1.3乘法公式（第4课时）完全平方公式的应用 课件（共40张PPT）--北师大版（新教材）数学七年级下册教学课件

(共40张PPT)
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
1.3.4完全平方公式的应用
第一章 整式的乘除
授课教师： .
班 级： .
时 间： .
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
前面我们学习了完全平方公式：
复习导入
口诀:首平方，尾平方，首尾乘积的2倍放中间。
(1) 1022=(100+2)2
=1002+2×100×2+22
=10000+400+4
=10404
新课探究
怎样计算1022，1972更简单呢
(2)1972=(200-3)2
=2002-2×200×3+32
=40000-1200+9
=38809
你是怎样做的 与同伴进行交流。
1.3.4 完全平方公式的应用 教学课件
第1页：复习回顾
1. 完全平方公式：(a+b) =a +2ab+b ；(a-b) =a -2ab+b
2. 结构口诀：首平方，尾平方，积的2倍在中间，符号随括号内符号定
3. 提问：公式中a、b可以表示哪些数或式子？（引导学生明确a、b可表示单项式、多项式）
第2页：基础应用·直接套用
例1：计算下列各式
（1）(2x+3y) （2）(m-5) （3）(-a+2b)
教学步骤：
1. 学生独立尝试，指名板演；2. 师生共评，强调找准“首、尾”，规范步骤；3. 小结：含负号时可转化为(a+b) 形式计算，如(-a+2b) =(2b-a)
第3页：进阶应用·简便计算
例2：用完全平方公式简便计算
（1）102 （2）99
教学步骤：
1. 引导转化：102=100+2，99=100-1；2. 学生分组计算，分享思路；3. 小结：将接近整十、整百的数拆成“整十/百数±小数”，简化运算
第4页：易错辨析·避坑指南
常见错误展示与纠正：
1. 错误：(x+2) =x +4 纠正：遗漏中间项2·x·2=4x，正确结果x +4x+4
2. 错误：(3a-2b) =9a -6ab+4b 纠正：中间项系数应为2·3a·2b=12ab，正确结果9a -12ab+4b
3. 小组讨论：如何避免上述错误？（强化“积的2倍”不可漏，系数要乘满）
第5页：拓展应用·整体代入
例3：已知a+b=5，ab=3，求a +b 的值
教学步骤：
1. 引导变形：a +b =(a+b) -2ab；2. 代入数值计算：5 -2×3=25-6=19；3. 小结：利用公式变形，将未知转化为已知条件，渗透整体思想
第6页：课堂小结
1. 完全平方公式应用的三种常见类型：直接套用、简便计算、整体代入
2. 核心要点：找准首末项，牢记中间项，符号细分辨，变形巧应用
3. 思想方法：转化思想、整体思想、数形结合思想（回顾公式几何意义）
例6 计算：
（1）(x+3)2-x2；
（2）(a+b+3) (a+b-3)；
（3）(x+5)2-(x-2)(x-3)；
（4）[(a+b)(a-b)]2。
解：
（1）(x+3)2-x2
=x2+6x+9-x2
=6x+9；
（2）(a+b+3) (a+b-3)
= [(a+b)+3][(a+b)-3]
= (a+b)2-32
= a2+2ab+b2-9
例6 计算：
（1）(x+3)2-x2；
（2）(a+b+3) (a+b-3)；
（3）(x+5)2-(x-2)(x-3)；
（4）[(a+b)(a-b)]2。
（4） [(a+b)(a-b)]2
= (a2- b2)2
= a4-2a2b2+b4。
（3）(x+5)2-(x-2)(x-3)
= x2+10x+25-(x2-5x+6)
= x2+10x+25-x2+5x-6
= 15x+19
利用整式乘法公式计算：
(1) 962
(2) (a-b-3) (a-b+3)
解：962
=(100-4)2
=1002-2×100×4+42
=10000-800+16
=9216
解：(a-b-3) (a-b+3)
=(a-b)2-32
=a2-2ab+b2-9
随堂练习
观察下图，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵的点数之和一样多吗 请用所学的公式解释自己的结论。
观察·思考
…
1×1
2×2
3×3
解:m×m 点阵中的点数:m2；
n×n 点阵中的点数:n2；
m×m 点阵、n×n 点阵中的点数之和:m2+n2；
(m+n)×(m+n)点阵中的点数:(m+n)2。
(m+n)2-(m2+n2)＝m2+2mn+n2-m2-n2＝2mn。
所以(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m 点阵、n×n 点阵中的点数之和不一样多。
…
1×1
2×2
3×3
1.计算：
（1）(x+7y)(x-7y)；
（3）(mn-3n)(mn+3n) ；
（5）(-x-2y)(-x+2y) ；
（2）(0.2x-0.3)(0.2x+0.3)；
（4） (-2x+3y)(-2x-3y) ；
（6） (5m-n)(-5m-n) 。
解：（1）原式= x2-49y2；
（2）原式= 0.04x2-0.09；
（3）原式= m2n2-9n2；
（4）原式= 4x2-9y2；
（5）原式= x2-4y2；
（6）原式= n2-25m2。
2.计算：
（1）(2m+3)(2m-3)；
（2）x(x+1)+(2-x)(2+x) ；
（3）(3x-y)(3x+y)+y(x-y) ；
（4）(a+ b)(a-b)-(3a-2b)(3a+2b)。
解：（1） 原式=4m2-9；
（2） 原式=x2+x+4-x2=x+4；
（3） 原式=9x2-y2+xy+y2=9x2+xy；
2.计算：
（1）(2m+3)(2m-3)；
（2）x(x+1)+(2-x)(2+x) ；
（3）(3x-y)(3x+y)+y(x-y) ；
（4）(a+ b)(a-b)-(3a-2b)(3a+2b)。
（4） 原式=a2- b2- (9a2- 4b2)=a2- b2- 9a2+4b2
=-8a2+b2；
3.计算：
（1） (2x+5y)2；
（4） (x+)2 ；
（2）(m-)2；
（5）(7ab+2)2 ；
（3）(-2t-1)2；
（6）(-cd+)2 。
解：（1）原式=4x2+20xy+25y2；
（2）原式= m2-m+；
（3）原式= 4t2+4t+1；
3.计算：
（1） (2x+5y)2；
（4） (x+)2 ；
（2）(m-)2；
（5）(7ab+2)2 ；
（3）(-2t-1)2；
（6）(-cd+)2 。
（5）原式= 49a2b2+28ab+4 ；
（4）原式= x2+y+y2；
（6）原式= c2d2-cd+。
4.一个圆的半径为r(r>2)cm，半径减少 2 cm 后，
这个圆的面积减少多少
解：πr2-π(r-2)2=πr2-π(r2-4r+4)
=πr2-πr2+4πr-4π
=(4πr-4π)cm2。
所以这个圆的面积减少了(4πr-4π)cm2。
5.计算：
（1） (2x+y+1)(2x+y-1) ；
（3） (ab+1)2-(ab-1)2；
（2）(x-2)(x+2)-(x+1) (x-3)；
（4）(2x-y)2-4(x-y)(x+2y)。
解：（1）原式=(2x+y)2-12=4x2+4xy+y2-1；
（2）原式=x2-4-(x2-3x+x-3)=2x-1；
5.计算：
（1） (2x+y+1)(2x+y-1) ；
（3） (ab+1)2-(ab-1)2；
（2）(x-2)(x+2)-(x+1) (x-3)；
（4）(2x-y)2-4(x-y)(x+2y)。
（4）原式=4x2-4xy+y2-4(x2+2xy-xy-2y2)
=4x2-4xy+y2-4x2-4xy+8y2
=9y2-8xy。
（3）原式=[(ab+1)+(ab-1)]·[(ab+1)-(ab-1)]
=2ab·2=4ab；
6.利用平方差公式计算：
（1）1 007×993 ；
（2）108×112。
解：（1）1007×993
=(1000+7)(1000-7)
=10002-72
=1 000 000-49
=999 951；
（2）108×112
=(110-2)(110+2)
=1102-22
=12 100-4
=12 096。
7. 一个底面是正方形的长方体，高为6cm，底面正方形边长为5cm。如果它的高不变，底面正方形边长增加a cm，那么它的体积增加多少
解： (5+a)2×6-52×6
=(25+10a+a2)×6-25×6
=150+60a+6a2-150
=(60a+6a2) cm3
所以它的体积增加了(60a+6a2)cm3。
8.利用完全平方公式计算：
（1）632；
（2）9982。
解：（1） 632=(60+3)2
=602+2×60×3+32
=3969；
（2） 9982=(1000-2)2
=10002-2×1000×2+22
=996004。
9.借助几何图形可以直观解释平方差公式和完全平方公式，其他乘法算式是否也可以用几何图形直观解释呢 请举例说明你的思考。
解：略。
10.计算：
（1） (an+ b)(an-b) ；
（2） (a+1)(a-1)(a2+1)。
解：（1） (an+ b)(an-b)=(an)2 - b2
=a2n - b2；
（2） (a+1)(a-1)(a2+1)=(a2-1) (a2+1)
= a4-1。
11.观察下列各式：
152=225，252=625，352=1225，······
个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字有什么规律 为什么 你还能找到哪些类似的规律 试举一例。
解：末尾的两个数都是 25。理由:设个位数字是5 的两位数为 10a+5，则(10a+5)2=(10a)2+2·10a·5+52= 100a2+100a+25。由此可知此数末尾的两个数为25。举例略。
12.计算：(a+b)4。
解：(a+b)4=(a+b)2(a+b)2
=(a2+2ab+b2) (a2+2ab+b2)
=a4+2a3b+a2b2+2a3b+4a2b2+2ab3+a2b2+2ab3+b4
=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。
※13.计算：(a+b+c)2。
解： (a+b+c)2=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=(a2+2ab+b2)+2ac+2bc+c2
= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc。
知识点1 利用完全平方公式进行简便计算
1.计算：
（1）（________）________ ________ ___
；
（2）（________）_______ ________ ____
。
100
2
100
2
100
2
2
10
0.2
10
2
10
0.2
0.2
2.（8分）用完全平方公式计算：
（1） ；
解： 。
（2） 。
解：
。
知识点2 与完全平方公式有关的综合运算
3.计算： ________。
4.下列计算正确的是( )
A
A.
B.
C.
D.
5.（16分）［教材 例6变式］计算：
（1） ；
解：
。
（2） ；
解： 。
（3） ；
解：
（4） 。
解： 。
。
6.（4分）[太原模拟] 先化简，再求值：
，其中, 。
解：原式
。
当, 时，
原式 。
7. 等于( )
C
A. B. C. D.
8.如图，在长为、宽为 的长
方形铁片上，挖去边长为 的正方形铁
片，则剩余部分的面积为( )
D
A. B.
C. D.
9.（8分）计算：
（1） ；
解： 。
（2） 。
解： 。
10.（4分）有这样一道题：“化简求值：
，其中 。”小浩同学
在解题时错误地把“”抄成了“ ”，但计算的结果也
是正确的，你能解释一下这是怎么回事吗？
解：原式 。
因为结果中不含字母 ，
所以小浩同学在解题时错误地把“”抄成了“ ”，但
计算的结果也是正确的。
11.（8分） 将完全平方公式：
， 进行适当变形，
可以解决很多数学问题。例如：若，，求 的值。
解：因为， ，
所以， 。
所以 。
所以 。
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）①若，，则 ____；
②若，，则 的值为___；
③若，，则 ____；
④若，则 _____；
（2）如图，点是线段上的一点，以， 为边向两边作正方形，
已知，两正方形的面积和 ，求图中阴影部分的面积。
解：设，，则， 。
因为，所以 。
因为，所以，所以 ，所以
，所以 ，
所以，即 ，
所以阴影部分的面积为 。
课堂小结
简便运算
混合运算
平方差公式的应用
实际应用:运用完全平方公式进行推理