江苏省徐州市沛县第二中学2016-2017学年高一上学期第一次月考数学试题

沛县二中2016学情调查试卷
高一数学试题
一、填空题：本大题共14题，每题5分，共70分。请将答案填在答题卡对应的横线上。
1．已知集合，，且，则实数a的值为
．
2.不等式x（x﹣1）＞0的解集是
3．已知点，，则向量的模为
．
4．方程log2（3x+2）=1+log2（x+2）的解为　　　　　　．
5．执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数是
．
6．已知变量满足约束条件，
则目标函数的最大值是
．
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且2S3－3S2＝12，则数列{an}的公差是
．
8．已知，，则
．
9．已知函数（）的图像如图所示，则的值是
．
在平面直角坐标系中，过点的直线与圆相切于点，与圆相交于点，且，则正数的值为
．
11．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6+a7+a8﹣a72=0（a7≠0），则S13=
．
12．数12．设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB＝6，AC＝3，则
．
13．已知函数是奇函数，则
．
14．若正数x，y满足xy+2x+y=8，则x+y的最小值等于．
二、解答题：本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.已知集合，集合，集合.
（Ⅰ）求
;
（Ⅱ）若，试确定正实数的取值范围.
15．在四边形ABCD中，AB=，CD=2，∠BAD=135°，∠BCD=60°，∠ADB=30°．
（1）求BC边的长；
（2）求∠ABC的大小．
17．已知向量
EMBED
Equation.DSMT4
.
(1)当时，求的值；
(2)设函数，当时，求的值域.
18．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A
（1，0）．
（1）若l1与圆C相切，求l1的方程；
（2）若l1的倾斜角为，l1与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；
（3）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时l1的直线方程．
　
19．（16分）某单位因工作需要，要制作一批操作台面，台面上有两块大小相同的长方形钢化玻璃（图中阴影部分），每块钢化玻璃的面积为1800cm2，每块钢化玻璃需能放置半径为15cm的圆形器皿，每块钢化玻璃周围与操作台边缘要留20cm空白，两块钢化玻璃的间距为50cm，设钢化玻璃长为xcm，操作台面面积为S．
（1）当操作台面长与宽分别为多少时，操作台面面积最小；
（2）若每块钢化玻璃长至少比宽多14cm，则操作台面长与宽分别为多少时，操作台面面积最小？
20．已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且满足a1+a2+a3=9，b1b2b3=27．
（1）若a4=b3，b4﹣b3=m．
①当m=18时，求数列{an}和{bn}的通项公式；
②若数列{bn}是唯一的，求m的值；
（2）若a1+b1，a2+b2，a3+b3均为正整数，且成等比数列，求数列{an}的公差d的最大值．
高一抽测数学试卷（参考答案）
填空题：本大题共14题，每题5分，共70分。请将答案填在答题卡对应的横线上。
1．3．
2．（﹣∞，0）∪（1，+∞）．
3．
4．2.
5．30.
6.
7
7．4.
8．
9．
10．4
11．12．
10
13.
-1
14.
2﹣3．
二、解答题：本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（本题满分14分）已知集合，集合，集合.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，试确定正实数的取值范围.
解:（Ⅰ）依题意得，或，.……7分
（Ⅱ），由于则，由得
16．在四边形ABCD中，AB=，CD=2，∠BAD=135°，∠BCD=60°，∠ADB=30°．
（1）求BC边的长；
（2）求∠ABC的大小．
解：（1）在△ABD中，由正弦定理得=，即=，
解得：BD=，在△BCD中，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC CDcos∠BCD，即6=BC2+4﹣2BC，
解得：BC=1+或BC=1﹣（舍去），则BC的长为1+；
（2）在△BCD中，由正弦定理得=，即=，
解得：sin∠DBC=，∴∠DBC=45°或135°，在△BCD中，∠BCD=60°，
∴∠DBC=45°，∵∠ABD=180°﹣135°﹣30°=15°，∴∠ABC=60°．
17．已知向量
EMBED
Equation.DSMT4
.
(1)当时，求的值；
(2)设函数，当时，求的值域.
解：
(1),
................6分
(2)
................10分
，的值域为
................14分
18．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A
（1，0）．
（1）若l1与圆C相切，求l1的方程；
（2）若l1的倾斜角为，l1与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；
（3）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时l1的直线方程．
解：（1）解：①若直线l1的斜率不存在，则直线x=1，圆的圆心坐标（3，4），半径为2，符合题意．
②若直线l1斜率存在，设直线l1为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即：，
解之得
．所求直线方程是：x=1，或3x﹣4y﹣3=0．
（2）直线l1方程为y=x﹣1．∵PQ⊥CM，∴CM方程为y﹣4=﹣（x﹣3），即x+y﹣7=0．
∵∴∴M点坐标（4，3）．
（3）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx﹣y﹣k=0，
则圆．
又∵三角形CPQ面积
∴当d=时，S取得最大值2．∴．
∴直线方程为y=x﹣1，或y=7x﹣7．
19．（16分）某单位因工作需要，要制作一批操作台面，台面上有两块大小相同的长方形钢化玻璃（图中阴影部分），每块钢化玻璃的面积为1800cm2，每块钢化玻璃需能放置半径为15cm的圆形器皿，每块钢化玻璃周围与操作台边缘要留20cm空白，两块钢化玻璃的间距为50cm，设钢化玻璃长为xcm，操作台面面积为S．
（1）当操作台面长与宽分别为多少时，操作台面面积最小；
（2）若每块钢化玻璃长至少比宽多14cm，则操作台面长与宽分别为多少时，操作台面面积最小？
解：（1）由题意，宽为cm，
S=（2x+90）（+40）=80x++7200
≥2+7200=14400．
（当且仅当80x=，即x=45时，等号成立）；
∵，
∴30≤x≤60，
∴当x=45时，操作台面面积最小；此时操作台面长与宽分别为180cm，80cm．
（2）由题意，≤x﹣14，
解得，x≥50；
∴50≤x≤60，
∵函数S=（2x+90）（+40）在[50，60]上单调递增，
∴当x=50时，操作台面面积最小，最小值为14440cm2，
此时，操作台面长为190cm，宽为76cm．
20．已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且满足a1+a2+a3=9，b1b2b3=27．
（1）若a4=b3，b4﹣b3=m．
①当m=18时，求数列{an}和{bn}的通项公式；
②若数列{bn}是唯一的，求m的值；
（2）若a1+b1，a2+b2，a3+b3均为正整数，且成等比数列，求数列{an}的公差d的最大值．
解：（1）①由数列{an}是等差数列及a1+a2+a3=9，得a2=3，
由数列{bn}是等比数列及b1b2b3=27，得b2=3．
…
设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
若m=18，
则有解得或，
所以，{an}和{bn}的通项公式为an=3n﹣3，bn=3n﹣1或an=﹣n+12，bn=3 （﹣2）n﹣2…
②由题设b4﹣b3=m，得3q2﹣3q=m，即3q2﹣3q﹣m=0（
）．
因为数列{bn}是唯一的，所以
若q=0，则m=0，检验知，当m=0时，q=1或0（舍去），满足题意；
若q≠0，则（﹣3）2+12m=0，解得m=﹣，代入（
）式，解得q=，
又b2=3，所以{bn}是唯一的等比数列，符合题意．
所以，m=0或﹣．
…
（2）依题意，36=（a1+b1）
（a3+b3），
设{bn}公比为q，则有36=（3﹣d+）（3+d+3q），（
）
记m=3﹣d+，n=3+d+3q，则mn=36．
将（
）中的q消去，整理得：d2+（m﹣n）d+3（m+n）﹣36=0
…
d的大根为=
而m，n∈N
，所以
（m，n）的可能取值为：
（1，36），（2，18），（3，12），（4，9），（6，6），（9，4），（12，3），（18，2），（36，1）．
所以，当m=1，n=36时，d的最大值为．
…