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湘教版2025—2026学年八年级上册期末试题调研培优卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在中，作边上的高线，下列画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图所示，其中三角形的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，CD是△ABC的角平分线.按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G；③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N.则下列结论正确的是（ ）
A．∠ABN=∠A B．BN⊥AC C．CM=AD D．BM=BD
4．如图，，且，于，于．若，，，则的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交直线 BC 于点 D，若∠BAD-∠DAC=22.5°，则∠B=( )
A．37.5° B．67.5°
C．37.5°或67.5° D．30°或60°
6．欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得15个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（ ）
A． B．
C． D．
7．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作20小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（ ）
A． 小时 B． 小时
C． 小时 D． 小时
9．如图，中，，如果要使用尺规作图的方法在BC上确定一点，使BC，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，若△ABC的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E，则图中与∠ICE一定相等的角（不包括它本身）有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．用一组a ，b 的值说明命题：“若a2=b2，则a=b”是错误的，这组值可以是a= .，b= .
12．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形IJKL的面积分别为S1，S2，S3，若 24，则正方形 EFGH 的边长为 .
13．
（1）若对任意自然数n都成立，则a= ，b=
（2）计算：= .
14．若分式 与 的值相等， 则
15．如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm，点D以每秒1cm的速度从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止。若设点D运动的时间为t秒，则当t= 时，△CBD是等腰三角形。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1） 6-(-4)+(-11)
（2）
（3）
18．如图，是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，且点D在边上，点C的对应点为点E，连接，若．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若，，求的长．
19．如图，中，，，垂直平分线段．
（1）求证：是等边三角形．
（2）若，求的长．
20．定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数叫互为“翠屏数”；如25的“翠屏数”是52．
（1）填空：34、48的“翠屏数”分别是________、________；
（2）对于任意一个两位数，设它的个位数字为a，十位数字为b，试说明这个数与它的“翠屏数”之和一定能被11整除；
（3）若一个两位数为x，它的个位数字记为m，十位数字记为n，x与它“翠屏数”之和与11的商记为y，若，直接写出符合条件的x的值．
21．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线I1交BC于点D，AC边的垂直平分线I2交BC于点E.
（1）若△ADE的周长为15cm，求BC的长；
（2）若∠BAC=100°，求∠DAE的度数。
22．“一树新栽益四邻，野夫如到旧上春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形为某林场种植树林的区域，经测量，，，
（1）护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径的长；
（2）证明：
23．如图，已知Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点共线．试说明∠ACE=90°．
24．数学课上，张老师举了下面的例题：
例1 在等腰三角形ABC 中，∠A=110°，求∠B 的度数.(答案：35°)
例2 在等腰三角形ABC 中，∠A=40°，求∠B 的度数.(答案：40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式 在等腰三角形ABC 中，∠A=80°，求∠B 的度数.
（1）请你解答以上的变式题.
（2）解(1)后，小敏发现，∠A 的度数不同，得到∠B 的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC中，设 ，当∠B 有三个不同的度数时，请你探索x 的取值范围.
25．给出定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；
反之，当为非负整数时，如果，则．
举例如下：，，，，…
试解决下列问题：
（1）填空：①______，______（为圆周率），______；
②如果，求实数的取值范围；
（2）若关于的不等式组的整数解恰有4个，求的取值范围；
（3）求满足的所有非负实数的值．
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数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在中，作边上的高线，下列画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据三角形的高线的定义可得：
在中，边上的高线画法正确的是
故选：D．
【分析】根据三角形高的定义即可求出答案.
2．如图所示，其中三角形的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【解析】【解答】解：图中的三角形有：△ABC，△BCD，△BCE，△ABE，△CDE共5个.
故选D.
【分析】根据三角形的定义即可求出答案.
3．如图，CD是△ABC的角平分线.按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G；③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N.则下列结论正确的是（ ）
A．∠ABN=∠A B．BN⊥AC C．CM=AD D．BM=BD
【答案】D
【解析】【解答】解：由作图步骤可得∠CBN=∠BAC。
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACD=∠BCD。
在△ADC中，
∠CAD+∠ACD+∠ADC=180°；
在△BMC中，
∠CBM+∠BCM+∠BMC=180°。
∵∠CAD=∠CBM，∠ACD=∠BCM，
∴∠ADC=∠BMC。
∵∠ADC+∠BDM=180°，∠BMC+∠BMD=180°，且∠ADC=∠BMC，
∴∠BDM=∠BMD，
∴BM=BD。
故答案为：D
【分析】根据尺规作图得到∠CBN=∠BAC，再根据CD是角平分线得到∠ACD=∠BCD，最后结合三角形内角和定理推导角的关系，进而判断边的关系。
4．如图，，且，于，于．若，，，则的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴∠A+∠D=90°，
∵，
∴∠CED=90°，∠C+∠D=90°，
∴∠A=∠C，∵BF⊥AD，
∴∠AFB=∠CED=90°，
在△AFB和△CED中，
，
∴△AFB≌△CED（AAS），
∴AF=CE，FB=DE，
∵CE=8，BF=4，EF=3，
∴AF=8，DE=4，
∴DF=DE-EF=1，
∴AD=AF+DF=8+1=9，
故答案为：A．
【分析】根据全等三角形判定定理——证明，则，那么，再由即可得出答案．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交直线 BC 于点 D，若∠BAD-∠DAC=22.5°，则∠B=( )
A．37.5° B．67.5°
C．37.5°或67.5° D．30°或60°
【答案】C
【解析】【解答】解：如图(1)，当AB 的垂直平分线交BC 的延长线于点 D 时，连结 DA.因为 D 在线段AB 的垂直平分线上，所以 DA=DB，所以∠DBA=∠DAB. 因为∠BAD-∠DAC =22. 5°，所以∠BAC=22. 5°. 又因为∠ACB=90°，所以∠BAC+∠B = 90°，即 22.5°+∠B = 90°，所以∠B=67.5°.如图(2)，当AB 的垂直平分线交线段BC 于点 D 时，连结DA.因为 D 在线段AB 的垂直平分线上，所以 DA=DB，所以∠B=∠BAD. 因为∠BAD-∠DAC = 22. 5°，所以∠DAC=∠B-22. 5°. 又因为∠CDA =∠BAD+∠B =2∠B，∠DAC +∠CDA = 90°，所以∠B-22. 5°+2∠B=90°，所以∠B =37.5°.综上可知∠B=37.5°或67.5°，
故答案为： C.
【分析】求出AD=BD，推出 分为两种情况：画出图形后，根据三角形内角和定理求出即可.
6．欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得15个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得 .
故答案为：A.
【分析】根据甲农妇有x个鸡蛋，可以表示出乙农户的鸡蛋数，再根据两人蛋数不同，卖得的钱数相同为等量关系，列出方程即可.
7．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确，不符合题意；
B、∵，∴B正确，符合题意；
C、∵，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用积的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方和同底数幂的除法的计算方法分析求解即可.
8．一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作20小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（ ）
A． 小时 B． 小时
C． 小时 D． 小时
【答案】A
【解析】【解答】解：设工作总量为1，则甲乙合作的工作效率是甲单独做 需m小时完成，甲的工作效率为
乙单独完成需要的时间是 为
故答案为：A.
【分析】设工作总量为1，则甲乙合作的工作效率是甲单独做 需m小时完成，甲的工作效率为利用工作时间=工作量工作效率列出算式即可.
9．如图，中，，如果要使用尺规作图的方法在BC上确定一点，使BC，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、由作图可得：PA=PC，而BC=PB+PC，∴BC=PB+PA，此选项符合题意；
B、由作图可得：PA=PB，而BC=PB+PC≠PB+PA，此选项不符合题意；
C、由作图可得：BA=PB，而BC=PB+PC≠PB+PA，此选项不符合题意；
D、由作图可得：CA=CP，而BC=PB+PC≠PB+PA，此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”并结合线段BC的构成依次判断可求解.
10．如图，若△ABC的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E，则图中与∠ICE一定相等的角（不包括它本身）有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：如图：
①根据角平分线的性质易求∠1=∠2；
②∵△ABC的三条内角平分线相交于点I，
∴∠BIC=180°﹣（∠3+∠2）
=180°﹣（∠ABC+∠ACB）
=180°﹣（180°﹣∠BAC）
=90°+∠BAC；
∵AI平分∠BAC，
∴∠DAI=∠DAE．
∵DE⊥AI于I，
∴∠AID=90°．
∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+∠BAC．
∴∠BIC=∠BDI．
∴180°﹣（∠4+∠5）=180°﹣（∠2+∠3）．
又∵∠3=∠4，
∴∠2=∠5，
∴∠5=∠1，
综上所述，图中与∠ICE一定相等的角（不包括它本身）有2个．
故选：B．
【分析】根据角平分线的定义求得∠1=∠2．然后利用三角形内角和定理得到∠2=∠5，进而证得∠5=∠1．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．用一组a ，b 的值说明命题：“若a2=b2，则a=b”是错误的，这组值可以是a= .，b= .
【答案】1；
【解析】【解答】解：当a=1，b=-1时，满足a2=b2，但a≠b．
∴原命题错误.
故答案为1，-1（答案不唯一）．
【分析】由题意，当a=1，b=-1时，a2=b2，但a≠b，于是可判断原命题错误．
12．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形IJKL的面积分别为S1，S2，S3，若 24，则正方形 EFGH 的边长为 .
【答案】2
【解析】【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，
∴，
故答案为：2.
【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=KG，CF=DG=KF，根据，即可得到解题即可.
13．
（1）若对任意自然数n都成立，则a= ，b=
（2）计算：= .
【答案】（1）；
（2）
【解析】【解答】解：（1）∵
，
又∵对任意自然数n都成立，
∴．
解得：．
（2）原式（）（）（）+
（ ）
（）
．
故答案为：（1），；（2）.
【分析】（1）先利用异分母分式的加法法则对等式的左边进行运算，再利用恒等式的性质解答即可；
（2）利用裂项法用两个分数的差表示每一个分数，再化简运算即可．
14．若分式 与 的值相等， 则
【答案】9
【解析】【解答】解：∵ 分式 与 的值相等，
∴，去分母，得2(x+3)=3(x-1)，解这个一元一次方程，得x=9，经检验，x=9是原方程的解.
∴x=9.
故答案为：9.
【分析】根据题意，得到一个分式方程，解这个方程，并验根，最后写出未知数的值.
15．如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是 ．
【答案】
【解析】【解答】根据折叠，可知，，，
设
，
，
在中
，即
解得：
．
故答案为：．
【分析】根据折叠，可知AB＝AD，ED＝EC，进一步可知∠ADE＝90°，设AE＝x，在Rt△ADE中，根据勾股定理列方程，求解即可．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm，点D以每秒1cm的速度从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止。若设点D运动的时间为t秒，则当t= 时，△CBD是等腰三角形。
【答案】5或6或7.2
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°
∵AB=8cm，BC=6cm
由勾股定理得AC=10cm
当BD⊥AC时，由AB×BC=AC×BD
得BD=4.8
由勾股定理得CD=3.6；
①若BC=DC
则t=BC=6；
②若CD=BD时
做DE⊥BC
由CD=BD∴BE=CE则CD=AD
BD=AC=5cm
t=CD=BD=5
③若BD=BC，则做BF⊥AC
此时CD=2×3.6=7.2
故答案为5或6或7.2
【分析】由题已知∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm，由勾股定理可得AC=10cm，再利用面积关系，易得BD=4.8，再由勾股定理得CD=3.6。由于讨论△CBD是等腰三角形，所以需要分情况讨论：分别为BC=DC，CD=BD，BD=BC三种情况。其中若BC=DC易得t=BC=6；CD=BD，BD=BC时可利用等腰三角形的性质“三线合一”可得结果为5或6或7.2
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1） 6-(-4)+(-11)
（2）
（3）
【答案】（1）解：6-(-4)+(-11)
=6+4-11
=-1
（2）解：
=-10
（3）解：
=
=-16+15+10
=9
【解析】【分析】(1)根据有理数加减法的规则进行运算即可；
(2)先计算乘方与开方，再除法，最后计算加法即可；
(3)根据乘法分配律，用括号内的每个数乘以-20，即得结果.
18．如图，是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，且点D在边上，点C的对应点为点E，连接，若．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：如图，过点作于点，则，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质求出，再根据平行线的性质求出，最后根据等边三角形的判定方法证明求解即可；
（2）根据等边三角形的性质求出，，再根据旋转的性质求出，，最后根据勾股定理计算求解即可.
（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
（2）解：过点作于点，则，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴
∵是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
19．如图，中，，，垂直平分线段．
（1）求证：是等边三角形．
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
∵
∴是等边三角形．
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分线段．
∴，
在中， ，则：，
∴的长 为.
【解析】【分析】（1）由垂直平分线段得，进一步得，根据，求出，，从而得，于是，故是等边三角形．
（2）根据是等边三角形，得，再由得，在中， ，则：.
20．定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数叫互为“翠屏数”；如25的“翠屏数”是52．
（1）填空：34、48的“翠屏数”分别是________、________；
（2）对于任意一个两位数，设它的个位数字为a，十位数字为b，试说明这个数与它的“翠屏数”之和一定能被11整除；
（3）若一个两位数为x，它的个位数字记为m，十位数字记为n，x与它“翠屏数”之和与11的商记为y，若，直接写出符合条件的x的值．
【答案】（1）43，84
（2）解：一个两位数，它的个位数字为a，十位数字为b，这个两位数是，它“翠屏数”是，
，
为正整数，
能被11整除，
这个数与它的“翠屏数”之和一定能被11整除；
（3）81或82或91或92或93
【解析】【解答】解：（1）由“翠屏数”的定义可得，34、48的“翠屏数”分别是43，84；
故答案为：43，84；
（3）x的个位数字记为m，十位数字记为n，
∴，x的“翠屏数”为10m+n，
∵x与它“翠屏数”之和与11的商记为y，
，
，
可转化为：，
即，
∴，
为正整数，
∴m=1时，n=8或9，此时x=81或91；m=2时，n=8或9，此时x=82或92；m=3时，n=9，此时x=93；m=4时，n=10（舍）；
符合条件的x的值为81或82或91或92或93.
【分析】（1）由 “翠屏数”的定义即可得答案；
（2）由题意可得：这个两位数是，它“翠屏数”是，从而可得，即可得到结论；
（3）根据题意可得：，，从而可转化为：，即，再由为正整数求解即可．
（1）由“翠屏数”的定义可得，34、48的“翠屏数”分别是43，84；
故答案为：43，84；
（2）一个两位数，它的个位数字为a，十位数字为b，
这个两位数是，它“翠屏数”是，
，
为正整数，
能被11整除，
这个数与它的“翠屏数”之和一定能被11整除；
（3）x的个位数字记为m，十位数字记为n，x与它“翠屏数”之和与11的商记为y，
，
，
可转化为：，
即，
为正整数，
或或或或，
符合条件的x的值为81或82或91或92或93
21．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线I1交BC于点D，AC边的垂直平分线I2交BC于点E.
（1）若△ADE的周长为15cm，求BC的长；
（2）若∠BAC=100°，求∠DAE的度数。
【答案】（1）解：是AB边的垂直平分线，
∴AD=BD。
是AC边的垂直平分线，
∴AE=CE。
∵△AED的周长为15cm，
∴AD+DE+AE=15cm。
∴BD+DE+CE=15cm。
∴BC=15cm。
（2）解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°。
∵∠BAC=100°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-100°=80°。
是AB边的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD。
是AC边的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠C=∠CAE.
∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=∠BAC-(∠B+∠C)=100°-80°=20°。
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到AD=BD，AE=CE，然后求出洒金AED的周长即可；
（2）根据等边对等角得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，然后根据三角形的内角和定理和角的和差解答即可.
22．“一树新栽益四邻，野夫如到旧上春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形为某林场种植树林的区域，经测量，，，
（1）护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径的长；
（2）证明：
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴在中，有，
∴无人机飞行路径的长为；
（2）证明：，，
，
是直角三角形，
∴，
【解析】【分析】（1）先求出，然后根据勾股定理求出即可求解；
（2）直接根据勾股定理的逆定理得证结论．
（1）解：∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
答：无人机飞行路径的长为；
（2）证明：，，
，
是直角三角形，且，
23．如图，已知Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点共线．试说明∠ACE=90°．
【答案】证明：∵Rt△ABC≌Rt△CDE，
∴∠BCA=∠CED，
∵△DCE是直角三角形，
∴∠CED+∠ECD=90°，
∴∠BCA+∠ECD=90°，
∴∠ACE=180°-90°=90°．
【解析】【分析】根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠CED， ∠BAC=∠DCE，再利用直角三角形的性质可得∠BCA+∠ECD=90°， 最后利用平角可得∠ACE=180°-90°=90°。
24．数学课上，张老师举了下面的例题：
例1 在等腰三角形ABC 中，∠A=110°，求∠B 的度数.(答案：35°)
例2 在等腰三角形ABC 中，∠A=40°，求∠B 的度数.(答案：40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式 在等腰三角形ABC 中，∠A=80°，求∠B 的度数.
（1）请你解答以上的变式题.
（2）解(1)后，小敏发现，∠A 的度数不同，得到∠B 的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC中，设 ，当∠B 有三个不同的度数时，请你探索x 的取值范围.
【答案】（1）若∠A为顶角，则∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝35°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°﹣2×70°＝40°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝70°；
∴∠B＝35°或40°或70°
（2）解：①当 时，∠A 只能为顶角，∴∠B 的度数只有一个.
②当 时，若∠A 为顶角，则 若∠A 为底角，则. 或∠B=(180-2x)°，当 且 且180-2x≠x，即x≠60时，∠B 有三个不同的度数.
综上，当0【解析】【分析】（1）本题问 在等腰三角形ABC 中，∠A=80°，求∠B 的度数 ，由于∠A和∠B的位置不确定，所以需进行分类讨论，在等腰三角形中，角可分为顶角和底角，所以可分为：①∠A为顶角，则∠B必为底角；②∠为底角，则∠B可为顶角或底角，在此分类下需进行再次分类讨论即可；
（2）通过（1）问的三个问题，我们发现，∠B的度数的个数∠A度数的影响，例1中，∠A为钝角，∠B的度数只有一种可能，例2中，∠A为锐角，∠B的度数有三种可能，变式里，∠B的度数同样有三种可能，所以在分类讨论时，可把∠A分为钝角和锐角进行讨论.
25．给出定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；
反之，当为非负整数时，如果，则．
举例如下：，，，，…
试解决下列问题：
（1）填空：①______，______（为圆周率），______；
②如果，求实数的取值范围；
（2）若关于的不等式组的整数解恰有4个，求的取值范围；
（3）求满足的所有非负实数的值．
【答案】（1）10，3，4
（2）解：
解不等式①得，
解不等式②得
不等式组得：，
由不等式组整数解恰有4个，
不等式组整数解为：，0，1，2，
故实数的取值范围：；
（3）解：，，
设，k为整数，则，
，
，，
，
，1，2，3，
则，，，，
【解析】【解答】（1）解：①由题意可得：
，
（为圆周率），
，
，
故答案为：10，3，4；
②，
，
解得：，
故答案为：；
【分析】（1）①根据新定义列式计算即可求出答案.
②根据新定义建立不等式，解不等式即可求出答案.
（2）分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再根据整数解，建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设，k为整数，则，根据新定义方程，解方程即可求出答案.
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