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湘教版2025—2026学年九年级上册期末模拟临考冲刺卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（ ）米．
A． B． C． D．
2．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．某旅游景点2020年8月份共接待游客25万人次，2020年10月份共接待65万人次，设每月旅游人数的平均增长率为x，则可列方程（ ）.
A． B．
C． D．
4．如图，点E为菱形的边BC上一点，且，连接与对角线相交于点F．已知，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．下列统计量中，能够反映不同种子发芽率稳定性的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
6．如图，与位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则与的周长之比是（ ）
A．1∶2 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶9
7．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则y1，y2的关系是（ ）
A．y2＜0＜y1 B．0＜y2＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y1＜0＜y2
8．已知方程的两个根分别为、，则的值为（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
9．如图，已知A、C两点的距离为5米，∠A=α，则树高BC为（ ）
A．5sinα米 B．5cosα米 C．5tanα米 D．米
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以其三边为边向外作正方形，延长EA交BG于点M，连接IM交AB于点N，若M是BG的中点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如表记录了甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的数据信息．
选手 甲 乙 丙 丁
平均数（环） 9.6 9.8 9.8 9.7
方差（环2） 0.46 0.38 0.15 0.27
若要从上述四人中推荐一位选手参加比赛，则最合适的人选是 ．
12．某燕尾槽示意图如下图所示，它是一个轴对称图形，若AE=50mm，则燕尾槽的里口宽BC的长为
13．经调查，我区高中学生上学所用的交通方式中，选择“电瓶车”、“自行车”、“其他”的比例为5：2：5，若该校学生有600人，则选择“电瓶车”的学生人数是 ．
14．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴相交于点，过点作轴垂线交双曲线于点，若，则的值为 ．
15．如图，把一张矩形纸片平均分成个矩形，若每个小矩形都与原矩形相似，则原矩形纸片的宽与长之比为 ．
16．如图，点 ， ， ， 是菱形的四个顶点，其中点 ， 在反比例函数 （ ， ）的图象上，点 ， 在反比例函数 的图象上，且点 ， 关于原点成中心对称，点 ， 的横坐标相等，则 的值为 ；过点 作 轴交反比例函数 的图象于点 ，连结 并延长交 轴于点 ，连结 .若 ，则 的值为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．
（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天售出这种水果盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？
18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当时，设方程的两根分别为，，求的值．
19．已知：如图，四边形ABCD中，为对角线BD的中点，点在边AD上，CF交BD于点.
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2），求证：.
20．对于实数m，n，定义新运算“※”：m※n=mn+m+n.
（1）化简：(a+b)※(a-b).
（2）解关于x的方程：x※(1※x)=-1.
21． 如图，广场上有一盏高为的路灯，把灯看作一个点光源，身高的女孩站在离路灯的点处图为示意图，其中于点，于点，点，，在一条直线上，已知，， ．
（1）求女孩的影子的长．
（2）若女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈回到起点，求人影扫过的图形的面积取
22．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，
（1）求电杆上CD部分的长；
（2）求拉线CE的长（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）．
23．某电商为积极响应“爱眼日”活动宣传，计划销售一款护眼贴．已知该款护眼贴的进价为50元/盒，电商平台规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的，销售一段时间后，该电商发现这款护眼贴的月销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数的关系，其对应关系如下表：
/元 60 65 70 75 80
/盒 1400 1300 1200 1100 1000
（1）求与的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）设该电商在销售护眼贴时每月所获的利润为元，求与之间的函数关系式，并求出利润的最大值：
（3）若每盒护眼贴的利润不高于20元，则该电商每月能否获得24000元的利润？若能，请求出此时销售单价；若不能，请说明理由．
24．如图，在平行四边形ABCD中，AB=，BC=8，∠B=60°，将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D'处，折叠后点C的对应点为点C' ，D'C'交BC于点G，∠BGD'=32°．求：
（1）∠D'EF的度数；
（2）线段AE的长．
25．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，DC＝3，对角线AC、BD相交于点O，动点P、Q分别从点C、A同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿C→O→B运动．到点B停止，点Q沿A→D→C运动，到点C停止．连接AP、AQ、PQ，设△APQ的面积为y（cm2）（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点Q的运动时间为x（s）．
（1）填空：BO＝ cm；
（2）当PQ∥CD时，求x的值；
（3）当 时，求y与x之间的函数关系式；
（4）直接写出在整运动过程中，使AQ＝PQ的所有x的值．
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湘教版2025—2026学年九年级上册期末模拟临考冲刺卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，BC=ACtan=5tan (米)，
∵∠BAC=， AC=5米，
∴地毯的长度为BC+AC= ( 5tana+5) 米.
故答案为：B.
【分析】根据正切的定义得到：BC=ACtan=5tan；由地毯的长度为AC+BC的长代入数据即可解答.
2．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解： ，
x2-8x=11，
x2-8x+42=11+16，
∴ .
故答案为：C.
【分析】先将常数项移到方程的右边，再在方程的两边同时加上一次项一半的平方，即可配方.
3．某旅游景点2020年8月份共接待游客25万人次，2020年10月份共接待65万人次，设每月旅游人数的平均增长率为x，则可列方程（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设每月的平均增长率为x，依题意得：25(1+x)2=64.
故答案为：A.
【分析】本题依题意可知四月份的人数为：25(1+x)，则五月份的人数为：25(1+x)(1+x)，列方程25(1+x)2= 64即可得出答案.
4．如图，点E为菱形的边BC上一点，且，连接与对角线相交于点F．已知，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：∵BE=2EC，
∴BC=3EC即，
∵菱形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△AFD∽△EFB，
∴
∴
解之：AF=3，
∴AE=AF+EF=3+2=5.
故答案为：B
【分析】利用BE=2EC，可得到BE与BC的比值，利用菱形的性质可证得AD∥BC，AD=BC，同时可得到△AFD∽△EFB，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AF的长，然后求出AE的长.
5．下列统计量中，能够反映不同种子发芽率稳定性的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】D
【解析】【解答】平均数：表示数据的总体水平。
中位数：表示数据的中等水平。
众数：表示数据的普遍情况。
方差：表示数据的离散程度，方差更能反映情况。
故选：D.
【分析】由平均数、中位数、众数和方差在数据中表示的实际意义进行逐一判断.
6．如图，与位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则与的周长之比是（ ）
A．1∶2 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶9
【答案】A
【解析】【解答】解：∵与位似
∴
∵与的位似比是1：2
∴与的相似比是1：2
∴与的周长比是1：2
故答案为：A．
【分析】根据两三角形位似，周长比等于相似比即可求解。
7．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则y1，y2的关系是（ ）
A．y2＜0＜y1 B．0＜y2＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y1＜0＜y2
【答案】A
【解析】【解答】解：反比例函数，
函数图象在第一、三象限，
又x1＜0＜x2，
y1 >0，y2<0，
：y2＜0＜y1
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的解析式可得函数图象所在象限，再利用反比例函数图象的性质即可得出结论.
8．已知方程的两个根分别为、，则的值为（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
【答案】D
【解析】【解答】解：∵方程的两个根分别为、，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，再将其代入计算即可。
9．如图，已知A、C两点的距离为5米，∠A=α，则树高BC为（ ）
A．5sinα米 B．5cosα米 C．5tanα米 D．米
【答案】C
【解析】【解答】在Rt△ABC中，
∵tanα＝
∴BC＝AC tanα＝5tanα（米），
故答案为：C
【分析】由直角三角形的边角关系可得答案
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以其三边为边向外作正方形，延长EA交BG于点M，连接IM交AB于点N，若M是BG的中点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】∵四边形AEDC是正方形，
∴∠EAC=∠DCA=90°，EA∥DC，
∴∠MAB=∠CBA，
又∵四边形AFGB是正方形，
∴AB=BG，∠ABG=90°，
∴∠ACB=∠ABM=90°，
∴△ACB∽△MBA，
∴，
又∵M是BG中点，设BM=a，
∴AB=BG=2a，AM=，
∴
AE∥DC，IM与BC相交于O，
∴
∴.
故答案为：A
【分析】利用正方形的性质及平行线的性质可证得∠MAB=∠CBA，AB=BG，∠ACB=∠ABM=90°，由此可推出△ACB∽△MBA，利用相似三角形的性质可得对应边成比例；利用线段中点的定义表示出AB，AM的长，利用比列式可表示出AC，BC，IA的长；利用平行线分线等成比列定理可表示出CO的长；根据BO=BC-OC，可表示出BO的长，然后求出BN与AN的比值.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如表记录了甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的数据信息．
选手 甲 乙 丙 丁
平均数（环） 9.6 9.8 9.8 9.7
方差（环2） 0.46 0.38 0.15 0.27
若要从上述四人中推荐一位选手参加比赛，则最合适的人选是 ．
【答案】丙
【解析】【解答】解：由表格数据知：乙、丙的平均数比甲、丁大，
∴应从乙和丙中选，
∵乙的方差大于丙的方差，
∴丙的成绩好且稳定，
∴ 最合适的人选是丙.
故答案为：丙.
【分析】先比较平均数得出乙和丙成绩较好，然后比较其方差，选取方差较小的选手即可.
12．某燕尾槽示意图如下图所示，它是一个轴对称图形，若AE=50mm，则燕尾槽的里口宽BC的长为
【答案】(188+)mm
【解析】【解答】解：如图，作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，
∵燕尾槽是一个轴对称图形，
∴∠B=∠C=α，AP=DQ=56mm，
∴EF=AD=300-112=188mm，
∴Rt△ABE中，，
同理可得，
∴.
故答案为：(188+)mm.
【分析】作等腰梯形的两条高，将梯形问题转换成造直角三角形和矩形问题，然后在直角三角形中利用正切定义求得和BC相关的两条线段，进而求出题目的结果.
13．经调查，我区高中学生上学所用的交通方式中，选择“电瓶车”、“自行车”、“其他”的比例为5：2：5，若该校学生有600人，则选择“电瓶车”的学生人数是 ．
【答案】250人
【解析】【解答】解：由题意得，
∴选择“电瓶车”的学生人数是250人，
故答案为：250
【分析】运用学生总数乘以选择“电瓶车”的学生所占的百分比即可求解。
14．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴相交于点，过点作轴垂线交双曲线于点，若，则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC于D，如图，
∵y=﹣x﹣1，令y=0，则﹣x﹣1=0，解得x=﹣2，
∴B点坐标为（﹣2，0），
∵CB⊥x轴，
∴C点的横坐标为﹣2，
∵，令x=﹣2，则y=﹣，
∴C点坐标为（﹣2，﹣），
∵AC=AB，AD⊥BC，∴DC=DB，
∴D点坐标为（﹣2，﹣），
∴A点的纵坐标为﹣，而点A在函数的图象上，把y=﹣代入，得x=﹣4，
∴点A的坐标为（﹣4，﹣），
把A（﹣4，﹣）代入y=﹣x﹣1，得﹣=﹣×（﹣4）﹣1，
∴k=﹣4．
故答案为﹣4．
【分析】过A作AD⊥BC于D，根据x轴上点的坐标特征可得B点坐标为（﹣2，0），将x=-2代入反比例函数解析式可得C点坐标为（﹣2，﹣），根据题意可得D点坐标为（﹣2，﹣），则A点的纵坐标为﹣，代入反比例函数解析式可得（﹣4，﹣），再将点A坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
15．如图，把一张矩形纸片平均分成个矩形，若每个小矩形都与原矩形相似，则原矩形纸片的宽与长之比为 ．
【答案】：
【解析】【解答】解：设原矩形ABVD的长为x，宽为y
则小矩形的长为y，宽为
∵小矩形与原矩形相似
故答案为：：
【分析】设原矩形ABVD的长为x，宽为y，根据相似图形的相似比即可求出答案.
16．如图，点 ， ， ， 是菱形的四个顶点，其中点 ， 在反比例函数 （ ， ）的图象上，点 ， 在反比例函数 的图象上，且点 ， 关于原点成中心对称，点 ， 的横坐标相等，则 的值为 ；过点 作 轴交反比例函数 的图象于点 ，连结 并延长交 轴于点 ，连结 .若 ，则 的值为 .
【答案】-3；18
【解析】【解答】如图，延长AD交x轴于点G，连接AC，BD交于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BH= = DH， AH=CH，
设点B （-a，b），则C （a，- b），
∵点A、C的横坐标相同，且AH=CH，
∴点A的坐标为（a， 3b），
∵点B、C在反比例函数y= （n<0）的图象上，点A， D在反比例函数y= （m>0，x>0）的图象上，
∴n= -ab，m= 3ab，
∴ =- 3，
∵AE∥x轴，
∴点E的纵坐标为3b，.
∵点B、E在反比例函数y= 的图象上，n=-ab，
∴点E的坐标为（ a，3b），
∵BH=DH，.
∴点D的坐标为（3a， b），
分别过点A、D作x轴的垂线于点P、Q，则AP∥DQ，
∴△APG∽△DQG，
∴
∴
PQ=OQ-OP=3a- a=2a，
∴GQ=a，
∴OG=OQ+QG= 3a+a=4a，
∴点G的坐标为（4a，0），
∵AE∥x轴，∴△ADE∽△GDF，
∵AE=a+ a= a，
∴GF= a，
∴OF=OG+FG=4a+ a= a
∴S△DOF= OF·DQ= · a·b= ab=14，
∴ab=6，
∴m=3ab= 18，
故答案为-3，18.
【分析】延长AD交x轴于点G，连接AC，BD交于点H，设点B （-a，b），根据菱形的性质及已知条件，分别求出A、B、C、D四点的坐标，然后分别表示出反比例函数的系数，分别过点A、D作x轴的垂线于点P、Q，由AP∥DQ，证明△APG∽△DQG，列比例式求出，求出PQ的长，从而表示出G点的坐标，由AE∥x轴，证明△FDG∽△EDA， 可得到线段之间的关系，把OF的长表示出来， 根据 列式求出ab值， 则可求出m值.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．
（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天售出这种水果盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？
【答案】（1）解：设每次下降百分率为m，
根据题意，得，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每次下降的百分率为；
（2）解：设每千克涨价x元， 由题意得：整理得：，
解得：，，
∵，
∴不符合题意，
答：每千克水果应涨价5元．
【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为m， 根据原价每千克50元． 连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，即可得出方程 ：，解方程即可求解；
（2）设每千克涨价x元，根据每千克盈利×销量=总盈利，即可得出方程，解方程即可求解。
（1）解：设每次下降百分率为m，
根据题意，得，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每次下降的百分率为；
（2）解：设每千克涨价x元， 由题意得：
整理得：，
解得：，，
∵，
∴不符合题意，
答：每千克水果应涨价5元．
18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当时，设方程的两根分别为，，求的值．
【答案】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，
解得，
即k的取值范围为；
（2）解：当时，方程为，
解得，，
则．
【解析】【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，可知，解不等式求出k的取值范围即可；
（2）把代入方程，根据韦达公式可知，，再将转换成两根之和及两根之积的形式，代入即可求出．
（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
即k的取值范围为；
（2）解：当时，方程为，
解得，，
则．
19．已知：如图，四边形ABCD中，为对角线BD的中点，点在边AD上，CF交BD于点.
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2），求证：.
【答案】（1）证明：∵∠BAD＝90°，E为BD的中点，
∴AE＝DE＝BD，
∵CF＝BD，
∴AE＝CF＝DE，
∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BCD＝90°，E为BD的中点，∴CE＝BD，
∴AE＝CE，
∴四边形AECF为菱形；
（2）∵四边形AECF为菱形，
∴AD∥CE，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵∠DCG＝∠DEC，∴∠ADE＝∠DCG，
∵AE∥CF，∴∠EAD＝∠CFD，∴△ADE∽△FCD，
∴∴CF DE＝AD CD，
∵AE＝CF＝DE，∴AE2＝AD DC．
【解析】【分析】（1）先证四边形AECF是平行四边形，再利用直角三角斜边中线的性质可得AE=CE，根据菱形的判定即证；
（2）先证△ADE∽△FCD，利用相似三角形的性质可得，继而得解.
20．对于实数m，n，定义新运算“※”：m※n=mn+m+n.
（1）化简：(a+b)※(a-b).
（2）解关于x的方程：x※(1※x)=-1.
【答案】（1）解： (a+b)※(a-b)=（a+b）（a-b） +a+b+a-b=a2-b2+2a
（2）解：由题意得
x ※( x+x+1）=-1
∴x※（2x+1）=-1
∴x（2x+1）+x+2x+1=-1
整理得（x+1）2=0
解之：x =x =-1
【解析】【分析】（1）利用定义新运算，先列式，再化简.
（2）利用定义新运算，可得到关于x的方程，然后求出方程的解.
21． 如图，广场上有一盏高为的路灯，把灯看作一个点光源，身高的女孩站在离路灯的点处图为示意图，其中于点，于点，点，，在一条直线上，已知，， ．
（1）求女孩的影子的长．
（2）若女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈回到起点，求人影扫过的图形的面积取
【答案】（1）解：，，
，
∽，
，
，
，
答：女孩的影子的长为米；
（2）解：女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈回到起点，
人影扫过的图形的面积．
【解析】【分析】（1）易得BC∥AO，可证∽，可得，据此求出BD即可；
（2）女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈回到起点，利用半径为6m的圆的面积-半径为5m的圆的面积即得结论.
22．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，
（1）求电杆上CD部分的长；
（2）求拉线CE的长（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）．
【答案】（1）解：过点A作AH⊥CD， 垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形， ∠CAH = 30°
∴AB=DH =1.5， BD=AH =6，在Rt△ACH中，
∴CH=AH·tan∠CAH，
∴CH= AH·tan∠CAH =6tan30°=6× (米) ，
∵DH=1.5，
；
（2）解：在Rt△CDE中，
米，
答：拉线CE的长为5.7米.
【解析】【分析】（1）由题意可先过点A作AH⊥CD于H.在Rt△ACH中， 可求出CH， 进而根据CD=CH+HD=CH+AB解答即可；
（2）再在Rt△CED中， 利用正弦的定义求出CE的长解答即可.
23．某电商为积极响应“爱眼日”活动宣传，计划销售一款护眼贴．已知该款护眼贴的进价为50元/盒，电商平台规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的，销售一段时间后，该电商发现这款护眼贴的月销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数的关系，其对应关系如下表：
/元 60 65 70 75 80
/盒 1400 1300 1200 1100 1000
（1）求与的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）设该电商在销售护眼贴时每月所获的利润为元，求与之间的函数关系式，并求出利润的最大值：
（3）若每盒护眼贴的利润不高于20元，则该电商每月能否获得24000元的利润？若能，请求出此时销售单价；若不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2），利润的最大值为31500元
（3）在每盒护眼贴的利润不高于20元的情况下，该电商每月能获得24000元的利润，护眼贴的销售单价为70元/盒
24．如图，在平行四边形ABCD中，AB=，BC=8，∠B=60°，将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D'处，折叠后点C的对应点为点C' ，D'C'交BC于点G，∠BGD'=32°．求：
（1）∠D'EF的度数；
（2）线段AE的长．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形．∠B=∠D= 60°，AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB．∵将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D'处，
∴∠D= ∠ED'G= 60°， ∠DEF= ∠D' EF，
∴∠D'EF= ∠EFB．∵∠BGD' =32°，∵∠D'GF= 148°．∴∠D'GF+∠EFB+∠D'EF+∠ED'G=360°，∴∠D'EF= 76°．
（2）解：如图，过点E作EH⊥AB交BA的延长线于点H，
设AE=×，∴DE=8-×=D'E
∵AD∥BC，
∴∠HAD=∠B= 60°，且EH⊥AB，
∴AH=x，HE=x。
∵点D'是AB的中点，
∴AD'=，
∴D'H=AD'+AH=：在Rt△EHD'中，HE2+D'H2=D'E2，
∴=(8-x)2，∴x=，∴AE=
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质得到：然后根据折叠的性质得到：即最后根据四边形的内角和为360°，即可求解；
（2）过点E作EH⊥AB交BA的延长线于点H，设AE=×，则DE=8-×=D'E，根据三角形三角函数得到：进而可求出AD'和D'H的长度，在中，根据勾股定理得到据此得到方程，即可求解.
25．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，DC＝3，对角线AC、BD相交于点O，动点P、Q分别从点C、A同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿C→O→B运动．到点B停止，点Q沿A→D→C运动，到点C停止．连接AP、AQ、PQ，设△APQ的面积为y（cm2）（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点Q的运动时间为x（s）．
（1）填空：BO＝ cm；
（2）当PQ∥CD时，求x的值；
（3）当 时，求y与x之间的函数关系式；
（4）直接写出在整运动过程中，使AQ＝PQ的所有x的值．
【答案】（1）解：∵在矩形ABCD中，AD＝4，DC＝3， ∴AC＝ ， ∴BO＝ ， 故答案为：
（2）解：如图1：
∵PQ∥CD，
∴△APQ∽△ACD，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图2，当 时，过点P作PE⊥AD，垂足为点E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠PED＝90°，
∴PE∥AB，
∴△DPE∽△DBA，
∴ ，
∴ ，
∴PE＝ ，
∴ ，
如图3，当4＜x≤5时，过点P作PF⊥AB，垂足为点F，延长FP交CD于点G，
则PF∥AD，
∵△BPF∽△BDA，
∴ ，
∴ ，
∴
∴S四边形PQCB＝S△BCD﹣S△PQD＝ ，
∴ ；
∴S△APQ＝S矩形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ﹣S四边形PQCB
=
＝ ，
∴ ；
如图4，当5＜x≤7时，过点Q作QH⊥AB，垂足为点H，则QH＝AD＝4，
∴S＝6，
综上所述 ，
（4）AQ＝PQ，
当点P在OC上时，如图5，作QH⊥AC于H，
则AH＝HQ，△AHQ∽△ADC，
∴ ，
∵AQ＝CP＝x，
∴AH＝ x，
∴ x+ x+x＝5，
解得，x＝ ；
当Q与D重合时，如图6，AQ＝4，QP＝4，
∴x＝4时，AQ＝PQ；
当点P停止运动，Q运动到CD的中点时，如图7，
AQ＝PQ，则△ADQ≌△BCQ，
∴DQ＝QC，
∴AQ＝ ，
此时，x＝ ，
∴ 时，AQ＝PQ．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理，可求出AC的长，利用矩形的对角线互相平分，可得BO= BD，从而求出BO的长.
（2）根据平行线可证△APQ∽△ACD， 利用相似三角形的对应边成比例，可得 ，即得 ，求出x值即可.
（3）运动过程分三个阶段，①如图2，当 时，过点P作PE⊥AD，垂足为点E；②如图3，当4＜x≤5时，过点P作PF⊥AB，垂足为点F，延长FP交CD于点G， 可得PF∥AD；③如图4，当5＜x≤7时，过点Q作QH⊥AB，垂足为点H，则QH＝AD＝4.分别根据相似三角形的判定与性质进行解答即可；
（4）分三种情况讨论，①当点P在OC上时，如图5 ，②当Q与D重合时，如图6，③当点P停止运动，Q运动到CD的中点时，如图7， 分别求解即可.
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