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华东师大版2025—2026学年九年级上册期末模拟真题真练卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·湘潭期末）大自然巧夺天工，一片小枫叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P是线段的黄金分割点，且，，则的长约为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·长春期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·长春汽车经济技术开发期末）如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳可测量零件的内孔直径若：：，且量得，则零件的厚度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·延边期末）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
5．（2024九上·杭州期末）如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，则小球下降的高度是（ ）
A．（） B．（） C．（） D．（）
6．（2024九上·杭州期末）下列各图形的变化只能通过相似变化得到的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024九上·四平期末）在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是（ ）
A．10 B．14 C．16 D．40
8．（2023九上·府谷期末）如图，在中，点D、E分别在AC、AB上，连接DE，若，且，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
9．（2023九上·杭州期末）如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（ ）
A．△COF∽△CEG B．OC=3OF
C．AB：AD=4：3 D．GE=DF
10．（2023九上·越城期末）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，点C（1，c），D（，d），E（e，1），P（m，n）均为上的点（点P不与点A，B重合），若m＜n＜m，则点P的位置为（ ）
A．在上 B．在上 C．在上 D．在上
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·八步期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，若AB=6，那么DE=
12．（2024九上·乌鲁木齐期末）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 场比赛，比赛组织者应邀请 个队参赛．
13．（2024九上·绍兴期末）已知正整数a，b，c，满足，，均为正整数，则的最大值是 ．
14．（2024九上·成都期末）已知，，，……，（，且为正整数）．若，则的值为 ．
15．（2023九上·大冶期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根分别为，，且，则k的值是 .
16．（2024九上·石鼓期末）如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③CD＝3CF；④S△ABE＝4S△ECF．其中正确的有 （填序号）．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·岳阳期末）解方程：
（1）
（2）
18．（2024九上·来宾期末） 如图，已知的锐角顶点在反比例函数的图象上．且的面积为2，若．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）一条直线过点且交轴于点，已知，求直线AC的解折式．
19．（2024九上·昭通期末）太阳发出的光经过三棱镜折射后，可以形成红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫等色光组成的光带，这是光的色散现象，说明太阳发出的白光是由不同色光组成的．自然界大部分彩色的光都可以通过红、绿、蓝三种颜色的光按照不同比例混合而成，所以这三种色光又被称为光的“三原色”．在一次数学课上，老师利用光的三原色设计了一个“配紫色”游戏，如图所示是一个可以自由转动的转盘，转盘被分成面积相等的三个扇形，分别对应红、绿、蓝三种颜色，转动转盘2次，记下两次指针指向的区域（若指针指向扇形分界线，则需要重新转动），如果转出的两种颜色分别是红色和蓝色，则可以配成紫色．
（1）用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）求转动2次转盘，恰好可以配成紫色的概率．
20．（2024九上·乐山期末）如图，在中，是上的高，且，矩形的顶点、在边上，顶点、分别在边、上．
（1）设，矩形的周长为，求关于的函数解析式；
（2）当为正方形时，求正方形的面积．
21．（2024九上·北碚期末）在中，，点是的中点，是延长线上一点，且．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，点是的中点，求证：．
22．（2024九上·北碚期末）某商店准备进一种季节性小家电，每台进价为40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180台；销售定价每降低1元，销售量将增多10台．
（1）商店若希望销售量为260台，则应降价多少元？
（2）商店若希望获利2000元，且使顾客得到实惠，则销售定价为多少元？
23．（2024九上·苍溪期末）苍溪县“骑手驿站”建成使用，为严寒中的劳动者们带来丝丝暖意，让他们有更多的安全感、获得感、幸福感．刘军是苍溪县某区一名快递员，在他负责送货的区域附近有A，B，C，D四个“骑手驿站”，他主要在“骑手驿站”接热水、吃午饭．设他到这四个“骑手驿站”的可能性相等．
（1）他选择D“骑手驿站”接热水的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图法表示他选择同一“骑手驿站”接热水、吃午饭的概率．
24．（2018九上·前郭期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点D从点A出发以1cm/s的速度运动到点C停止．作DE⊥AC交边AB或BC于点E，以DE为边向右作正方形DEFG．设点D的运动时间为t（s）．
（1）求AC的长．
（2）请用含t的代数式表示线段DE的长．
（3）当点F在边BC上时，求t的值．
（4）设正方形DEFG与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），当重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．
25．（2024九上·北碚期末）在中，，点为外一点，和相交于点，．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，若，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（1）的条件下，将绕点旋转得到，连结，点是的中点，当取最小值时，直接写出此时的面积．
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华东师大版2025—2026学年九年级上册期末模拟真题真练卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·湘潭期末）大自然巧夺天工，一片小枫叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P是线段的黄金分割点，且，，则的长约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：为的黄金分割点，
，
故答案为：B．
【分析】利用黄金分割的定义及黄金分割值列出算式求解即可.
2．（2024九上·长春期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】
A：，不正确，，不符合题意
B：，不正确，，不符合题意
C：，正确，，符合题意
D：，不正确，，不符合题意
故选：C
【分析】熟练掌握二次根式的四则运算法则，即可找到正确选项。
3．（2024九上·长春汽车经济技术开发期末）如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳可测量零件的内孔直径若：：，且量得，则零件的厚度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵，∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴，
∵CD=5cm，
∴AB=2CD=2×5=10cm，
∵零件的外径为12cm，
∴，
故答案为：C.
【分析】先证出△COD∽△AOB，再结合，CD=5cm，求出AB=2CD=2×5=10cm，最后求出x的值即可.
4．（2024九上·延边期末）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】C
【解析】【解答】解：∵a＝1，b＝-2，c＝-5，
∴b2-4ac＝（-2）2-4×1×（-5）
＝24＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
5．（2024九上·杭州期末）如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，则小球下降的高度是（ ）
A．（） B．（） C．（） D．（）
【答案】B
【解析】【解答】解：假设一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动5cm，到达点D位置，过点D作DH⊥AB于点H，则AD=5cm，
则，
∴，
∴，
则小球下降的高度是，
故答案为：B．
【分析】假设一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动5cm，到达点D位置，过点D作DH⊥AB于点H，则AD=5cm，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得DH∥AB，由二直线平行同位角相等得，然后根据余弦弦函数的定义“”可求出AH的长，从而得出答案.
6．（2024九上·杭州期末）下列各图形的变化只能通过相似变化得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：结合图形可知：
A、此选项中的两个图形大小方向都没有改变，还可以通过平移变换得到，故此选项不符合题意；
B、此选项中的两个图形图形形状没有改变，但大小发生了变换，只能通过相似变换得到，故此选项符合题意；
C、此选项中的两个图形大小没有变化，但方向发生了改变，还可以通过旋转变换得到，故此选项不符合题意；
D、 此选项中的两个图形大小没有变化，但方向发生了改变，还可以通过轴对称变换得到，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】由一个图形到另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小方向和位置可变），这样的图形改变叫做图形的相似变换，据此逐一判断得出答案.
7．（2024九上·四平期末）在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是（ ）
A．10 B．14 C．16 D．40
【答案】A
【解析】【解答】∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.4，∴=0.4，解得：n=10．故选A．
【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
8．（2023九上·府谷期末）如图，在中，点D、E分别在AC、AB上，连接DE，若，且，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的周长比等于对应边的比进行解答.
9．（2023九上·杭州期末）如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（ ）
A．△COF∽△CEG B．OC=3OF
C．AB：AD=4：3 D．GE=DF
【答案】D
【解析】【解答】解：由折叠性质得：∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO＋∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG＋∠OEC＝90°，
由矩形的性质，设AD=BC=2a，AB=DC=2b，
由折叠得DG=OG=a，AE=OE=BE=b，
∴CG=OG+OC=OG+BC=3a，
在Rt△CEG中，CG2=GE2+CE2，
∴（3a）2=a2+b2+b2+（2a）2，
解得，
∴AB=2b=；
∴，故C选项不符合题意；
在Rt△COF中，设OF=DF=x，则CF=2b-x=-x，
∵∠D=∠GOF=90°，
∴x2+（2a）2=，
解得，
∴，
在Rt△AGE中，
∴，故D选项符合题意；
∴，故B选项不符合题意；
在Rt△CEB中，，
∵∠GEC=∠FOC=90°，而，
∴△COF不相似于△CEG，故A选项错误，不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据折叠的性质易得∠FOG=∠GOE=∠EOC=∠FGE=∠GEC=90°，根据折叠的性质和矩形的性质得点G为AD中点，点E为AB中点，设AD＝2a，AB＝2b，利用勾股定理根据勾股定理分别用含a的式子表示出OF、GE、CE、AB，进而即可判断B、C、D，进而根据∠GEC=∠FOC=90°，而判断A选项.
10．（2023九上·越城期末）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，点C（1，c），D（，d），E（e，1），P（m，n）均为上的点（点P不与点A，B重合），若m＜n＜m，则点P的位置为（ ）
A．在上 B．在上 C．在上 D．在上
【答案】B
【解析】【解答】解：点C、D、E、P都在上，
由勾股定理得：，，，
解得，，，
故，D（，），E（，1），
P（m，n），m＜n＜m，且m在上，点C的横坐标满足，点D纵坐标满足，
从点D到点C的弧上的点满足：，
故点P在上.
故答案为：B
【分析】利用勾股定理求出c、d、e的值，即得点C、D、E的坐标，从而得出点C的横坐标满足，点D纵坐标满足，结合题意可得从点D到点C的弧上的点满足，据此即可判断.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·八步期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，若AB=6，那么DE=
【答案】9
【解析】【解答】解：△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，
∴AB：DE=2：3，
∵AB=6，
∴DE=AB=6×=9．
故答案为：9．
【分析】由△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，可得AB：DE=2：3，继而可求得DE的长．
12．（2024九上·乌鲁木齐期末）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 场比赛，比赛组织者应邀请 个队参赛．
【答案】8
【解析】【解答】根据分析可列出方程： ＝28，
解得：x1＝8，x2＝－7（舍去），
故答案为：8.
【分析】抓住已知条件：参赛的每两个队之间都要比赛一场（单循环），利用一共比赛的场数=28，设未知数列方程，求解即可。
13．（2024九上·绍兴期末）已知正整数a，b，c，满足，，均为正整数，则的最大值是 ．
【答案】30
【解析】【解答】解：∵正整数a，b，c，满足，，均为正整数，
∴，，，
∴，，
假设，则，，则为正整数，为正整数，，
∴为正整数，
若，则为正整数，
若，则为正整数，
若，则为正整数，
若，则为正整数，
故的最大值为，因此，，，此时，，，满足题意，
∴的最大值是，
故答案为：
【分析】本题考查比例的性质. 根据题意可得：，，，利用不等式的性质可推出，，，假设，则，，则为正整数，为正整数，，再根据，，均为正整数可推出为正整数，再分四种情况：，，，，依次求出的值，进而可求出k的最大值，求出a，b，c的值，求出的最大值.
14．（2024九上·成都期末）已知，，，……，（，且为正整数）．若，则的值为 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：由题意得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
配方得：，
解得：，，
经检验：，都是分式方程的解，
的值为或．
故答案为：或．
【分析】用分别表示出至，然后根据题意得到关于的方程，解方程得到的值解题．
15．（2023九上·大冶期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根分别为，，且，则k的值是 .
【答案】3
【解析】【解答】解：由题意得
x1+x2=-2k-1，x1·x2=.
∵，
∴1+ x1+x2+x1·x2=3，
∴1-2k-1+k2=3，
解之得
k1=3，k2=-1.
∵(2k+1)2-4k2>0，
∴k>-，
∴k=3.
故答案为3.
【分析】利用一元二次方程根与系数，可表示出x1+x2和x1x2的值，再将等式转化为1+ x1+x2+x1·x2=3，然后代入可得到关于k的方程，解方程求出k的值，再根据b2-4ac＞0，可得到k的取值范围，即可得到k的值.
16．（2024九上·石鼓期末）如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③CD＝3CF；④S△ABE＝4S△ECF．其中正确的有 （填序号）．
【答案】②④
【解析】【解答】解：tan∠BAE＝，
∴∠BAE≠30°，故①错误；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△BAE∽△CEF，
∴，
∵BE＝CE＝BC，
∴＝＝4，
∴S△ABE＝4S△ECF，故④正确；
∴CF＝EC＝CD，
∴CD＝4CF，
故③错误；
设CF＝a，则BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，
∴AE＝2a，EF＝a，AF＝5a，
∴，，
∴，
∴△ABE∽△AEF，故②正确．
∴②与④正确．
故答案为：②④．
【分析】先利用正方形的性质及相似三角形的判定方法证出 △CEF∽△BAE， △ABE∽△AEF， 再利用相似三角形的性质逐项分析判断即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·岳阳期末）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：移项，得，
配方得：，即，
，，
解得：，；
（2）解：，
移项，得，
∴，
∴，，
解得：，.
【解析】【分析】（1）根据移项、配方即可求解；
（2）先移项，再利用因式分解即可求解.
18．（2024九上·来宾期末） 如图，已知的锐角顶点在反比例函数的图象上．且的面积为2，若．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）一条直线过点且交轴于点，已知，求直线AC的解折式．
【答案】（1）解：为直角三角形，，
，，，
点的坐标为，
在上，，
反比例函数的解析式为．
（2）解：在中，．
．．
．．
．
设AC的解析式为，得，代入，
得，解得，
的解析式为：．
【解析】【分析】（1）先根据三角形的面积得到，OB=2，进而得到点A的坐标，再运用待定系数法即可求解；
（2）根据正切函数结合题意求出OC，进而即可得到点C的坐标，再运用待定系数法即可求出直线AC的函数解析式。
19．（2024九上·昭通期末）太阳发出的光经过三棱镜折射后，可以形成红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫等色光组成的光带，这是光的色散现象，说明太阳发出的白光是由不同色光组成的．自然界大部分彩色的光都可以通过红、绿、蓝三种颜色的光按照不同比例混合而成，所以这三种色光又被称为光的“三原色”．在一次数学课上，老师利用光的三原色设计了一个“配紫色”游戏，如图所示是一个可以自由转动的转盘，转盘被分成面积相等的三个扇形，分别对应红、绿、蓝三种颜色，转动转盘2次，记下两次指针指向的区域（若指针指向扇形分界线，则需要重新转动），如果转出的两种颜色分别是红色和蓝色，则可以配成紫色．
（1）用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）求转动2次转盘，恰好可以配成紫色的概率．
【答案】（1）解：列表如下：
红 绿 蓝
红 （红，红） （红，绿） （红，蓝）
绿 （绿，红） （绿，绿） （绿，蓝）
蓝 （蓝，红） （蓝，绿） （蓝，蓝）
由表格可知，共有9种等可能的结果．
（2）解：由表格可知，转出的两种颜色分别是红色和蓝色的结果有2种，
∴转动2次转盘，恰好可以配成紫色的概率为．
【解析】【分析】（1）用表格的行表示第一次转盘的结果（三种：红，绿，蓝），用列表示第二次转盘的结果（三种：红，绿，蓝），据此求解；
（2）利用表格确定所有等可能的结果数量和 转出的两种颜色分别是红色和蓝色的结果数量，利用概率公式求解即可。
20．（2024九上·乐山期末）如图，在中，是上的高，且，矩形的顶点、在边上，顶点、分别在边、上．
（1）设，矩形的周长为，求关于的函数解析式；
（2）当为正方形时，求正方形的面积．
【答案】（1）解：设交于点，
矩形，
，，
，
，
关于的函数解析式为
（2）解：当为正方形时，
，
由（1）得：，，
，
，
，
即．
正方形的面积.
【解析】【分析】（1）设交于点，先根据矩形的性质得到，，进而根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而代入数值得到，再结合题意即可求解；
（2）先根据正方形的性质得到，由（1）得，，进而即可列出一元一次方程，从而即可求解。
21．（2024九上·北碚期末）在中，，点是的中点，是延长线上一点，且．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，点是的中点，求证：．
【答案】（1）解：取的中点M，连接，
∵点是的中点，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：延长到点N，使得，则，
连接，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
连接，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
∴．
【解析】【分析】本题考查勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形的特征量，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质．
（1）取的中点M，连接，利用三角形中位线定理可求出DM和AM，再利用勾股定理可求出DE；
（2）延长到点N，使得，则，连接，，利用中点的定义和已知条件可证明，利用全等三角形的性质结合已知条件可推出 ，进而证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证明结论．
22．（2024九上·北碚期末）某商店准备进一种季节性小家电，每台进价为40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180台；销售定价每降低1元，销售量将增多10台．
（1）商店若希望销售量为260台，则应降价多少元？
（2）商店若希望获利2000元，且使顾客得到实惠，则销售定价为多少元？
【答案】（1）解：设每个小家电销售定价为x元，
则销量为（个），
依题意得，
解得，
，
答：应降价8元；
（2）解：由题意，得，
整理得：
解得，，
使顾客得到实惠，售价为50元．
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用．
（1）设每个小家电销售定价为x元，根据题意列出一元一次方程，解一元一次方程可求出答案；
（2）根据题意可得等量关系：，据此可列出一元二次方程，解一元二次方程可求出销售定价，再根据题意可确定答案．
23．（2024九上·苍溪期末）苍溪县“骑手驿站”建成使用，为严寒中的劳动者们带来丝丝暖意，让他们有更多的安全感、获得感、幸福感．刘军是苍溪县某区一名快递员，在他负责送货的区域附近有A，B，C，D四个“骑手驿站”，他主要在“骑手驿站”接热水、吃午饭．设他到这四个“骑手驿站”的可能性相等．
（1）他选择D“骑手驿站”接热水的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图法表示他选择同一“骑手驿站”接热水、吃午饭的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
由树状图，知共有16种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中他选择同一“骑手驿站”接热水、吃午饭的结果有4种，
所以P（他选择同一“骑手驿站”接热水、吃午饭）．
【解析】【解答】解：（1）刘军选择接热水的驿站有四种等机会的结果：A，B，C，D，
∴选择D“骑手驿站”接热水的概率是 ：.
故答案为：；
【分析】（1）直接根据概率计算公式求得概率即可；
（2）首先画树状图分析所有机会均等的结果共有16个，其中刘军 选择同一“骑手驿站”接热水、吃午饭的 结果有4个，故而得出概率为。
24．（2018九上·前郭期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点D从点A出发以1cm/s的速度运动到点C停止．作DE⊥AC交边AB或BC于点E，以DE为边向右作正方形DEFG．设点D的运动时间为t（s）．
（1）求AC的长．
（2）请用含t的代数式表示线段DE的长．
（3）当点F在边BC上时，求t的值．
（4）设正方形DEFG与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），当重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，
根据勾股定理得：AC= 10cm；
（2）解：分两种情况考虑：如图1所示，
过B作BH⊥AC，
∵S△ABC= AB·BC= AC BH，
∴BH= ，AH= ，
∵∠ADE=∠AHB=90°，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABH，
∴ ，即 ，
解得：DE= ，
则当0≤t≤ 时，DE= ；
如图2所示，
同理得到△CED∽△CBH，
∴ ，即 ，
解得：DE= （10﹣t）=﹣ ，
则当 ＜t≤10时，DE= （10﹣t）=﹣ ；
（3）解：如图3所示，
如图3，当点F刚好落在BC边上时，∵∠C=∠C，∠EGC=∠ABC=90°，
∴△FGC∽△ABC，
∴ ，即 ，
∴GC= ，
∵AD+DG+GC=AC=10，
∴ ，解得： ；
（4）如图1所示，当0＜t≤ 时，S=DE2= ；
如图2所示，当 ≤t＜10时，
∵EF∥CG，
∴△EFM∽△CGM∽△CBA，
∴ ，即 ，解得：FM= ，
∴S=S正方形DEFG-S△EFM
=DE2- DE·FM= .
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AC的长度。（2）图1，过B作BH⊥AC，利用三角形面积公式求出BH的长度，可证△AED∽△ABH，通过对应边成比例求出DE的长度；图2，同理得到△CED∽△CBH，由相似三角形对应边成比例求出DE的长度。（3）图3，点F落在BC边上，第一问可求出AC长度，可将AC分为三段AD、DG、GC，AD长度可由题意知为t，DG=FG，而GC和FG是三角形FGC的两条直角边，即△FGC~△ABC，可求得FG、GC与t的关系，进而由AD+DG+GC=AC求得t。（4）根据题意分两种情况，利用三角形相似求得边长和t的关系进而求得面积和t的关系式。
25．（2024九上·北碚期末）在中，，点为外一点，和相交于点，．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，若，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（1）的条件下，将绕点旋转得到，连结，点是的中点，当取最小值时，直接写出此时的面积．
【答案】（1）解：过点作，
∵，，，
∴，
∵，
∴，，则，，
∴，则，
又∵，则，
∴，即：，
∴；
（2）解：，理由如下：
过点作，则，
设，，，
则，，
，，
∵，
∴，，则，
∵，
∴，
∴，即：，
整理得：，即：，
∴，即：；
（3）解：当取最小值时，．
【解析】解：（3）由旋转，结合（1）可知，，，
取的中点，连接，，
∵点是的中点，点是的中点，
∴，
又∵，，
∴，则为等边三角形，
由三角形三边关系可知：，当点在线段上时取最小值，如下图，
当取最小值时，过点作，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
此时，，
综上，当取最小值时，．
【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，三角形三边关系的应用，旋转的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质．
（1）过点作，可解直角三角形求得，进而求出，，再利用正弦的定义和余弦的定义解直角三角形可求出，，利用勾股定理可求出，再利用平行线分线段成比例，列出比例式可求出答案；
（2）过点作，则，设，，，利用解直角三角形和表示出、、、，再证明，利用相似三角形的性质可求出，进而证明结论；
（3）由旋转，结合（1）可知，，，取的中点，连接，，由三角形中位线定理可求出，再根据直角三角形的性质可推出：，进而证明为等边三角形，由三角形三边关系可知：，当点在线段上时取最小值，如图，当取最小值时，过点作，利用正弦的定义可求出，代入三角形的面积公式可求出答案．
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