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沪科版2025—2026学年九年级下册期末全真模拟提分卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列立体图形的主视图与左视图相同是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①②③④
3． “文明丰都·幸福你我”，丰都正在积极创建全国文明城市．丰都宏运公司楼顶公益广告牌上“文明丰都”几个字是霓红灯，几个字一个接一个亮起来（亮后不熄灭）直至全部亮起来再循环，当路人一眼望去，能够看到几个字全在的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的直径，是的切线，若，则的大小为( )
A． B． C． D．
5．如图，A、B、C在⊙O上，∠ACB=40°，点D在 上，M为半径OD上一点，则∠AMB的度数不可能为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
6．如图， 半径为 5 的扇形 中， 是 上一点， ， 垂足分别为 ， 若 ， 则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形一定是矩形
B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
C．如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6
D．“用长分别为 、12cm、 的三条线段可以围成三角形”这一事件是不可能事件
8．圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（ ）
A． cm B．10cm C．6cm D．5cm
9．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字1、2、4随机摸出一个小球不放回其数字记为，再随机摸出另一个小球其数字记为，则满足关于的方程有两个不相等实数根的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC，OC交于点D，E.设∠A＝α，∠C＝β（ ）
A．若α+β＝70°，则 20°
B．若α+β＝70°，则 40°
C．若α﹣β＝70°，则 20°
D．若α﹣β＝70°，则 40°
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．正九边形的中心角等于 度．
12．如图， 是 的内接正六边形的一边，点B在 上，且 是 的内接正十边形的一边，若 是 的内接正n边形的一边，则 .
13．下列命题中，是真命题的是 .(填序号)
①周长相等的两个圆是等圆；②若圆上两点将圆分成一条劣弧和一条优弧，则优弧一定比劣弧长；③一个圆有且只有一条最长的弦；④半径是弦；⑤半径相等的两个半圆是相等的弧.
14．如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为 cm2（结果保留π）
15．如图， 是圆 的直径， 与 交于点 ．如果 ，那么 的长为 ．
16．如图，正方形 的边长为 ，点P在 上，连接 ，则 的最大值为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．月日被定为“国际数学日”，某校数学兴趣小组为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图．
（1） ， ，补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为 ；
（3）测试结束后，九年级一班从本班获得优秀（测试成绩分）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两名宣讲数学知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
18．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD 到点C，使DC=BD，连结AC 交⊙O于点 F.
（1）AB与AC 的大小有什么关系 为什么
（2） 若∠BAC=60°，AB=4， 求DF 的长.
19． 4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品.
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测. 请用列表法或画树状图的方法，求两次抽到的都是合格品的概率；(解答时可用A表示1件不合格品，用B、C、D分别表示3件合格品)
（2）在这4件产品中加入若干件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出大约加入多少件合格品
20．在直角坐标系中，函数y=（k>0）与函数y=2x的图象交于两个不同的点A，B.点A的横坐标为2.
（1）求k的值和点B的坐标.
（2）若函数y=2x的图象向下平移m（m>0）个单位后经过点C（3，1），与y轴交于点D.
①求m的值.
②求△ABD的面积.
21．某中学举行了迎国庆中华传统文化节活动．本次文化节共有五个活动：A-书法比赛；B-国画竞技；C-诗歌朗诵；D-汉字大赛；E-古典乐器演奏．活动结束后，某班数学兴趣小组开展了“我最喜爱的活动”的抽样调查（每人只选一项），根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
“我最喜欢的活动”条形统计图 “我最喜欢的活动”扇形统计图
（1）此次随机抽取的初三学生共________人，________，并补全条形统计图；
（2）若该校共有3000名学生，请估计选D活动的学生人数；
（3）初三年级准备在五名优秀的书法比赛选手中任意选择两人参加学校的最终决赛，这五名选手中有三名男生和两名女生，用树状图或列表法求选出的两名选手正好是一男一女的概率是多少．
22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若AB=8，tanB= ，求线段CF、PC的长．
23．操作与探究
我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件．
（1）分别测量图1、2、3各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现．
（2）如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图4、5的两个图说明其中的道理．（提示：考虑∠B+∠D与180°之间的关系）
由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．
24．小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．若和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求出小明和小亮各自获胜的概率；
（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由．
25．若二次函数与的图象关于点成中心对称图形，我们称与互为“中心对称”函数．
（1）求二次函数的“中心对称”函数的解析式；
（2）若二次函数的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式．
（3）二次函数的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若，且四边形为矩形，求的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：选项A，B中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A，B不符合题意；
选项C中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意；
选项D中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意，
故答案为：C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。
2．下列立体图形的主视图与左视图相同是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【解析】【解答】解：圆锥的主视图和左视图为全等的等腰三角形；
球的主视图和左视图均为圆；
圆柱的主视图和左视图为全等的矩形；
正方体的主视图和左视图为全等的正方形.
∴主视图与左视图相同是①②③④.
故答案为：D.
【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的正投影，据此一一找出各个图形的左视图及主视图即可.
3． “文明丰都·幸福你我”，丰都正在积极创建全国文明城市．丰都宏运公司楼顶公益广告牌上“文明丰都”几个字是霓红灯，几个字一个接一个亮起来（亮后不熄灭）直至全部亮起来再循环，当路人一眼望去，能够看到几个字全在的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得当路人一眼望去，能够看到几个字全在的概率是，
故答案为：B
【分析】根据简单事件的概率结合题意即可求解。
4．如图，是的直径，是的切线，若，则的大小为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∵∠BAC=35°，
∴∠ACB=90°-35°=55°.
故答案为：C.
【分析】根据圆的切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得∠ABC=90°，然后根据直角三角形两锐角互余可求解.
5．如图，A、B、C在⊙O上，∠ACB=40°，点D在 上，M为半径OD上一点，则∠AMB的度数不可能为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵C在⊙O上，
∴∠AOB=2∠ACB=80°，
又∵M是OD上一点，
∴∠AMB≤∠AOB=80°．
则不符合条件的只有85°．
故答案为：D．
【分析】根据圆周角定理求得∠AOB的度数，则∠AOB的度数一定不小于∠AMB的度数，据此即可判断．
6．如图， 半径为 5 的扇形 中， 是 上一点， ， 垂足分别为 ， 若 ， 则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连接OC，如图所示，
∴四边形OECD是矩形，
∴四边形OECD是正方形，
和 全等，
，
故答案为：B.
【分析】连接OC，然后根据正方形的性质，可得到阴影部分的面积等于扇形BOC的面积，然后计算解题.
7．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形一定是矩形
B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
C．如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6
D．“用长分别为 、12cm、 的三条线段可以围成三角形”这一事件是不可能事件
【答案】D
【解析】【解答】解：A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该项不符合题意；
B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，故该项不符合题意；
C. 一组数据为5，3，6，4，2，它的中位数是4，故该项不符合题意；
D. “用长分别为 、12cm、 的三条线段可以围成三角形” 这一事件是不可能事件，符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义依次判断即可.
8．圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（ ）
A． cm B．10cm C．6cm D．5cm
【答案】A
【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为R，
根据题意得：2π·5=，
解得R=10，
圆锥的高==5；
故答案为：A.
【分析】 设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π 5=，然后解方程即可母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．
9．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字1、2、4随机摸出一个小球不放回其数字记为，再随机摸出另一个小球其数字记为，则满足关于的方程有两个不相等实数根的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：画树状图如下：
∵关于x的方程 x2+px+q=0有两不相等实数根，∴b2-4ac＞0，(即p2-4q＞0)，
共有6种等可能的结果，其中满足关于x的方程 x2+px+q=0， 有两不相等实数根(即p2-4q＞0 )的结果有（4，1）与（4，2）2种，
满足关于 的方程 有两不相等实数根的概率为 ，
故答案为：A.
【分析】根据题意画出树状图，由图知共有6种等可能的结果，其中满足关于x的方程x2+px+q=0， 有两不相等实数根(即p2-4q＞0 )的结果有2种，从而根据概率公式即可算出答案.
10．如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC，OC交于点D，E.设∠A＝α，∠C＝β（ ）
A．若α+β＝70°，则 20°
B．若α+β＝70°，则 40°
C．若α﹣β＝70°，则 20°
D．若α﹣β＝70°，则 40°
【答案】B
【解析】【解答】解：连接BE，设 的度数为θ，
则∠EBD＝ ，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
∵∠A＝α，
∴∠AEB＝90﹣α，
∵∠C＝β，∠AEB＝∠C+∠EBC＝β+ ，
∴90°﹣α＝β+ ，
解得：θ＝180°﹣2（α+β），
即 的度数为180°﹣2（α+β），
A、当α+β＝70°时， 的度数是180°﹣140°＝40°，故本选项错误；
B、当α+β＝70°时， 的度数是180°﹣140°＝40°，故本选项正确；
C、当α﹣β＝70°时，即α＝70°+β， 的度数是180°﹣2（70°+β+β）＝40°﹣4β，故本选项错误；
D、当α﹣β＝70°时，即α＝70°+β， 的度数是40°﹣4β，故本选项错误；
故答案为：B.
【分析】连接BE，设 的度数为θ，则∠EBD＝ ，由圆周角定理可得∠ABE＝90°，然后表示出∠AEB，由外角的性质表示出∠AEB，据此可得到θ，进而判断各选项的正误.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．正九边形的中心角等于 度．
【答案】40
【解析】【解答】解：正九边形的中心角等于：．
故答案是：．
【分析】根据正多边形性质即可求出答案.
12．如图， 是 的内接正六边形的一边，点B在 上，且 是 的内接正十边形的一边，若 是 的内接正n边形的一边，则 .
【答案】15
【解析】【解答】解：∵ 是 的内接正六边形的一边， 是 的内接正十边形的一边，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的内接正n边形的一边，
∴ ；
故答案为：15.
【分析】根据中心角的度数＝360°÷边数，分别求出∠AOB，∠BOC的度数，则∠AOC＝24°，则边数n＝360°÷中心角．
13．下列命题中，是真命题的是 .(填序号)
①周长相等的两个圆是等圆；②若圆上两点将圆分成一条劣弧和一条优弧，则优弧一定比劣弧长；③一个圆有且只有一条最长的弦；④半径是弦；⑤半径相等的两个半圆是相等的弧.
【答案】①②⑤
【解析】【解答】解：①周长相等的两个圆，半径相等，因此是等圆，正确；
②圆上两点将圆分成劣弧和优弧，优弧长度必然大于劣弧(因劣弧小于半圆，优弧大于半圆)，正确；
③圆的最长弦是直径，但直径有无数条(所有直径长度相等)，因此“有且只有一条”错误，错误；
④半径是线段，而弦是连接圆上两点的线段，半径不构成弦，错误；
⑤半径相等的两个半圆，若半圆的弧长相等(均为半圆周长)，则它们是相等的弧，正确；
故答案为：①②⑤ .
【分析】根据等弧、优弧、劣弧、等圆、直径和弦的定义进行分析.
14．如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为 cm2（结果保留π）
【答案】20π
【解析】【解答】解：设AB=x，则DE=12-x，
根据题意，得
解得x=8．
底面半径为
圆锥的表面积为
故答案为：20π
【分析】求出圆锥底面半径和扇形ABF的半径，再根据圆锥表面积的计算方法求出底面积、侧面积即可。
15．如图， 是圆 的直径， 与 交于点 ．如果 ，那么 的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠AOD＝60°，OD⊥AC，AE＝CE＝ AC＝ ，
∴∠A＝30°，
∴OE＝AE tan30°＝ × ＝ ，
∴OA＝OD＝2OE＝ ，
∴DE＝OD OE＝ ＝ ．
故答案为： ．
【分析】先求出∠A＝30°，再利用锐角三角函数求出OE＝ ，最后计算求解即可。
16．如图，正方形 的边长为 ，点P在 上，连接 ，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：设∠APB=x，∠DPC=y，
∴∠BPC=180°-∠APB -∠DPC=180°-（x+y），
∵当x＞0，y＞0时， ，
∴ ，即： ，当且仅当x=y时， ，
∴当x=y时，x+y有最小值，此时，∠BPC=180°-（x+y）有最大值，即 有最大值.
∵在正方形 中，∠A=∠D，AB=CD，当∠APB=∠DPC时，
∴ APB DPC（AAS），
∴AP=DP=2，
∴PB=PC= ，
过点B作BE⊥PC于点E，
∵ ，
∴BE= ，
∴ = .
故答案是： .
【分析】先证明当AP=DP=2时， 有最大值，过点B作BE⊥PC于点E，根据勾股定理求出PB=PC= ，根据三角形的面积法，求出BE的值，进而即可得到答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．月日被定为“国际数学日”，某校数学兴趣小组为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图．
（1） ， ，补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为 ；
（3）测试结束后，九年级一班从本班获得优秀（测试成绩分）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两名宣讲数学知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
【答案】（1），，
补全频数分布直方图如图所示，
（2）；
（3）解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有：甲乙、乙甲，共种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．
【解析】【解答】解：（1），
，
∴，
故答案为：；；
测试成绩为（含）的人数为（人），
（2）在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为，
故答案为：；
【分析】（）用频数分布直方图中的频数除以扇形统计图中的百分比可得的值；用频数分布直方图中的频数除以再乘以可得，即可得的值；求出测试成绩为（含100）的人数，补全频数分布直方图即可．
（）用乘以“”的人数所占的百分比，即可得出答案；
（）画树状图，得出所有等可能的结果数，求出恰好抽到甲、乙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案；
18．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD 到点C，使DC=BD，连结AC 交⊙O于点 F.
（1）AB与AC 的大小有什么关系 为什么
（2） 若∠BAC=60°，AB=4， 求DF 的长.
【答案】（1）解：AB=AC，理由如下
连接AD，如图
∵ AB是⊙O的直径
∴
∴
又∵AD=AD，BD=CD
∴
∴AB=AC
（2）解：连接BF，如图
由(1)可知是等腰三角形
∵ ∠BAC=60°
∴是等边三角形
∴AC=BC=BA=4
∵AB是⊙O的直径
∴
∴点F是AC的中点
又∵点D是BC的中点
∴DF是的中位线
∴
【解析】【分析】(1)易证，从而由SAS判定证明，于是对应边AB=AC；
(2)易知是等边三角形，利用可证点F是AC的中点，从而可知DF是的中位线，由中位线定理可求。
19． 4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品.
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测. 请用列表法或画树状图的方法，求两次抽到的都是合格品的概率；(解答时可用A表示1件不合格品，用B、C、D分别表示3件合格品)
（2）在这4件产品中加入若干件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出大约加入多少件合格品
【答案】（1）（1）画出树状图.
由树状图可知，共有12种等可能的情况，抽到的都是合格品的情况有6种，
由此可得P(抽到的都是合格品)==.
（2）设加入x件合格品，
∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
根据题意得=0.95，解得x=16.
经检验，x=16是原分式方程的根.
答：大约加入16件合格品.
【解析】【分析】本题考查概率的求法，用频率估计概率.
（1）先利用树状图表示出所有可能出现的情况，找出抽到的都是合格品的情况，再利用古典型概率的计算公式进行计算可求出答案；
（2）设加入x件合格品，根据频率估计出抽到合格品的概率为：抽到合格品的概率等于0.95，再利用概率公式列出关于x的方程：=0.95，解方程可求出x的值，再进行检验，进而可求出答案.
20．在直角坐标系中，函数y=（k>0）与函数y=2x的图象交于两个不同的点A，B.点A的横坐标为2.
（1）求k的值和点B的坐标.
（2）若函数y=2x的图象向下平移m（m>0）个单位后经过点C（3，1），与y轴交于点D.
①求m的值.
②求△ABD的面积.
【答案】（1）解：∵函数y=（k>0）与函数y=2x的图象交于两个不同的点A，B.点A的横坐标为2
将x=2代入函数y=2x可得：y=2×2=4
∴A(2，4)
∴k=2×4=8
根据反比例函数与正比例函数的对称性可得：
点B的坐标为（-2，-4）
（2）解：①将函数y=2x的图象向下平移m个单位可得：y=2x-m
∵图象经过点C（3，1）
∴2×3-m=1，解得：m=5
②如图，
令x=0，则y=-5
∴D(0，5)
∴
【解析】【分析】（1）将x=2代入函数 y=2x 可得y=4，则A(2，4)，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式可得k=8，再根据关于原点对称的点的坐标特征可得点B坐标.
（2）①根据函数图象平移规律可得将函数y=2x的图象向下平移m个单位可得：y=2x-m，再根据待定系数法将点C坐标代入函数图象即可求出答案.
②根据y轴上过点的坐标特征可得D(0，5)，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
21．某中学举行了迎国庆中华传统文化节活动．本次文化节共有五个活动：A-书法比赛；B-国画竞技；C-诗歌朗诵；D-汉字大赛；E-古典乐器演奏．活动结束后，某班数学兴趣小组开展了“我最喜爱的活动”的抽样调查（每人只选一项），根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
“我最喜欢的活动”条形统计图 “我最喜欢的活动”扇形统计图
（1）此次随机抽取的初三学生共________人，________，并补全条形统计图；
（2）若该校共有3000名学生，请估计选D活动的学生人数；
（3）初三年级准备在五名优秀的书法比赛选手中任意选择两人参加学校的最终决赛，这五名选手中有三名男生和两名女生，用树状图或列表法求选出的两名选手正好是一男一女的概率是多少．
【答案】（1）100，10，
条形图如下：
（2）解：（人）
答：估计选D活动的学生人数有600人．
（3）解：树状图如下：
有20种可能等结果，其中符合条件的有12种，
选出的两名选手正好是一男一女的概率是：．
【解析】【解答】解：（1）根据扇形统计图可知，选A的学生所占百分比为：，
则抽取的学生总数为：人，
选择E的学生所占百分比为：，
选择B的学生人数为：人，
故答案为100，10；
【分析】（1）计算出选A的学生所占百分比，再用选A的学生的人数除以所占百分比即可得到抽取的学生总数，再求出选择E的学生所占百分比，求出选择B的学生人数，补全统计图即可；
（2）利用总人数乘以选D活动的学生人数的百分比即可；
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出选出的两名选手正好是一男一女的结果，再根据概率公式即可求出答案.
22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若AB=8，tanB= ，求线段CF、PC的长．
【答案】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O直径，
∴∠BCA=90°，
∵OF∥BC，
∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，
∴OF⊥AC，
∵OC=OA，
∴∠B=∠1，
∴∠3=∠2，
在△OAF和△OCF中，
，
∴△OAF≌△OCF（SAS），
∴∠OAF=∠OCF，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCF=90°，
∴∠OAF=90°，
∴FA⊥OA，
∴AF是⊙O的切线；
（2）∵ ，
∴ ，
设AC=3x，则BC=4x，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=BC2+AC2，
即82=（4x）2+（3x）2，
解得 ，
∴ ， .
∵OF∥BC，
∴ ，
∴ ，
∵AO=4，
∴AF=3，
∴CF=AF=3.
在Rt△AOF中，AF=3，AO=4，
∴FO=5.
∵OF∥BC，
∴△PCB∽△PFO，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ .
【解析】【分析】（1）
连接OC，如图所示，利用直径所对的圆周角是直角，可得∠BCA=90°，根据平行线的性质，可得∠1=∠2，∠B=∠3 ，继而可得
∠3=∠2.根据“SAS”可证△OAF≌△OCF，可得出∠OAF=∠OCF =90°，即证
AF是⊙O的切线；
（2）
根据三角函数定义
设AC=3x，则BC=4x .
在Rt△ABC中，由勾股定理 可求出AC、BC的长，由
，可得AF=3，即得CF=AF=3.在Rt△AOF中 ，由勾股定理可得FO=5.根据平行线可证△PCB∽△PFO，利用相似三角形对应边成比例，可求出PF的长，由PC=PF+FC求出即可.
23．操作与探究
我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件．
（1）分别测量图1、2、3各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现．
（2）如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图4、5的两个图说明其中的道理．（提示：考虑∠B+∠D与180°之间的关系）
由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．
【答案】解：（1）对角互补（对角之和等于180°）；
（2）图1中，∠B+∠D＜180°．
图2中，∠B+∠D＞180°．
过四边形的四个顶点能作一个圆的条件是：对角互补（对角之和等于180°）．
【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补可知这些四边形的对角互补．
24．小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．若和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求出小明和小亮各自获胜的概率；
（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由．
【答案】（1）解：根据题意，列出表格，如下：
总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，和为奇数有4种，和为偶数有种，
所以；
（2）解：这个游戏规则对双方不公平，理由如下：由（1）得两数之和为奇数的概率为，两数之和为偶数的概率为，
∵，
所以这个游戏规则对双方不公平．
【解析】【分析】（1）列表得到所有等可能结果，然后得到符合条件的结果数，再根据概率公式求出两人获胜的概率；
（2）比较两人获胜的概率，即可得出游戏的公平性．
（1）解：根据题意，列出表格，如下：
总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，和为奇数有4种，和为偶数有种，
所以；
（2）解：这个游戏规则对双方不公平，理由如下：
由（1）得两数之和为奇数的概率为，两数之和为偶数的概率为，
∵，
所以这个游戏规则对双方不公平．
25．若二次函数与的图象关于点成中心对称图形，我们称与互为“中心对称”函数．
（1）求二次函数的“中心对称”函数的解析式；
（2）若二次函数的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式．
（3）二次函数的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若，且四边形为矩形，求的值．
【答案】（1）解：，则该函数的顶点坐标为：，
则该顶点关于的对称点为，
则“中心对称”函数的解析式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，则顶点坐标为：，
则“中心对称”函数的顶点坐标为：，
则“中心对称”函数的表达式为：，
将代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
当时，
即，
则抛物线在时，取得最大值为2，
即，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（3）解： 如下图：
设点、、的横坐标分别为：设左侧抛物线的对称轴交x轴于点H，
则点的坐标为：，，点H的坐标为：，
根据点关于中心对称，点的横坐标，
由点、的坐标得，，
则，
若，
即，
整理得：，
当四边形为矩形时，则，
，
，
则，
而，
则，
整理得：，
将代入上式得：
解得：（舍去），
即．
【解析】【分析】（1）由“中心对称”函数的定义解题即可；
（2）根据“中心对称”函数的定义求出，即可得到抛物线的表达式为，根据最值求出a的值解题即可；
（3）先求出点的坐标为：，，点H的坐标为：，然后根据AB=2BP得到，再根据正切得到，进而得到关于的方程解题即可．
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