠D，
∵∠BFG＝∠CFD，
∴∠CFD＝∠D，
∴CD＝CF，
∴△CFD是等腰三角形．
【解析】【分析】（1）先利用“HL”证出Rt△ABE≌Rt△CAD，可得∠ABE＝∠CAD，再利用角的运算和等量代换可得∠AGE＝∠ABE+∠BAG＝∠CAD+∠BAG＝∠BAC＝90°，即可得到BE⊥AD；
（2）利用角平分线的定义及等量代换可得∠AEB＝∠BFG，再利用全等三角形的性质可得∠AEB＝∠D，再利用等量代换可得∠CFD＝∠D， 即可得到 △CFD是等腰三角形．
24．（2024八上·万州期末）已知，在四边形中，，连接．
（1）如图1，若，，，求的面积；
（2）如图2，若，平分，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，若点P是射线上一动点，连接．将线段绕着点D顺时针旋转，点P的对应点为，若，请直接写出的最小值．
【答案】（1）解：如图所示，过点C作于点M，
∴，
∵，
∴，
在中，，根据勾股定理得，，
∴，，
∴；
（2）证明：如图所示，延长得到E，使，连接，
∵，平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：由（2）可知：
∵将线段绕着顺时针旋转，点P的对应点为
∴
∵点P是射线AC上的一动点
∴时，DP最小
∵
∴
∴
∴的最小值是．
【解析】【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂线段最短，
（1）过点C作于点M，则，结合已知条件，利用等腰直角三角形的性质可推出，在中，利用据勾股定理可得，，代入数据可求出，代入面积公式可求出答案；
（2）延长得到E，使，连接，平分，利用角平分线的性质结合已知条件可求出，进而推出是等边三角形，根据等边三角形的性质结合角的运算可得求出，根据已知条件可推出，利用可证明，根据全等三角形的性质可推出：，再结合条件，可证明结论；
（3）由（2）知，，根据线段绕着点D顺时针旋转，根据旋转的性质可得：，根据点P是射线上一动点得时，最小，利用勾股定理结合已知条件可求出，据此可求出答案.
25．（2024八上·吉林期末）用图①中的1张边长为m的正方形M图纸、1张边长为n的正方形N图纸和2张边长分别为m，n的长方形D图纸拼成图②的一张大正方形图片，观察图形，并解答下列问题.
（1）由图②和图①可以得到关于面积的等式为 .
（2）小丽同学用图①中这三张图纸拼出一张面积为（2m+3n）（3m+2n）的大长方形图片，求需要M，N，D三种纸片各多少张.
（3）如图③，已知点P为线段AF上的动点，分别以PF，AP为边在AF的两侧作正方形PMEF和正方形APCD.若AF=5，且两个正方形的面积之和为S1＋S2=13，利用（1）中得到的结论求图③中阴影部分面积S△PCF.
【答案】（1）(m＋n)2=m2＋2mn＋n2
（2）解：∵(2m＋3n)(3m＋2n)=6m2＋4mn＋9mn＋6n2=6m2＋13mn＋6n2，
∴需要M，N两种纸片各6张，D种纸片13张.
（3）解：设PF=m，AP=n.
∵AF=5，AF=AP＋PF，∴m＋n=5.
∵S1＋S2=13，∴m2＋n2=13.
∵(m＋n)2=m2＋2mn＋n2，
∴m2＋n2=(m＋n)2－2mn，13=52－2mn，mn=6.
∴S△PCF即S△PCF=3.
【解析】【解答】解：（1）观察图形可得：由图②和图①可以得到关于面积的等式为(m＋n)2=m2＋2mn＋n2，
故答案为：(m＋n)2=m2＋2mn＋n2 .
【分析】（1）观察图形，根据面积公式计算图形面积即可；
（2）利用多项式乘多项式的计算法则计算求解即可；
（3）根据题意先求出m＋n=5. 再求出mn=6，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
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