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苏科版2025—2026学年九年级上册期末核心考点专练卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·武胜期末）同一平面内，已知的直径是，线段，则点与的位置关系是（ ）
A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．不能确定
2．（2024九上·金沙期末） 已知方程的两根是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·铜仁期末）某城市为增加绿植面积，改造部分室外停车位，如图①所示，6个车位拼成的矩形阴影部分全部为绿色草坪，当所有的车位分割线及停车方向线等标线粗细全部忽略不计时，可以看成图②，已知绿色草坪横条和竖条均为矩形，且宽度都为，，，当草坪面积（图中阴影部分面积）等于时，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·讷河期末）某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·昌平期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径，∠BAC=40°，则∠D的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．90°
6．（2024九上·靖宇期末）如图，一座石拱桥是圆弧形其跨度AB=24米，半径为13米，则拱高CD为（ ）
A．3 米 B．5米 C．7米 D．8米
7．（2024九上·杭州期末）如图是某旅游景点的两个入口和三个出口，小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·慈溪期末）下列诗句所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．汗滴禾下土 D．手可摘星辰
9．（2024九上·岳阳期末）图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024九上·乌鲁木齐期末）如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·义乌期末）从，，，四个实数，任取一个数是有理数的概率为 ．
12．（2024九上·衡阳期末）关于x的方程x2﹣（n+2）xn2﹣1＝0有两个相等的实数根，则n＝ ．
13．（2024九上·贵州期末）如图，正五边形内接于，则的度数为 ．
14．（2024九上·仙居期末）图1是微信朋友圈的图案，它是中心对称图形，图2是其示意图．其作图过程为：取正八边形中心点O，延长，交于点M，为半径作，再延长正八边形其余七边得到的八等分点．若，则 ．
15．（2023九上·海曙期末）若扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为 .
16．（2023九上·洪山期末）如图，在中，，，过A，C两点的交线段于D点，交于E点，交于F，则的最大值为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·天台期末）解方程：
（1）；
（2）．
18．（2024九上·清城期末）“清远市2023年的首场马拉松比赛”共设两个项目，分别是“半程马拉松”（21.0975公里）和“迷你马拉松”（约5公里）．
（1）为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，组委对部分参赛选手作如下调查：
调查总人数 20 50 100 200 500
参加“迷你马拉松”人数 15 33 72 139 356
参加“迷你马拉松”频率 0.750 0.660 0.720 0.695 0.712
请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为 ．（精确到0.1）
（2）小明（来自北京市），小军（来自长沙市）、小红（来自清远市）、小丽（来自广州市）四人报名参加“迷你马拉松”志愿者遴选，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取两名来自广东省外的志愿者的概率．
19．（2024九上·鄞州期末）记（如，则；，则），其中为正自然数，，为实数．
（1）用和分别表示，；
（2）若，求的取值范围．
20．（2024九上·武胜期末）如图，在中，，以直角边为直径的交斜边于点．点为边的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积．
21．（2024九上·金沙期末） 威宁火腿是贵州的传统特产，距今已有600多年的历史，早就闻名海内外．某火腿经销商统计了某款威宁火腿4月份到6月份的销售量，该款火腿4月份销售量为，6月份销售量为，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该款火腿销售量的月增长率；
（2）若该款火腿的进价为120元，经在市场中测算，当售价为160元时，月销售量为，若在此基础上售价每上涨0.5元，则月销售量将减少，为使月销售利润达到9800元，则该款火腿的实际售价应定为多少？（利润=售价-进价）
22．（2024九上·织金期末）春节前夕，织金某超市从厂家分两次购进猪肉馅饺子和韭菜馅饺子，两次进货时，两种饺子的进价不变．第一次购进猪肉馅饺子60袋和韭菜馅饺子90袋，总费用为4800元；第二次购进猪肉馅饺子40袋和韭菜馅饺子80袋，总费用为3600元．
（1）求猪肉馅饺子、韭菜馅饺子每袋的进价各是多少元？
（2）当猪肉馅饺子销售价为每袋70元时；每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对猪肉馅饺子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当猪肉馅饺子每袋的销售价为多少元时，每天售出猪肉馅饺子所获得的利润为220元？
23．（2024九上·松原期末）某超市以每千克元的价格购进一种干果，计划以每千克元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量千克与每千克降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当每千克干果降价元时，超市获利多少元？
（3）若超市要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？
24．（2024九上·绍兴期末）已知一次函数，反比例函数．
（1）若，两函数图象在第一象限内交点的横坐标是整数，求正整数k的值；
（2）若，两函数图象所有交点的横坐标都大于，求实数m的最大值．
25．（2024九上·阜平期末）如图1，将的顶点C放在上，边与相切于点C，边与交于点D．已知，，，的直径为8．
（1）如图1，过点O作于点M，求的长度；
（2）从图1的位置开始，将绕点C顺时针旋转，设旋转角为（）．
①如图2，当时，边与的另一交点为E，求的长度；
②如图3，当经过圆心O时，试判断与之间的位置关系，并说明理由；
③在旋转过程中，直接写出点O到边的距离h的取值范围．
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苏科版2025—2026学年九年级上册期末核心考点专练卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·武胜期末）同一平面内，已知的直径是，线段，则点与的位置关系是（ ）
A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．不能确定
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得3＞，
∴点P位于外，
故答案为：A
【分析】根据点与圆的位置关系结合题意比较即可求解。
2．（2024九上·金沙期末） 已知方程的两根是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据根与系数之间的关系可得：x1x2=12，x1+x2=7，
∴==.
故答案为：D。
【分析】根据根与系数之间的关系，即可求得的值 。
3．（2024九上·铜仁期末）某城市为增加绿植面积，改造部分室外停车位，如图①所示，6个车位拼成的矩形阴影部分全部为绿色草坪，当所有的车位分割线及停车方向线等标线粗细全部忽略不计时，可以看成图②，已知绿色草坪横条和竖条均为矩形，且宽度都为，，，当草坪面积（图中阴影部分面积）等于时，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意得：12×3a+7.2×a-3a2=40.2，
解得：a=1或a=13.4（不符合题意，舍去），
a的值是1m.
故答案为：B.
【分析】根据草坪的面积是40.2m2列出方程，解方程并结合题意选取符合题意的值即可解答.
4．（2024·讷河期末）某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得100（1-x）2=81.
故答案为：B.
【分析】由题意可知等量关系为：原售价×（1-降低率）2=两次降价后的售价，列方程即可.
5．（2024九上·昌平期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径，∠BAC=40°，则∠D的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．90°
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
故答案为：B
【分析】根据直径所对的圆周角为直角可得∠C=50°，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出答案.
6．（2024九上·靖宇期末）如图，一座石拱桥是圆弧形其跨度AB=24米，半径为13米，则拱高CD为（ ）
A．3 米 B．5米 C．7米 D．8米
【答案】D
【解析】【解答】解：设O为圆心，连接OA、OD，
由题意可知：OD⊥AB，OA=13
由垂径定理可知：AD= AB=12，
∴由勾股定理可知：OD=5，
∴CD=OC﹣CD=8，
故选D
【分析】设点O为圆弧AB的圆心，利用垂径定理和勾股定理即可求出答案．
7．（2024九上·杭州期末）如图是某旅游景点的两个入口和三个出口，小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：列表如下：
C D E
A (A，C) (A，D) (A，E)
B (B，C) (B，D) (B，E)
共有6种等可能的结果，其中他选择从口进入，从口离开的结果有∶．共1种．
他选择从口进入，从口离开的概率为，
故答案为：A．
【分析】列表得到所有等可能的结果，然后找出符合要求的结果数，根据概率公式解题．
8．（2023九上·慈溪期末）下列诗句所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．汗滴禾下土 D．手可摘星辰
【答案】D
【解析】【解答】解：A.“黄河入海流”是必然事件，因此选项A不符合题意；
B.“大漠孤烟直”是随机事件，因此选项B不符合题意；
C.“汗滴禾下土”是随机能事件，因此选项C不符合题意；
D.“手可摘星辰”是不可能事件，因此选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对条件S的必然事件，简称必然[
不可能事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做相对条件S的不可能事件，简称不可能事件；
随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件.
9．（2024九上·岳阳期末）图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：矩形纸片的长为28cm，宽为16cm，且盒子的高为xcm，
折成的长方体底面的宽应为(16-2x)cm，长为cm，
折成的长方体底面积为80cm2，
.
故答案为：D.
【分析】根据长方形和折叠后的长方体各边长之间的关系，可得折成的长方体底面的宽应为(16-2x)cm，长为cm，再结合长方体底面积为80cm2，根据长×宽=80即可列出方程.
10．（2024九上·乌鲁木齐期末）如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由于是定值，要求阴影部分周长的最小值，即求最小值即可
作点关于对称的对称点，连接与直线交于点，则
， ，此时为最小值
连接，
平分，，
，
在中，，
，
阴影部分周长的最小值为．
故答案为：A．
【分析】根据轴对称的性质，确定当点移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为的长与的长度和，分别进行计算即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·义乌期末）从，，，四个实数，任取一个数是有理数的概率为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：四个数中，属于有理数的为：共2个，
∴任取一个数是有理数的概率为：
故答案为：.
【分析】先根据有理数的概念得到上述书中的有理数个数，进而根据概率计算公式计算即可.
12．（2024九上·衡阳期末）关于x的方程x2﹣（n+2）xn2﹣1＝0有两个相等的实数根，则n＝ ．
【答案】-2
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2﹣（n+2）xn2﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴=（n+2）2-4×1×（）=0，
解得：n=-2.
【分析】根据一元二次方程的根的情况，可以得出根的判别式=0，即可列出关于n的方程，解方程即可求得n的值。
13．（2024九上·贵州期末）如图，正五边形内接于，则的度数为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵正五边形内接于，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据正多边形的性质得到，，然后利用等腰三角形的性质，角度和差解题．
14．（2024九上·仙居期末）图1是微信朋友圈的图案，它是中心对称图形，图2是其示意图．其作图过程为：取正八边形中心点O，延长，交于点M，为半径作，再延长正八边形其余七边得到的八等分点．若，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接，，过C作于T，
在正八边形中，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴等腰直角三角形，则，
由勾股定理得，
∴，则，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查正多边形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理和外角性质、勾股定理.连接，，过C作于T，在正八边形中，根据正八变形的性质可得：，，利用角的运算可得，利用等腰三角形的性质可得，，进而可推出，根据等角对等边可得，进而可得，利用等腰直角三角形的判定定理可证明等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得，利用线段的运算可求出MT，据此可求出BM．
15．（2023九上·海曙期末）若扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为 .
【答案】3
【解析】【解答】解：设扇形的半径为，由题意可得：
解得
故答案为：3.
【分析】设扇形的半径为r，根据弧长公式进行计算即可.
16．（2023九上·洪山期末）如图，在中，，，过A，C两点的交线段于D点，交于E点，交于F，则的最大值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：取FC的中点G，连接EG，EC，故点G作GH⊥AE于点H
∵
∴∠DEC=∠BAC=90°
∵FG＝CG
∴
∵AE∥BC
∴∠HAG＝∠ACB＝30°
∴
∵GH⊥AE
∴GH≤FG
∴
∴
∴
∴
∴的最大值为
故答案为：
【分析】取FC的中点G，连接EG，EC，故点G作GH⊥AE于点H，根据圆周角定理可得∠DEC=∠BAC=90°，再根据直线平行性质可得∠HAG＝∠ACB＝30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据垂直性质可得GH≤FG，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·天台期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
∴，；
（2）解：，
，
∴或，
∴，．
【解析】【分析】（1）把x-1看成一个整体，此题缺一次项，故根据平方根定义利用直接开平方法求解即可；
（2）此方程是一元二次方程的一般形式，方程的左边易于利用十字相乘法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
（1）解：，
，
∴，；
（2）解：，
，
∴或，
∴，．
18．（2024九上·清城期末）“清远市2023年的首场马拉松比赛”共设两个项目，分别是“半程马拉松”（21.0975公里）和“迷你马拉松”（约5公里）．
（1）为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，组委对部分参赛选手作如下调查：
调查总人数 20 50 100 200 500
参加“迷你马拉松”人数 15 33 72 139 356
参加“迷你马拉松”频率 0.750 0.660 0.720 0.695 0.712
请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为 ．（精确到0.1）
（2）小明（来自北京市），小军（来自长沙市）、小红（来自清远市）、小丽（来自广州市）四人报名参加“迷你马拉松”志愿者遴选，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取两名来自广东省外的志愿者的概率．
【答案】（1）0.7
（2）解：列表得：
小明 小军 小红 小丽
小明 小军，小明 小红，小明 小丽，小明
小军 小明，小军 小红，小军 小丽，小军
小红 小明，小红 小军，小红 小丽，小红
小丽 小明，小丽 小军，小丽 小红，小丽
由表格可得，共有12种等可能出现的结果，其中恰好录取两名来自广东省外的志愿者的情况有种，
恰好录取两名来自广东省外的志愿者的概率．
【解析】【解答】（1）解：由表格中的数据可得：本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为，
故答案为：.
【分析】（1）根据表格中的数据直接分析求解即可；
（2）先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
19．（2024九上·鄞州期末）记（如，则；，则），其中为正自然数，，为实数．
（1）用和分别表示，；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，；
当时，。
（2）解：∵，
∴，
整理得，
则，
解得：．
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式；
（1）把和代入关系式可得：，，再进行计算可求出答案.
（2）根据题意得到关于的一元二次方程，由于方程有解，即，据此可列出不等式，解不等式可求出的取值范围.
20．（2024九上·武胜期末）如图，在中，，以直角边为直径的交斜边于点．点为边的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：如图：连接，
∵，
∴．
又∵是的直径，
∴，
∴是直角三角形．
又∵E是的中点，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴直线是的切线．
（2）解：由（1）可知．
∵，
∴，
∴．
∵的半径为2，
∴，
∴
在中，，
∴．
【解析】【分析】（1）连接，先根据圆周角定理得到，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，从而证明，再根据切线的判定即可求解；
（2）由（1）可知，进而结合题意得到CF，再根据勾股定理即可求出DF，从而运用扇形的面积公式结合三角形的面积公式即可求解。
21．（2024九上·金沙期末） 威宁火腿是贵州的传统特产，距今已有600多年的历史，早就闻名海内外．某火腿经销商统计了某款威宁火腿4月份到6月份的销售量，该款火腿4月份销售量为，6月份销售量为，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该款火腿销售量的月增长率；
（2）若该款火腿的进价为120元，经在市场中测算，当售价为160元时，月销售量为，若在此基础上售价每上涨0.5元，则月销售量将减少，为使月销售利润达到9800元，则该款火腿的实际售价应定为多少？（利润=售价-进价）
【答案】（1）解：设该款火腿销售量的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该款火腿销售量的月增长率为．
（2）解：设该款火腿的实际售价为y元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，
答：该款火腿的实际售价应定为190元．
【解析】【分析】 （1）设该款火腿销售量的月增长率为x， 根据该款火腿4月份销售量为，6月份销售量为，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同 ，即可得出方程， 解方程，取符合题意dex的值即可；
（2）设该款火腿的实际售价为y元， 根据利润=单件利润×销量，可得方程， 解方程即可得出答案。
22．（2024九上·织金期末）春节前夕，织金某超市从厂家分两次购进猪肉馅饺子和韭菜馅饺子，两次进货时，两种饺子的进价不变．第一次购进猪肉馅饺子60袋和韭菜馅饺子90袋，总费用为4800元；第二次购进猪肉馅饺子40袋和韭菜馅饺子80袋，总费用为3600元．
（1）求猪肉馅饺子、韭菜馅饺子每袋的进价各是多少元？
（2）当猪肉馅饺子销售价为每袋70元时；每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对猪肉馅饺子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当猪肉馅饺子每袋的销售价为多少元时，每天售出猪肉馅饺子所获得的利润为220元？
【答案】（1）解：设猪肉馅饺子的进价为x元，韭菜馅饺子的进价为y元．
则：，解之得
答：猪肉馅饺子的进价为50元，韭菜馅饺子的进价为20元
（2）解：设降价了m元．则：
解之得：（不符合题意，故舍去。），
，
答：猪肉馅饺子每袋的销售价为52元时，每天售出猪肉馅饺子所获得的利润为220元。
【解析】【分析】（1）设猪肉馅饺子的进价为x元，韭菜馅饺子的进价为y元，根据“第一次购进猪肉馅饺子60袋和韭菜馅饺子90袋，总费用为4800元；第二次购进猪肉馅饺子40袋和韭菜馅饺子80袋，总费用为3600元”列出方程组，再求解即可；
（2）设降价了m元，再根据“每天售出猪肉馅饺子所获得的利润为220元”列出方程，再求解即可.
23．（2024九上·松原期末）某超市以每千克元的价格购进一种干果，计划以每千克元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量千克与每千克降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当每千克干果降价元时，超市获利多少元？
（3）若超市要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？
【答案】（1）解：设与之间的函数关系式为，
将，代入得：，
解得：，
与之间的函数关系式为．
（2）解：
元．
答：当每千克干果降价元时，超市获利元．
（3）解：依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要让顾客获得更大实惠，
．
答：这种干果每千克应降价元．
【解析】【分析】（1）设出一次函数的一般式，读取图象上的2点坐标，即可用待定系数法求得函数的解析式；（2）总获利=销售量每千克获利，销售量在第一问的正确求解基础上直接代入，每千克获利是售价和进价的差，代入计算即可；（3）根据（2）的关系式，另其得2090，可求得2个x值，因为要求让顾客获得更大实惠，故取2个x值中大的那一个，小的舍去即可。
24．（2024九上·绍兴期末）已知一次函数，反比例函数．
（1）若，两函数图象在第一象限内交点的横坐标是整数，求正整数k的值；
（2）若，两函数图象所有交点的横坐标都大于，求实数m的最大值．
【答案】（1）解：∵，
∴一次函数，反比例函数．
，
，
都是正整数，
∴或，
或（舍去），
验证得当时符合题设，
。
（2）解：∵，∴一次函数，
，
，
，令，则，
∵两函数图象所有交点的横坐标都大于，
∴，
，
所以当且仅当，即时等号成立，
的最大值为．
【解析】【分析】本题考查一次函数和反比例函数交点问题，二次函数的图象和性质．
（1） 当，两函数图象在第一象限内交点的横坐标是整数可得：，再根据都是正整数，可列出方程组或，解方程组可求出k的值，据此可求出答案；
（2）当 时，一次函数为，进而可得，变形可得：，采用换元法令，则，再由函数图象所有交点的横坐标都大于，令，通过配方可得：，利用二次函数的性质可求出m的最大值.
（1）解：∵，
∴一次函数，反比例函数．
，
，
都是正整数，
∴或，
或（舍去），
验证得当时符合题设，
；
（2）解：∵，
∴一次函数，
，
，
，令，则，
∵两函数图象所有交点的横坐标都大于，
∴，
，
所以当且仅当，即时等号成立，
的最大值为．
25．（2024九上·阜平期末）如图1，将的顶点C放在上，边与相切于点C，边与交于点D．已知，，，的直径为8．
（1）如图1，过点O作于点M，求的长度；
（2）从图1的位置开始，将绕点C顺时针旋转，设旋转角为（）．
①如图2，当时，边与的另一交点为E，求的长度；
②如图3，当经过圆心O时，试判断与之间的位置关系，并说明理由；
③在旋转过程中，直接写出点O到边的距离h的取值范围．
【答案】（1）解：连接，
∵边与相切于点C，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
（2）解：①如图，连接、，
时，，
∵，
∴，
∴，
∴的长度为；
②与相切，理由为：
过点O作于点F，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与相切；
③h的取值范围为
【解析】【解答】解：③如图，当点、、三点共线时，h最大，这时；
如图，当点在上时，h最小，这时；
∴在旋转过程中，h取值范围为．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCB=90°，进而得到∠OCM=30°，利用30°直角三角形的性质，结合勾勾股定理即可求出CM的长；
（2）①计算出的圆心角，代入弧长公式求解即可；
②过点O作，根据切线的性质和30°角的直角三角形的性质可以得到OF=OC，即可得到结论；
③由旋转可以找到距离最大和最小位置，然后计算即可．
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