1.3乘法公式（第2课时）平方差公式的应用 课件（共25张PPT）--北师大版（新教材）数学七年级下册教学课件

(共25张PPT)
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
1.3.2平方差公式的应用
第一章 整式的乘除
授课教师： .
班 级： .
时 间： .
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
复习回顾
你还记得平方差公式吗
你能用文字表示这个公式吗
(a + b)(a - b) = a2 - b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
1.3.1 平方差公式 教学课件幻灯片
第1页：情境导入
1. 问题情境：地主将边长为a的正方形土地，一边减5米、邻边加5米续租，张老汉吃亏了吗？
2. 旧知回顾：多项式乘法法则，计算：(x+1)(x-1)、(m+2)(m-2)
3. 引出问题：这类特殊多项式相乘是否有简便规律？
第2页：探究新知——公式推导
1. 自主计算：完成两组算式，观察结果特征
① (x+1)(x-1)=x -1；② (m+2)(m-2)=m -4；③ (2x+1)(2x-1)=4x -1
2. 代数推导：用多项式乘法法则推导(a+b)(a-b)，分步展开得a -ab+ab-b ，合并同类项后得a -b
3. 归纳公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即(a+b)(a-b)=a -b
第3页：公式验证与应用前提辨析
1. 几何验证：展示长(a+b)、宽(a-b)的长方形，通过“大正方形面积-小正方形面积”直观验证公式，理解公式本质
2. 应用前提辨析：只有当两个因式满足“一同一反”（一项完全相同，另一项互为相反数）时，才能用平方差公式简化计算，否则需用多项式乘法法则计算（如(x+1)(x+2)不满足，不可用公式）
第4页：平方差公式的基础应用——典例分析与即时巩固
一、基础应用场景1：直接匹配公式特征（两项式×两项式，满足“一同一反”）
1. 例题讲解：用平方差公式计算
① (5+6x)(5-6x)：明确a=5（相同项），b=6x（相反项），代入公式得5 -(6x) =25-36x
② (-m+n)(-m-n)：先整理因式，相同项为-m，相反项为n与-n，代入得(-m) -n =m -n
2. 即时练习（口答填空）：
(1+x)(1-x)中a=___，b=___，结果=___；(0.3x-1)(1+0.3x)中a=___，b=___，结果=___
第5页：平方差公式的进阶应用——拓展延伸
一、进阶应用场景1：需调整因式顺序匹配公式
拓展思考1：计算(a-b)(-a-b)
分析：先将因式整理为(-b+a)(-b-a)，此时相同项为-b，相反项为a与-a，代入公式得(-b) -a =b -a
二、进阶应用场景2：含常数项与单项式的复杂匹配
拓展思考2：计算(2x+3y)(2x-3y)
分析：相同项为2x，相反项为3y与-3y，结果=(2x) -(3y) =4x -9y
三、应用关键总结：
1. 先找“相同项”和“相反项”，再代入公式，勿混淆“a -b ”的顺序（相同项平方在前）
2. 遇到不符合顺序的因式，先调整位置，确保满足“一同一反”特征再应用公式
（1）(3m + 1)(3m - 1)； （2）(x2 + y)(x2 - y)。
解 ：（1）原式= (3m)2 - 1= 9m2 - 1；
计算：
（2）原式= (x2)2 - y2= x4 - y2。
如图，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形。
（1）请表示图中阴影部
分的面积。
a
b
a2 – b2
新课探究
（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少 你能表示出它的面积吗
(a + b) (a – b)
a-b
a
b
b
（3）比较（1）（2） 的结果， 你能验证平方差公式吗
a
b
a
b
阴影部分的面积相等：a2 – b2 =(a + b)(a – b)
（4）对于阴影部分的面积，你还有其他计算方法
a
b
把阴影部分分割成两个一样的直角梯形，如图所示。
阴影部分的面积：(a + b)(a – b)
a+b
a-b
（1）计算下列各组算式：
7×9 =
8×8 =
11×13 =
12×12 =
79×81 =
80×80 =
63
64
143
144
6399
6400
（2）观察上述算式及其结果，你发现了什么
(a – 1)(a + 1) = a2 – 1。
观察·思考
（3）请用字母表示这一规律。
符合平方差公式。
例 3 用平方差公式进行计算：
（1）103×97； （2）118×122 。
解：（1）103×97
=(100 + 3)(100 – 3)
= 1002 – 32
= 9 991；
（2）118×122
= (120 – 2)(120 + 2)
= 1202 – 22
= 14 396。
(103+97)÷2=100
(118+122)÷2=120
你有什么发现
例 3 计算：
（1）a2(a + b) (a – b) + a2b2；
（2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3)。
解（1）a2(a + b) (a – b) + a2b2；
= a2(a2 – b2) + a2b2；
= a4 – a2b2 + a2b2；
= a4；
例 3 计算：
（1）a2(a + b) (a – b) + a2b2；
（2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3)。
（2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3)
= (2x)2 – 25 – (4x2 – 6x)
= 4x2 – 25 – 4x2 + 6x
= 6x – 25。
知识点1 利用图形验证平方差公式
1.如图①，从边长为的大正方形中剪去一个边长为 的小正方形，再将
阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两个图
中的阴影部分的面积相等可以验证的数学公式为( )
B
A.
B.
C.
D.
2.如图①，阴影部分是边长为的大正方形剪去一个边长为 的小正方形
后得到的图形。若将阴影部分通过分割、拼接，形成新的图形②，则能
够正确表示该图形面积关系的等式是________________________。
知识点2 利用平方差公式进行简便计算
3.运用平方差公式计算：
（________） （_____ ___）
___
________。
200
5
200
5
5
39 975
4.［教材观察·思考变式］计算 的结果为
( )
A
A.1 B. C.2 D.
5.（8分）计算：
（1） ；
解：原式
。
（2） 。
解：原式
。
知识点3 平方差公式的运用
6. 现定义一种新运算“”：对任意有理数， ，都有
，则 ( )
B
A. B. C. D.
7.（8分）计算：
（1） ；
解：原式 。
（2） 。
解：原式
。
8.（4分）[盐城期末] 先化简，再求值： ，
其中， 。
解：原式 。
当，时，原式 。
9.有三个连续的整数，若设中间的数是 ，则这三个整数的积是( )
D
A. B. C. D.
10.若，则 的值为( )
B
A.12 B.10 C.8 D.6
11.计算： ___________。
1 236 321
12.（8分）计算：
（1） ;
解：原式 。
（2） 。
解：原式
。
13.（4分）试说明： 的值
与 的取值无关。
解：原式，所以原式的值与 的取值无关。
课堂小结
原理:等面积法
简便运算
方法:用不同方法表示
同一图形的面积
混合运算
平方差公式
验证公式
应用