1.3乘法公式（第3课时）完全平方公式的认识 课件（共27张PPT）--北师大版（新教材）数学七年级下册教学课件

(共27张PPT)
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
1.3.3 完全平方公式的认识
第一章 整式的乘除
授课教师： .
班 级： .
时 间： .
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
新课导入
什么是多项式乘多项式法则
平方差公式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
(m+a) (n+b) = mn+mb+an+ab
由下面的两个图形你能得到哪个公式
(a + b)(a – b)= a2 – b2
1.3.3 完全平方公式的认识 教学课件幻灯片
第1页：情境导入
1. 问题情境：用边长为(a+b)的正方形地砖铺地，这块地砖的面积如何表示？你有几种表示方法？
2. 旧知回顾：运用多项式乘法法则计算：(m+2) 、(n-3) （提示：(m+2) =(m+2)(m+2)）
3. 引出问题：这类“两数和（或差）的平方”的多项式相乘，是否存在统一的简便规律？
第2页：探究新知——公式推导
1. 自主计算：完成两组算式，观察结果特征
① (m+2) = (m+2)(m+2) = m + 2m + 2m + 4 = m + 4m + 4；
② (n-3) = (n-3)(n-3) = n - 3n - 3n + 9 = n - 6n + 9；
③ (a+b) 、(a-b) （尝试自主展开）
2. 代数推导：
① 推导(a+b) ：(a+b)(a+b) = a + ab + ab + b = a + 2ab + b ；
② 推导(a-b) ：将(a-b)转化为(a+(-b))，代入上式得(a+(-b)) = a + 2a(-b) + (-b) = a - 2ab + b ；
3. 归纳公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍，即：
(a+b) = a + 2ab + b ；(a-b) = a - 2ab + b
第3页：公式验证与本质理解
1. 几何验证：
① 验证(a+b) ：展示边长为(a+b)的正方形，将其分割为边长为a的正方形、边长为b的正方形和两个长a宽b的长方形，面积和为a + 2ab + b ，与公式对应；
② 验证(a-b) ：展示边长为a的正方形，减去两个长a宽b的长方形后，补全边长为b的正方形，最终面积为a - 2ab + b ，直观理解公式；
2. 本质理解：完全平方公式是多项式乘法的特殊形式，核心是“两数和（差）的平方”转化为“平方和与积的2倍的和（差）”
第4页：公式结构辨析与易错提醒
1. 结构辨析：
① 公式左边：两数和或差的平方，形式为(□±△) ；
② 公式右边：三项式，分别是两数的平方和（□ + △ ）、两数积的2倍（±2□△），中间符号与左边括号内符号一致；
2. 易错提醒：
① 避免漏项：切勿将(a+b) 错误写成a + b ，忘记中间的“2ab”项；
② 符号注意：(a-b) 的结果是a - 2ab + b ，不是a - b ，也不是a + 2ab - b ；
3. 即时辨析：判断下列式子是否正确，说明理由：
① (x+1) = x + 1；② (2y-3) = 4y - 12y + 9；③ (m-n) = m - n
第5页：基础应用与课堂小结
1. 基础应用：用完全平方公式计算
① (3x+2) ：确定a=3x，b=2，代入得(3x) + 2×3x×2 + 2 = 9x + 12x + 4；
② (5y-1) ：确定a=5y，b=1，代入得(5y) - 2×5y×1 + 1 = 25y - 10y + 1；
2. 课堂小结：
① 两个完全平方公式：(a+b) = a + 2ab + b ，(a-b) = a - 2ab + b ；
② 结构特征：左平方，右三项，平方和在中间，积的2倍在两边，符号随左定；
③ 核心要点：牢记公式结构，避免漏项和符号错误
新课探究
计算下列各式：
（1）(m + 3)2 ；
（2）(2+ 3x)2 。
（1）(m+3)2
=m2+6m+9
=(m+3)(m+3)
（2）(2+3x)2
=(2+3x)(2+3x)
=4+12x+9x2
观察以上算式及其运算结果， 你有什么发现
m2+2·3m+9
4+2·2·3x+9x2
两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加这两个数乘积的 2 倍。
平方式，两项
首平方，尾平方，
积的2倍放中间
你能再举一些类似的例子验证你的发现
（1）(2x + y)2 ; （2）(3a + 2b)2。
（1）(2x + y)2
=(2x + y)(2x + y)
= 2x·2x + 2x·y + y·2x + y·y
= 4x2 + 4xy + y2
（2）(3a + 2b)2
=(3a + 2b) (3a +2b)
= 3a·3a+3a·2b+2b·3a+2b·2b
= 9a2 +12ab + 4b2
你能用字母表示你发现的规律吗
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
（1）你能用下图解释这一公式吗
b
a
b
a
思考·交流
b
a
b
a
= + +
a2
ab
ab
b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
（2）如何计算(a – b)2 你是怎样做的
(a – b)2
= (a – b)(a – b)
= a2 – 2ab + b2
1
(a – b)2
= [a+(– b)]2
= a2 +2a(– b)+(– b)2
= a2 – 2ab + b2
2
用自己的语言叙述这一公式！
两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍。
b
a
b
a
(a – b)2
a2
ab
ab
b2
= – +
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
请你设计一个图形解释这一公式。
尝试·思考
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
完全平方公式：
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍。
口诀:
首平方，尾平方，首尾二倍中间放。
完全平方公式
平方差公式
整式乘法公式
例 5 利用完全平方公式计算：
（1）(2x – 3)2； （2）(4x + 5y)2； （3）(mn – a)2
解：（1） (2x–3)2 = (2x)2–2·2x·3+32
（2）(4x + 5y )2 = (4x)2 + 2·4x·5y + (5y)2
= 16x2 + 40xy + 25y2 ；
（3） (mn – a)2 = (mn)2 – 2·mn·a + a2
= m2n2 – 2amn + a2。
(a -b)2
a2 - 2ab + b2
= 4x2–12x+9；
如果将 (a + b)n（n 为非负整数）的每一项按字母 a 的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
阅读·思考
(a + b)0 = 1，它只有一项，系数为 1；
(a + b)1 = a + b，它有两项，系数分别是 1， 1；
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2，它有三项，系数分别是 1， 2， 1；
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3，它有四项，系数分别是 1， 3， 3， 1.
如果将上述每个式子的各项系数排成下表， 那么你能发现什么规律
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
按照这个规律可以继续将这个表写下去：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
……
杨辉三角
知识点1 完全平方公式的认识
1.根据完全平方公式填空：
（1）___ _________ _____________；
（2）（_____） （_____） ____（____）
_________________；
（3）（______） （______） （____） （
____） _________________。
2
2
2.计算 的结果正确的是( )
D
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
C
A. B.
C. D.
4.（16分）运用完全平方公式计算：
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式 。
（3） ；
解：原式 。
（4） 。
解：原式
。
知识点2 用图形验证完全平方公式
5.如图，根据图中阴影部分的面积关系，得到的数学公
式是( )
C
A. B.
C. D.
6.［教材P 21随堂练习T 2变式］已知，则 __。
7.若，则 _______。
8.若，则， 的值分别是_ ______。
，
9.（8分）运用完全平方公式计算：
（1） ;
解：原式 。
（2） 。
解：原式
。
10. 我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方
的展开式中的各系数规律，称之为“杨辉三角”（如图），这个“三角形”
给出了的展开式的系数规律（按 的次数由大到
小的顺序）。
根据上述规律，的展开式中含 项的系数为_____。
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课堂小结
（a±b）2 = a2 ± 2ab + b2
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍。
语言叙述：
完全平方公式：