5.2.2线段垂直平分线的性质 课件（共27张PPT）--北师大版（新教材）数学七年级下册教学课件

(共27张PPT)
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
5.2.2线段垂直平分线的性质
第五章 图形的轴对称
授课教师： .
班 级： .
时 间： .
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
线段AB是轴对称图形吗
A
B
新课探究
如果是，请描述它的对称轴的特点
线段AB是轴对称图形。
对称轴垂直且平分线段AB。
探究点1：线段垂直平分线的性质
线段是轴对称图形， 垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴。
垂直于一条线段， 并且平分这条线段的直线， 叫作这条线段的垂直平分线(简称“中垂线”)。
A
B
线段垂直平分线的定义:
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线段垂直平分线的性质及画法 线段垂直平分线的性质及画法
线段垂直平分线的性质及画法（完整版，适合初中数学）
一、线段垂直平分线的定义
经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 关键点：① 过中点 ② 与线段垂直 缺一不可
二、线段垂直平分线的核心性质（重中之重）
性质定理：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等
几何语言：
已知：直线
MN
是线段
AB
的垂直平分线，垂足为
C
，点
P
在直线
MN
上
结论：
PA=PB
理解：垂直平分线上所有点都满足 “到两端点距离相等”，这个性质常用来证明两条线段相等。
性质定理的逆定理（判定）：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
几何语言：
已知：点
P
满足
PA=PB
结论：点
P
在
线
段
的垂直平分线上
理解：只要一个点到线段两端距离相等，这个点一定在中垂线上；所有满足该条件的点连起来，就是这条线段的垂直平分线。
补充结论：三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，到三角形三个顶点的距离相等。
三、线段垂直平分线的 2 种画法（必考，两种都要掌握）
画法一：尺规作图法（考试标准画法，必须掌握）
—— 尺规作图：只用圆规 + 无刻度直尺，保留作图痕迹，不需要写画法，写 “如图，直线
MN
即为所求” 即可作图步骤（以作线段
AB
的垂直平分线为例）：
分别以线段的两个端点
、
为圆心，以大于
2
1

AB
的长度为半径画弧；
两弧会在线段
AB
的两侧各交于一个点，标记为
、
；
用直尺连接点
M
和点
N
，得到直线
MN
；
则 直线
MN
就是线段
AB
的垂直平分线（垂足为
AB
的中点
C
）。
关键注意：半径必须大于
2
1

AB
，否则两弧不会相交；半径越大，交点越远，作图越准确。
画法二：刻度尺 + 三角板 作图法（日常简便画法）
用刻度尺量出线段
AB
的中点
C
（
AC=BC
）；
将三角板的一条直角边与线段
AB
重合，另一条直角边经过中点
C
；
沿着三角板的直角边过点
C
画直线
MN
，则直线
发消息或输入 / 选择技能
尝试·思考
如图 ， 直线l是线段AB的垂直平分线，点 C 是 l 上的任意一点。在线段 AB 上画出以直线 l为对称轴的一组对应点 D 和 D'，连接CD和CD'。
线段CD和CD'之间有什么关系
说说你的理由。
CD= CD'
理由如下：
因为点D和D'关于对称轴 l 对称，交线段AB于点E，
所以DE= D'E，∠CED=∠CED'。
在△CED和△CED'中，
因为DE= D'E，∠CED=∠CED'，CE=CE。
所以△CED≌△CED'(SAS)
所以CD=CD'。
E
点D'与点B重合。
(2) 当点D与点A重合时，点D'位于什么位置
此时，线段CD和CD'之间还有(1)中的关系吗
CD=CD'。
由此你能得到什么结论？
思考:改变点C的位置，
结论还成立吗
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
线段垂直平分线的性质:
几何语言：
因为MN是线段AB的___________，且C为MN上任意一点
垂直平分线
所以______=______
AC
BC
M
A
B
N
C
如图，已知线段AB，如何作出它的垂直平分线
A
B
思路2：①确定垂直平分线上的两个点；
②连接两点确定垂直平分线。
思路1：①确定线段AB的中点；
②过线段AB的中点作它的垂线。
探究点2：线段的垂直平分线的作法
假设线段AB的垂直平分线已作出，那么
(1) 这条直线有什么特征
(2) 如何确定这条直线上的两个点
A
B
这条直线与AB的交点是AB的中点，且与AB垂直，直线上的点到线段AB两端距离相等。
提示：需要确定的点是线段对称轴上的点，因此应当从线段两端进行“对称”的操作。
例　如图，已知线段 AB，请用尺规作线段 AB 的垂直平分线。
A
B
作法：
1.分别以点A和点B 为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D ；
2.作直线CD。
直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线。
A
B
C
D
请你说说这样作的道理。
操作·思考
如图，已知直线l 和l 上的一点P，如何用尺规作l 的垂线，使它经过点P 能说明你的作法的道理吗
1.以P点为圆心，以任意长为半径画圆，交 l 于A、B两点；
2.分别以点A和点B 为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D ；
3.作直线CD。
直线CD即为过点P 的直线l 的垂线。
知识点1 线段的轴对称性
1.下列说法中，不正确的是( )
C
A.线段是轴对称图形
B.将线段对折，使,两点重合，则折痕所在的直线是线段 的一
条对称轴
C.线段有无数条对称轴
D.线段的垂直平分线是它的一条对称轴
知识点2 线段垂直平分线的性质
（第2题）
2.［教材P 130随堂练习T 1变式］如图，直线 是线
段的垂直平分线，为直线 上的一点，已知
线段，则线段 的长度为( )
B
A.6 B.5 C.4 D.3
（第3题）
3.如图，在中，的垂直平分线分别交 ，
于点，，连接。若，，则
的长为( )
C
A.4 B.6 C.8 D.10
4.如图，在中，， ，的垂直平分线 分别
交，于点，，则 的度数为_____。
（第4题）
5.[达州中考改编] 如图，在中，， ，线段
的垂直平分线交于点，交于点，则 的周长为____。
13
（第5题）
6.（4分）如图，点在上，垂直平分，垂足为， 垂直平分
，垂足为。试说明： 。
解：因为垂直平分，垂直平分，所以， ，
所以 。
知识点3 用尺规作线段的垂直平分线
7.如图，分别以线段的两端点， 为圆心，大于
_____长为半径画弧，在线段 的两侧分别交于点
，，连接，则________即为线段 的垂直平分
线。
直线
8.（8分）[南阳期末] 如图，已知，， 三点，按
要求用尺规画图。
（1）过点画出线段的垂线交于点 ；
解：线段的垂线 如图。
（2）画出线段的垂直平分线交于点 。
解：线段的垂直平分线 如图。
9.如图所示，直线是线段的垂直平分线，，是直线 上的两点，
则线段，，， 的关系是( )
D
A.， B.
C.， D.，
（第10题）
10.如图，在中，是 的垂直平分线，
，的周长为，则 的
周长为( )
B
A. B. C. D.
（第11题）
11.[汉中期末] 如图，在等腰三角形 中，
，点为边的中点， 边的垂直平分线
交，于点，，若， 的面
积为，直线上有一动点，连接， ，
则 的最小值为______。
12.（8分）如图，在中，是 的垂直平
分线，且与，分别交于点，， ，
为 的中点。
（1）试说明： ；
解：连接。因为，且为线段的中点，所以 垂直平分
，所以 。
因为垂直平分，所以，所以 。
（2）若 ，求 的度数。
解：因为， ，
所以 ，所以
。
因为，所以 。所以
。
课堂小结
线段的轴对称性
定义
性质
作法
线段及线段的垂直平分线
线段的垂直平分线