4.4.2 对数函数的图像和性质 教学设计

对数函数的图象和性质
教学目标
1.经历利用描点法或信息技术画出具体对数函数的图象的过程，结合图象的位置、变化趋势及公共点、探索并归纳对数函数的性质，能说出对数函数的定义域、值域、单调性和特殊点，在这一过程中，发展直观想象、数学抽象素养，渗透类比等基本数学思想方法。进一步体会利用直观图象和代数运算研究函数的方法.
2.通过利用对数函数解决简单的实际问题的过程，发展数学运算、数学建模素养.
3.按照函数三要素认识同底的指数函数与对数函数互为反函数，培养逻辑推理素养。
（三）教学重点与难点
教学重点：对数函数的图象和性质，对数函数与指数函数之间的联系，不同底数的对数函数图
象之间的联系。
教学难点：对数函数的图象与指数函数的关系；不同底数的对数函数之间的联系。
教学过程设计
1导入
前面我们已经研究过幂函数和指数函数的图象与性质，类比它们的研究方法和内容，这节课我们来研究对数函数的图象性质。
[师生活动]：教师板书课题。
[设计意图]：温故知新，通过对上节指数函数问题的回顾，提出新的问题，提出研究对数函数图象与性质的方法。渗透类比等基本数学思想方法。
2.问题研究
问题1：请同学们在同一坐标系下作函数和的图象．
问题2：再多选取底数a（a＞０，且a≠１）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性.
问题3：由此你能概括出对数函数（a＞０，且a≠１）的值域和性质吗？
[师生活动]：学生独立思考，小组交流，展示（口述，投影）；教师点拨：教师利用多媒体展示底数变化时，对数函数的图象。
[学生展示结果]:
描点法作图。函数的定义域为，取x的一些值,列表如下：
x … 1 2 4 …
… -2 -1 0 1 2 …
… 2 1 0 -1 -2 …
[设计意图]：通过画出特殊的对数函数的图形，观察归纳出对数函数的性质，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养。
[追问]：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数， 比如和的图象，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？
学生思考发现：函数和的图象都在y轴的右边,关于x轴对称
[学生展示]—学生1．
（1）.函数和的图象都在y轴的右边；
（2）．图象都经过点（1，0）；
（3）．函数的图象自左至右呈上升趋势；函数的图象自左至右呈下降趋势．
（4）.函数和既不是奇函数也不是偶函数。
[学生展示]—学生2
观察两幅图象，得到a>1和0[设计意图]：通过典例问题的分析，让学生进一步熟悉对数函数的图象与性质。培养逻辑推理核心素养。
问题4 如图所示的三个对数函数的图象，则下列选项正确的是（　　）
A．0＜c＜b＜1＜a
B．0＜b＜c＜1＜a
C．1＜b＜c＜a
D．1＜c＜b＜a
3、典例解析
例1 比较下面两个值的大小
(1)，；(2) ，;(3)，
[师生活动]：学生独立思考自行解决，对照课本改正；教师巡查指导。
[设计意图]：通过对应用问题的解决，发展学生数学建模的核心素养；
解析：（1）:用对数函数的单调性，考察函数y=log 2 x ∵2 > 1,∴函数在区间（0，+∞）上是增函数；∵3.4<8.5，∴ ＜
（2）：考察函数y=log 0.3 x , ∵0＜0.3＜1, ∴函数在区间（0，+∞）上是减函数；∵1.8<2.7
∴＞
（3）：考察loga 5.1与 loga5.9 可看作函数y=logax的两个函数值, 对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论;当a ＞ 1时, 因为y=logax是增函数，且5.1 ＜ 5.9，所以loga5.1 ＜ loga5.9 ；当0 ＜ a ＜ 1时, 因为y=logax是减函数，且5.1 ＜ 5.9，所以loga5.1 ＞ loga5.9 ；
变式拓展：本例（2）中log0.31,8改为log0.22.7，比较log0.22.7与log0.32.7的大小关系。
追问：上述比较两对数大小时，你的思路方法是什么？
学生归纳总结：
（1）当底数相同时,利用对数函数的单调性比较大小.
（2）当底数不确定时,要对底数a与1的大小进行分类讨论.
（3）底数不同，真数相同，利用图象或倒数比较.
例2 溶液咸度的测量溶液酒碱度是通过 pH 刻画的. pH的计算公式为： pH =-lg[ H +],
其中[ H +]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔／升.
（1）根据对数函数性质及上述 pH 的计算公式，说明溶液咸度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为[ H +]=10 -7摩尔／升，计算纯净水的 pH 值.
解：（1）根据对数的运算性质 ，
在（0，+）上[ H +]增大，减小，也减小，所以[ H +]增大， pH减小.
（2）当 [ H +]=10 -7 时，10 -7 =7.即净水的为7.
[师生活动]：教师引导学生对问题进行分析,教师板演.教室多媒体展示小知识：事实上，食品监督监测部门检测纯净水的质量时，需要检测很多项目，pH的检测只是其中一项.国家标准规定，饮用纯净水的pH应该在5.0~7.0之间.
[设计意图]：通过对应用问题的解决，发展学生数学建模的核心素养；
4新知学习
问题：学生阅读课本134页—135页内容，了解反函数。思考135页的探究。
学生回答：
已知函数 y=2x （x∈R ，y ∈（0，+∞）） 可得到x=log2y ，对于任意一个y∈（0，+∞），通过式子x=log2y ，x在R中都有唯一确定的值和它对应。也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这是我们就说x=log2y （y∈（0，+∞））是函数 y=2x （ x∈R） 的反函数。
但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数。为此我们常常对调函数x=log2y 中的字母x，y，把它写成y=log2x ,这样，对数函数y=log2x （ x∈（0，+∞） ）是指数函数y=2x （x∈R ）的反函数。
因此，函数 y = log ax (a＞0,且a≠1)与指数函数y = ax为反函数。它们的定义域和值域恰好相反。
[师生活动]：教师板书
[设计意图]：按照函数三要素认识同底的指数函数与对数函数互为反函数，培养逻辑推理素养
5当堂达标
基础层：
（1）函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为(　　)
A．5　　　B. C. D.
（2）.某地去年的GDP(国内生产总值)为3000亿元人民币，预计未来5年的平均增长率为6.8%.
(i)设经过x年达到的年 GDP为y亿元，试写出未来5年内，y关于x 的函数解析式;
(ii)经过几年该地 GDP 能达到3900亿元人民币
提高层
（3）已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象.
（4）函数f(x)＝loga(2x－5)的图象恒过定点________．
（5）比较下列各组数中两个值的大小:
拓展层：
（6）解不等式:
（7）探究复合函数y=log (x -1)的定义域和单调性
[设计意图]：通过练习巩固本节所学知识，巩固对数函数的概念，增强学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。
6 小结
（1）对数函数的图象及性质
（2）反函数
（3）思想方法： 类比的思想方法；类比指数函数的研究方法；数形结合思想方法是研究函数图象和性质；
[师生活动]：学生独自回顾反思，教师点评完善.
[设计意图]：形成知识体系.
7 作业
习题4.4
实践作业：学生查询生活中其他对数函数模型的应用.
有兴趣的学生完成135页探究与发现.