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苏科版2025—2026学年九年级下册期末模拟攻克薄弱卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知2a=3b，则下列比例式错误的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
2．抛物线 的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D． 轴
3．若为二次函数的图.象上的三点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：
①；②；③；④；⑤.
正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①③④ C．①②③④⑤ D．①②③⑤
5．已知二次函数与一次函数的图象相交于点，（如图所示），则能使成立的x的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
6．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为DC的中点，连接AE交BD于点F，则BF的长为( )
A． B．4 C． D．
7．已知二次函数的图象（）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值2，有最小值 D．有最大值1.5，有最小值
8．已知，，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①；②当时，一定有y随x的增大而增大；③当四边形为平行四边形时，；④若点D横坐标的最小值为，则点C横坐标的最大值为3，其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
9．某学习小组进行“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率如下表，则符合这一结果的试验可能是（ ）
试验次数 100 200 500 800 1000 1200
实验频率 0.343 0.326 0.335 0.330 0.331 0.330
A．先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上
B．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于6
C．将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，恰有一个篮子为空
D．从两男两女四人中抽取两人参加朗读比赛，两人性别相同
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（2，n），当x＞0时，y≥n，当x≤0时，y≥n+1，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣ C． D．1
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．某试验小组做了可转动转盘（如图），想求当转盘停止转动后，“指针落在灰色区域内”的概率，试验数据如下表：
试验次数n 20 40 60 80 100 1000
“指针落在灰色区域内”的次数m 6 11 15 21 25 251
“指针落在灰色区域内”的频率 0.3 0.275 0.25 0.2625 0.25 0.251
根据表格，可以估计出转动转盘一次，当转盘停止转动后，“指针落在灰色区域内”的概率约是 ．（结果精确到0.01）
12．如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知路灯高，树影，树与路灯O的水平距离，则树的高度长是 .
13．将放置在的正方形网格中，顶点在格点上．则的值为 ．
14．若方程ax2+bx+c=0的解是x1=-2，x2=5，则抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=
15．计算： ．
16．如图，已知点A(2，3)和点B(0，2)，点A在反比例函数y= 的图象上.作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．先化简，再求值：，其中．
18．某学校随机抽取部分学生，调查每个月的零花钱消费额，数据整理成如下统计表和统计图.已知图①中，A，E两组对应的小长方形的高度之比为2：1.
组别 月零花钱消费额/元
A 10≤x<100
B 100≤x<200
C 200≤x<300
D 300≤x<400
E x≥400
月零花钱消费额频数分布直方图 月零花钱消费额扇形统计图
请回答以下问题：
（1）本次调查样本的容量是 ；
（2）补全频数分布直方图，并标明各组的频数；
（3）若该校有2500名学生，试估计月零花钱消费额不少于300元的学生人数.
19．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
（1）求平均每天销售量箱与销售价元箱之间的函数关系式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润元与销售价元箱之间的函数关系式；
（3）若物价部门规定每箱售价不得高于元，则每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？
20．某校组织学生参加“防疫卫生知识竞赛”满分为分竞赛结束后，随机抽取甲、乙两班各名学生的成绩，并对数据成绩进行了整理、描述和分析下面给出了部分信息．
甲、乙两班各名学生数学成绩的频数分布统计表如下：
成绩班级
甲
乙
说明：成绩分及以上为优秀，分为良好，分为合格，分以下为不合格
甲班成绩在这一组的是：
，，，，，，，，，，，，
甲、乙两班成绩的平均分、中位数、众数如下：
班级 平均分 中位数 众数
甲
乙
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值为 ．
（2）在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属班级排在前名，由表中数据可知该学生是 班的学生填“甲”或“乙”，理由是 ．
（3）假设学校名学生都参加此次竞赛，估计成绩优秀的学生人数．
21．某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120 米．
（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积．
（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块分别种植牡丹和芍药，每平方米种植⒉株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹．
22．如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．为后胎中心，经测量车轮半径为，中轴轴心到地面的距离为，座位高度最低刻度为，此时车架中立管长为，且．（参考数据：，，）
（1）求车座到地面的高度（结果精确到）；
（2）根据经验，当车座到地面的距离为时，身高的人骑车比较舒适，此时车架中立管拉长的长度应是多少？（结果精确到）
23．我市《道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过60km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测点A正前方30m的C处，2秒后又行驶到与车速检测点A相距50m的B处.请问这辆小汽车超速了吗？若超速，请求出超速了多少？
24．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．
素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件.按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价.
素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件．
问题解决
任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？
任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（（总毛利润=网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？
任务3 探究最大利润 该商品的网上销售价每件▲ 元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大.
25．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2﹣2x+a2﹣1（a≠0，且a为常数）的图象记为G．
（1）当点O在图象G上时，求a的值．
（2）当图象G的对称轴与直线x＝2之间的部分的函数值y随x增大而减小时（直线x＝2与对称轴不重合），求a的取值范围；
（3）以点A（0，﹣1）为对称中心，以|4a|为边长作正方形，使该正方形的边与坐标轴平行或垂直．若图象G与该正方形的某条边只有两个交点，且两个交点之间的距离为|a|，直接写出a的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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苏科版2025—2026学年九年级下册期末模拟攻克薄弱卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知2a=3b，则下列比例式错误的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，则，不符合题意；
B、，则，不符合题意；
C、，则，不符合题意；
D、，则，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据比例的基本性质，把每一项的比例式化为等积式即可判断.
2．抛物线 的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D． 轴
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得
该抛物线没有一次项
∴对称轴为y轴
故答案为：D
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
3．若为二次函数的图.象上的三点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴当时，随的增大而减少，
∵关于直线的对称点是，
且，
∴．
故答案为：B．
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的增减性和对称性．先利用二次函数的对称轴计算公式可求出抛物线的对称轴为直线，再根据开口向上可得：当时，随的增大而减少，再求出点C的对称点，再根据，利用二次函数的增减性可比较出的大小关系.
4．如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：
①；②；③；④；⑤.
正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①③④ C．①②③④⑤ D．①②③⑤
【答案】C
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵
＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确，
∵x＝ 2时，y＜0，
∴4a 2b＋c＜0，即4a＋c＜2b，故②正确，
∵y＝ax2＋bx＋c的图象过点（ 1，0）和（m，0），
∴ 1×m＝
，am2＋bm＋c＝0，
∴，
∴，故③正确，
∵ 1＋m＝
，
∴ a＋am＝ b，
∴am＝a b，
∵am2＋（2a＋b）m＋a＋b＋c
＝am2＋bm＋c＋2am＋a＋b
＝2a 2b＋a＋b
＝3a b＜0，故④正确，
∵m＋1＝
，
∴m＋1＝
，
∴|am＋a|＝
，故⑤正确.
故答案为：C.
【分析】由图象可知：抛物线开口向下，交y轴于正半轴，对称轴在y轴右侧，判断出a、b、c的正负，进而判断①；根据x=-2对应的函数值为负可判断②；根据图象与x轴的交点坐标结合根与系数的关系可得 1×m＝
，am2＋bm＋c＝0，进而判断③；根据根与系数的关系可得-1＋m＝-
，则am=a b，据此判断④；结合求根公式表示出m+1，进而判断⑤.
5．已知二次函数与一次函数的图象相交于点，（如图所示），则能使成立的x的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由图象得：当时， .
故答案为：C.
【分析】根据函数与不等式的关系：抛物线在直线上方的部分是不等式的解，可得出答案。
6．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为DC的中点，连接AE交BD于点F，则BF的长为( )
A． B．4 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：ABCD为矩形，则∠DAB=90°，由勾股定理得BD=，E为CD的中点，故DE=2，又由DE||AB得，得BF=BD=
故答案为：D.
【分析】先由勾股定理得BD的长，由DE||AB可得BF=BD即可得BF的长.
7．已知二次函数的图象（）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值2，有最小值 D．有最大值1.5，有最小值
【答案】C
【解析】【解答】解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为（1，2），
∵此抛物线开口向下，
∴此函数有最大值，最大值为2；
∵0≤x≤3.4，
∴当x=3.4时，函数最小值为-2．
故答案为：C.
【分析】由函数图象可知：此函数的顶点坐标为（1，2），图象开口向下，然后结合函数的增减性可得0≤x≤3.4对应的y的最值.
8．已知，，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①；②当时，一定有y随x的增大而增大；③当四边形为平行四边形时，；④若点D横坐标的最小值为，则点C横坐标的最大值为3，其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【解析】【解答】解：点，的坐标分别为和，
线段与轴的交点坐标为，
又抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为，
，顶点在轴上时取“”，故①正确；
抛物线的顶点在线段上运动，开口向上，
当时，一定有随的增大而增大，故②错误；
令，则，
，
根据顶点坐标公式，，
，即，
，
四边形为平行四边形，
，
，
解得，故③正确；
若点的横坐标最小值为，则此时对称轴为直线，点的横坐标为，则，
抛物线形状不变，当对称轴为直线时，点的横坐标为3，
点的横坐标最大值为3，故④正确.
综上所述，正确的结论有①③④.
故答案为：D.
【分析】根据点A、B的坐标可得线段AB与y轴的交点坐标为（0，-2），由抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可得c≥-2，据此判断①；根据二次函数的性质可得：当x>1时，y随x的增大而增大，据此判断②；令y=0，根据CD2=(xC+xD)2-4xCxD表示出CD2，由顶点坐标公式可得，据此可表示出CD2，根据平行四边形的性质可得CD=AB=4，据此求出a的值，进而判断③；若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3，C点的横坐标为-1，则CD=4，当对称轴为直线x=1时，C点的横坐标为3，据此判断④.
9．某学习小组进行“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率如下表，则符合这一结果的试验可能是（ ）
试验次数 100 200 500 800 1000 1200
实验频率 0.343 0.326 0.335 0.330 0.331 0.330
A．先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上
B．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于6
C．将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，恰有一个篮子为空
D．从两男两女四人中抽取两人参加朗读比赛，两人性别相同
【答案】D
【解析】【解答】解：由表格可知：此实验的频率最后稳定在0.33左右，
如下树状图：
故先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上的概率为，与表格不符，不符合题意；
B．如下表：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于6的概率为，与表格不符，不符合题意；
C．将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，恰有一个篮子为空的概率为1，与表格不相符，不符合题意；
D．如下树状图：
故从两男两女四人中抽取两人参加朗读比赛，两人性别相同的概率为，与表格相符，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即是正确答案。
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（2，n），当x＞0时，y≥n，当x≤0时，y≥n+1，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣ C． D．1
【答案】C
【解析】【解答】解：∵当x＞0时，y≥n，当x≤0时，y≥n+1，
∴二次函数图象开口向上，
∵由
时，
可知抛物线对称轴在y右侧，为直线x=2，如图，
∵点（2，n）在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上，
∴
当
时，
有最小值为n+1，即
∵
∵
∴
∴
故答案为：C.
【分析】由题意可知二次函数图象开口向上，由
时，
可知抛物线对称轴在y右侧，为直线x=
=2，可得b=-4a①，将点（2，n）代入y＝ax2+bx+c中，可得
② ，当
时，
有最小值
③， 联立①②③即可求出a值.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．某试验小组做了可转动转盘（如图），想求当转盘停止转动后，“指针落在灰色区域内”的概率，试验数据如下表：
试验次数n 20 40 60 80 100 1000
“指针落在灰色区域内”的次数m 6 11 15 21 25 251
“指针落在灰色区域内”的频率 0.3 0.275 0.25 0.2625 0.25 0.251
根据表格，可以估计出转动转盘一次，当转盘停止转动后，“指针落在灰色区域内”的概率约是 ．（结果精确到0.01）
【答案】
【解析】【解答】解：由表格可知，随着试验次数的增加，“指针落在灰色区域内”的频率逐渐趋于固定的数，因此可用此频率估计该事件的概率，
∴“指针落在灰色区域内”的概率约为
故答案为：
【分析】根据用频率估计概率结合题意即可求解。
12．如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知路灯高，树影，树与路灯O的水平距离，则树的高度长是 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：树的高度AB长是，
故答案为：.
【分析】易证△CAB∽△CDO，然后根据相似三角形对应边成比例进行计算.
13．将放置在的正方形网格中，顶点在格点上．则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接BC，如图，
在△ABD和△BCE中，
△ABD≌△BCE（SAS），
∴AB=BC，∠CBE=∠BAD，
∵∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°，
即∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∴sin∠BAC=.
故答案为：.
【分析】证明△ABD≌△BCE（SAS），从而得△ABC是等腰直角三角形，所以得到∠BAC=45°，最后即可求解.
14．若方程ax2+bx+c=0的解是x1=-2，x2=5，则抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=
【答案】
【解析】【解答】解：∵ 方程ax2+bx+c=0的解x1=-2，x2=5是抛物线y=ax2+bx+c与x轴两个交点的横坐标，
∴ 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴直线是，即.
故答案为：.
【分析】由于方程ax2+bx+c=0的解x1，x2是抛物线y=ax2+bx+c与x轴两个交点的横坐标，根据抛物线的对称性，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴直线是据此即可得出答案.
15．计算： ．
【答案】0
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：0．
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
16．如图，已知点A(2，3)和点B(0，2)，点A在反比例函数y= 的图象上.作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为 .
【答案】（-1，-6）
【解析】【解答】解：作BF⊥AC于点F，作AE⊥y轴于点E，设AC交y轴于点D，
∵A（2，3），B（0，2）
∴AE=2，BE=1，
∴AB=，
又∵∠BAC=45°，
∴BF=AF=，
∴△DEA∽△DFB，令AD=x，
∴=，
∴
∴DE=
又∵
解得=2，=(舍去）
∴AD=2，
设D（0，y）
∴+4=
解得：=-3，=9（舍去）
∴设AC直线方程为y=kx+b，将A（2，3），D（0，-3）代入直线方程得，
；解得
∴AC：y=3x-3，
∵A（2，3）在y=上，
∴k=2×3=6，
∴；解得；
∴C（-1，-6）.
【分析】用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用△DEA∽△DFB，利用相似三角形的性质求出AD的长，根据勾股定理求出D点坐标，再利用待定系数法求出AC的直线方程，再利用二元一次方程组求出C点坐标。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，
原式．
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分母利用平方差公式分解，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简，根据特殊角的三角函数值可得x的值，接下来代入计算即可.
18．某学校随机抽取部分学生，调查每个月的零花钱消费额，数据整理成如下统计表和统计图.已知图①中，A，E两组对应的小长方形的高度之比为2：1.
组别 月零花钱消费额/元
A 10≤x<100
B 100≤x<200
C 200≤x<300
D 300≤x<400
E x≥400
月零花钱消费额频数分布直方图 月零花钱消费额扇形统计图
请回答以下问题：
（1）本次调查样本的容量是 ；
（2）补全频数分布直方图，并标明各组的频数；
（3）若该校有2500名学生，试估计月零花钱消费额不少于300元的学生人数.
【答案】（1）100
（2）解：如图所示：
B组人数：100×20%=20(人)，
D组人数：100×25%=25(人)，
E组人数：100-10-20-40-25-5(人)；
（3）解：月消费零花钱不少于300元的学生数约为(人)
答：月消费零花钱不少于300元的学生数约为750人
【解析】【解答】解：(1)由题意得：本次调查样本的容量是40÷40%=100，
故答案为：100.
【分析】(1)根据C组的人数和所占的百分比计算即可得出答案；
(2)分别求出B、D、E三组人数，再补全统计图即可；
(3)由样本估计总体的计算方法计算即可得出答案.
19．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
（1）求平均每天销售量箱与销售价元箱之间的函数关系式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润元与销售价元箱之间的函数关系式；
（3）若物价部门规定每箱售价不得高于元，则每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？
【答案】（1）解：，
平均每天销售量箱与销售价元箱之间的函数关系式为；
（2）解：根据题意得：，
该批发商平均每天的销售利润元与销售价元箱之间的函数关系式为；
（3）解：由（2）知
，
，，
当元时，利润最大．
每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润．
【解析】【分析】（1）根据“平均每天销售量=原来的销售量-3×相对于50元的单价提高的价格”，列出y与x之间的关系式即可；
（2）根据“销售利润=每箱苹果的利润×平均每天销售量”，结合（1）即可列出关系式；
（3）利用二次函数的性质求解函数的最值即可.
20．某校组织学生参加“防疫卫生知识竞赛”满分为分竞赛结束后，随机抽取甲、乙两班各名学生的成绩，并对数据成绩进行了整理、描述和分析下面给出了部分信息．
甲、乙两班各名学生数学成绩的频数分布统计表如下：
成绩班级
甲
乙
说明：成绩分及以上为优秀，分为良好，分为合格，分以下为不合格
甲班成绩在这一组的是：
，，，，，，，，，，，，
甲、乙两班成绩的平均分、中位数、众数如下：
班级 平均分 中位数 众数
甲
乙
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值为 ．
（2）在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属班级排在前名，由表中数据可知该学生是 班的学生填“甲”或“乙”，理由是 ．
（3）假设学校名学生都参加此次竞赛，估计成绩优秀的学生人数．
【答案】（1）
（2）甲；这名学生的成绩为分，大于甲班样本数据的中位数分，小于乙班样本数据的中位数分；
（3）解：估计成绩优秀的学生人数为人．
【解析】【解答】（1）甲班的中位数是第20个和21个数的平均数，则中位数==72.5，则n=72.5；
【分析】本题考查中位数，样本估计总体，频数统计等知识，理解中位数的定义及意义，明确频数统计表的数据，利用样本估计总体。（1）由中位数的定义可得；（2）根据甲的中位数72.5，乙的中位数76可得；（3）根据样本估计总体可得答案。
21．某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120 米．
（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积．
（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块分别种植牡丹和芍药，每平方米种植⒉株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹．
【答案】（1）解：设垂直于墙的边长为 米， 国成的矩形面积为 平方米，则平行于 的边长为 米，
根据题意得 +1200 ．
，
当 时， 取最大值 1200 ，
，
垂直于墙的边长为 20 米， 平行于墙的边长为 60 米时， 花园面积最大，最大为 1200 平方米．
（2）解：设购买牡丹 株， 则购买芍药 株，
学校计划购买费用不超过 5 万元，
，
解得 ，
最多可以购买 1400 株扗丹．
【解析】【分析】(1)设垂直于墙的边为x米，根据矩形面积公式得：
，由二次函数性质可得答案；
(2)设购买牡丹m株，根据学校计划购买费用不超过5万元，列不等式可解得答案.
22．如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．为后胎中心，经测量车轮半径为，中轴轴心到地面的距离为，座位高度最低刻度为，此时车架中立管长为，且．（参考数据：，，）
（1）求车座到地面的高度（结果精确到）；
（2）根据经验，当车座到地面的距离为时，身高的人骑车比较舒适，此时车架中立管拉长的长度应是多少？（结果精确到）
【答案】（1）；（2）
23．我市《道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过60km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测点A正前方30m的C处，2秒后又行驶到与车速检测点A相距50m的B处.请问这辆小汽车超速了吗？若超速，请求出超速了多少？
【答案】解：由已知得
∴在直角三角形ABC中AB2＝AC2＋BC2
∴BC2＝AB2－AC2＝，
又
∵72－60＝12km/h
∴这辆小汽车超速了，超速了12km/h.
【解析】【分析】由已知得AB=50cm，AC=30cm，利用勾股定理求出BC的值，然后除以2求出速度，据此求解.
24．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．
素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件.按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价.
素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件．
问题解决
任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？
任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（（总毛利润=网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？
任务3 探究最大利润 该商品的网上销售价每件▲ 元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大.
【答案】解：任务1：网上毛利润为： 元
实体店毛利润为： 元
任务2：设网上销售价下降x元/件，则
网上毛利润为：
实体店毛利润为：
总毛利润为： ＋ =
根据题意得， ，
解得，
∴60－x=58或56
答：该商品的网上销售价是每件58元或56元.
任务3：57
【解析】【解答】解：任务3：设每天销售这种小商品的总毛利润为W元，
由（2）知W==-20（x-3）2+8180，
∴当x=3时，W有最大值，
∴此时的销售价为60-3=57（元），
故答案为：57.
【分析】任务1：根据毛利润=单件毛利润×销售数量即可求解；
任务2：设网上销售价下降x元/件，先分别求出网上毛利润和实体店毛利润，再根据总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润，列出方程并解之即可；
任务3：根据（2）的结论，可得总毛利润W=-20（x-3）2+8180，利用二次函数的性质即可求解.
25．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2﹣2x+a2﹣1（a≠0，且a为常数）的图象记为G．
（1）当点O在图象G上时，求a的值．
（2）当图象G的对称轴与直线x＝2之间的部分的函数值y随x增大而减小时（直线x＝2与对称轴不重合），求a的取值范围；
（3）以点A（0，﹣1）为对称中心，以|4a|为边长作正方形，使该正方形的边与坐标轴平行或垂直．若图象G与该正方形的某条边只有两个交点，且两个交点之间的距离为|a|，直接写出a的值．
【答案】（1）解：∵点O在图象G上，
∴x2-2x+a2-1=0，即a2-1=0，
解得：a1=1，a2=-1，
∴a的值为±1；
（2）解：抛物线y=x2-2x+a2-1的对称轴是直线x=a，
当a＞0时，抛物线开口向上，
∵直线x=a与直线x=2之间的部分的函数值y随x增大而减小，
∴
当a＜0时，抛物线开口向下，
∵直线x=a与直线x=2之间的部分的函数值y随x增大而减小，
∴，
∴时，直线x=a与直线x=2之间的部分的函数值y随x增大而减小；
综上所述，当a＞2或a＜0时，直线x=a与直线x=2之间的部分的函数值y随x增大而减小；
（3）a=或a=-．
【解析】【解答】解：（3）取正方形四个顶点分别为BCDE，
B、E的纵坐标为：-1+2|a|，
C、D的纵坐标为：-1-2|a|，
G与正方形某边有两个交点，只可能与BE或CD相交出两个交点，
当a＞0时，B、E的纵坐标为：-1+2a，可得：
-1+2a=x2-2x+a2-1，
整理得：x2-2ax+a3-2a2=0，
设方程的两根为x1、x2，则x1+x2=2a，x1x2=a3-2a2，
∴（x1-x2）2=a2，则（x1+x2）2-4x1x2=a2，
解得：a=，
当与CD边相交时，C、D边纵坐标为-1-2a，
-1-2a=x2-2x+a2-1，且x1-x2=a，
无解，
当a＜0时，B、E纵坐标为-1-2a，
-1-2a=x2-2x+a2-1，且x1-x2=a，
解得：a=-，
当与CD边相交时，C、D纵坐标为-1+2a，
-1+2a=x2-2x+a2-1，且x1-x2=a，
无解，
综上所述，a=或a=-．
【分析】（1）根据题意将点O（0，0）代入y=x2-2x+a2-1即可求解；
（2）根据题意分a＞0和a＜0两种情况讨论，进而根据二次函数的图象与性质即可求解；
（3）如解图，G与正方形某边有两个交点，只可能与BE或CD相交处两个交点，进而分a＞0和a＜0两种情况讨论，从而根据一元二次方程根与系数的关系即可求解。
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