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上海市2025—2026学年八年级上册期末临考实战演练卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．2025年春节假期第四天，杭州西湖景区接待客流量约为580000人次，580000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3． 如图， Rt△ABC中， ∠C=90°， 用尺规作图法作出射线AE， AE交BC于点D， AD=25，AC=24， P为AB 上一动点， 则PD的最小值为( )
A．7 B． C． D．8
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．把写成为整数的形式，则为( )
A． B． C． D．
6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
7．如图，在中，，是边上的高，若，则（ ）
A．2 B．2.4 C．3 D．
8． 如图， AD⊥BD， AC⊥BC， E为AB中点， ∠ACD+∠BAC=75°， 则∠DEC度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
9．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在等腰△ 中， ， ，O是△ 外一点，O到三边的垂线段分别为 ， ， ，且 ，则 的长度为（ ）
A．5 B．6 C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若二次根式 有意义，则x的取值范围是 ．
12．沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=12cm，AC=9cm，那么BD的长是
14．如图，是的角平分线，、分别是和的高，则下列结论：
①垂直平分；②；③；④为的中点．其中一定正确的是 （填序号）
15．如图，在四边形 中， ， ， ， 、 分别是对角线 、 的中点，则 .
16．要在一个长方体中放入一细直木条，现知长方体的长为2，宽为，高为，则放入木盒的细木条最大长度为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）
（2）
18．某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克．
（1）当定价为13元/千克时，此时可以卖出 千克，利润为 元．
（2）若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，单价应定为多少？
19．（1）如图，平面直角坐标系中，等边的顶点是原点，，求点的坐标；
（2）如果点在轴上，且的面积是的一半，那么的坐标是______．
20．（1）当a=时，求代数式的值；
（2）先化简，再求值：，其中x=，y=．
21．下面是某平台2023年国庆期间河北热门景点前两名，在某个时间段内，共售出a张北戴河门票和b张避暑山庄门票．
（1）在该时间段内，该平台这两种门票共售出多少元？
（2）当，时，该平台这两种门票共售出多少元？（用科学记数法表示）
22．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉之间的距离AB的长为250m.现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m.
（1）求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长；
（2）试说明∠BMA=90°.
23．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当时，设方程的两根分别为，，求的值．
24．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米.
（1）花圃的面积为 米2（用含a的式子表示）；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元？
25．如图，在直角三角形中，，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线运动，点Q沿边的延长线运动，与直线相交于点D．设P点运动时间为t，的面积为S．
（1）填空： ； ；
（2）当点P运动几秒时，和面积相等？
（3）作于点E，当点P，Q运动时，线段的长度是否改变？若不变，请直接写出线段的长度；若改变，请说明理由．
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上海市2025—2026学年八年级上册期末临考实战演练卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．2025年春节假期第四天，杭州西湖景区接待客流量约为580000人次，580000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：用科学记数法表示较大的数时，可表示成a（1≤a＜10）与10的幂相乘的积的形式.
A、a=0.58＜1，不符合科学记数法的表达要求，A错误；
D、a=58＞10，不符合科学记数法的表达要求，D错误；
B、与原来的数不相符，B错误.
故答案为：C.
【分析】使用科学记数法表示较大的数，应按照要求表示为a（1≤a＜10）与10的幂相乘的积的形式。用科学记数法表示后，也应与原数进行对照，看看是否与原数相等。
2．关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】 一元二次方程化为一般形式得，
不含一次项，
且
解得m=-3，
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的定义以及化为一般形式后不含一次项，得到关于m的方程与不等式，解方程和不等式即可求解.
3． 如图， Rt△ABC中， ∠C=90°， 用尺规作图法作出射线AE， AE交BC于点D， AD=25，AC=24， P为AB 上一动点， 则PD的最小值为( )
A．7 B． C． D．8
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ∠C=90°， AD=25，AC=24，
∴，
当 时，根据垂线段最短可知，此时 DP 的值最小.
由作图可知：AE平分
∴PD的最小值为7，
故答案为：A .
【分析】根据勾股定理求出CD的长，然后根据当 时，DP 的值最小.然后根据角平分线的性质解答即可.
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、 ，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、， 故符合题意；
D、2与不是同类项，不能合并，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】二次根式根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数完全相同的二次根式象合并同类项一样进行合并即可，但不是同类二次根式的一定不能合并，据此逐项判断得出答案.
5．把写成为整数的形式，则为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】 解：0.00258写成2.58×10-3，
则n=-3，
故答案为：B．
【分析】 将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案。
6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
【答案】D
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（2-a）x2-4x+2=0有两个不相等的实数根，
∴42-8（2-a）＞0，且a-2≠0，
即a＞0且a≠2，
解关于y的分式方程 ，可得且y≠2，
∵y为非负整数，
∴a=8，6，
所以符合条件的所有整数的和为 ：8+6=14．
故答案为：D.
【分析】 先根据一元二次方程有两个不相等的实数根，求得a的取值范围，再解分式方程得到，最后结合解为非负整数求解．
7．如图，在中，，是边上的高，若，则（ ）
A．2 B．2.4 C．3 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，
∴由勾股定理可得：BC=，
∵S△ABC=×AC×BC=×AB×CD，
∴CD=，
故答案为：B.
【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再利用等面积法求出CD的长即可.
8． 如图， AD⊥BD， AC⊥BC， E为AB中点， ∠ACD+∠BAC=75°， 则∠DEC度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AD⊥BD， AC⊥BC，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵ E为AB中点，
∴∠BAC=∠ECA，
∵∠ACD+∠BAC=75°，
∴∠DCE=∠ACD+∠ECA=∠ACD+∠BAC=75°，
∵DE=CE，
∴∠CDE =∠DCE =75°，
∴∠DEC=180°-∠CDE-∠DCE=180°-75°-75°= 30°，
故答案为：A.
【分析】由直角三角形斜边上的中线的性质得DE=CE= 所以∠BAC=∠ECA， 又∠ACD+∠BAC=75°， 则∠DCE=∠ACD+∠ECA=∠ACD+∠BAC=75°， 然后通过等边对等角得∠CDE=∠DCE=75°， 最后通过三角形内角和定理即可求解.
9．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A.，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B.，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C.，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D.，此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质即可求解.
10．如图，在等腰△ 中， ， ，O是△ 外一点，O到三边的垂线段分别为 ， ， ，且 ，则 的长度为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：连接OA，OB，OC，
由OD：OE：OF=1：4：4，设OD=x，OE=4x，OF=4x，
∵OE=OF，
∴AO为∠BAC的角平分线，
又∵AB=AC，
∴AO⊥BC，
∴AD为△ABC的中线，
∴A、D、O三点共线，
∴BD=3，
在Rt△ABD中，
AD= =4，
∴
∴12=10x+10x 3x，
∴x=
∴AO=4+ = .
故答案为：D.
【分析】由OD：OE：OF=1：4：4，设OD=x，OE=4x，OF=4x，根据OE=OF，得到AO为∠BAC的角平分线，再由三线合一得AO⊥BC，由勾股定理得AD=4，再根据 ，得到方程求解即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若二次根式 有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≤2
【解析】【解答】解：由题意得，2﹣x≥0，
解得x≤2．
故答案为：x≤2．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
12．沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，
∴根据勾股定理可知，长方形的对角线长：．
故答案为：．
【分析】先结合图象求出：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，再利用勾股定理求出长方形的对角线长即可。
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=12cm，AC=9cm，那么BD的长是
【答案】 cm
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，则∠AED= 90°，
由勾股定理得AB2=AC2+BC2 =92+122=152 ，∴AB=15 cm，
∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠EAD，
在△ACD和△AED中，
∴△ACD≌△AED( AAS)，
∴ CD= ED，AE=AC=9 cm，
∴BE=AB-AE=6 cm， ．
在Rt△BED中， BD2=DE2+BE2 ，即BD2=(12-BD)2+62，
∴BD= cm．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据勾股定理求出ab，证明△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得到CD= ED，AE=AC=9 cm，再根据勾股定理列方程解答即可。
14．如图，是的角平分线，、分别是和的高，则下列结论：
①垂直平分；②；③；④为的中点．其中一定正确的是 （填序号）
【答案】②③④
【解析】【解答】解：如果垂直平分，
则点O是的中点，
∵分别是和的高，
∴，，
∴，
∴，不符合题意；
∴①不正确；
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴③正确；
在和中，
，
∴，
∴，
∴为的中点，
∴④正确．
又∵，
∴是的中垂线，
∴，
∴②正确；
综上，正确的是：②③④．
故答案为：②③④．
【分析】根据角平分线的性质，三角形性质，全等三角形的判定定理及性质，中垂线的判定定理逐项求解即可求出答案.
15．如图，在四边形 中， ， ， ， 、 分别是对角线 、 的中点，则 .
【答案】2.5
【解析】【解答】解：连接 和
， ， ，
，
，点 是 的中点，
，
点 是 的中点，
， ，
在 中， .
故答案为：2.5.
【分析】连接AM、CM，由勾股定理求出BD，由直角三角形斜边上中线的性质可得AM=CM=BD=，由等腰三角形的性质可得MN⊥AC，AN=CN=AC=6，然后在Rt△AMN中，由勾股定理求解即可.
16．要在一个长方体中放入一细直木条，现知长方体的长为2，宽为，高为，则放入木盒的细木条最大长度为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：由题意可知FG=、EF=2、CG=，连接EG、CE，
在直角△EFG中，
EG=
在Rt△EGC中，EG=，CG=，
由勾股定理得CE==3，
故答案为：3．
【分析】根据题意构建直角三角形，直角边分别为木箱的高、底面的对角线，据此根据勾股定理求出木条的最大长度．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式
【解析】【分析】（1）先将各个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式.
（2）利用完全平方公式和平方差公式及二次根式的性质，先去括号，再合并即可.
18．某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克．
（1）当定价为13元/千克时，此时可以卖出 千克，利润为 元．
（2）若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，单价应定为多少？
【答案】（1）40；320
（2）解：该水果单价应定为元/千克，
由题意知， ，
解得．
为了让利于顾客，
答：单价应定为8元．
【解析】【解答】（1）解：当定价为13元/千克时，
此时可以卖出：千克，
利润为：元，
故答案为：40，320；
【分析】
(1)根据这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克即可求出当定价为13元/千克时每天可卖出的千克数，再根据总利润=每千克的利润x销售数量即可得出答案；解答即可；
(2)该水果单价应定为x元/千克，根据题意列出一元二次方程 ，计算可得 ，再结合为了让利于顾客，即可得出答案，解答即可.
19．（1）如图，平面直角坐标系中，等边的顶点是原点，，求点的坐标；
（2）如果点在轴上，且的面积是的一半，那么的坐标是______．
【答案】解：（1）如图，过点A作，垂足为E，
为等边三角形，，，
，，
在中，，
；
（2）或
【解析】【解答】解：（2）由（1）可知，
，
，
点在轴上，
，
，
当点D位于x轴上侧时，，
当点D位于x轴下侧时，，
故答案为：或．
【分析】（1）过点A作，垂足为E，根据等边三角形的性质可得出点OE和AE的长度，即可得出点A的坐标；
（2）由（1）知AE的长为，根据的面积是的一半， 可得出点D到x轴的距离等于，即点D到x轴的距离等于，即可得出点D的坐标为或。
20．（1）当a=时，求代数式的值；
（2）先化简，再求值：，其中x=，y=．
【答案】（1）解：
，
把代入得：原式=.
（2）解：原式=
当x=+1，y=时，
原式=
【解析】【分析】（1）由a的范围化简得：原式，把代入求解即可.
（2）利用分式的混合运算法则化简得：原式，再代数求值即可.
21．下面是某平台2023年国庆期间河北热门景点前两名，在某个时间段内，共售出a张北戴河门票和b张避暑山庄门票．
（1）在该时间段内，该平台这两种门票共售出多少元？
（2）当，时，该平台这两种门票共售出多少元？（用科学记数法表示）
【答案】（1）解：在该时间段内，该平台这两种门票共售出元；
（2）解：当，时，代入可知：
（元）．
【解析】【分析】
（1）根据列代数式的方法：收入=单价乘以票数，计算即可解答；
（2）根据所列的代数式，将字母的值代入计算即可解答．
（1）解：在该时间段内，该平台这两种门票共售出元；
（2）解：当，时，代入可知：
（元）．
22．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉之间的距离AB的长为250m.现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m.
（1）求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长；
（2）试说明∠BMA=90°.
【答案】（1）解：由题意可知MN⊥AB，
在Rt△MNB中，，
∴AN=AB-BN=250-90=160（m）.
在Rt△AMN中，，
∴供水点M到喷泉A需要铺设的管道长为200m
（2）证明：∵AB=250m，AM=200m，BM=150m，
∴
∴△ABM是直角三角形，
∴∠AMB=90°.
【解析】【分析】（1）根据题意得到MN⊥AB，进而根据勾股定理求出BN，从而得到AN，再根据勾股定理即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理得到则△ABM是直角三角形，从而即可求解。
23．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当时，设方程的两根分别为，，求的值．
【答案】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，
解得，
即k的取值范围为；
（2）解：当时，方程为，
解得，，
则．
【解析】【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，可知，解不等式求出k的取值范围即可；
（2）把代入方程，根据韦达公式可知，，再将转换成两根之和及两根之积的形式，代入即可求出．
（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
即k的取值范围为；
（2）解：当时，方程为，
解得，，
则．
24．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米.
（1）花圃的面积为 米2（用含a的式子表示）；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元？
【答案】(1)；解：（2）由已知可列式：，解以上式子可得：a1=5，a2=45（舍去），答：所以通道的宽为5米；（3）当a=10时，花圃面积为（60﹣2×10）×（40﹣2×10）=800（平方米）即此时花圃面积最少为800（平方米）．根据图象可设y1=mx，y2=kx+b，将点（1200，48000），（800，48000），（1200，62000）代入，则有1200m=48000，解得：m=40∴y1=40x且有， 解得：，∴y2=35x+20000．∵花圃面积为：（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400，∴通道面积为：2400﹣（4a2﹣200a+2400）=﹣4a2+200a∴35（4a2﹣200a+2400）+20000+40（﹣4a2+200a）=105920解得a1=2，a2=48（舍去）．答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元．
（1）
（2）解：由已知可列式：，
解以上式子可得：a1=5，a2=45（舍去），
答：所以通道的宽为5米；
（3）解：当a=10时，花圃面积为（60﹣2×10）×（40﹣2×10）=800（平方米）
即此时花圃面积最少为800（平方米）．
根据图象可设y1=mx，y2=kx+b，
将点（1200，48000），（800，48000），（1200，62000）代入，则有
1200m=48000，解得：m=40
∴y1=40x且有， 解得：，
∴y2=35x+20000．
∵花圃面积为：（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400，
∴通道面积为：2400﹣（4a2﹣200a+2400）=﹣4a2+200a
∴35（4a2﹣200a+2400）+20000+40（﹣4a2+200a）=105920
解得a1=2，a2=48（舍去）．
答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元．
【解析】【解答】解：(1)由图可知，花圃的面积为，
故答案为：；
【分析】（1）根据图形，求得花圃的长和宽，然后利用面积公式求解即可；
（2）根据题意可得，解方程即可；
（3）根据函数图象，得到、与x之间的函数关系式，根据题意，求得花圃面积和通道面积，列出方程求解即可．
25．如图，在直角三角形中，，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线运动，点Q沿边的延长线运动，与直线相交于点D．设P点运动时间为t，的面积为S．
（1）填空： ； ；
（2）当点P运动几秒时，和面积相等？
（3）作于点E，当点P，Q运动时，线段的长度是否改变？若不变，请直接写出线段的长度；若改变，请说明理由．
【答案】（1）t，或
（2），，
∴当和面积相等，则，
∴有以下两种情况：
①当时，则，
整理得：，
∵该方程根的判别式：，
∴该方程无解，
即此时不存在和面积相等；
②当时，则，
整理得：，
解得：，或（不合题意，舍去），
∴当点P运动秒时，和面积相等；
（3）线段的长度不改变，始终等于
【解析】【解答】解：（1）∵点点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以秒的相同速度做直线运动，运动时间为t，，
∴有以下两种情况：
①当时，点P在线端上，此时，；
②当时，点P在的延长线上，此时，，
综上所述：，或，
故答案为：t，或；
（3）当点P，Q运动时，线段的长度不改变，始终等于，理由如下：
∵在直角三角形中，，
∴，
由勾股定理得：，
过点Q作交的延长线于M，连接，，
则，
分两种情况讨论如下：
①当时，点P在线段上，如图1所示：
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
②当时，点P在的延长线上，如图2所示：
同理：，，
∴，，，
∴，
∴，
综上所述：当点P，Q运动时，线段的长度不改变，始终等于．
故答案为：线段的长度不改变，始终等于
【分析】
（1）依题意分两种情况：①当时，点P在线端上，此时，；②当时，点在的延长线上，此时，，综上所述即可得出答案，解答即可；
（2）根据，，得当和面积相等，则
，分两种情况进行讨论：①当时，则，②当时，则，由此得出的值即可解答；
（3）依题意得，，过点Q作交的延长线于M，连接，，分两种情况讨论如下：①当时，点P在线段上，先证明，得，，则，，再证明，得；②当时，点在的延长线上，同理可得，综上所述即可得出答案．
（1）解：∵点点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以秒的相同速度做直线运动，运动时间为t，，
∴有以下两种情况：
①当时，点P在线端上，此时，；
②当时，点P在的延长线上，此时，，
综上所述：，或，
故答案为：t，或；
（2），，
∴当和面积相等，则，
∴有以下两种情况：
①当时，则，
整理得：，
∵该方程根的判别式：，
∴该方程无解，
即此时不存在和面积相等；
②当时，则，
整理得：，
解得：，或（不合题意，舍去），
∴当点P运动秒时，和面积相等；
（3）当点P，Q运动时，线段的长度不改变，始终等于，理由如下：
∵在直角三角形中，，
∴，
由勾股定理得：，
过点Q作交的延长线于M，连接，，
则，
分两种情况讨论如下：
①当时，点P在线段上，如图1所示：
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
②当时，点P在的延长线上，如图2所示：
同理：，，
∴，，，
∴，
∴，
综上所述：当点P，Q运动时，线段的长度不改变，始终等于．
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