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湘教版2025—2026学年九年级下册期末综合进阶提升卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，P为⊙O外一点，PC切⊙O于C，PB与⊙O交于A、B两点.若PA＝1，PB＝5，则PC＝（ ）
A．3 B． C．4 D．无法确定
2．如图， 为⊙O的直径， ， ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣1）2﹣1
C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1
4．如图，以O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，M是上一点(不与A，B重合)，连接OM，设∠MOB= ，则点M的坐标为（ ）．
A．(sinα，cosα) B．(cosα，sinα)
C．(cosα，cosα) D．(sinα，sinα)
5．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=4，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧于点D，E，则图中阴影部分的面积为( )
A． B． C．-π D．
6．下列说法中正确的是（ ）
A．对绵远河段水质污染情况的调查，采用全面调查的方式
B．中考期间一定会下雨是必然事件
C．一个样本中包含的个体数目称为样本容量
D．已知“1，2，3，4，5”这一组数据的方差为2，将这一组数据分别乘以3，则所得到的一组新数据的方差也为2
7．如图，是的外接圆， ，则的长是（ ）
A． B． C． D．
8．若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2）
C．（1，﹣2） D．（2，1）
9．如图，函数的图像过点和，下列结论：①；②；③. 其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．函数y=|ax2+bx+c|（a>0，b2-4ac>0）的图象是由函数y=ax2+bx+c（a>0，b2-4ac>0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论：①2a+b=0；②c=3；③abc>0；④将图象向上平移1个单位长度后与直线y=5有3个交点.其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在一个暗箱里有m个除颜色外完全相同的球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为 ．
12．已知抛物线（，是常数且，）经过点，点，在抛物线上，且，则的取值范围为 ．
13．如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度（单位：）与运行的水平距离（单位：）满足关系式，已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．若排球运动员本次练习发球过程中球会超过球网但不会出界（可以压线），则的取值范围是 ．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，⊙C经过A，B，D，O四点，∠OAB＝120°，OB＝4，则点D的坐标是 ．
15．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB＝ 米．
16．如图，抛物线y＝x2＋x＋3的顶点为P，与y轴交于点A，若向右平移4个单位，向下平移4个单位，则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据单位：如图所示，
（1）求抛物线的解析式；
（2）若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少了多少？
18．在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y＝ax2+（a+1）x+a-4．
（1）若此函数图象过点（1，3），求这个二次函数的表达式．
（2）若（x1，y1）、（x2，y2）为此二次函数图象上两个不同点，当x1+x2＝2时，y1＝y2，求a的值．
（3）若点（-1，t）在此二次函数图象上．
①直接用含a的代数式表示t；
②当x≥-1时y随x的增大而增大，求t的范围．
19． 已知二次函数y＝x2﹣2x+c的图象如图所示．
（1）求c的值；
（2）将该抛物线进行左右平移，使其经过坐标原点，请直接写出平移的方法．
20．把一根长4米的铁丝折成一矩形，矩形的一边长为x米，面积为S米2.
（1）求S关于x的函数表达式，并写出x的取值范围；
（2）x为何值时，S最大？最大为多少？
21． 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上任意一点，连接AD，AG，GD.
（1）若∠ADC=70°，求∠AGD的度数.
（2）若BE=2，AE=8，求CD的长.
22．如图，为的高，为的角平分线，若，．
（1）求的度数；
（2）若点F为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数．
23．
（1）计算：
（2）抛物线图象经过，求抛物线的最大值．
24．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为x米，花园的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）满足条件的花园面积能否达到150平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由；
（3）当x是多少时，矩形场地面积y最大？最大面积是多少？
25．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过不重合的三点，其对称轴为直线．
（1）若，则a______0（填“>”或“<”）；
（2）若，求此时二次函数的解析式；
（3）当时，对于某个n，若存在，使得成立，结合图象，直接写出n的取值范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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湘教版2025—2026学年九年级下册期末综合进阶提升卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，P为⊙O外一点，PC切⊙O于C，PB与⊙O交于A、B两点.若PA＝1，PB＝5，则PC＝（ ）
A．3 B． C．4 D．无法确定
【答案】B
【解析】【解答】解：∵PA＝1，PB＝5，
∴AB＝PB﹣PA＝4，
∴OC＝OA＝OB＝2，
∴PO＝1+2＝3，
∵PC切⊙O于C，
∴∠PCO＝90°，
在Rt△PCO中，由勾股定理得：PC＝ ＝ ＝ ，
故答案为：B.
【分析】由AB＝PB﹣PA＝4，可得半径OC＝OA＝OB＝2，从而求出PO=3，由切线的性质可得∠PCO＝90°，利用勾股定理即可求出PC的长.
2．如图， 为⊙O的直径， ， ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接 ，
是 的直径，
，
， ，
，
，
，
又 ，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】连接CD，由圆周角定理得∠ACD=90°，∠ABC=∠ADC，结合已知条件得∠DAC=∠ADC，推出 ，得到AC=CD，由勾股定理可得AC2+CD2=AD2，据此求解.
3．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣1）2﹣1
C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1
【答案】B
【解析】【解答】解： 将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向下平移2个单位长度，
即y＝（x﹣1）2+1-2=（x﹣1）2-1，
故答案为：B.
【分析】已知二次函数y＝（x﹣1）2+1，将图像下移，利用函数图象平移变换求解作答即可．
4．如图，以O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，M是上一点(不与A，B重合)，连接OM，设∠MOB= ，则点M的坐标为（ ）．
A．(sinα，cosα) B．(cosα，sinα)
C．(cosα，cosα) D．(sinα，sinα)
【答案】B
【解析】【解答】解： 根据题目中给出的条件：以O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A、B两点，M是AB上一点(不与A、B重合)，连接OM，设∠MOB=α ，要求点M的坐标，
在单位圆中，点M与O点的距离为1，即OM=1，根据单位圆的性质，点M的坐标(x， y)可以通过角α来表示，
根据三角函数的定义，x坐标的值是OM与x轴的夹角（即α）的余弦值，y坐标的值是OM与x轴的夹角（即α）的正弦值。
因此，有：x=cosα，y=sinα，
因此，点M的坐标为(cosα ， sinα) ，
故答案为：B.
【分析】 根据单位圆的基本性质，圆上任一点的坐标可以用它与圆心形成的角来表示。具体地，如果以原点O为圆心，半径为1的单位圆上一点M的坐标为（x， y），且该点与x轴正方向形成的角为α，那么根据三角函数的定义，x=cosα，y=sinα。因此，点M的坐标可以表示为(cosα， sinα)。
5．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=4，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧于点D，E，则图中阴影部分的面积为( )
A． B． C．-π D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连结OE．
∵∠AOB=90°，C为BO的中点，CE∥OA，OA=4，
∴∠OCE=90°，OB=OE=4，0C=2，
∴OE=2OC，
∴∠EOC=60°，CE=，
∴阴影部分的面积=--=
故答案为：A.
【分析】连接OE，得到∠EOC=60°，CE=，根据 计算解题.
6．下列说法中正确的是（ ）
A．对绵远河段水质污染情况的调查，采用全面调查的方式
B．中考期间一定会下雨是必然事件
C．一个样本中包含的个体数目称为样本容量
D．已知“1，2，3，4，5”这一组数据的方差为2，将这一组数据分别乘以3，则所得到的一组新数据的方差也为2
【答案】C
【解析】【解答】解：
A、对绵远河段水质污染情况的调查，采用抽样调查的方式，A不符合题意；
B、中考期间一定会下雨是随机事件，B不符合题意；
C、一个样本中包含的个体数目称为样本容量，C符合题意；
D、已知“1，2，3，4，5”这一组数据的方差为2，将这一组数据分别乘以3，则所得到的一组新数据的方差也为18，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据抽样调查、随机事件、样本容量、方差的定义结合题意即可求解。
7．如图，是的外接圆， ，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：在 中，∠BOC=2∠A=100°
∴的长是
故答案为：B.
【分析】根据一条弧所对的圆周角是其圆心角的一半，求出∠BOC的度数，再根据弧长计算公式：计算弧长即可.
8．若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2）
C．（1，﹣2） D．（2，1）
【答案】A
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象经过点，
∴
∴
∴二次函数解析式为：
A、则本项符合题意；
B、则本项不符合题意；
C、则本项不符合题意；
D、，则本项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据题意利用待定系数法求出二次函数的解析式，最后逐项计算即可求解.
9．如图，函数的图像过点和，下列结论：①；②；③. 其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】【解答】解：∵函数的图像过点和，
∴抛物线的对称轴是直线x=，
∵抛物线的对称轴是直线x=，
∴，
∴b=-a，
∴a+b=0，
故②正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵b=-a，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
把代入得，
4a-2b+c=0，
把b=-a代入得，
6a+c=0，
故③正确.
故答案为：D.
【分析】根据函数的图像过点和可得抛物线的对称轴是直线x，根据对称轴公式得，从而b=-a，得a+b=0，故②正确；由抛物线开口方向，得a＞0，从而b＜0，
由抛物线与y轴交于负半轴得c＜0，从而判断①正确；把代入得，4a-2b+c=0，接着再把b=-a代入得，③正确.
10．函数y=|ax2+bx+c|（a>0，b2-4ac>0）的图象是由函数y=ax2+bx+c（a>0，b2-4ac>0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论：①2a+b=0；②c=3；③abc>0；④将图象向上平移1个单位长度后与直线y=5有3个交点.其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【解析】【解答】解： ∵图象经过（-1，0），（3，0），
∴抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x==1，
∴，
∴b=-2a，即2a+b=0，①正确．
由图象可得抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点为（0，3），
∴c=3，②正确．
由抛物线y=ax2+bx+c的开口向下可得a＜0，
∴b=-2a＞0，
∴abc＜0，③错误．
设抛物线y=ax2+bx+c的解析式为y=-a（x+1）（x-3），
代入（0，3）得：3=3a，
解得：a=1，
∴y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移2个单位后的坐标为（1，6），
∴将图象向上平移2个单位后与直线y=5有4个交点，故④错误.
故答案为：D.
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴，进而可判断 ① ；根据图象可得抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点在x轴下方可以确定c的值；根据抛物线y=ax2+bx+c的开口方向，对称轴位置和抛物线与y轴交点位置可确定abc的符号；求出二次函数y=ax2+bx+c的顶点式，可得图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在一个暗箱里有m个除颜色外完全相同的球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为 ．
【答案】10
【解析】【解答】解：∵通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，
∴摸到红球的概率为0.4，
∴，
∴m约为，
故答案为：．
【分析】
由大量重复试验的频率约等于概率可得到，计算即可得解．
12．已知抛物线（，是常数且，）经过点，点，在抛物线上，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题可知，抛物线（，是常数且，）经过点，
∴对称轴为，，
∴，
，
，
∴该抛物线开口向下，离对称轴距离越近其值越大，
∵，
即，
两边平方可得：，
解得：；
故答案为：.
【分析】由对称轴直线公式求得该函数的对称轴直线为x=1，将点(3，0)代入可得c=-3a＞0，则a＜0，故该抛物线开口向下，离对称轴距离越近其值越大，从而根据点M、N两点到对称轴直线的距离大小建立不等式，求解即可.
13．如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度（单位：）与运行的水平距离（单位：）满足关系式，已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．若排球运动员本次练习发球过程中球会超过球网但不会出界（可以压线），则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：球会超过球网，
当时，，
解得；
∵球不会出界网，
当时，，
解得
．
故答案为：．
【分析】根据“ 球网与点的水平距离为，高度为”，”球场的边界距点的水平距离为 ”构造不等式，求出h的取值范围．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，⊙C经过A，B，D，O四点，∠OAB＝120°，OB＝4，则点D的坐标是 ．
【答案】(0，4)
【解析】【解答】解：∵四边形ABDO为圆的内接四边形，
∴∠OAB+∠BDO=180°，
∴∠BDO=180°-120°=60°.
∵∠DOB=90°，
∴tan∠BDO==.
∵OB=，
∴OD=4，
∴D（0，4）.
故答案为：（0，4）.
【分析】根据圆内接四边形的性质可得∠OAB+∠BDO=180°，结合∠OAB的度数可得∠BDO的度数，利用三角函数的概念可得OD的值，据此可得点D的坐标.
15．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB＝ 米．
【答案】6
【解析】【解答】解：∵ ，
当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即 ＝ ，
当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即 ，
∴ ＝ ，
∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，
设AB＝x，BC＝y，
∴ ，即 ，即2（y+1）＝y+5，
解得：y＝3，
则 ，
解得，x＝6米．
即路灯A的高度AB＝6米．
【分析】先求出 ＝ ，再求出y＝3，最后计算求解即可。
16．如图，抛物线y＝x2＋x＋3的顶点为P，与y轴交于点A，若向右平移4个单位，向下平移4个单位，则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为 ．
【答案】12
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据单位：如图所示，
（1）求抛物线的解析式；
（2）若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少了多少？
【答案】（1）解：由图可知，抛物线的顶点坐标为，
可设抛物线的解析式为，
把代入，，
解得，
抛物线的解析式为
（2）解：原水面宽度为米，减少为原来的一半后宽度为12米，
当时，，
当时，，
水面下降的高度为米，即最大水深减少了米
【解析】【分析】（1）由图象可得抛物线的顶点坐标为（0，-5），设抛物线的解析式为y=ax2-5，利用待定系数法即可求解；
（2）利用二次函数的对称性，确定原水面宽度为24m，水面下降后宽度为12m，从而分别求出x=12和x=6时的函数值，函数值相减即可求解．
18．在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y＝ax2+（a+1）x+a-4．
（1）若此函数图象过点（1，3），求这个二次函数的表达式．
（2）若（x1，y1）、（x2，y2）为此二次函数图象上两个不同点，当x1+x2＝2时，y1＝y2，求a的值．
（3）若点（-1，t）在此二次函数图象上．
①直接用含a的代数式表示t；
②当x≥-1时y随x的增大而增大，求t的范围．
【答案】（1）解：将（1，3）代入y＝ax2+（a+1）x+a-4得：3＝a+a+1+a-4，
∴a＝2，
∴这个二次函数的表达式为：y＝2x2+3x-2
（2）解：∵y1＝y2，
∴这两个点关于x轴对称，
∴-，
∵x1+x2＝2，
∴＝1，
∴a＝-
（3）解：①t＝a-5；
②∵当x≥-1时y随x的增大而增大，
当a＞0时，有-，
∴0＜a≤1，
∴-5＜t≤-4，
当a＜0时，不符合题意舍去，
∴-5＜t≤-4．
【解析】【分析】（1）将（1，3）代入y＝ax2+（a+1）x+a-4中求出a值即可；
（2）由y1＝y2可得这两个点关于x轴对称，再利用对称轴公式计算即可；
（3）①把 点（-1，t）代入解析式中求出t即可；
②分两种情况：当a＞0和a＜0，据此分别求解即可.
19． 已知二次函数y＝x2﹣2x+c的图象如图所示．
（1）求c的值；
（2）将该抛物线进行左右平移，使其经过坐标原点，请直接写出平移的方法．
【答案】（1）解：把（4，5）代入y＝x2﹣2x+c，得42﹣2×4+c＝5，
解得c＝﹣3；
（2）解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4．
∴设平移后抛物线解析式为：y＝（x﹣1+a）2﹣4，
把点（0，0）代入，得（0﹣1+a）2﹣4＝0．
解得a＝3或﹣1．
故将该抛物线向左平移3个单位或向右平移1个单位，使其经过坐标原点．
【解析】【分析】（1）根据题意可得抛物线过（4，5），代入解析式即可得出答案。
（2）根据题（1）可以假设抛物线的解析式，然后将（0，0）代入解析式解出答案即可。
20．把一根长4米的铁丝折成一矩形，矩形的一边长为x米，面积为S米2.
（1）求S关于x的函数表达式，并写出x的取值范围；
（2）x为何值时，S最大？最大为多少？
【答案】（1）解：∵一根长4米的铁丝折成一矩形，矩形的一边长为x米，
∴另一边长为：4-2x，
∴
（2）解：
∴当x=1时，矩形面积最大，S=1.
【解析】【分析】（1）根据题意求出矩形的另一边长为4-2x，最后根据矩形的面积计算公式即可写出表达式；
（2）将表达式改写为顶点式，即可求出S的最大值.
21． 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上任意一点，连接AD，AG，GD.
（1）若∠ADC=70°，求∠AGD的度数.
（2）若BE=2，AE=8，求CD的长.
【答案】（1）解：连接BD，如图
∵ CD⊥AB
∴
∵ ∠ADC=70°
∴
∵ AB是⊙O的直径
∴
∵
∴∠ABD=70°
∴∠AGD=∠ABD=70°
（2）解：连接OC，如图
∵ BE=2，AE=8
∴AB=10
∴OC=5，OE=3
在Rt△OEC中，由勾股定理得
∵ 直径AB⊥弦CD
∴CD=2CE=8
【解析】【分析】(1)首先利用三角形内角和定理求出，然后利用直径所对的圆周角是直角结合三角形内角和定理求出∠ABD=70°，最后由同弧所对的圆周角相等得到∠AGD=∠ABD=70°；
(2)根据条件可知OC=5，OE=3，然后由勾股定理求出CE=4，再利用垂径定理得出CD=2CE=8。
22．如图，为的高，为的角平分线，若，．
（1）求的度数；
（2）若点F为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数．
【答案】（1）解：为的角平分线，
，
，
，
为的高，
，
；
（2）解：当时，，
当时
，．
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得，根据三角形外角性质可得∠C，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
（2）分情况讨论：当时，当时，根据三角形内角和定理即可求出答案.
（1）解：为的角平分线，
，
，
，
为的高，
，
；
（2）解：当时，，
当时，．
23．
（1）计算：
（2）抛物线图象经过，求抛物线的最大值．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：∵抛物线图象经过，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为4．
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，先计算三角函数，再根据有理数的混合运算规则，先计算乘法，在计算加法即可；
（2）根据二次函数图象上点的特征，将将点（0，3）代入抛物线的解析式，即可求出a的值；抛物线二次项系数小于0，抛物线开口向下，有最大值，将抛物线的解析式化为顶点式，即可求出最大值.
24．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为x米，花园的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）满足条件的花园面积能否达到150平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由；
（3）当x是多少时，矩形场地面积y最大？最大面积是多少？
【答案】（1）解：根据题意得：由题意可知为米，
则，
∴，
墙长15米，
，
，
，
自变量的取值范围是；
（2）解：此花园面积能达到150平方米，理由如下：
当时，即，
，
解得：，，
，
∴
此花园面积能达到150平方米，此时；
（3）解：，
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴当时，矩形场地面积y最大，最大面积是平方米．
【解析】【分析】（1）先用含x的代数式表示AB，再用矩形的面积公式求解即可；
（2）令y=150，建立一元二次方程，求解即可；
（3）把一般式转换为顶点式，利用二次函数的性质求解即可.
25．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过不重合的三点，其对称轴为直线．
（1）若，则a______0（填“>”或“<”）；
（2）若，求此时二次函数的解析式；
（3）当时，对于某个n，若存在，使得成立，结合图象，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
抛物线过点，
则随着x的增大，y的值先增大后减小，
故．
（2）解：当时，依题意，点，二次函数图象的对称轴为．
∵图象还过点，
∴二次函数图象的顶点即为点．
设二次函数的解析式为，
将点代入，得，解得：．
∴二次函数的解析式为．
（3）解：∵抛物线对称轴为直线，且抛物线过点，
关于对称轴对称点为．
设抛物线解析式为，
将代入，得，即，
，，
∵，，
∵存在，使得成立，∴，即．
∵越小，抛物线开口越大，则有最大值，
∴当时，，∴，
同理，
如图，当确定时，由图象知，（对称轴右侧）随增大而减小，
如图，当m确定时，由图象知，n（对称轴右侧）随t增大而减小．
综上所述，或．
【解析】【分析】（1）根据题意得出抛物线过点，根据增减性即可解答；
（2）根据题意得出二次函数图象的顶点为点，且过点，即可求解；
（3）根据题意得出抛物线解析式为，将代入，解得，根据，即可求得，根据存在，使得成立，即可求出的范围，结合图象即可求解.
（1）解：∵，
抛物线过点，
则随着x的增大，y的值先增大后减小，
故．
（2）解：当时，依题意，点，
二次函数图象的对称轴为．
∵图象还过点，
∴二次函数图象的顶点即为点．
设二次函数的解析式为，
将点代入，得，解得：．
∴二次函数的解析式为．
（3）解：∵抛物线对称轴为直线，且抛物线过点，
关于对称轴对称点为．
设抛物线解析式为，
将代入，得，即，
，
，
∵，
，
∵存在，使得成立，
∴，即．
∵越小，抛物线开口越大，则有最大值，
∴当时，
∴，
同理，
如图，当确定时，由图象知，（对称轴右侧）随增大而减小，
如图，当m确定时，由图象知，n（对称轴右侧）随t增大而减小．
综上所述，或．
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