湖北省重点高中智学联盟2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷（图片版，含答案）

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2025 年秋季高一年级 12 月月考数学试题答案和解析
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B A C C C D D B ABC AC BCD
12. .13 13.. 1， +∞ 14. 1，15 ( 第一空 2分，第二空 3分）
2
1.B 由集合元素的无序性可知。
2.A 3 1解：由 ≤ 1 3 1 2 +2 2 + 2 3 ≤ 0得： 1 = ≤ 0， ∴ ，解
3 3 3 3 ≠ 0
得： 1 ≤ < 3， ∴ = 1,3 ；由 2 + 3 + 3 < 0 得： 3 < 0 ；
∵“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件， ∴ B，当 > 3时， = 2, ，不满
足 ；当 = 3时， = ，不满足 B；当 < 3时， = , 3 ，若 B，则
需 < 1；综上所述：实数 a的取值范围为 ∞, 1 .故选： .
3.C解：对于 A，因为 = 2 + 1 ≥ 1，所以 ∈ ， 2 + 1 ≤ 0不正确，即 A不正确；
对于 B，当 < 0 时，3 > 2不成立，所以 B不正确；
对于 C，画图像可知，第二象限有一个，第一象限由两个(2，4)，(4，16)正确；
对于 D，“ > 2， > 2”可得“ > 4”成立，
反之，若“ > 4”，则“ > 2， >2”不成立，如 = 3， = 2，
所以“ > 2， >2”是“ > 4”的充分不必要条件，不正确. 故选： .
4.C解：由 2 = 7 得 2 + 7 = 0，构造函数 = 2 + 7，则 在
0, + ∞ 上单调递增， 3 = 23 + 3 7 = 23 4 < 0, 4 = 24 + 4 7 = 6
7 < 0， 5 = 25 + 5 7 = 25 2 < 0，所以 的零点位于区间 4,5 ，
也即方程 2 = 5 的近似解在区间(4,5).
5. C解：∵对任意的实数 1 ≠ 2都有 ( 1) ( 2) 1 2 > 0成立，
> 1
( > 0且 ≠ 1), 1
∴函数 ( ) = { R ∴ 6 > 0在 上单调递增， 3 ，
(6 ) + 2, < 1
3 1 ≥ 6 × 1 + 2
3
解得 ∈ [6,18),故选 .
6.D解： ( ) = ( 2 + + )ln ， ( ) ≤ 0，
由对数函数性质， ∈ (0,1)，ln < 0， ∈ (1, + ∞)，ln > 0，
则 ∈ (0,1)， 2 + + > 0， ∈ (1, + ∞)， x2 + + < 0，
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2 + + = 0 的一个根小于等于 0，一个根为 1，
≥ 0
1 + a + b = 0， = + 1 ≤ 1，所以 a的最大值为 1.故选：D
7.D解：因为 2 2 + 1 + 1 8 + 16 2 = ( 4 )2 + 2 + + 1 + 1
( ) ( )
= ( 4 )2 + + 1 + ( ) + 1 ≥ 0 + 2 + 2 = 4，当且仅当 4 = 0， = 1，
( )
( ) = 1，即 = 2， = 2 = 2， 时，等号成立，故选 .
2 4
8.B = ( )构造函数 ，可知函数 为偶函数，不妨设 2 > 1 > 0， ( 2) ( 1) =
( 1) 2 ( 2) 1 ，因为 2 > 1 > 0，所以 2 1 > 0, 1 2 > 0， ( 1) 2 ( 2) 1<0,所以 1 2
( 2) ( 1) > 0 ( 2) > ( 1)，因此函数 在(0, + ∞)上单调递增；
= 100 (0.12) = (0.1
2) = (1)2 ， ，c = log
( log3 2 )
0.1 1 2
3 ( log1 2 ) = ，
3 log3 2
由于 1 > log3 2 >
1 > 0.12，.故选：B
2
9.ABC 解：由题意得 = {1,3}，因为 ∩ = ，所以 ，
所以 = 或 1 或 3 或 1,3 ，若 = ，则 = 0；
若 = {1}，则 = 1；若 = 3 = 1，则 ；若 = {1,3}，无解．故选： .
3
AC A > 0 > 0 4 + 1 110. 解：选项 ：因为 ， ，且 = 1， = 4，令 > 0， > 4，故 A正 1
确，
B 4 + 1选项 ：由 = 1 ≥ 2 4 1，

4 1 4 1
当且仅当 = 时取等号，此时 ≤ ，解得 ≥ 16，故 B错误，
2
C 4 + = (4 + )( 4 + 1 ) = 17 + 4 + 4 ≥ 17 + 2 4 4 选项 ：因为 = 25，

4 4
当且仅当 = 时取等号，此时 = = 5故 C正确，

选项 D：方法一： = = 5 代入 4 2 + 2 = 125，故 D错误，
4 1 4 1 3
方法二：赫尔德不等式( + )( + )(4 2 + 2) ≥ 3 64 + 1 = 125，

3 3 3
4 1 42 12 4+1 2
方法三：权方和不等式 + = + 21 1 ≥ 1,即 4 + 2 ≥ 125故选： .
4 2 2 b2 2 4 2+b2 2
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11.BCD解：∵ (1) = [ (1)] = [ + 1 ] = 1，
1+ 2
1
( 1) = [ ( 1)] = [ 1 +
1 ] = [ 1 + 1 ] = 0，
1+ 2 +1 2
∴ (1) ≠ ( 1)，则 ( )不是偶函数，故 A错误；

∵ ( ) = 1 的定义域为 R，2 1+
1
1 1
( ) + ( ) = 1 + + 2 + 1+ + 2 = 1 + 1+ 11 +
= 1 +

1 = 0，∴ ( )为奇函数，故 B正确；1+ 1+
∵ ( ) =
1 + = 1+ 1 + 1 = 1 + 1 ，又 = 在 R上单调递增，1+ 2 1+ 2 2 1+
∴ ( ) = 1 + 1 在 R上是减函数，故 C正确；2 1+
∵ > 0，∴ 1 + > 1，则 0 < 1 1 1 1 1 < 1，可得 < +1+ 2 2 1+ < ，2
1 < ( ) < 1即 . ∴ ( ) = [ ( )] ∈ { 1,0}，故 D正确．故选： .
2 2
12. 13 5、 解：原式= + 3 + 1 = 13
2 2 2
13.、 1， +∞ 解：令 ( ) = 2026 2026 + log 22026 x + 1 + x ,易知 ( )为定义在 R
上的奇函数，且是单调递增函数，所以原不等式等价于 ( ) + (4 + 5) > 0，
即 (4 + 5) > ( ) = ( )，所以 4 + 5 > ， > 1
14、1，15 (第一空 2分，第二空 3分）解：易知 = 1， = 9，则 , c 中必定有一个为 3，
假设 = 2，c = 3,此时e2 + = 134,没有整数解，所以 = 3，此时c2 + +e2 + = 140,
假设 = 11，则c2 + = 8，无整数解，而且 > 11更不行，所以 = 10，c =5.
15.解：(1)由 2 2 ≤ 0，得集合 = { | 1 ≤ ≤ 2}， 2分
由log3 < 1，得集合 = { |0 < < 3}， 4分
则 ∪ = { | 1 ≤ < 3}； 6分
(2) 命题 p：对任意 ∈ [1,4]，不等式 2 4 + 1 ≥ 2 4 恒成立，
即( 2 4 + 1) ≥ 2min 4 . 7分
2 4 + 1 = ( 2)2 3，当 = 2时， 2 4 +1取到最小值 3，
∴ 3 ≥ 2 4 ， ∴ 1 ≤ ≤3，
所以 p为真命题时，实数 m的取值范围是[1，3]. 9分
命题 q：存在 ∈ [ 2,0]，使得不等式2 + + 3 ≥ 0成立，
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只需(2 + + 3)max ≥ 0，而2 + + 3在实数集 R上单调递增， 10分
所以当 = 0 时，2 + + 3取到最大值为 2，
∴ 2 ≥ 0, ≥ 2， 12分
故命题 p、q都是真命题，实数 m的取值范围是[2，3]. 13分
16.解：(1)当 0 < < 40时， ( ) = 600 10 2 100 4000 = 10 2 + 500 4000，
3分
当 ≥ 40时， ( ) = 600 601 10000 + 6500 4000 = 2500 10000， 6分

10 2 + 500 4000，0 < < 40
∴ ( ) =
2500 10000
； 7分
， ≥ 40

(2)当 0 < < 40时， ( ) = 10 2 + 500 4000，
这个二次函数的对称轴为 = 25，所有当 = 25时， ( ) = 2250为最大值， 10分
当 ≥ 40 ( ) = 2500 10000 = 2500 ( + 10000时， )，

∵ + 10000 ≥ 2 10000 = 200 10000，当且仅当 = 即 = 100时，等号成立， 12分

∴ ( ) ≤ 2500 200 = 2300，
即当 = 100时， ( )取到最大值 2300， 14分
∵ 2300 > 2250，∴当 = 100时，
即 2025年产量为 100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为 2300万元． 15分
17.(1)证明：已知定义在 R上的函数 满足 + y = y ，
令 = 1，y = 0，则 1 = 1 0 ， 1分
又当 > 0 时， > 1，所以 1 > 1，即 0 = 1. 2分
当 < 0 时,则 > 0， > 1.在 + y = y 中，
令 y = ，有 0 = = 1 > 0，所以 > 0， 4分
综上：当 ∈ 时，恒有 > 0. 5分
（2）证明： 设 2, 1是 上的任意两个实数，且 2 > 1，
则 2 x1 > 0，且 2 x1 > 1， 6分
( 2) ( 1) = 2 x1 + 1 ( 1) = ( 1) 2 x1 1 8分
由第一问可知当 ∈ 时，恒有 > 0， ( 1) > 0，且 2 x1 1> 0 9分
所以 ( 2) ( 1), > 0 ( 2) > ( 1)，
因此函数 在 R上单调递增； 10分
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(3) 解：若 2 = 9，求不等式 + 1 2 2 1 > 27的解
在 + y = y 中，令 = y = 1，则 2 = 1 1 = 9， 11分
令 = 2，y = 1，则 3 = 2 1 = 9 × 3 = 27， 12分
不等式 + 1 2 2 1 > 27等价于 + 1 + 2 2 1 > 3 ， 13分
即 + 1 + 2 2 1 > 3，即 2 2 + 3 > 0， 14分
3
所以不等式的解集为{ | < 或 > 1}. 15分
2
18.解：(1)( )因为定义在 R上的函数 图像关于原点对称，所以函数 是奇函数，
当 < 0时， ( ) = ( ) = ( )2 = x2， 1分
当 = 0 时， 0 = 0 0 = 0， 2分
2， > 0
所以 ( ) = ； 3分
x2， ≤ 0
( )易知函数 在 R上是单调递增的奇函数，
而且原不等式等价于 + 2 ≥ 3 ， 4分
所以对于任意的 ∈ t，t + 2 ，等价于 + 2t ≥ 3 恒成立， 5分
等价于 ( ) = 3 2t ≤ 0恒成立，
所以 ( ) = (t + 2) = 3(t + 2) (t + 2) 2t ≤ 0， 6分
t ≥ 2所以 3. 7分
3
(2)( ) 4因为定义在 上的函数 的图像关于 1，0 对称，且当 > 1时， = 3，

( ) + (2 ) = 0， 当 = 1时， 1 = 0， 8 分
当 < 1 时， ( ) = (2 ) = 2 4 3 = 2+ 4 + 3，
2 2+
4 3， > 1，
所以 ( ) = 4 且当 = 1时， 1 = 0， 10分 2 + 3， < 1，
2
( )设 2, 1是 ∞，1 上的任意两个实数，且1 > 2 > 1，
( 4 4 42) ( 1) = 2 2 + 3 ( 2 1 2 + 3) = ( x ) 1 + ，2 1 2 2 1 2 2 ( 1 2)
因为1 > 2 > 1所以 2 1 > 0,
4 > 0，
2 2 ( 1 2)
所以 ( 2) ( 1) => 0 ( 2) > ( 1)，
因此函数 在 ∞，1 上单调递增； 13分
( )关于 x的方程 2 2 = 0 在 R上有四个不同的零点,
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且当 ( ) = 0 时，有 2，1，4三个零点， 14分
所以原方程等价于 = 2 ( )有且只有异于上述三个零点的一个根即可。 15分
由第一问可知 = ( )在 ∞，1 和 1， +∞ 上单调递增， 16分
故实数 m的取值范围为： ∞， 12 ∪ 12，+∞ . 17分
19.解：(1)由对数函数性质知 lg0.9 < lg1 = 0，即 lg0.9 < 0， 1分
又由指数函数性质知1.10.1 > 1. 10 = 1，即1.10.1 > 1， 2分
又因为 2 sin 30° = 1， 3分
所以 max{lg0.9，1.10.1，2 sin 30° } = 1.10.1. 4分
≤
(2) 解法一：由 = min{ ,
2 2
}，可得 ≤ ， 5分+4
2+4 2
1 1
2 ≤ 2
2b 24( +4
2) 1
则
2
=
+4 2 2
≤
+4 2 2 2
= ， 7分
+4 4
所以 ≤ 1 1 1，当且仅当 = 2 = ，取等号，所以 t的最大值为 . 8分
2 2 2
≤
解法二：由 = min{ , 2 2 }，可得 ≤ ，
2 ≤
+4 2 2
， 5分
2 +4 +4 2


下面研究 的最大值： = 2 2 2 2 ，(此处可以把 除下来变为对勾函数求也行） +4 + 1+4( 2 )
= >0 = 令 ， 2，则有 4 2 + = 0， 1+4
由△= 1 16y2 ≥ 0及 > 0 1 1可得 0 < ≤ ，故 y的最大值为 . 7分
4 4
接下来验证取等号的条件.

1 1 =
1
当 = 时， = ，所以取等号的条件为 2 ，即 =
1
， = 1时取等号，
4 2 = 2 4
2+4 2
所以 2 ≤ 1，故 t 1的最大值为 . 8分
4 2
(3) ( ) = 2 + 1， ( ) = | | 1，由| | 1 = 0 可得 =± 1， 9分
对 ( ) = 0，则 = 2 4 = ( 2)( + 2)，
①当 < 0，即 2 < < 2时， ( ) > 0 恒成立， ( )有 2个零点 1和 1; 10分
②当 = 0，即 = 2 或 = 2.
( )当 = 2 时， ( ) = 2 2 + 1 = ( 1)2 ≥ 0，此时 ( ± 1) = 0， =± 1是 ( )的 2
个零点. 11分
( )当 = 2时， ( ) = 2 + 2 + 1 = ( + 1)2 ≥ 0，此时 ( ± 1) = 0， =± 1是 ( )的 2
个零点. 12分
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②当△> 0，即 < 2或 > 2， ( ) = 0 有 2个零点，记为 1， 2( 1 < 2).
( )当 > 2 时， (1) = + 2 < 0， ( 1) = + 2 > 0 ，且 ( )关于 = > 1对称，且
2
+ = > 2，
(0) = 1 > 0，又 (1) < 0 1 2， 所以0 < 1 < 1 < 2
1 2 = 1，
此时， ( )有 2个零点 1和 2. 14分
( ) 当 < 2时， ( )关于 = < 1对称，且 (0) = 1 > 0，
2
1 + 2 = < 2，
所以 1 < 1 < 2 < 0，,此时， ( )有 2个零点 1和 1. 16分
1 2 = 1，
综上所述：无论 取何值时， ( )恒有 2个零点. 17分
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