4.4.2 对数函数的图像与性质 教学设计

对数函数的图像与性质
一、教材分析：本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第四章《指数函数与对数函数》的第四节《对数函数》（第二课时）。对数函数是基本初等函数之一. 对数函数与指数函数联系密切，无论是研究的思想方法方法还是图像及性质，都有其共通之处。相较于指数函数，对数函数的图象亦有其独特的美感。在类比推理的过程中，感受图像的变化，认识变化的规律，这是提高学生直观想象能力的一个重要的过程。对数函数的知识在其他章节和其他学科中有着广泛的应用.同时，对数函数作为常用的数学模型在解决社会生活问题中也有着广泛的应用。本节课的学习为学生进一步学习和参与实际生活提供了必要的数学基本技能,本节课对对数函数图象和性质的研究，不仅反映出对教函数和指数函数的关系。也蕴含了化归、分类讨论、数形结合等数学思想，体现了直观想象逻辑推理等核心素养，是高考的重点内容之一。
二、学情分析
从初中到现在，学生已学习了一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数等初等函数，已对函数的相关概念研究方法有了一定的了解和掌握.此外, 前面已学完有了指数函数的图象和性质的学习经历，对数函数的图象和性质的教学应该以学生为主，引导学生类比研究指数函数的图象和性质的过程和方法，自然就激发了学生学习本节课的热情和兴趣.
教学目标
1、掌握对数函数的图象和性质，能利用对数函数的图像与性质来解决简单问题培养学生实际应用函数的能力.
2、经过探究对数函数的图像和性质，对数函数与指数函数图像之间的联系，对数函数内部的的联系。培养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力；渗透类比等基本数学思想方法。
3、在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯，培养学生数学抽象、数学建模的核心素养．
四、教学重难点重点
重点：对数函数的图象和性质。
难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳对数函数的性质及对数函数性质的应用．
五、教学过程
1、回顾对数函数的定义
2、学习函数的一般模式：解析式（定义）图像性质应用
3、探索交流，解决问题
（1）师生一起回忆指数函数的学习过程，提出研究对数函数的图象和性质的内容和方法？
【问题1】 在同一坐标系内用描点法画出函数和的图象。
列表
描点并连线：
【思考1】通过上述过程，说出这两个函数图象从左到右的变化趋势？
【提示】这两个函数的图象从左到右均是不断上升的.
【思考2】（1）在所画函数和图象的基础上,再画出函数和的图象，观察新画出的这两个函数图象的变化趋势及这四个函数图象的特征。
（2）通过上述过程，你发现了什么？
【提示】（1）
函数 和的图象从左到右是下降的.
函数和的图象关于x轴对称,同样,函数和的图象也关于x轴对称.
（2）这四个函数的定义域均为(0,+∞),值域为R,都过定点(1,0)
【设计意图】
由问题引发学生思考：类比指数函数的研究方法，做出对数的图象，得出性质，培养学生数学抽象的核心素养。
4、探究一：对数函数的图像
利用换底公式，可以得到y==﹣.因为点（x，y）与点（x，﹣y）关于x轴对称，所以y=图象上任意一点P（x，y）关于 x轴的对称点P1（x，﹣y）都在y=的图象上，反之亦然.由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.根据这种对称性，就可以利用y=的图象画出y=的图象（图4.4-3）.
为了得到对数函数（a>0，且a≠1）的性质，我们还需要画出更多具体对数函数的图象进行观察.
5、对数函数的图像及性质
选取底数a（a>0，且a≠1）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象.
选取底数a的若干个值，画出相应的对数函数的图象（图4.4-4）.
由图像发现对数函数的图象按底数a的取值，可分为01两种类型.因此，对数函数的性质也可以分01两种情况进行研究.
一般地，对数函数的图象和性质如下表所示
对数函数图像的其他特征：在直线的右侧，a>1时，a越大，图像越低，简称“底大图底”；06.例题讲解
例1、　比较下列各题中两个值的大小：
追问：比较大小的依据是什么？
师生活动：有了前面对数函数图象和性质的探究，学生应有能力独立完成．完成后，单独提问回答，全班师生达成共识．本题可将每一组中的两个值看作一个对数函数的两个函数值，从而利用对数函数的单调性进行比较．对于（1）（2），可以直接利用对数函数的单调性比较；对于（3），需要对底数a的取值进行讨论，分为0＜a＜1和a＞1两种情况分别进行比较．
练习：比较 的大小。
师生活动：（1）问：不同底真数怎么比较大小？
生1：利用刚学习的底大图底得：
生2：利用换底公式，写成倒数形式比较大小。
例2、　比较下列各题中两个值的大小：
（1） （2）
总结：当底数不相同，真数也不相同时，常需要引入中间值0和1作为桥梁。
7、规律方法总结
比较对数值大小时常用的四种方法：
同底数的利用对数函数的单调性。
同真数的利用对数函数的图像或用换底公式转化。
底数和真数都不同，找中间量。
若底数为同一个参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论。
六、课堂小结及作业
（1）对数函数的图像和性质
（2）比较对数式大小的类型及处理方法。
作业：
整理本节课的题型
课本P135的1—3题