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上海市2025—2026学年九年级下册期末考前抢分押题卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．为了了解某一品牌家具的甲醛含量，选择全面调查
B．为了了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查
C．为了了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查
D．为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查
2．如图，为的直径，弦交于E，，，，那么直径的长为（ ）
A．12.5 B．13 C．25 D．26
3．如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC和AD相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG=18°；②FG=3﹣ ；③（S四边形CDEF）2=9+2 ；④DF2﹣DG2=7﹣2 ．其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
5．学校需要了解学生眼睛患上近视的情况，下面抽取样本方式比较合适的是
A．从全校的每个班级中随机抽取几个学生作调查
B．在低年级学生中随机抽取一个班级作调查
C．在学校门口通过观察统计佩戴眼镜的人数
D．从学校的男同学中随机抽取50名学生作调查
6．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（ ）
A．（5，3） B．（3，5） C．（5，4） D．（4，5）
7．下列调查中，适合采用普查方式的是（ ）
A．了解我市百岁以上老人的健康情况
B．调查某电视连续剧在全国的收视率
C．了解一批炮弹的杀伤半径
D．了解一批袋装食品是否含有防腐剂
8．如图，点A的坐标是（ 2，0），点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P.当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有一个公共点，则k的值为（ ）.
A． B． C． D．
9．下列调查中，适宜采用普查的是（ ）
A．调查发射卫星的运载火箭的零部件质量
B．调查国民“垃圾分类知识”的知晓程度
C．调查全省男老师与女老师比例
D．调查全市学生每天的就寝时间
10．如图，正方形ABCD的边AB=1， 和 都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）
A． B．1﹣ C． ﹣1 D．1﹣
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形的外接圆的半径＝ .
12．在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为 .
13．体育老师对甲、乙两名同学分别进行了8次跳高测试，经计算这两名同学成绩的平均数相同，甲同学的方差是S甲2=6.4，乙同学的方差是S乙2=8.2，那么这两名同学跳高成绩比较稳定的是 同学．
14．如图，已知直线l：y=﹣ x﹣ 以每秒3个单位的速度向右平移；同时以点M（3，3）为圆心，3个单位长度为半径的⊙M以每秒2个单位长度的速度向右平移，当直线l与⊙M相切时，则它们运动的时间为 秒．
15．某校六(2)班的学生在植树节开展“植树造林，绿化城市”的活动，本次活动结束后，该班植树情况的部分统计图如图所示，那么该班的总人数是 .
16． 某次考试以70分为合格分数线，全班的总平均分为76分，而所有成绩合格学生的平均分为81分，所有成绩不合格学生的平均分为66分，为了减少不合格的学生人数，老师给每位学生的成绩加上5分，加分之后，所有成绩合格学生的平均分变为85分，所有成绩不合格学生的平均分变为69分，已知该班学生人数在30到40人之间，则该班有学生 人．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 为了解学生对篮球、排球、足球这三大球类的喜爱情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的相关信息解答下列问题．
（1）求参与调查的学生中喜爱篮球的人数．
（2）该校九年级共有520名学生，请你估计该校九年级学生中喜爱足球的有多少人？
18．2010年春季以来，我国西南地区遭受了严重的旱情，某校学生会自发组织了“保护水资源从我做起”的活动．同学们采取问卷调查的方式，随机调查了本校150名同学家庭月人均用水量和节水措施情况．以下是根据调查结果作出的统计图的一部分．
请根据以上信息解答问题：
（1）补全图1和图2；
（2）如果全校学生家庭总人数约为3000人，根据这150名同学家庭月人均用水量，估计全校学生家庭月用水总量．
19．发生火灾时，逃生时间通常仅有几分钟，采取有效的自救与逃生措施能够显著降低人员伤亡。某中学针对八年级学生进行了逃生技能掌握情况的调查，随机抽取了1班和2班各10名学生进行问卷调查，分数越高表明学生掌握的逃生技能越好，根据调查结果绘制了相应的统计图。
数据分析结果详见下表：
班级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
1班 8.1 x 9 2.09
2班 y 9 9 1.24
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）x= ，y= ；
（2）补全条形统计图；
（3）小颖的得分是9分，其分数高于她所在班级半数同学的个人得分，则小颖在 班（填“1”或“2”）；
（4）在逃生技能的掌握方面，你认为哪个班级的学生表现更优异 请说明理由。
20．某同学家准备购买一辆新能源汽车.在预算范围内，收集了A，B两款汽车在2024年9月至2025年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据，统计如下：
（1）数据分析：
①B款新能源汽车在2024年9月至2025年3月期间月销售量的中位数为；
②若将车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务四项评分数据按1∶3∶3∶3的比例统计，求A款新能源汽车四项评分数据的平均数；
（2）合理建议：
请你按照第（1）问中四项评分数据的比例，并结合销售量，在A，B两款汽车中给出你的推荐，并说明理由.
21．李克强总理连续三年把“全民阅读”写入《政府工作报告》，足以说明阅读的重要性．某校为了解学生最喜爱的书籍的类型，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的条形统计图（部分信息未给出）．已知，这些学生中有15%的人喜欢漫画，喜欢小说名著的人数是喜欢童话的，请完成下列问题：
（1）求本次抽取的学生人数；
（2）喜欢小说名著、喜欢童话故事的学生各有多少人？并补全条形统计图；
（3）全校共有2100名学生，请估计最喜欢“小说名著”的人数有多少？
22．学校为了解全校1600名学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．将调查得到的结果绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整）．
（1）问：在这次调查中，一共抽取了 名学生.
（2）补全频数分布直方图；
（3）扇形统计图中，到校上学的方式是私家车所对应的圆心角的度数是 °.
（4）估计全校所有学生中有多少人乘坐公交车上学．
23． 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上任意一点，连接AD，AG，GD.
（1）若∠ADC=70°，求∠AGD的度数.
（2）若BE=2，AE=8，求CD的长.
24．图（1）是一把“U形”尺，图（2）是该尺内侧的示意图，已知边，边，，．
算一算
将该尺摆放在一些圆上，测量并计算圆的半径r．
（1）如图（3），点A，B，C，D恰好都在圆上，则 ．
（2）如图（4），该尺的边与圆相切于点P，且点P在该尺上的读数为，点D在圆上，则 ．
（3）如图（5），该尺的边与圆有两个公共点P，Q，它们在该尺上的读数分别为，，边与圆也有两个公共点，其中一个公共点R在该尺上的读数为，求r的值．
想一想
（4）若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），一定可以通过测量并计算出该圆的半径r吗？如果可以，说明理由；如果不一定可以，请直接写出可计算出的r的最小值和最大值．
25．如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，连接CO并延长CO与AB的延长线交于点D，连接AC．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为3，OD＝5．求线段AD的长．
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上海市2025—2026学年九年级下册期末考前抢分押题卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．为了了解某一品牌家具的甲醛含量，选择全面调查
B．为了了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查
C．为了了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查
D．为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查
【答案】B
【解析】【解答】解：A、 为了了解某一品牌家具的甲醛含量，选择抽样调查比较合适，故选项A不符合题意；
B、为了了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查比较合适，故选项B符合题意；
C、为了了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择全面调查比较合适，故选项C不符合题意；
D、为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择抽样调查比较合适，故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】全面调查数据准确，但耗时费力；抽样调查省时省力，但数据不够准确；一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此判断即可.
2．如图，为的直径，弦交于E，，，，那么直径的长为（ ）
A．12.5 B．13 C．25 D．26
【答案】D
【解析】【解答】解：连接，如图：
∵为直径，
∴
由勾股定理可得：
∴
故答案为：D
【分析】连接，由垂径定理可得，利用勾股定理求出的长，由CD=2OA即可求解.
3．如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC和AD相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG=18°；②FG=3﹣ ；③（S四边形CDEF）2=9+2 ；④DF2﹣DG2=7﹣2 ．其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：①∵五方形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC，∠ABC=180°﹣ =108°，
∴∠BAC=∠ACB=36°，
∴∠ACD=108°﹣36°=72°，
同理得：∠ADE=36°，
∵∠BAE=108°，AB=AE，
∴∠ABE=36°，
∴∠CBF=108°﹣36°=72°，
∴BC=FC，
∵BC=CD，
∴CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD= =54°，
∴∠FDG=∠CDE﹣∠CDF﹣∠ADE=108°﹣54°﹣36°=18°；
所以①正确；
②∵∠ABE=∠ACB=36°，∠BAC=∠BAF，
∴△ABF∽△ACB，
∴ ，
∴AB ED=AC EG，
∵AB=ED=2，AC=BE=BG+EF﹣FG=2AB﹣FG=4﹣FG，EG=BG﹣FG=2﹣FG，
∴22=（2﹣FG）（4﹣FG），
∴FG=3+ ＞2（舍），FG=3﹣ ；
所以②正确；
③如图1，
∵∠EBC=72°，∠BCD=108°，
∴∠EBC+∠BCD=180°，
∴EF∥CD，
∵EF=CD=2，
∴四边形CDEF是平行四边形，
过D作DM⊥EG于M，
∵DG=DE，
∴EM=MG= EG= （EF﹣FG）= （2﹣3+ ）= ，
由勾股定理得：DM= = = ，
∴（S四边形CDEF）2=EF2 DM2=4× =10+2 ；
所以③不正确；
④如图2，连接EC，
∵EF=ED，
∴ CDEF是菱形，
∴FD⊥EC，
∵EC=BE=4﹣FG=4﹣（3﹣ ）=1+ ，
∴S四边形CDEF= FD EC=2× ，
×FD×（1+ ）= ，
FD2=10﹣2 ，
∴DF2﹣DG2=10﹣2 ﹣4=6﹣2 ，
所以④不正确；
本题正确的有两个，
故答案为：B．
【分析】①根据正五边形的性质证明△ABC，△ABE，△ADE是等腰三角形，求出∠ABC，∠ACB，∠BCD，∠CDE及∠ADE的度数，再证明CD=CF，根据等边对等角得出∠CDF=∠CFD=54°，然后根据∠FDG=∠CDE﹣∠CDF﹣∠ADE，计算即可求出∠FDG的度数，可对①作出判断；②先利用相似三角形的判定证明△ABF∽△ACB，得出AB ED=AC EG，建立方程求出FG的长，就可对②作出判断；③先根据已知证明四边形CDEF是平行四边形，过D作DM⊥EG于M，求出EM的长，再利用勾股定理求出DM的长，然后求出（S四边形CDEF）2的值，可对③作出判断；④根据菱形的判断方法证明 CDEF是菱形，得出FD⊥EC，求出EC的长，再根据菱形的面积公式建立方程求出FD2的长，然后求出DF2﹣DG2即可，就可对④作出判断；即可得出答案。
4．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】D
【解析】【解答】解：∵五边形的内角和为（5﹣2） 180°=540°，
∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，
则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°，
360°÷36°=10，
∵已经有3个五边形，
∴10﹣3=7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选D．
【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
5．学校需要了解学生眼睛患上近视的情况，下面抽取样本方式比较合适的是
A．从全校的每个班级中随机抽取几个学生作调查
B．在低年级学生中随机抽取一个班级作调查
C．在学校门口通过观察统计佩戴眼镜的人数
D．从学校的男同学中随机抽取50名学生作调查
【答案】A
【解析】【解答】解：A. 从全校的每个班级中随机抽取几个学生作调查，有代表性，合适；
B. 在低年级学生中随机抽取一个班级作调查，样本没有代表性，不合适；
C. 在学校门口通过观察统计佩戴眼镜的人数，样本没有代表性，不合适；
D. 从学校的男同学中随机抽取50名学生作调查，样本没有代表性，不合适.
故答案为：A
【分析】抽取样本要注意样本必须有代表性.
6．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（ ）
A．（5，3） B．（3，5） C．（5，4） D．（4，5）
【答案】D
【解析】【解答】解：过点P作PD⊥MN于D，连接PQ．
∵⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，
∴OM=2，NO=8，
∴NM=6，
∵PD⊥NM，
∴DM=3
∴OD=5，
∴OQ2=OM ON=2×8=16，OQ=4．
∴PD=4，PQ=OD=3+2=5．
即点P的坐标是（4，5）．
故选D．
【分析】根据已知条件，纵坐标易求；再根据切割线定理即OQ2=OM ON求OQ可得横坐标．
7．下列调查中，适合采用普查方式的是（ ）
A．了解我市百岁以上老人的健康情况
B．调查某电视连续剧在全国的收视率
C．了解一批炮弹的杀伤半径
D．了解一批袋装食品是否含有防腐剂
【答案】A
【解析】【解答】解：A、了解我市百岁以上老人的健康情况可采用普查方式，所以A选项正确；
B、调查某电视连续剧在全国的收视率可采用抽样调查的方式，所以B选项不正确；
C、了解一批炮弹的杀伤半径可采用抽样调查的方式，所以C选项不正确；
D、了解一批袋装食品是否含有防腐剂可采用抽样调查的方式，所以D选项不正确．
故选A．
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点对四个选项进行判断．
8．如图，点A的坐标是（ 2，0），点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P.当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有一个公共点，则k的值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接OP，作过点P作PE⊥x轴于点E，
∵点P和点A关于点C对称，点C的运动轨迹是以点B为圆心，半径为1的圆，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，以AO为半径的圆.
∵当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有一个公共点，直线y=kx－3k（k＞0）过定点D(3，0)，
∴OP⊥PD，
∴∠OPD=90°，
在Rt△OPD中，OP=OA=2，OD=3，
由勾股定理得：PD= =
由等积法，可得：OD PE=OP PD，
即：3×PE=2× ，
解得：PE=
在Rt△OPE中，OE= =
∴点P的坐标为( ， )
把点P的坐标代入y=kx－3k，得： ，
解得：k= .
故答案为：C.
【分析】连接OP，作过点P作PE⊥x轴于点E，由题意可得：点P的运动轨迹是以O为圆心，AO为半径的圆，直线y=kx-3k（k＞0）过定点D(3，0)，利用勾股定理可得PD，根据△OPD的面积公式可得PE，然后利用勾股定理求出OE，进而可得点P的坐标，接下来将点P的坐标代入y=kx-3k中进行计算就可得到k的值.
9．下列调查中，适宜采用普查的是（ ）
A．调查发射卫星的运载火箭的零部件质量
B．调查国民“垃圾分类知识”的知晓程度
C．调查全省男老师与女老师比例
D．调查全市学生每天的就寝时间
【答案】A
【解析】【解答】解：A、调查发射卫星的运载火箭的零部件质量，意义重大，应采用普查，符合题意，A正确；
B、调查国民“垃圾分类知识”的知晓程度，人数众多，应采用抽样调查，不符合题意，B错误；
C、调查全省男老师与女老师比例，人数众多，应采用抽样调查，不符合题意，C错误；
D、调查全市学生每天的就寝时间，人数众多，应采用抽样调查，不符合题意，D错误；
故答案为：A．
【分析】本题考查抽样调查和全面调查的判断.普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．根据两种调查的区别，可知A选项调查意义重大，要求精确，故A选项选择普查.
10．如图，正方形ABCD的边AB=1， 和 都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）
A． B．1﹣ C． ﹣1 D．1﹣
【答案】A
【解析】【解答】解：如图：
正方形的面积=S1+S2+S3+S4；①
两个扇形的面积=2S3+S1+S2；②
②﹣①，得：S3﹣S4=S扇形﹣S正方形= ﹣1= ．
故答案为：A．
【分析】由图可知弧 B D 和弧 A C 将正方形分成四部分，分别用1、2、3、4表示如图，扇形ABD和扇形ACD的面积之和=2S3+S1+S2， 正方形的面积=S1+S2+S3+S4， 两式相减可得S3﹣S4=S扇形﹣S正方形， 将圆心角和半径代入计算可知选项A符合题意。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形的外接圆的半径＝ .
【答案】6.5cm
【解析】【解答】解： ，
是直角三角形，
则 外接圆半径是斜边的一半，即为 cm；
故答案为：6.5cm.
【分析】由题意先计算52、122、132的值，再由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，然后由直角三角形的外接圆半径=x斜边可求解.
12．在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为 .
【答案】3
【解析】【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，
∴BC=AB=×8=4，
在Rt△OBC中
∴圆心O到AB的距离为3.
故答案为：3.
【分析】过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，利用垂径定理求出BC的长；再利用勾股定理求出OC的长.
13．体育老师对甲、乙两名同学分别进行了8次跳高测试，经计算这两名同学成绩的平均数相同，甲同学的方差是S甲2=6.4，乙同学的方差是S乙2=8.2，那么这两名同学跳高成绩比较稳定的是 同学．
【答案】甲
【解析】【解答】解：甲同学的方差小于乙的方差，则甲的成绩稳定．
故填甲．
【分析】根据方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数，在实际问题中，方差是偏离程度的大小；甲同学的方差小于乙的方差，则甲的成绩稳定．
14．如图，已知直线l：y=﹣ x﹣ 以每秒3个单位的速度向右平移；同时以点M（3，3）为圆心，3个单位长度为半径的⊙M以每秒2个单位长度的速度向右平移，当直线l与⊙M相切时，则它们运动的时间为 秒．
【答案】2.5或10
【解析】【解答】解：∵直线以每秒3个单位的速度向右平移，⊙M以每秒2个单位长度的速度向右平移，
∴相当于⊙M静止，直线以每秒1个单位的速度向右平移，
直线y=﹣ x﹣ 与x轴的交点A的坐标为（1，0），
由题意可知，⊙M的半径为3，
在直角三角形AMD中，AD=4，DM=3，
由勾股定理得，AM=5，AE=5﹣3=2，
当直线l与⊙M相切于E时，
△ADM∽△AEC，
AC：AM=AE：AD，
即AC：5=2：4，
解得AC=2.5，
∴当t=2.5s时，直线l与⊙M相切；
当直线l与⊙M相切于点F时，
△ADM∽△AFG，
AG：AM=AF：AD，
即AG：5=8：4，
解得：AG=10，
∴当t=10时，直线l与⊙M相切，
故答案为：2.5或10．
【分析】根据题意确定直线的相对速度，作出直线与圆相切时的图形，求出AM、AE，证明△ADM∽△AEC，△ADM∽△AFG得到成比例线段，求出时间．
15．某校六(2)班的学生在植树节开展“植树造林，绿化城市”的活动，本次活动结束后，该班植树情况的部分统计图如图所示，那么该班的总人数是 .
【答案】40
【解析】【解答】解：∵植树4株的人数为5人，占总人数的12.5%，
∴该班的总人数 (人)。
故答案为：40.
【分析】从条形统计图得到植树4株的人数为5人，从扇形统计图得植树4株的人数占总人数的12.5%，然后运用除法解答即可
16． 某次考试以70分为合格分数线，全班的总平均分为76分，而所有成绩合格学生的平均分为81分，所有成绩不合格学生的平均分为66分，为了减少不合格的学生人数，老师给每位学生的成绩加上5分，加分之后，所有成绩合格学生的平均分变为85分，所有成绩不合格学生的平均分变为69分，已知该班学生人数在30到40人之间，则该班有学生 人．
【答案】
【解析】【解答】解：设成绩合格学生有x人，成绩不合格学生有y人，给不合格的学生加上5分成为合格学生有n人，
由题意可得：81x+66y=76(x+y)，
解得：x=2y，
加分后可得：（76+5）（x+y）=85(x+n)+69(y-n)，
整理得：x+4n-3y=0，
把x=2y代入得：y=4n，
全班人数为：x+y=3y=12n，
∵该班学生人数在30到40人之间，
∴30≤12n≤40，解得：，
∵n为整数，
∴n=3，
∴全班人数为：x+y=3y=12n=12×3=36.
故答案为：36.
【分析】设成绩合格学生有x人，成绩不合格学生有y人，给不合格的学生加上5分成为合格学生有n人，分别根据加分前、后的全班人数不变可列方程：81x+66y=76(x+y)，（76+5）（x+y）=85(x+n)+69(y-n)，解之可将x、y用含n的代数式表示出来，根据全班人数的范围可得关于n的不等式组，解之求出n的值，根据n为整数可求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 为了解学生对篮球、排球、足球这三大球类的喜爱情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的相关信息解答下列问题．
（1）求参与调查的学生中喜爱篮球的人数．
（2）该校九年级共有520名学生，请你估计该校九年级学生中喜爱足球的有多少人？
【答案】（1）解：调查的总人数有：（人），
调查的学生中喜爱篮球的人数：（人）；
（2）解：根据题意得：（人），
答：估计该校九年级学生中喜爱足球的有208人．
【解析】【分析】（1）用喜爱排球的人数除以占总人数的比例即可求得总人数；用总人数乘以喜爱篮球人数占总人数的比例即可得到相应的人数；
（2）根据样本中喜爱足球的人数占总人数的比例乘以520可得到九年级喜爱足球的人数.
18．2010年春季以来，我国西南地区遭受了严重的旱情，某校学生会自发组织了“保护水资源从我做起”的活动．同学们采取问卷调查的方式，随机调查了本校150名同学家庭月人均用水量和节水措施情况．以下是根据调查结果作出的统计图的一部分．
请根据以上信息解答问题：
（1）补全图1和图2；
（2）如果全校学生家庭总人数约为3000人，根据这150名同学家庭月人均用水量，估计全校学生家庭月用水总量．
【答案】解：（1）
（2）全体学生家庭月人均用水量为=9040（吨）．
答：全校学生家庭月用水量约为9040吨．
【解析】【分析】（1）用水为3吨的家庭数=150﹣10﹣42﹣32﹣16=50户，淘米水浇花占的比例=1﹣30%﹣44%11%=15%；
（2）全校学生家庭月用水总量=3000×150户用水的平均用水量．
19．发生火灾时，逃生时间通常仅有几分钟，采取有效的自救与逃生措施能够显著降低人员伤亡。某中学针对八年级学生进行了逃生技能掌握情况的调查，随机抽取了1班和2班各10名学生进行问卷调查，分数越高表明学生掌握的逃生技能越好，根据调查结果绘制了相应的统计图。
数据分析结果详见下表：
班级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
1班 8.1 x 9 2.09
2班 y 9 9 1.24
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）x= ，y= ；
（2）补全条形统计图；
（3）小颖的得分是9分，其分数高于她所在班级半数同学的个人得分，则小颖在 班（填“1”或“2”）；
（4）在逃生技能的掌握方面，你认为哪个班级的学生表现更优异 请说明理由。
【答案】（1）8.5；8.4
（2）解：补全条形统计图如下图
（3）1
（4）解：2班更优异，因为2班的平均数，中位数均大于1班，方差小于1班(言之有理即可得分)
【解析】【解答】解：（1）由题意得1班学生得分为9分的人数为10-2-2-1-2=3人，2班中得分为8分的人数所占百分比为100-50-10-10-10=20%，
∵1班学生抽取了10人，
∴中位数应该是第5和第6位同学得分的平均数，
∴，
∴，
故答案为：8.5；8.4；
（3）∵小颖的得分是9分，其分数高于她所在班级半数同学的个人得分，
∴9＞8.5，
∴小颖在1班，
故答案为：1
【分析】（1）先根据条形统计图和扇形统计图得到1班学生得分为9分的人数为10-2-2-1-2=3人，2班中得分为8分的人数所占百分比为100-50-10-10-10=20%，进而根据中位数的定义和平均数的计算方法结合题意即可求解；
（2）根据（1）补全统计图即可求解；
（3）根据题意比较中位数即可求解；
（4）根据平均数、中位数、方差结合题意进行数据分析，进而即可求解。
20．某同学家准备购买一辆新能源汽车.在预算范围内，收集了A，B两款汽车在2024年9月至2025年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据，统计如下：
（1）数据分析：
①B款新能源汽车在2024年9月至2025年3月期间月销售量的中位数为；
②若将车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务四项评分数据按1∶3∶3∶3的比例统计，求A款新能源汽车四项评分数据的平均数；
（2）合理建议：
请你按照第（1）问中四项评分数据的比例，并结合销售量，在A，B两款汽车中给出你的推荐，并说明理由.
【答案】（1）解：①根据统计图可知B款新能源车的销量排序后为：1563，2248，3279，4667，5188，8153，8840，
故处于中间位置的数为4667，
故答案为：4667；
②A款新能源汽车四项评分数据的平均数为＝67.5（分）
（2）解：选B款.理由如下：
B款新能源汽车四项评分数据的平均数为＝69.7（分）.
69.7＞67.5，结合2025年3月的销售量，可选B款.
【解析】【分析】（1）①首先将B款数据进行排序，然后确定处于中间位置的数即可；
②运用加权平均分的计算方法，计算A款汽车的加权平均数即可；
（2）计算B款汽车的四项评分的加权平均数，与A款平均数进行比较，即可确定.
21．李克强总理连续三年把“全民阅读”写入《政府工作报告》，足以说明阅读的重要性．某校为了解学生最喜爱的书籍的类型，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的条形统计图（部分信息未给出）．已知，这些学生中有15%的人喜欢漫画，喜欢小说名著的人数是喜欢童话的，请完成下列问题：
（1）求本次抽取的学生人数；
（2）喜欢小说名著、喜欢童话故事的学生各有多少人？并补全条形统计图；
（3）全校共有2100名学生，请估计最喜欢“小说名著”的人数有多少？
【答案】解：（1）根据题意得：
9÷15%=60（人）．
答：本次抽取的学生人数是60人；
（2）喜欢小说名著和童话故事的人数是：60﹣9﹣12=36（人），
喜欢小说的人数是：36×=15（人），
喜欢童话的人数是：36×=21（人），
补图如下：
（3）根据题意得：
2100×=525（人）．
答：最喜欢“小说名著”的人数有525人．
【解析】【分析】（1）根据漫画的人数和所占的百分比即可求出总人数；
（2）先求出喜欢小说名著和童话故事的总人数，再根据喜欢小说名著的人数是喜欢童话的，分别求出喜欢小说的人数和喜欢童话的人数，从而补全统计图；
（3）用全校的总人数乘以最喜欢“小说名著”的人数所占的百分比，即可得出答案．
22．学校为了解全校1600名学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．将调查得到的结果绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整）．
（1）问：在这次调查中，一共抽取了 名学生.
（2）补全频数分布直方图；
（3）扇形统计图中，到校上学的方式是私家车所对应的圆心角的度数是 °.
（4）估计全校所有学生中有多少人乘坐公交车上学．
【答案】（1）80
（2）解：选择“步行”上学的学生有：80×20%=16（人）
乘公交车的人数为：80-24-16-10-4=26（人）
补全频数分布直方图如图，
（3）45
（4）解：被抽到的学生中，乘公交车的人数为26人
∴全校所有学生中乘坐公交车上学的人数约为：
1600×=520(人)
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：骑自行车人数有24人，占比30%
∴总人数有：24÷30%=80（人）
故答案为：80
（3）校上学的方式是私家车所对应的圆心角的度数是
故答案为：45
【分析】（1）用骑自行车人数÷其占比即可求出总人数.
（2）求出步行人数，乘公交人数，补全图形即可.
（3）根据私家车占比乘以360°即可求出答案.
（4）根据1600乘以乘公交车人数占比即可求出答案.
23． 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上任意一点，连接AD，AG，GD.
（1）若∠ADC=70°，求∠AGD的度数.
（2）若BE=2，AE=8，求CD的长.
【答案】（1）解：连接BD，如图
∵ CD⊥AB
∴
∵ ∠ADC=70°
∴
∵ AB是⊙O的直径
∴
∵
∴∠ABD=70°
∴∠AGD=∠ABD=70°
（2）解：连接OC，如图
∵ BE=2，AE=8
∴AB=10
∴OC=5，OE=3
在Rt△OEC中，由勾股定理得
∵ 直径AB⊥弦CD
∴CD=2CE=8
【解析】【分析】(1)首先利用三角形内角和定理求出，然后利用直径所对的圆周角是直角结合三角形内角和定理求出∠ABD=70°，最后由同弧所对的圆周角相等得到∠AGD=∠ABD=70°；
(2)根据条件可知OC=5，OE=3，然后由勾股定理求出CE=4，再利用垂径定理得出CD=2CE=8。
24．图（1）是一把“U形”尺，图（2）是该尺内侧的示意图，已知边，边，，．
算一算
将该尺摆放在一些圆上，测量并计算圆的半径r．
（1）如图（3），点A，B，C，D恰好都在圆上，则 ．
（2）如图（4），该尺的边与圆相切于点P，且点P在该尺上的读数为，点D在圆上，则 ．
（3）如图（5），该尺的边与圆有两个公共点P，Q，它们在该尺上的读数分别为，，边与圆也有两个公共点，其中一个公共点R在该尺上的读数为，求r的值．
想一想
（4）若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），一定可以通过测量并计算出该圆的半径r吗？如果可以，说明理由；如果不一定可以，请直接写出可计算出的r的最小值和最大值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）解：如图，过点作于，延长交于，连接，，
∴，，
∵，，，
∴四边形为矩形，则，，，
由题意可知，，，，
∴，则，
∴，则，
设，则，
在中，，
在中，，
则，解得：，
∴；
（4）若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），不一定可以通过测量并计算出该圆的半径，半径的最小值为，最大值为
【解析】【解答】解：（1）连接，由题意可知，，，，
则，
∴为直径，
由勾股定理可知：，
∴半径，
故答案为：；
（2）连接圆心与切点，交于，连接，，则，
由题意可知，，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，，
则，，
在中，，即，
解得：，
故答案为：；
（4）如图，当圆的直径小于的长度时，此时没有任何读数，则无法测量并计算出圆的半径，
如图，当圆与和其中一边相交时，也相当于只测得一条弦的长度，也无法得到圆的半径，
∴若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），不一定可以通过测量并计算出该圆的半径，
要能够测出圆的半径，则圆与、都要有交点，
如图，当与、均相切时，直径等于的长度，
即：的半径的最小值为，
假设圆心在右侧，要的能测出圆的半径，至少要与相切，与有交点，
令与相切于点，与交于边界点，如图，
由题意可知，，类比（2）可知，，则，
由勾股定理可得：，
∴，整理得，
∴，
则的半径的最大值为；
综上，半径的最小值为，最大值为．
【分析】（1）连接，由题意可知，，，，根据圆周角定理可得为直径，根据勾股定理可得AC，即可求出答案.
（2）连接圆心与切点，交于，连接，，则，由题意可知，，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，，根据边之间的关系可得OQ，DQ，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）过点作于，延长交于，连接，，根据垂径定理可得，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，，，由题意可知，，，，根据勾股定理可得PQ，BM，MQ，NR，设，则，根据勾股定理可得OQ，OR，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（4）分情况讨论：当圆的直径小于的长度时，此时没有任何读数，则无法测量并计算出圆的半径，当圆与和其中一边相交时，也相当于只测得一条弦的长度，也无法得到圆的半径，将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），不一定可以通过测量并计算出该圆的半径，要能够测出圆的半径，则圆与、都要有交点，当与、均相切时，直径等于的长度，即：的半径的最小值为，假设圆心在右侧，要的能测出圆的半径，至少要与相切，与有交点，令与相切于点，与交于边界点，由题意可知，，类比（2）可知，，则，再根据勾股定理即可求出答案.
25．如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，连接CO并延长CO与AB的延长线交于点D，连接AC．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为3，OD＝5．求线段AD的长．
【答案】（1）证明：连接OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
即∠ABO＝90°，
∵BC是弦，OA⊥BC，
∴CE＝BE，
∴AC＝AB，
在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠ACO＝∠ABO＝90°，
即AC⊥OC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△BOD中，由勾股定理得，
BD＝＝4，
∵∠OBD＝∠ACD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DBO∽△DCA，
∴，
∵AC、AB都为⊙O的切线，
∴AB＝AC，
∴，
解得AB＝6，
∴AD＝BD+AB＝4+6＝10．
【解析】【分析】(1)从已知条件入手， AB为⊙O的切线，容易想到连接OB，得到90°角，根据已知BC⊥OA，由垂径定理可得到BE=CE，由三线合一定理可推出AB=AC，再根据SSS判定定理得到全等三角形，对应角相等都是90°，可得到AC为⊙O的切线结论的；
（2）从已知条件入手，⊙O半径为3，OD＝5，易根据勾股定理得到BD=4，在（1）的结论下，有共同角的直角三角形易知相似，在这两个相似三角形中，对应成比例的四条边里有2条边已知，另两边可以用AB的长表达，故AB可求，而AD=AB+BD，因此AD可求。
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