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沪科版2025—2026学年九年级上册期末复习真题闯关卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数中，是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．某人沿坡度为的山路向上行走了30m，则该人升高了（ ）
A．10m B．15m C．17m D．m
3．如图，在中，，过点A作的平行线与的角平分线交于点D，与交于点E，，则的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
4．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则锐角α等于 ( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
6． 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（-1，2），（1，0），如图所示，给出四个结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③a+c=1；④a＞1. 其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．二次函数的最小值是（ ）
A．2 B．1 C．-2 D．-3
8．在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中经过哪三个点的的值最大（ ）
A．点，点，点 B．点，点，点
C．点，点，点 D．点，点，点
9．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值（ ）
A． B． C． D．
10．如图 和 都是边长为2的等边三角形，它们的边 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，若DE∥BC， ，则 = .
12． 如图， 抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于 两点， 直线 恰好经过 ， 两点． 是拋物线上一动点， 连结 ． 若 的面积为 3 ，则点 的横坐标为 .
13．已知y与2z成反比例，比例系数为k1，z与 x成正比例，比例系数为k2，k1和k2是已知数，且k1 k2≠0，则y关于x成 比例．（填“正”或“反”）
14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为 ．
15．如图，在中，对角线相交于点O，点E为OC的中点，交BC于点F.若，则EF的长为 .
16．如图，在平面直角坐标系 y↑中，A(4，0)，B(0，3)，C是AB的中点，M在折线AOB上，直线CM截△ABO所得三角形与△ABO相似，M的坐标是
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：2
18．已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°.求：
坡顶A到地面PO的距离；古塔BC的高度（结果精确到1米）.
（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
19．自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在处看见飞机的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机的仰角为，已知甲、乙两市民的距离米，铅垂高度米（点E，G，C，B在同一水平线上，结果保留根号）．
（1）求斜坡的坡比；
（2）求飞机此时距离地面的高度．
20．反比例函数的图像与直线相交于点A，A点的横坐标为．
（1）求k的值．
（2）试判断，是否在反比例函数的图像上．
21．某班的同学想测量教学楼的高度，如图，点、、、在同一平面内，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度（坡度垂直高度：水平宽度，在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为．
（1）求点到的水平距离．
（2）教学楼的高度约为多少米．
（结果精确到0.1米）（参考数据：，， ，
22．如图，正方形ABCD的边长为a，点P，Q，R，S分别在AB，BC，CD，DA上，且BQ= 2AP ，CR=3AP ，DS=4AP．问：AP长为多少时，四边形PQRS的面积有最小值？最小值是多少？
23． 据物理学知识，一定的压力作用于物体上产生的压强与物体受力面积成反比例，已知当时，．
（1）试确定与之间的函数表达式；
（2）如果作用于物体上的压力能产生的压强要大于时，求物体受力面积的取值范围．
24．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．
（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）．
【问题解决】
（1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ；
【问题探究】
（2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长．
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沪科版2025—2026学年九年级上册期末复习真题闯关卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数中，是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、为正比例函数，A错误；
B、，符合（为常数，），故是的反比例函数，B正确；
C、，不符合反比例函数的定义，故不是的反比例函数，C错误；
D、不符合反比例函数的定义，故不是的反比例函数，D错误；
故答案为：B.
【分析】根据“（为常数，）的函数称为反比例函数”反比例函数的定义逐一判断即可.
2．某人沿坡度为的山路向上行走了30m，则该人升高了（ ）
A．10m B．15m C．17m D．m
【答案】B
【解析】【解答】解：∵坡度为，
∴坡角为，
又∵该人沿山路向上行走了30m，
∴该人升高的距离为：m.
故答案为：B.
【分析】根据坡度的定义得出坡角为30°，然后根据正弦三角函数列式求出该人升高的距离即可.
3．如图，在中，，过点A作的平行线与的角平分线交于点D，与交于点E，，则的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：在中，，，
由勾股定理得，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据勾股定理求出AC，进而根据角平分线的定义得到，再根据平行线的性质得到，从而得到，根据等腰三角形的判定得到，进而根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而即可求解。
4．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥y轴于 D，AC与BD相交于点E。
∵∠AOB = ∠ABO =45°，
∴OA= AB，∠▽OAB=90°。
又∵∠▽ACO =∠AEB =90°，∠AOC+∠OAC = 90°，∠OAC +∠BAE =90°，
∴∠AOC=∠BAE。
在△AOC和△BAE中：∠ACO=∠BEA，∠AOC = ∠BAE，OA=AB
∴△AOC≌△BAE
∵点A的横坐标为-1，
把x=-1代入中，
可得y =-k，
∴A(- 1，- k)，则OC =1，AC =-k。
由△AOC ≌△BAE可得AE=0C=1， BE = AC =- k，
BD=BE-DE，DE=0C=1，
∴ BD=-k-1；CD=CE+DE，CE= AC =-k，
∴CD=-k+1，则B(-k-1，k- 1)。
∵点A(-1，- k)，点B(-k-1，k-1)都在双曲线y=-上，
∴(-1)x (- k)=(-k- 1)x(k-1)。
整理为： k2+k-1=0。
解方程可得：，
∵A在第二象限，k＜0
∴
故答案为：D.
【分析】本题涉及反比例函数的性质以及等腰三角形的性质。通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到点的坐标关系，进而结合反比例函数的表达式求解k的值。
5．已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则锐角α等于 ( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴
解得：
∵α为锐角
∴α=30°
故选：B.
【分析】由方程有两个相等的实数根，结合根的判别式可得出，再由α为锐角，即可得出结论.
6． 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（-1，2），（1，0），如图所示，给出四个结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③a+c=1；④a＞1. 其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：根据图像可知，开口向上，对称轴，，图象过，，
图象开口向上，
，
，
，
图象交轴的负半轴，
，
；故①错误；
，，
，
，故②正确；
图象过，，
，，
，
，故③正确；
，
，
，
，故④正确；
故选：D．
【分析】根据其开口方向，对称轴，图象交轴的负半轴，可知，，，，从而可以判断①，②；根据图象过，，可得，，推出，可判断③；由，，可判断④．
7．二次函数的最小值是（ ）
A．2 B．1 C．-2 D．-3
【答案】D
【解析】【解答】解：∵解析式为y=（x-1）2-3
∴a=1＞0，
∴二次函数y=（x-1）2-3有最小值-3．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的解析式，可直接判断出它 的最值.
8．在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中经过哪三个点的的值最大（ ）
A．点，点，点 B．点，点，点
C．点，点，点 D．点，点，点
【答案】C
【解析】【解答】解：设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
，解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
，解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
，解得；
最大为，
故答案为：C.
【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．分四种情况讨论，利用待定系数法，求过，，，中的三个点的二次函数解析式，继而解题．
9．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∴BG=2CG，GE=6CG，
∴BC=3CG，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，，从而得出BC=3CG，GE=6CG，即可得出答案.
10．如图 和 都是边长为2的等边三角形，它们的边 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：C点移动到F点，重叠部分三角形的边长为x，由于是等边三角形，则高为 ，面积为y=x· · = ，
B点移动到F点，重叠部分三角形的边长为(4－x)，高为 ，面积为
y=(4－x)· · = ，
两个三角形重合时面积正好为 .
由二次函数图象的性质可判断答案为A，
故答案为：A.
【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x，根据特殊角三角函数可得高为 ，由此得出面积y是x的二次函数，直到重合面积固定，再往右移动重叠部分的边长变为(4－x)，同时可得
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，若DE∥BC， ，则 = .
【答案】
【解析】【解答】由题意可知，∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵ ，
∴ .
故答案为 .
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形周长的比等于相似比即可得出答案。
12． 如图， 抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于 两点， 直线 恰好经过 ， 两点． 是拋物线上一动点， 连结 ． 若 的面积为 3 ，则点 的横坐标为 .
【答案】 或 或 -2 或 -1
【解析】【解答】解：设y轴上一点P，S△BPC=3，
由题意得：点B的坐标为（-3，0），点C的坐标为（0，3），
∴OB=3，
∴CP==2，
∴点P的坐标为（0，1）或（0，5）；
∴点D是经过点P与直线BC平行的直线与抛物线的交点，
∴设点D所在的直线为y=x+b，
①经过点（0，1），
∴b=1，
∴y=x+1，
∴，
解得：x1=-1，x2=-2；
②经过点（0，5），
∴b=5，
∴y=x+5，
∴，
解得：x3=，x4=；
综上可得，点D的横坐标为-1或-2或或.
故答案为：-1或-2或或.
【分析】设y轴上一点P，S△BPC=3，求出y轴上点P的坐标，根据两平行线间的距离是一个定值可得点D是经过点P与直线BC平行的直线与抛物线的交点，联立解与直线BC平行的直线与抛物线的解析式即可求解.
13．已知y与2z成反比例，比例系数为k1，z与 x成正比例，比例系数为k2，k1和k2是已知数，且k1 k2≠0，则y关于x成 比例．（填“正”或“反”）
【答案】反
【解析】【解答】解：y与2z成反比例，则
z与 x成正比例，则
将 代入 得
∵
∴
y关于x成反比例
故答案为：反
【分析】根据反比例函数、正比例函数的定义可得，，将 代入 得 ，再根据反比例函数的定义进行判断即可.
14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为 ．
【答案】1：16
【解析】【解答】∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴BE：EC＝1：3；
∴BE：BC＝1：4；
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，
∴ ＝ ，
∴S△DOE：S△AOC＝（ ）2＝ ；
故答案为：1：16．
【分析】先证明△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，再利用相似三角形的性质可得 ＝ ，即可得到S△DOE：S△AOC＝（ ）2＝ 。
15．如图，在中，对角线相交于点O，点E为OC的中点，交BC于点F.若，则EF的长为 .
【答案】3
【解析】【解答】解：由题意得，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】先根据题意得到，进而根据中点得到，即，再根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而即可求解。
16．如图，在平面直角坐标系 y↑中，A(4，0)，B(0，3)，C是AB的中点，M在折线AOB上，直线CM截△ABO所得三角形与△ABO相似，M的坐标是
【答案】(0，)或(2，0)或(，0)
【解析】【解答】解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，
∵ C是AB的中点，
∴P为OB的中点，
∵ B(0，3)，
∴P（0，）
当PC∥OB时，△APC∽△AOB，
∵ C是AB的中点，
∴P为OA的中点，
∵A(4，0)，
∴P（2，0），
如图，当CP⊥AB时，
∵ A(4，0)，B(0，3)，
∴OA=4，OB=3，
由勾股定理得AB=5，则AC=，
∵∠BAO=∠CAP，∠ACP=∠AOB=90°，
∴△ACP∽△AOB，
∴，即，
∴AP=，
∴OP=OA-AP=，
∴P（，0）
综上可知：点P的坐标为(0，)或(2，0)或(，0).
故答案为：(0，)或(2，0)或(，0).
【分析】分三种情况：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，易得P为OB的中点，据此求点P坐标；当PC∥OB时，△APC∽△AOB，易得P为OA的中点，据此求点P坐标；当CP⊥AB时，可证△ACP∽△AOB，利用相似三角形的性质求出AP，从而求出OP的长，即得点P坐标.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：2
【答案】解：2
【解析】【分析】利用特殊角三角函数值，去绝对值的法则，可求出结果.
18．已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°.求：
坡顶A到地面PO的距离；古塔BC的高度（结果精确到1米）.
（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
【答案】解：延长BC交OP于H.
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，
∴ ，
设AD＝5k，则PD＝12k，由勾股定理，得AP＝13k，
∴13k＝26，
解得k＝2，
∴AD＝10，
∵BC⊥AC，AC∥PO，
∴BH⊥PO，
∴四边形ADHC是矩形，CH＝AD＝10，AC＝DH，
∵∠BPD＝45°，
∴PH＝BH，
设BC＝x，则x+10＝24+DH，
∴AC＝DH＝x﹣14，
在Rt△ABC中，tan76°＝ ，即 ≈4.01.
解得：x≈18.7，
经检验x≈18.7是原方程的解.
答：古塔BC的高度约为18.7米.
【解析】【分析】延长BC交OP于H.在Rt△APD中解直角三角形求出AD＝10.PD＝24.由题意BH＝PH.设BC＝x.则x+10＝24+DH.推出AC＝DH＝x﹣14.在Rt△ABC中.根据tan76°＝ ，构建方程求出x即可.
19．自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在处看见飞机的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机的仰角为，已知甲、乙两市民的距离米，铅垂高度米（点E，G，C，B在同一水平线上，结果保留根号）．
（1）求斜坡的坡比；
（2）求飞机此时距离地面的高度．
【答案】（1）解：在中，米，米由勾股定理得：（米），
∴斜坡的坡比．
（2）解：过点作于点，如图，
，，，
∴，
四边形是矩形，
米，，
，，
是等腰直角三角形，
，
设米，则米，
米，
，
，
解得，
米，
答：飞机距离地面的高度为米．
【解析】【分析】
（1）先利用勾股定理求出米，则斜坡的坡比；
（2）过点作于点可构造和矩形DGBH，则米，，再由等腰三角形的性质可得，为便于计算可设米，再解即可．
（1）解：在中，米，米
由勾股定理得：（米），
∴斜坡的坡比．
（2）解：过点作于点，如图，
，，，
∴，
四边形是矩形，
米，，
，，
是等腰直角三角形，
，
设米，则米，
米，
，
，
解得，
米，
答：飞机距离地面的高度为米．
20．反比例函数的图像与直线相交于点A，A点的横坐标为．
（1）求k的值．
（2）试判断，是否在反比例函数的图像上．
【答案】（1）解：当时，由知，故，
将代入中，可知，
（2）解：由（1）可得
当时故点不在反比例函数的图像上，
当时故点在反比例函数的图像上.
【解析】【分析】（1）首相根据直线经过点A，可求得点，进而根据点A再反比例函数图象上，可得k=-1×2=-2即可；
（2）根据反比例函数图象上的点的特征，即可求解。
（1）解：当时，由知，故，
将代入中，可知，
（2）由（1）可得
当时故点不在反比例函数的图像上，
当时故点在反比例函数的图像上.
21．某班的同学想测量教学楼的高度，如图，点、、、在同一平面内，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度（坡度垂直高度：水平宽度，在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为．
（1）求点到的水平距离．
（2）教学楼的高度约为多少米．
（结果精确到0.1米）（参考数据：，， ，
【答案】（1）解：延长交于点，
∵， 斜坡的坡度为，
，
∵，
，
米，
（米，
∴（米，
点到的水平距离为米；
（2）解：米，米，
米，
∵，
米，
（米，
教学楼的高度约为23.7米．
【解析】【分析】（1）先根据坡度的意义，求得BE与CE的比，再利用正切求得∠BCE的度数，再利用含有30度的直角三角形性质，求得BE，再利用勾股定理求得CE即可；
（2）先利用线段之和求得DE，再利用正切求得AE，然后利用线段的差求得AB.
22．如图，正方形ABCD的边长为a，点P，Q，R，S分别在AB，BC，CD，DA上，且BQ= 2AP ，CR=3AP ，DS=4AP．问：AP长为多少时，四边形PQRS的面积有最小值？最小值是多少？
【答案】解：设AP=x，四边形PQRS的面积为S，
∴ BQ= 2AP=2x ，CR=3AP=3x ，DS=4AP=4x，
∴CQ=a-2x，DR=a-3x，AS=a-4x，
∴S四边形PQRS=a2-x（a-4x）-×2x（a-x）-×3x（a-2x）-×4x（a-3x）=a2-5ax+12x2．
∴当AP= 时，四边形PQRS的面积有最小值，最小值为a2．
【解析】【分析】设AP=x，四边形PQRS的面积为S，利用已知条件可表示出BQ，CR，DS，CQ，DR，AS的长；再根据四边形PQRS的面积等于正方形ABCD的面积减去四个直角三角形的面积，由此可得到S与x的函数解析式，利用二次函数的性质可求出结果.
23． 据物理学知识，一定的压力作用于物体上产生的压强与物体受力面积成反比例，已知当时，．
（1）试确定与之间的函数表达式；
（2）如果作用于物体上的压力能产生的压强要大于时，求物体受力面积的取值范围．
【答案】（1）解：一定的压力作用于物体上产生的压强与物体受力面积成反比例，
可设，
当时，，
，
，
与之间的函数表达式为；
（2）解：产生的压强要大于，
，
，
又，
，
即如果作用于物体上的压力能产生的压强要大于时，求物体受力面积的取值范围是．
【解析】【分析】（1） 压力作用于物体上产生的压强与物体受力面积成反比例，设，再把 时，代入求出F即可求解；
（2）F>0时，P随S的增大而减小，因此P>1000时，，据此求解即可。
24．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．
（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c=3．即抛物线的解析式为y=ax2+bx+3．
把点A（1，0）、点B（﹣3，0）代入，得解得a=﹣1，b=﹣2
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4
∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）△BCD是直角三角形．
理由如下：解法一：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．
∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，
∴BC2=OB2+OC2=18
在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，
∴CD2=DF2+CF2=2
在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，
∴BD2=DE2+BE2=20
∴BC2+CD2=BD2
∴△BCD为直角三角形．
解法二：过点D作DF⊥y轴于点F．
在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3
∴OB=OC∴∠OCB=45°
∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1
∴DF=CF
∴∠DCF=45°
∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90°
∴△BCD为直角三角形．
（3）①△BCD的三边，==，又=，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；
②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则PC=3﹣a，=，即=，解得：a=﹣9，则P的坐标是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，则△ACP∽△CBD不成立；
③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是（0，b），则PC=3﹣b，则=，即=，解得：b=﹣，故P是（0，﹣）时，则△ACP∽△CBD一定成立；
④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（d，0）．
则AP=1﹣d，当AC与CD是对应边时，=，即=，解得：d=1﹣3，此时，两个三角形不相似；
⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）．
则AP=1﹣e，当AC与DC是对应边时，=，即=，解得：e=﹣9，符合条件．
总之，符合条件的点P的坐标为：．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；
（3）分p在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．
25．如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）．
【问题解决】
（1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ；
【问题探究】
（2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长．
【答案】解：（1），；
（2）如图，把绕顺时针旋转得到，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵点在线段上，且，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，当在线段上，记与交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
如图，当在线段上时，延长交于，
同理可得：，，
∴，
设，而，则，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴，
综上：的长为或.
【解析】【解答】
解：（1）∵在菱形中，∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵点与线段的中点重合，
∴，；
【分析】（1）根据菱形的性质判断出△ABC是等边三角形，再利用等边三角形三线合一的性质求解∠PBC的度数以及BP与AC的位置关系；
（2）如图，把绕顺时针旋转得到，通过旋转△ABE构造等边三角形△BEQ，结合已知角的度数求出相关角的度数，在直角三角形中利用30°角所对直角边与斜边的关系得出BE与EC的数量关系；
（3）先根据菱形性质得到AC的长度，然后分点P在线段OA上和在线段OC上两种情况。利用相似三角形的性质得到线段的比例关系，进而求出AP的长度，
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