2.1两条直线的位置关系(第2课时）垂线 课件（共41张PPT）--北师大版（新教材）数学七年级下册教学课件

(共41张PPT)
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
2.1两条直线的位置关系(第2课时）
垂线
第二章 相交线与平行线
授课教师： .
班 级： .
时 间： .
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题引入，自主探究
探究点1：垂直、垂线、垂足的概念
取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a ，转动木条 b，a、b 所成的夹角 α 。
a
b
α
转动木条的同时观察其夹角的变化。
α
α
α
α
b
b
b
b
垂线教学课件幻灯片（教学过程部分）
幻灯片1：复习导入（核心：唤醒旧知，激发探究）
1. 回顾概念：提问“什么样的两条直线互相垂直？”引导学生回答“相交成直角的两条直线互相垂直”，出示水平、斜向两组垂直图示，强调“直角”是核心，打破“竖直才垂直”的误区。
2. 情境设问：在黑板直线上标一点A、直线外标一点B，提问“如何从A或B出发画一条直线与已知直线垂直？”引出课题——画垂线。
幻灯片2：探究新知一（核心：过直线上一点画垂线）
1. 尝试操作：学生用三角尺、直尺自主尝试，教师巡视观察学情。
2. 示范讲解：分步演示“放（三角尺一条直角边与直线重合）→移（直角顶点与点A重合）→画（沿另一条直角边画直线）→标（标注垂直符号⊥）”，板书关键步骤。
3. 模仿练习：学生同步操作，教师针对性指导。
幻灯片3：探究新知二（核心：过直线外一点画垂线）
1. 迁移类推：提问“与过直线上一点画图有何异同？”引导学生自主尝试。
2. 重点突破：演示“移”的关键——使三角尺另一条直角边经过点B，强调与上一方法的差异。
3. 规律总结：引导学生发现“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，齐读强化记忆。
幻灯片4：巩固深化（核心：强化应用）
1. 基础练习：给出两组图形，分别过直线上、外一点画垂线。
2. 拓展判断：展示若干相交直线，判断是否垂直并说明理由。
3. 生活联结：找一找教室中的垂线，感受数学与生活的联系。
幻灯片5：课堂小结（核心：梳理回顾）
1. 回顾重点：画垂线的规范步骤、关键要领。
2. 总结收获：强调“重合”的重要性及垂线的性质，梳理知识脉络。
a 与 b 垂直
(1)当 ∠α 分别为 35°、90° 时，其余的角分别是多少？
a
b
α
(2)当 ∠α 为 90° 的位置关系有几个？
此时，木条 a 和木条 b 所在的直线有什么样的位置关系？
a
α
b
唯一一个
35°
145°
145°
35°
90°
90°
90°
90°
表示方法：
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线。
概念引入
它们的交点叫作垂足(如图O点)
C
D
A
B
O
①
如图① 记作：AB⊥CD
如图② 记作：l ⊥ m
O
②
l
m
生活中我们还在哪些地方见过这样的垂线呢？
窗户
黑板
墙角
栏杆
探究点2：垂直的判定与性质
如图，O为直线AB上一点。
(1)如果∠AOC=∠BOC，那么OC与AB垂直吗？为什么？
A
B
C
O
由∠AOC=∠ BOC，且∠AOC+∠ BOC=180°，
可得∠AOC =∠ BOC = 90°，所以 OC⊥AB。
(2)以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗？你知道她每一步的依据吗？与同伴进行交流。
(3)如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC吗？为什么？与同伴进行交流。
所以 OC⊥ AB
可得∠AOC =∠BOC=90°
且∠AOC+∠BOC=180°
由∠AOC =∠BOC，
(已知条件)
(补角的性质)
(角的数量关系)
(垂直的定义)
(3)因为 OC⊥AB (已知)
所以 ∠AOC=∠BOC=90°
垂直的性质：
因为 AB⊥OC(已知) ，
所以∠AOC = 90°(垂直的定义)
垂直的判定：
因为∠AOC ＝ 90°(已知)，
所以 AB⊥OC (垂直的定义)
A
B
C
O
问题1：你能用折叠的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！
探究点3：垂线的画法及性质
问题2：如果只用直尺，你能画出方格纸上已知直线的垂线吗？你还能再画出两条互相垂直的直线吗？
问题3：根据下图要求你能用量角器作已知直线的垂线吗？
点 A 在直线 l 上
A
点 A 在直线 l 外
A
l
l
问题4：根据题中要求作直线的垂线。
(1)如图，你能用三角尺画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条
(2)如图，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条？
(3)如图，如果点B在直线 l 外呢？你是怎样做的？与同伴进行交流
A
B
m
O
无数条
l
问题4：根据题中要求作直线的垂线。
(1)如图，你能用三角尺画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条
(2)如图，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条？
A
B
m
O
无数条
l1
一条
l
(3)如图，如果点B在直线 l 外呢？你是怎样做的？与同伴进行交流
问题4：根据题中要求作直线的垂线。
(1)如图，你能用三角尺画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条
(2)如图，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条？
A
B
m
O
无数条
l1
一条
一条
l
(3)如图，如果点B在直线 l 外呢？你是怎样做的？与同伴进行交流
(4)如图，点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足。点A，B，C在直线l上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？
P
A
B
C
O
l
线段PO 的长度最短
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
P
A
B
O
l
C
线段 PO 的长度叫作点P到直线l的距离。
垂线、垂线段和点到直线的距离这三个概念的区别与联系
垂线 垂线段 点到直线的距离
图示
区别
联系 垂线是一条直线
垂线段是一条线段
垂线段的长度，是一个数量
它们都与垂直有关
l
P
O
l
P
O
l
P
O
知识技能
1.如图，直线a，b相交，∠1=38°，求∠2，∠3，∠4的度数。
a
b
1
2
4
3
解：
因为 ∠1=38°，
所以 ∠3=∠1=38°，
所以 ∠2=180°-∠1=142°，
所以 ∠4= ∠2 =142°。
2.请举出一些日常生活中线段互相垂直的实例。
3.如图，如果把街道近似地看成直线，那么哪些街道互相平行？哪些街道互相垂直？
工人体育场北路
朝阳北路
建国路
东二环
东三环北路
东四环中路
解：
互相平行的街道
工人体育场北路，朝阳北路与建国路；
东二环，东三环北路与东四环中路；
互相垂直的街道
东二环与工人体育场北路、朝阳北路、建国路分别垂直；
东三环北路与工人体育场北路、朝阳北路、建国路分别垂直；
东四环中路与工人体育场北路、朝阳北路、建国路分别垂直。
数学理解
4.互为补角的两个角可以都是锐角吗？为什么？可以都是直角吗？可以都是钝角吗？
根据补角的定义知，互补的两个角度数和为180°，所以互为补角的两个角不可以都是锐角；可以都是直角；不可以都是钝角。
问题解决
5.如图，在长方形的台球桌面上，∠1+∠3=90°，∠2=∠3。
(1)如果∠2=58°，那么∠1等于多少度？
(2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答。
2
3
1
5.如图，在长方形的台球桌面上，∠1+∠3=90°，∠2=∠3。
(1)如果∠2=58°，那么∠1等于多少度？
2
3
1
解：
因为 ∠1+∠3=90°，∠2=∠3，
所以 ∠1+∠2=90°。
又因为 ∠2=58°，
所以 ∠1=90°- 58°=32°。
5.如图，在长方形的台球桌面上，∠1+∠3=90°，∠2=∠3。
(2) 请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答。
2
3
1
4
解：如图，构建∠4，如果∠4=40°那么∠1等于多少度？
因为 ∠2+∠4=90°，∠4=40°，
所以 ∠2=90°- 40°=50°。
又因为 ∠2=∠3，∠1+∠3=90°，
所以 ∠1=90°- 50°=40°。
6.如图，一棵树生长在30°的山坡上，树干与山坡所成的锐角是多少度？
30°
1
解：设树干与山坡所成角为∠1。
因为 ∠1+30°=90°，
所以 ∠1=90°- 30°=60°。
答：树干与山坡所成的锐角为60°。
7.如图，要把水渠中的水引到 C 点，在渠岸 AB 的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由。
A
B
C
D
解：如图，过点 C 作 CD ⊥ AB ，垂足为 D，沿线段 CD 开渠最短，依据是“垂线段最短”。
8.请举出一些日常生活中应用“垂线段最短”的实例。
线路铺设
道路及桥梁的建造
9.如图所示，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象。图中∠1和∠2是对顶角吗？
1
2
解：入射光线和折射光线并不在同一条直线上，不满足对顶角的定义所以∠1和∠2不是对顶角。
联系拓广
知识点1 垂直的定义
1.如图，于点，则的度数为_____；若 ，
则 的度数为_____。
（第1题）
2. 如图，这是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，
光能利用率最高。春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角 为 。
若光能利用率最高，则集热板与水平面的夹角 的度数是( )
C
（第2题）
A. B. C. D.
3.如图，直线，相交于点 ，下列条件：
； ；
。其中能说明 的有( )
B
A.②③ B.①② C.①③ D.①②③
4.（4分）如图，直线和相交于点， ，
是射线，且， ，若
，求 的度数。
解：因为， ，
所以 。
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 。
知识点2 垂线的画法
5.[韶关期末] 利用三角尺，过直线外的点作直线 的垂线，下列各图
中，三角尺操作正确的是( )
C
A. B. C. D.
6.（12分）如图所示。
（1）在图①中过点画 的垂线；
解：如图①所示。
（2）在图②中过点画 的垂线；
解：如图②所示。
（3）在图③中过点画 的垂线。
解：如图③所示。
知识点3 垂线的性质和点到直线的距离
（第7题）
7.如图，是直线外一点，点，，在直线 上，连接
，，。若，则点到直线 的距离是( )
B
A.线段的长 B.线段 的长
C.线段的长 D.线段 的长
8.[广西中考改编] 在跳远比赛中，某同学从点 处起跳后，在沙池留下
的脚印如图所示，测量线段 的长度作为他此次跳远成绩（最近着地
点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是____________。
垂线段最短
（第8题）
9.如图，已知，，所以与 重合，其理由是
__________________________________________________。
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
（第9题）
（第10题）
10.如图，直线，，交于点， 平分
，且， ，则 的度
数是( )
A
A. B. C. D.
线
平
行
线
相
交
线
两条
直线
相交
一般情况
补角
对顶角
相交成直角
垂直
位置
关系
余角
点到直线的距离
两条直线被第三条所截
同位角、内错角、同旁内角
概念
两直线平行的条件
两直线平行的性质
概念
性质
概念
性质
概念
性质
两个角有公共点，它们的两边互为反向延长线。
对顶角相等
两个角的和为180°，称两个角互补。
同角(或等角)的补角相等
两个角的和为90°，称两个角互余。
同角(或等角)的余角相等
课堂小结
概念
性质
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直。
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离