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上海市2025—2026学年九年级上册期末模拟真题汇编卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在如图所示的人眼成像的示意图中，可能没有蕴含的初中数学知识是（ ）
A．位似图形 B．相似三角形的判定
C．旋转 D．平行线的性质
2． 的值等于 （ ）
A．1 B． C． D．2
3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，若AD=4，BD=8，则CD的长为（ ）
A．
B．4
C．
D．
4．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为（ ）
A． B．8 C．10 D．16
5．如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠BCE= ．设AB=x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为
A． B．
C． D．
6．如图，面积为36的正方形 中，有一个小正方形 ，其中 、 、 分别在 ， ， 上，若 ，则小正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
7．凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点 到物体 的距离与到凸透镜的中心 的距离之比为 ，若物体 ，则其像 的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是（ ）
A． B． C． D．
9．在凡尔纳的小说《神秘岛》中，有一段工程师和赫伯特一起测量瞭望塔的高度的情节．工程师先做了一个悬垂，其实就是在绳子的一端栓了一块石头，工程师让赫伯特拿着，然后拿起一根木杆，长度大概为英尺，两个人一前一后向瞭望塔走去，两个人来到距离瞭望塔英尺的一个地方，工程师把木杆的一头插到土里，插下去的深度大概是英尺，接着，工程师从赫伯特手里结果悬垂，对木杆进行校正，知道木杆完全竖直，之后对木杆插到土里的部分进行固定，固定好木杆后，工程师朝着远离木杆的方向走了英尺，仰面平躺在了地面上（眼睛离木杆英尺），并且让自己的眼睛能够正好通过木杆的尖端看到瞭望塔的最顶端，工程师在这个点上做了一个标记，如图所示，请你求出此时瞭望塔的高度是（ ）
A．英尺 B．英尺 C．英尺 D．英尺
10．如图，在正方形中，点E在边上，点H在边上，，交于点F，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④当E是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②①⑤
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知： （ ），则 ＝ .
12．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，A（-2，-1），B（-1，-1），若抛物线 与线段AB有交点，则 的取值范围是 .
14．如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限部分，若B点的横坐标与纵坐标之和等于6，则正方形OABC的面积为 ．
15．如图，已知AD、BC相交于点O，AB∥CD∥EF，如果CE=2，EB=4，FD=1.5，那么AD= ．
16．如图，四边形 是菱形，点 分别在边 上，其中 是对角线 上的动点，若 的最小值为 ，则该菱形的面积为
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：．
18．红旗小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图1)，其侧面的示意图如图2所示，测得主立柱的一段AB=1.2m，支柱DE的底端D到A的距离.AD=0.6m，顶棚F处到支柱底端D的水平距离.DH=1.4m，在B处分别测得E处的仰角为5 ， F 处的仰角为26.5°.
（1） 求支柱DE 的高；
（2）求顶棚F处离地面的高度FH .(参考数据： ， 结果精确到0.1m)
19．如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，）
（1）求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明．
20．如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，的长为米，的长为米．
（1）请求出的长？
（2）按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）．
21． 如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿A小区的北偏东60°方向往前铺设．测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的P小区位于北偏东30°方向，测绘员从A处出发，沿主输气管道方向前行2000米
到达B处，此时测得P小区位于北偏西75°方向．
（1） 度， 度；
（2）现要在主输气管道AB上选择一个支管道连接点Q，使从Q处到P小区铺设的管道最短，求A小区与支管道连接点Q的距离．（结果保留根号）
22．如图，A，B，C，D分别是某公园的四个景点，点B在点A的正东方向上，点D在点A的正北方向上，且在点C 的北偏西60°方向上，点C 在点A 的北偏东30°方向上，且在点 B 的北偏西15°方向上，AB=2千米(参考数据：
（1） 求 BC的长度.
（2）甲、乙两人从景点 D 出发去景点B，甲选择的路线为 D→C→B，乙选择的路线为D→A→B.请通过计算说明谁选择的路线较近.
23．如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知斜屋面的倾斜角为，长度为2米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架水平管长米，为铁架的垂直管．（参考值：）
（1）求的长度（结果精确到米）；
（2）求铁架垂直管的长度（结果精确到米）．
24．如图1~图3，在中，，，．P为边BC上一点，，连接AP，并作交线段AD或射线DC于点Q（Q在AP右侧）．
（1）如图1，若，求证：，并求此时x的值；
（2）如图2，若点Q恰好落在点D上，琪琪认为：“此时是等腰三角形，并且”，请通过计算x的值，说明琪琪的说法是否正确；
（3）当点P位于如图3所示的位置时，若，求x的值；
（4）用含x的式子表示QD长，直接写出结果．
25． 如图所示，在菱形ABCD中，AB=10cm，∠ABC=60°，E为对角线AC上一动点，以 DE 为一边作∠DEF=60°，EF 交射线BC 于点F，连接BE，DF.点E 从点C 出发，沿CA 方向以每秒2cm的速度运动至点A 处停止.设△BEF 的面积为ycm2，点E 的运动时间为x 秒.
（1）求证：BE=EF.
（2）求y与x的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围.
（3）求x 为何值时，线段 DF 的长度最短.
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上海市2025—2026学年九年级上册期末模拟真题汇编卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在如图所示的人眼成像的示意图中，可能没有蕴含的初中数学知识是（ ）
A．位似图形 B．相似三角形的判定
C．旋转 D．平行线的性质
【答案】C
【解析】【解答】解：两棵树是相似图形，而且对应点的连线相交一点，对应边互相平行，
这两个图形是位似图形，
本题蕴含的初中数学知识有位似图形，相似三角形的判定，平行线的性质，
故答案为：C．
【分析】根据位似图形的定义即可判断.
2． 的值等于 （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：
sin 45°+．
故答案为：B.
【分析】本题考查特殊角的三角函数值.根据特殊角三角函数值可得：，再代入式子进行计算可求出答案.
3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，若AD=4，BD=8，则CD的长为（ ）
A．
B．4
C．
D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2=AD·BD=4×8=32，
∴CD=
.
故答案为：A.
【分析】先证出△ACD∽△CBD，得出
，从而得出CD2=AD·BD=32，即可得出答案.
4．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为（ ）
A． B．8 C．10 D．16
【答案】C
【解析】【解答】因为EF∥AB，DE：EA = 2：3，EF = 4，所以根据相似三角形的性质得AB=10，根据平行四边形的性质得AB=CD=10，故选C
【分析】根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△DEF∽△DAB，于是可得比例式求得AB的值，再根据平行四边形的性质得CD=AB可求解.
5．如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠BCE= ．设AB=x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】设AB＝x，则AE＝EB＝ x，由折叠，FE＝EB＝ x，则∠AFB＝90°，由tan∠BCE＝ ，∴BC＝ x，EC＝ x，∵F、B关于EC对称，∴∠FBA＝∠BCE，∴△AFB∽△EBC，∴ ，∴y＝ ，
故答案为：D.
【分析】设AB＝x，根据折叠，可证明∠AFB=90°，由tan∠BCE= ，分别表示EB、BC、CE，进而证明△AFB∽△EBC，根据相似三角形面积之比等于相似比平方，表示△ABF的面积.
6．如图，面积为36的正方形 中，有一个小正方形 ，其中 、 、 分别在 ， ， 上，若 ，则小正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为36
∴BC=CD=6 ，
∵BF=2 ，
∴CF=4 ，
∵在正方形ABCD和EFGH中 ∠B=∠C=∠EFG=90°，
∴∠BEF+∠BFE=90°，∠CFD+∠BFE=90° ，
∴∠BEF=∠CFD，
∴ ，
∴
∴
∴BE= ，
∴在Rt△BEF中，由勾股定理得：
∴小正方形的边长为 .
故答案为：A.
【分析】先根据正方形ABCD的面积为36，求得大正方形的边长；利用“一线三等角”证得∠BEF=∠CFD，进而得 ，利用相似三角形的性质求得BE；再利用勾股定理求得正方形EFGH的边长即可.
7．凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点 到物体 的距离与到凸透镜的中心 的距离之比为 ，若物体 ，则其像 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】连接，即可得到为矩形，进而得到，然后证明，根据对应边成比例解题即可．
8．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】由翻转变换的性质可知，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，
∴∠EFC+∠AFB=90°，
∵∠B=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠EFC=∠BAF，
cos∠BAF== ，
∴cos∠EFC= ，
故答案为：A.
【分析】由翻转变换的性质可知，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，得出∠EFC+∠AFB=90°，推出∠EFC=∠BAF，再利用余弦定理即可得解。
9．在凡尔纳的小说《神秘岛》中，有一段工程师和赫伯特一起测量瞭望塔的高度的情节．工程师先做了一个悬垂，其实就是在绳子的一端栓了一块石头，工程师让赫伯特拿着，然后拿起一根木杆，长度大概为英尺，两个人一前一后向瞭望塔走去，两个人来到距离瞭望塔英尺的一个地方，工程师把木杆的一头插到土里，插下去的深度大概是英尺，接着，工程师从赫伯特手里结果悬垂，对木杆进行校正，知道木杆完全竖直，之后对木杆插到土里的部分进行固定，固定好木杆后，工程师朝着远离木杆的方向走了英尺，仰面平躺在了地面上（眼睛离木杆英尺），并且让自己的眼睛能够正好通过木杆的尖端看到瞭望塔的最顶端，工程师在这个点上做了一个标记，如图所示，请你求出此时瞭望塔的高度是（ ）
A．英尺 B．英尺 C．英尺 D．英尺
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可作图如下：为瞭望塔，为木杆，工程师在点，
则有，，
∴，
∵木杆有英尺插入了土中，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
即瞭望塔高度为英尺，
故答案为：B．
【分析】根据题意求出，的长，然后利用正切的定义解题即可．
10．如图，在正方形中，点E在边上，点H在边上，，交于点F，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④当E是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②①⑤
【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠HDC=∠ECB=90°，BC=CD，
∴∠BEC+∠EBC=90°.
∵∠BEC+∠ECF=90°，
∴∠EBC=∠HCD.
∵∠EBC=∠HCD，BC=CD，∠ECB=∠HDC=90°，
∴△EBC≌△HCD，
∴CH=BE，故①正确；
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADB=∠CDB=45°，
∴点G到AD的距离与CD的距离相等.
∵EC=HD，
∴S△GCE=S△GDH，故②正确；
设正方形ABCD的边长为4a，当点E是CD的中点时，BC=CD=4a，EC=HD=2a，则BE=a，CH=a，
∵∠HDG=∠CBG=45°，∠HGD=∠CGB，
∴△HGD∽△CGB，
∴，
∴GC=CH=a.
∵∠BEC=∠CEF，∠ECB=∠EFC=90°，
∴△ECB∽△EFC，
∴，
∴，
∴EF=a，
∴CF=a，
∴GF=GC-CF=a，
∴GE=a，
∴，故③正确；
当EC=2DE时，∵DH=CE，DC=BC，
∴.
∵△HGD∽△CGB，
∴.
∵△GDH中DH边上的高与△DGC中CD边上的高相等，，
∴.
设S△HGD=4b，则S△CGB=9b，S△DGC=6b，
∴S△BCD=15b，
∴S正方形ABCD=2S△BCD=30b.
∵EC=2DE，
∴，
∴S△DEG=2b，
∴S四边形DEGH=2b+4b=6b，
∴S正方形ABCD=5S四边形DEGH，故④正确.
故答案为：A.
【分析】由正方形的性质可得∠HDC=∠ECB=90°，BC=CD，根据同角的余角相等可得∠EBC=∠HCD，利用ASA证明△EBC≌△HCD，据此判断①；由正方形的性质得∠ADB=∠CDB=45°，则点G到AD的距离与CD的距离相等，借助三角形的面积公式可判断②；设正方形ABCD的边长为4a，当点E是CD的中点时，BC=CD=4a，EC=HD=2a，则BE=a，CH=a，由两角对应相等的两个三角形相似可得△HGD∽△CGB，△ECB∽△EFC，由相似三角形的性质可得GC、EF，由勾股定理可得CF，然后表示出GF、GE，据此判断③；当EC=2DE时，，由相似三角形的性质可得，根据三角形的面积公式可得，设S△HGD=4b，则S△CGB=9b，S△DGC=6b，S△BCD=15b，S正方形ABCD=2S△BCD=30b，S△DEG=2b，进而判断④.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知： （ ），则 ＝ .
【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴ =
故答案为： .
【分析】根据比例的性质，内项乘积等于外项乘积，即可求解.
12．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．
【答案】（9，0）
【解析】【解答】解：连接BB1，A1A，易得交点为（9，0）．
故答案为：（9，0）．
【分析】连接任意两对对应点，看连线的交点为那一点即为位似中心．
13．如图，在平面直角坐标系中，A（-2，-1），B（-1，-1），若抛物线 与线段AB有交点，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】【解答】解：把A（-2，-1）代入y=ax2得a= ；
把B（-1，-1）代入y=ax2得a=-1，
所以a的取值范围为
故答案为：
【分析】分别把A、B点的坐标，代入y=ax2得出A的值，根据二次函数的性质得出A的取值范围。
14．如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限部分，若B点的横坐标与纵坐标之和等于6，则正方形OABC的面积为 ．
【答案】10
【解析】【解答】解：∵正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限部分，
∴可设B点坐标为（x，x2），且x＞0．
∵B点的横坐标与纵坐标之和等于6，
∴x+x2＝6，
解得x1＝2，x2＝﹣3（不合题意舍去），
∴B（2，4），
∴OB2＝22+42＝20，
∴正方形OABC的面积＝ OB AC＝ OB2＝10．
故答案为10．
【分析】设B点坐标为（x，x2），代入抛物线解析式得到关于x的一元二次方程求解，结合B在第一象限，求出B点坐标，则可求出OB长，最后根据正方形面积公式计算即可.
15．如图，已知AD、BC相交于点O，AB∥CD∥EF，如果CE=2，EB=4，FD=1.5，那么AD= ．
【答案】4.5
【解析】【解答】解：∵AB∥EF，
∴，
又EF∥CD，
∴，
∴，
即 ，
解得：AF=3，
∴AD=AF+FD=3+1.5=4.5，
即AD的长是4.5；
故答案为：4.5．
【分析】根据平行线分线段成比例、比例的基本性质求得AF=3，则AD=AF+FD=4.5即可．
16．如图，四边形 是菱形，点 分别在边 上，其中 是对角线 上的动点，若 的最小值为 ，则该菱形的面积为
【答案】36
【解析】【解答】解：已知四边形ABCD为菱形，AC=6，PE+PF的最小值为 ，
∵CE= BC，CF= CD，
∴CE=CF，
如图①，在AB上取AE′=CE，
则BE′=BE，又BP=BP，∠PBE=∠PBE′，
∴△BE′P≌△BEP（SAS），
∴PE′=PE，
则PE+PF=PE′+PF，
∵AE=CF，
∴E′，O，F三点共线，
∵两点之间线段最短，
∴PE+PF最短为点P在点O处，
则E′F= ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO= AC=3，E′O= E′F= ，四边形ABCD的面积=△ABO的面积的4倍，
将△ABO单独拿出，
如图②，AO⊥BO，E′为三等分点，
∴△BAO∽△BE′H，
∴E′H= AO=2，E′H⊥BO，
设BO=x，则HO= x，
在△E′HO中， ，
即 ，
解得：x=6，
∴△BOA的面积= ，
∴平行四边形ABCD的面积=4×△BOA的面积=36，
故答案为：36．
【分析】在AB上取AE′=CE，证明△BE′P≌△BEP得到PE′=PE，推出E′，O，F三点共线，即PE+PF最小时，点P在点O处，在△ABO中，利用相似三角形的性质求出BO，可得菱形的面积．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：．
【答案】解：
．
【解析】【分析】运用绝对值、负整数指数幂、特殊三角函数值、零指数幂、算术平方根进行运算，再合并同类项即可求解。
18．红旗小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图1)，其侧面的示意图如图2所示，测得主立柱的一段AB=1.2m，支柱DE的底端D到A的距离.AD=0.6m，顶棚F处到支柱底端D的水平距离.DH=1.4m，在B处分别测得E处的仰角为5 ， F 处的仰角为26.5°.
（1） 求支柱DE 的高；
（2）求顶棚F处离地面的高度FH .(参考数据： ， 结果精确到0.1m)
【答案】（1）解：设过点B的水平线交ED于点M，交FH于点N，
则四边形ABMD， DMNH， ABNH都是矩形， D+DH=0.6+1.4=2(m)，
HN= DM=AB=1.2m，
在Rt△EBM中，
∵∠EBM = 50°， BM =0.6m，
∴EM=BM·tan50°≈0.6×1.19≈0.7(m)
∴DE=DM+EM =1.2+0.7=1.9(m)，
答： 支柱DE的高为1.9m；
（2）解：在Rt△FBN中，
∵∠FBN =26.5°， BN =2m，
∴FN=BN·tan26.5°≈2×0.50=1(m)，
∴FH=FN+HN =1+1.2=2.2(m)，
答：顶棚F处离地面的高度FH为2.2m.
【解析】【分析】（1）设过点B的水平线交ED于点M，交FH于点N，先求出BM， BN，在Rt△EBM中， 求出EM即可解决问题；
(2)在Rt△FBN中， 求出FN即可解决问题.
19．如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，）
（1）求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明．
【答案】（1）解：如图，过作于点，
∴，
由题意可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴（海里），
∴，两港之间的距离海里；
（2）解：由（）得：，，，
∴，
∴，
由题意得：，，
∴，
∴，（海里），
∴甲行驶路程为：（海里），乙行驶路程为：（海里），
∵，且甲、乙速度相同，
∴甲货轮先到达港．
【解析】【分析】（）经过点B作AC的垂线，垂足为点E，分别解Rt△BCE和Rt△ABE，可求得，，进一步即可求解即可求解；
（）在三角形ABC中用三角函数可得甲行驶路程为：，在三角形ADC中用三角函数可得乙行驶路程为：，因为速度相同，然后比较行驶路程即可；
（1）如图，过作于点，
∴，
由题意可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴（海里），
∴，两港之间的距离海里；
（2）由（）得：，，，
∴，
∴，
由题意得：，，
∴，
∴，（海里），
∴甲行驶路程为：（海里），乙行驶路程为：（海里），
∵，且甲、乙速度相同，
∴甲货轮先到达港．
20．如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，的长为米，的长为米．
（1）请求出的长？
（2）按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）．
【答案】（1）解：如图，由题意可知，，
∵，
∴，
∴，
∵米，
∴米，
∵米，
∴（米）；
（2）解：过点D作于H，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，，
∴，
∵米，
∴，
解得：，
∴（米），
答：该车库入口的限高数值为米．
【解析】【分析】（1）根据题意坡比即为正切函数值，所以，即，求出米，从而可得出DE的长度；
（2）过点D作于H，证明，得出，设，，根据勾股定理，解三角函数即可求出答案．
（1）解：如图，由题意可知，，
∵，
∴，
∴，
∵米，
∴米，
∵米，
∴（米）；
（2）解：过点D作于H，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，，
∴，
∵米，
∴，
解得：，
∴（米），
答：该车库入口的限高数值为米．
21． 如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿A小区的北偏东60°方向往前铺设．测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的P小区位于北偏东30°方向，测绘员从A处出发，沿主输气管道方向前行2000米
到达B处，此时测得P小区位于北偏西75°方向．
（1） 度， 度；
（2）现要在主输气管道AB上选择一个支管道连接点Q，使从Q处到P小区铺设的管道最短，求A小区与支管道连接点Q的距离．（结果保留根号）
【答案】（1）30；45
（2）解：如下图所示，过点P作于Q，
则此时从Q处到P小区铺设的管道最短，设米．
∵，
∴米，米．
∴米．
∵米，
∴．
∴．
∴米．
答：A小区与支管道连接点Q的距离是米．
【解析】【解答】解：（1）∠PAB=60°-30°=30°；∠PBA=90°-75°+30°=45°；
故第1空答案为：30°；第2空答案为：45°；
【分析】（1）根据角与角之间的关系，即可求得答案；
（2） 如图所示，过点P作于Q，，设米，则BQ=x米，AQ=米，然后根据AQ+BQ=AB=2000，即可得出方程+x=2000，解方程，即可求得，进一步得出 米．
22．如图，A，B，C，D分别是某公园的四个景点，点B在点A的正东方向上，点D在点A的正北方向上，且在点C 的北偏西60°方向上，点C 在点A 的北偏东30°方向上，且在点 B 的北偏西15°方向上，AB=2千米(参考数据：
（1） 求 BC的长度.
（2）甲、乙两人从景点 D 出发去景点B，甲选择的路线为 D→C→B，乙选择的路线为D→A→B.请通过计算说明谁选择的路线较近.
【答案】（1）解：如图，过点 B 作 BE⊥AC 于点E.由题意，得∠DAB=90°.
∵∠DAC=30°，
∴∠EAB=60°，则∠EBA=30°.
∴ 易得 千米，BE= 千米.
∵ 点C在点 B 的北偏西15°方向上，
∴△EBC 是等腰直角三角形.
千米，则易得 BC= (千米).
∴ BC 的长度约为2.45千米.
（2）解：如图，过点 C 作 CF⊥AD 于点F.
由(1)，知AE=1千米，( 千米，∴AC=AE+CE=(1+ )千米.
在 Rt△ACF 中，∠CAF=30°，
∴ 易得 千米， 千米.
∵点D 在点C 的北偏西60°方向上，
∴ 易得 千米， 千米.
(千米)，CD+BC= (千米).
∴CD+BC
∴ 甲选择的路线较近.
【解析】【分析】（1）先通过作辅助线构造直角三角形和等腰直角三角形；再利用勾股定理，即可求出BC的长度；
（2）先同样作辅助线，结合三角函数和线段和差，再求出两条路线的长度并比较，即可得出答案．
23．如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知斜屋面的倾斜角为，长度为2米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架水平管长米，为铁架的垂直管．（参考值：）
（1）求的长度（结果精确到米）；
（2）求铁架垂直管的长度（结果精确到米）．
【答案】（1）解：如图，过点作于，则四边形为矩形，
∴米，，
在中，，，
∴
∴米
（2）解：在中，，
∴，
∴
在中，，
，
∴（米）
答：铁架垂直管的长度约为米．
【解析】【分析】（）过点作于，根据余弦的定义求出，进而求出，解答即可；
（）根据正弦的定义求出，根据正切的定义求出，利用线段的和差运算求出，解答即可.
（1）如图，过点作于，则四边形为矩形，
∴米，，
在中，，，
∴
∴米
（2）解：在中，，
∴，
∴
在中，，
，
∴（米）
答：铁架垂直管的长度约为米．
24．如图1~图3，在中，，，．P为边BC上一点，，连接AP，并作交线段AD或射线DC于点Q（Q在AP右侧）．
（1）如图1，若，求证：，并求此时x的值；
（2）如图2，若点Q恰好落在点D上，琪琪认为：“此时是等腰三角形，并且”，请通过计算x的值，说明琪琪的说法是否正确；
（3）当点P位于如图3所示的位置时，若，求x的值；
（4）用含x的式子表示QD长，直接写出结果．
【答案】（1）证明：四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（2）解：如图，作于，于，则，
，
四边形为平行四边形，
，，，
，
四边形的矩形，
，，
∴，
，
设，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得：或（不符合题意，舍去），
是等腰三角形，但；
∴淇淇的说法不正确；
（3）解：如图，作于，于，则，
，
由（2）可得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
令，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：（负值舍去），
，
，
解得：；
（4）当点在上时，；
当点在的延长线上时，．
【解析】【解答】解：（4）如图，当点在上时，作于，于，则，
，
由（2）可得：，，
四边形为平行四边形，
，，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，当点在的延长线上时，作于，于，于，则，
，
由（2）可得：，，
四边形为平行四边形，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
令，，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
；
综上所述，当点在上时，；当点在的延长线上时，．
【分析】（1）根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到，，，等量代换得到，根据三角形全等的判定与性质证明得到，再根据正切函数即可求出AP，再根据勾股定理即可求解；
（2）作于，于，则，根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到，，，，进而根据矩形的判定与性质得到，，从而根据正切函数设，，进而根据勾股定理求出x，进而得到，，，，再根据题意进行角的等量代换得到，从而根据相似三角形的判定与性质证明得到，即，再根据等腰三角形的判定与性质即可求解；
（3）作于，于，则，由（2）可得：，，根据题意进行角的运算得到，进而根据等腰三角形的判定得到，从而得到，根据正切函数令，，进而根据勾股定理用x表示y，从而结合题意即可求出x；
（4）根据题意分两种情况讨论：当点在上时，当点在的延长线上时；再根据相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、解直角三角形求出的长即可求解。
25． 如图所示，在菱形ABCD中，AB=10cm，∠ABC=60°，E为对角线AC上一动点，以 DE 为一边作∠DEF=60°，EF 交射线BC 于点F，连接BE，DF.点E 从点C 出发，沿CA 方向以每秒2cm的速度运动至点A 处停止.设△BEF 的面积为ycm2，点E 的运动时间为x 秒.
（1）求证：BE=EF.
（2）求y与x的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围.
（3）求x 为何值时，线段 DF 的长度最短.
【答案】（1）证明：设CD与EF相交于点M，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=DC，∠BCE=∠DCE，AB∥CD，
∵∠ABC=60°，
∴∠DCF=60°，
在△BCE和△DCE中，
∴△BCE≌△DCE(SAS)，
∴∠CBE =∠CDE， BE= DE，
∵∠DMF=∠DEF+∠CDE=∠DCF+∠CFE，
又∵∠DEF =∠DCF =60°，
∴∠CDE=∠CFE，
∴∠CBE=∠CFE，
∴BE=EF
（2）解：过点E作EN⊥BC于N，
则∠ENC=90°，
∵BE= EF，
∴BF=2BN，
∵四边形ABCD为菱形， ∠ABC = 60°，
∴BC=AB=10cm， ∠ACB=∠BCD=60°，即∠ECN = 60°，
∵CE=2xcm，
∴ BN =BC-CN =10-x(cm)，
∴BF=2(10-x) cm，
∵0<2x≤10，
∴0（3）解：∵ BE= DE， BE= EF，
∴DE=EF，
∵∠DEF =60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴DE=DF-EF，
∴BE=DF，
∴线段DF的长度最短，即BE的长度最短，当BE⊥AC时， BE取最短， 如图，
∵四边形ABCD是菱形，
，
为等边三角形，
∴当 时，线段DF的长度最短
【解析】【分析】(1)设CD与EF相交于点M， 证明△BCE≌△DCE(SAS)， 可得∠CBE=∠CDE， BE=DE， 利用三角形外角性质可得∠CDE=∠CFE，即得∠CBE=∠CFE， 即可求证；
(2)过点E作EN⊥BC于N， 解直角三角形得到EN=CE·sin60°，CN=CE·cos60°，可得BN=BC-CN，由等腰三角形三线合一可得BF，即可由三角形面积公式得到y与x的函数表达式，最后由0<2x≤10，可得自变量x的取值范围；
(3)证明△DEF为等边三角形， 可得BE= DF，可知线段DF的长度最短，即BE的长度最短，当BE⊥AC时，BE取最短，又由菱形的性质可得△ABC为等边三角形，利用三线合一求出CE即可求解；
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