4.1 认识三角形（第3课时）三角形的高、中线与角平分线 课件（共55张PPT）--北师大版（新教材）数学七年级下册教学课件

(共55张PPT)
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
4.1 认识三角形（第3课时）
三角形的高、中线与角平分线
第四章 三角形
授课教师： .
班 级： .
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新课导入
如图，在△ABC中，点D是BC边上的一个动点，连接AD，在点D的运动过程中，观察点D或线段AD有哪些特殊的位置。说说你的想法，并于同伴进行交流。
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。
所以AD是△ABC的BC边上的高。
因为 AD⊥BC（∠BDA =90°)，
符号语言：
新课探究
探究点1：认识三角形的高、中线、角平分线
一个三角形能画几条高线？
A
B
C
D
一个三角形有三个顶点，应该有三条高。
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三角形的中线。
所以 AD是△ABC的BC边上的中线。
符号语言：
若点D是BC的中点，△ABD与△ACD的面积相等吗
S△ABD=S△ACD
因为 BD=DC= BC ，
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。
所以 AD是△ABC的一条角平分线。
符号语言：
因为 ∠1=∠2= ∠BAC ，
三角形的角平分线与角的平分线有什么关系
区别：三角形的角平分线是线段，
而角的平分线是一条射线；
联系：它们都平分角，
（1）在纸上画一个锐角三角形，并画出它的三条中线，它们有怎样的位置关系？
A
B
C
E
F
G
H
相交于一点
探究点2：三角形三条中线、角平分线和高所在直线分别交于一点
（2）钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？画一画，折一折，并于同伴进行交流。
A
C
B
A
B
C
H
H
（3）如图，用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，怎样确定这个点的位置吗
不经过尝试，你能直接确定这个点的位置吗
三角形的三条中线交于一点。 这个点称为三角形的重心。
请你探究三角形的三条角平分线是否交于一点。你是怎样做的
准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个。
你能分别画出这三个三角形的三条角平分线
分别画出这三个三角形的三条角平分线。
在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系
三角形的三条角平分线交于一点。
这个点称为三角形的内心。
1.准备一个锐角三角形纸片.
（1）你能画出这个三角形的三条高吗 你能用折纸的办法得到它们吗
（2）这三条高之间有怎样的位置关系？
锐角三角形的三条高在
三角形的内部交于一点.
思考·交流
2.在纸上画出一个直角三角形.
（1）画出直角三角形的三条高。
（2）它们有怎样的位置关系？
直角三角形的三条高交于直角顶点处.
（1）画出钝角三角形的三条高。
（2）钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？
3.在纸上画出一个钝角三角形。
O
钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在三角形的外部。
钝角三角形的三条高不相交。
三角形的高线 锐角 三角形 直角 三角形 钝角
三角形
图形
在三角形内部的数量
是否相交
所在直线是否相交
所在的直线的交点位置
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形内部
直角顶点
三角形外部
三角形的三条高所在的直线交于一点。
这个点称为三角形的垂心。
解:根据三角形三个内角的和等于180°，
得 x+2x+3x=180，
解得 x=30。
所以2x°=2×30°=60° ，
3x°=3×30°=90° ，
即△ABC各内角的度数分别为30°，60°，90°。
1.如图，求△ABC各内角的度数。
2. 在下面的空白处，分别填入“锐角”“钝角”或“直角”：
(1)如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是_______三角形；
(2)如果三角形的一个内角等于另外两个内角之和，那么这个三角形是_______三角形；
(3)如果三角形的两个内角都小于40°，那么这个三角形是_______三角形。
锐角
直角
钝角
3.在直角三角形中，较大锐角是较小锐角的2倍，求较大锐角的度数。
解:设较大锐角的度数是x°，则较小锐角的度数是 x°，
所以较大锐角的度数是60°。
则x + x =90，
解得 x = 60。
4.如图，已知∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是 D。
图中有几个直角三角形？是哪几个 分别说出它们的直角边和斜边。
解:(1) 图中有三个直角三角形。
分别是Rt△ACD，Rt△BCD，Rt△ABC。
Rt△ACD的直角边是AD 和CD，斜边是AC；
Rt△BCD 的直角边是CD 和BD，斜边是BC；
Rt△ABC 的直角边是AC和BC，斜边是AB。
∠1和∠A互余，∠2和∠A相等。
4.如图，已知∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是 D。
(2) ∠1和∠A有什么关系 ∠2和∠A呢
5.下列每组数据分别是三根小棒的长度，用它们能摆成三角形吗 实际摆一摆，验证你的结论。
(1) 3cm，4cm，5cm； (2) 8cm，7cm，15 cm；
(3) 13 cm，12 cm，20 cm；(4) 5cm，5cm，11cm。
解: (1)(3)能，(2)(4)不能。
6. 如图，在△ABC 中，BC 边上的高是_______ ，AB 边上的高是_______；在△BCE 中，BE 边上的高是_______ ，EC 边上的高是_______ ；在△ACD 中，AC 边上的高是_______，CD 边上的高是_______。
AF
CE
CE
BE
CD
AC
7.在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，
AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数。
解:因为∠BAC=60 °，AD 平分∠BAC，
所以∠ADB = 180°-∠B-∠BAD = 105 °。
所以∠BAD = ∠BAC = 30 °。
又因为∠B = 45 °，
8.下图中，△ABC的BC边上的高画得对吗？AB边上的高呢？若不对，请改正。
BC边上的高AG
(1)
AB边上的高BG
(2)
解: (1)对。
(2)不对。改正如下图所示。
D
解: (1) ∠ACB=40°。
9.如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔。
(1) 当轮船从A点行驶到B点时，∠ACB的度数是多少
(2)过点C 作 AB 所在直线的垂线，设垂足为D。 则轮船行驶到D点时距离灯塔最近。
理由:直线外的一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
9.如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔。
(2)轮船行驶到哪一点时距离灯塔最近 为什么
D
9.如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔。
(3) 根据这一情境，你还能提出哪些问题
10.你在小学学习时是如何探索三角形内角和的 本节你探索三角形内角和的方法与在小学学习的方法有什么不同
11.等腰三角形一边长 9 cm，另一边长 4 cm，它的第三边的长是多少 为什么
解: 第三边的长是 9 cm。理由:
若腰长为 4 cm，则第三边的长为 4 cm，
此时三边长分别为9 cm，4 cm，4 cm。
因为4+4=8＜9，所以不能组成三角形。
若腰长为9 cm，则第三边的长为9 cm，
此时三边长分别为9 cm，4 cm，4 cm，符合题意。
综上所述，第三边的长是 9 cm。
12. 小亮想用长度均为奇数(单位：cm)的三根小棒摆成一个三角形，其中两根小棒的长度分别为9cm 和3cm，第三根小棒的长度可以是多少厘米
解:设第三根小棒的长度是 x cm，则6＜x＜12。
因为 x 为奇数，
所以x = 7或9或11。
故第三根小棒的长度可以是 7 cm，9 cm，11 cm。
13. 一个缺角的三角形残片如图所示。
(1) 不恢复这个缺角，你能画出 AB 边上的高所在的直线吗？你是如何画的？依据是什么
解:(1)能。
画法:如图，先作出分别经过点A，B 的三角形的两条高，交点为点C，再过点C 作AB 的垂线，这条垂线即为所作。
依据:三角形的三条高交于一点。
13. 一个缺角的三角形残片如图所示。
(2) 小明分别画出∠A和∠B的平分线，两线交于点D，又找到AB边的中点E，画直线 DE，小明说他画出了第三个角的平分线所在的直线。你认为他说的对吗 为什么
不对
14. 如图，在△ABC中，∠A=62°，∠B=74°，CD是△ABC的角平分线，点E在AC上，且DE//BC，求∠EDC的度数。
解:因为∠A+∠B+∠ACB = 180°，
∠A=62°，∠B=74°，
所以∠ACB =180°-∠A-∠B
= 180°-62°-74°= 44°。
又因为CD平分∠ACB，
因为DE∥BC，所以∠EDC =∠BCD =22°。
所以∠BCD= ∠ACB= 22°。
15.请查阅资料了解重心的意义，以及确定一个物体重心的一些方法。
知识点1 三角形的高
1.如图， 。
（第1题）
（1）在中， 边上的高是____；
（2）在中， 边上的高是____；
（3）在中， 边上的高是____。
2.如图，已知，为边上的高，若 ，则 的度
数为_____。
（第2题）
3.如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，， 均在
小正方形的顶点上。
（1）画出的边上的高 ；
解：如图， 即为所求。
（2） 的面积为____。
12
知识点2 三角形的中线
（第4题）
4.如图，已知是的中线，，则 的
长为( )
B
A.4 B.5 C.6 D.8
5.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，， ，
，均在小正方形的顶点上，则 的重心是_____。
点
（第5题）
6.如图，在中，是边上的中线，的面积是 ，
则的面积是____ 。
12
（第6题）
7.[绍兴月考] 如图，已知为的中线， ，
，的周长为，则的周长为____ .
22
知识点3 三角形的角平分线
（第8题）
8.[北京朝阳区月考] 如图，若是 的角平分线，
则下列结论不正确的是( )
C
A.平分 B.
C. D.
（第9题）
9.如图，是的角平分线,是 的角平
分线,若 ,则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
10.（4分）如图，是的角平分线，，且交 于点
，点在边上，，则与 有什么位置关系？并说明理由。
解： 。理由如下：
因为,所以 。
因为是 的角平分线，
所以。所以 。
又因为，所以 。
所以 。
11.下列说法错误的是( )
C
A.三角形的三条角平分线都在三角形内部
B.三角形的重心是三角形三条中线的交点
C.三角形的三条高都在三角形内部
D.三角形的中线、角平分线、高都是线段
12.[天津和平区期末] 在中，，中线 将这个三角形的
周长分为15和21两部分，则 的长为( )
C
A.16 B.11 C.16或8 D.11或1
13.（8分）如图，是的边上的高，是 的一条角平
分线。
（1）若 ， ，求 的度数。
解：因为是 的高，
所以 。
又因为 ，所以 。
因为 ， ，
所以 。
因为是 的角平分线，
所以 ，
所以 。
（2）若 ， ，请用含 ， 的式子表示 的度数。
（直接写出答案）
解： 。
B
A
C
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
E
F
D
C
B
A
E
F
O
D
B
C
A
E
F
三角形的重要线段
高
角平分线
重心
课堂小结
中线
平分线段
平分面积
垂心
内心