5.2.3角平分线的性质 课件（共54张PPT）--北师大版（新教材）数学七年级下册教学课件

(共54张PPT)
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
5.2.3角平分线的性质
第五章 图形的轴对称
授课教师： .
班 级： .
时 间： .
a
i
T
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a
N
g
在一张纸上任意画一个角，沿角的两边将角剪下，并将这个角对折，使角的两边重合，再打开纸片。
新课探究
折痕与这个角有什么关系
折痕是这个角的平分线。
角是轴对称图形吗
它的对称轴是什么
角是轴对称图形。
角平分线所在的直线是它的对称轴。
角是轴对称图形， 角平分线所在的直线是它的对称轴。
5.2.3 角平分线的性质 教学课件内容
幻灯片1：复习导入
提问：1. 什么是角平分线？2. 判定三角形全等的方法有哪些？（引导学生回顾旧知，衔接新知）
幻灯片2：新知探究（角平分线作法）
1. 展示平分角仪器，分析原理：AB=AD，BC=DC，解释为何AE是角平分线（全等三角形）；2. 引导学生归纳尺规作角平分线步骤，强调作图依据。
幻灯片3：性质探究
1. 动手操作：作∠AOB平分线OC，在OC取点P，作PD⊥OA、PE⊥OB，测量PD与PE长度；2. 猜想：角平分线上的点到角两边距离相等。
幻灯片4：性质证明
已知：OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB。求证：PD=PE。引导学生用AAS证明△PDO≌△PEO，归纳性质及符号语言。
幻灯片5：例题应用
出示例题：Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，CD=3cm，求点D到AB的距离。引导学生运用性质解题，强调“垂直距离”条件。
幻灯片6：课堂小结
梳理：1. 角平分线作法；2. 性质（核心：平分线上点到两边距离相等）；3. 性质应用关键。
如图，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上任意一点。在∠AOB的两边上画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D'，连接CD和CD'。
尝试·思考
（1）线段CD和CD'之间有什么关系
说说你的理由。
CD = CD'。
理由如下：
因为OP是∠AOB的平分线，
所以∠POA=∠POB。
在△COD和△COD'中，
DO= D'O， ∠POA=∠POB ，CO=CO。
所以△CED≌△CED'(SAS)
所以CD=CD'。
（2）特别地，当CD⊥OA时，如图所示，CD'与OB有怎样的位置关系 为什么
CD'⊥OB。
理由如下:
因为 CD⊥OA，
所以∠ODC=90°。
由(1)可知，
∠OD'C=∠ODC=90°，
所以CD'⊥OB。
D'
（2）线段CD和CD'之间还有(1)中的关系吗
CD=CD'。
改变点C的位置，线段CD和CD'还相等吗
由此你能得到什么结论
D'
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线的性质:
几何语言:
因为点C在∠AOB的平分线上，且CD⊥OA于点D，
CD′⊥OB于点D′。
所以CD=CD′。
理由：在 Rt△ABC 中，
∠C =90°，所以 DC⊥BC。
因为 BD 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB，
所以 DE = DC（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
1.如图，BD是 Rt△ABC 的一条角平分线，DE⊥AB， 垂足为 E。你认为DE与DC 相等吗 为什么
解：相等。
练习
【课本P133 随堂练习 第1题】
思考·交流
如图，已知∠AOB，如何作出它的平分线
思路：
①利用性质确定角平分线上的一个点；
②连接这个点和顶点确定角平分线。
假设∠AOB的平分线已作出，那么
(1) 这条射线有什么特征
(2) 如何确定这条射线上除端点之外的一个点
这条射线在∠AOB内部，端点是О，在这条射线上任取一点(非点O)，这一点到边OA，OB的距离相等。
提示：需要确定的点是角的对称轴上的点，因此应当从角两边进行“对称”的操作。
例 　如图，已知∠ AOB，请用尺规作 ∠ AOB 的平分线。
作法：
1.在OA和OB上分别截取OD，OE，使 OD = OE。
2.分别以点D和点E为圆心、以大于
DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C。
3.作射线 OC。
射线OC就是∠AOB的平分线。
请你说说这样作的道理。
1.任意画一个角，用尺规将它四等分。
练习
【课本P133 随堂练习 第2题】
思考·交流
过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的角平分线，这两种尺规作图方法有什么共同点
作一个平角的平分线的方法就是过直线上一点作已知直线的垂线的方法，不同的是平角的平分线最后是作射线，而直线的垂线最后是作直线。
1.如图，在下面的等腰三角形中，∠A是顶角，分别求出它们的底角的度数。
解:（1）∠B=∠C= (180°-60°)÷2=60°。
（2）∠B=∠C= (180°-90°)÷2=45°。
（3）∠B=∠C= (180°-120°)÷2=30°。
A
B
2.画一条线段 AB，用尺规将它四等分。
解：已知：线段AB。
求作：将线段AB四等分。
作法:(1)分别以点A和点B为圆心，以大于 AB
的长为半径作弧，两弧相交于点C 和D；
(2)连接CD 交AB 于点O，点O是线段 AB的中点；
(3)用同样方法作出线段AO 的中点G 和BO 的中点H(如图所示) 。
3.任意画一个三角形，用尺规作三角形三条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线的位置关系，你发现了什么 再换一个三角形试一试。
解:已知：△ABC。
求作:△ABC的三条边的垂直平分线。
A
B
C
作法:（1）分别以点B和点C为圆心，以大于BC 的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；
(2)分别以点A和点B为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于点G和 H；
(3)分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点 P和 Q；
(4)作直线 EF，CH，PQ 。
直线 EF，GH，PQ 分别就是△ABC 三条边 BC，AB，AC 的垂直平分线（如图所示）。
发现:三角形的三条边的垂直平分线交于一点，再换一个三角形得出的结论一样。
4.任意画一个三角形，用尺规作三角形三个内角的平分线。
解:已知：△ABC。
求作:△ABC的三个内角的平分线。
A
B
C
作法:(1)在BA 和BC 上分别截取BD，BE，使BD=BE。
(2)分别以点D和点E 为圆心，以大于DE 的长为半径作弧，两弧在∠ABC 内相交于点O；
(3) 作射线BO 交AC 于点M，同理可以作出点N，P，线段AN，BM，CP 就是△ABC的三个内角的平分线( 如图所示) 。
5. 等腰三角形的底角可能是锐角吗 可能是直角吗 可能是钝角吗 请说明理由。
解:可能是锐角，不可能是直角或钝角。
6. 在等腰三角形ABC中，已知∠A=100°，你知道
这个等腰三角形的底角是多少度吗 如果∠A=30°呢
解:∠A=100°时，底角是 40°；∠A=30°时，底角是 30°或 75°。
7.如图，在△ABC中，AB≠AC，线段AM是它的一条中线，点P是线段AM上的一点，你认为PB与PC相等吗 如果AB=AC 呢 为什么
解:不相等。
如果AB= AC，那么PB= PC。
因为此时△ABP 与△ACP 关于AP 所在的直线对称，
所以PB= PC。
8.在线段 AB 的垂直平分线上任取两个不同的点M，N，则∠MAN和∠MBN之间有什么关系 为什么
解: ∠MAN=∠MBN 。
理由：由题意容易得到△MAN 和△MBN 关于线段AB 的垂直平分线对称，所以∠MAN=∠MBN 。
解: 如图，过点M 作MN⊥AB 于点N。
因为∠CAB=60°，∠BAM =30°，
所以∠CAM=∠CAB－∠BAM
=60°－30° = 30°。
所以AM 平分∠CAB。因为∠C= 90°，
所以CM=MN (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
9.把两个同样大小的含30°角的三角尺按如图所示那样放置，其中M是AD与BC的交点，这时 MC 的长度就等于点M到AB的距离。你知道这是为什么吗
N
10.校园一角的形状如图(1)所示，其中AB，BC，CD表示围墙。如图(2)所示，小亮通过作角平分线在图示的区域中找到了一点P，使得点P到三面墙的距离都相等。请解释他这样做的道理。
A
B
C
D
(1)
(2)
解:如图所示。
过点P分别作PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥CD，垂足分别为E，F，G。
因为 BP 平分∠ABC，所以 PE=PF 。
因为CP 平分∠BCD，所以PF =PG。所以PE=PF=PG。
※11.请用等腰三角形“三线合一”的性质解释例3
作法的道理。
12. (1) 等腰直角三角形是特殊的等腰三角形，它的底角有何特征
(2)请仿照(1)再提出一个问题。
解: （1）底角相等，且都为45°。
13.如图，一张纸上有A，B，C，D四个点，请用尺规找出一点 M，使得MA=MB，MC= MD。
解:如图，连接 AB，CD。对折 AB，使点A和点 B重合，得到折痕，同法可得对折 CD 后的折痕，两条折痕交于一点 M，点 M 即为所求的点。
14. 请将一个等边三角形分成8个全等的直角三角形。
解:如图所示。
知识点1 角的轴对称性
1.下列说法不正确的是( )
A
A.角平分线是角的对称轴
B.将对折，边与边重合，折痕所在的直线是 的对称轴
C.角可以看成是以它的平分线所在直线为对称轴的轴对称图形
D.角是轴对称图形
知识点2 角平分线的性质
（第2题）
2.如图，平分，点在上， ，
，则点到 的距离是( )
C
A.4 B.3 C.2 D.1
（第3题）
3.如图，为的平分线，， ，
垂足分别是， ，则下列结论不一定正确的是
( )
B
A. B.
C. D.
4.如图，在中， ,平分，交于点 ,
,垂足为。若,,则 的长为____。
2.4
（第4题）
5.如图，在中，平分，，若， ，
则 ___。
1
（第5题）
6.（4分）如图,，，垂足分别为,，与 相交于
点，且。试说明 。
解：因为 ，
所以为 的平分线，
因为， ，
所以， 。
又因为 ，
所以，所以 。
知识点3 用尺规作角平分线
7.在中，为钝角，用直尺和圆规在边上确定一点 ，使
（保留作图痕迹），则符合要求的作图是( )
D
A. B. C. D.
8.（4分）如图，在中， ，在边上求作一点 ，使
点到边和边 的距离相等。
解：如图所示，点 即为所求。
（第8题）
9.[资阳中考] 如图，在射线，上，分别截取 ，
，使；再分别以点和点 为圆心、大于
线段一半的长为半径作圆弧，在 内，两弧交于
点，作射线；过点作交于点 。若
，则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
（第10题）
10.如图，，的平分线与 的
平分线相交于点，作，垂足为 。若
，则两平行线与 间的距离为( )
C
A.3 B.5 C.6 D.不能确定
11.如图，在四边形中， ，，连接 ，
，。若是边上一动点，则 长的最小值为___。
4
（第11题）
12.（8分）[临沂二模] 在中，， 的作图痕迹如图所
示，交于点，垂直平分边，交于点，交于点 ，
交于点，连接 。
（1）若，，求与 的面积比；
（第12题）
解：如图，过点作于点 ，
由作图可知，平分 。
又因为垂直平分边，，所以 。
因为， ，
所以 ，
所以与 的面积比为
。
（2）若 ，求 的度数。
解：因为， ，
所以 ，
。
因为平分 ，
所以 。
因为垂直平分边 ，
所以 ，
所以 ，
所以 。
13.（12分）[洛阳期末]
（1）感知：如图①，平分， ， ，
易知， 的数量关系为__________。
（2）应用：如图②，在四边形中，平分 ，
， ，试说明： 。
解：如图①，过点作于点， 于点
。
因为平分，所以 。
因为 ，
，所以 。
在和 中，
因为 ，， ，
所以 ，
所以 。
（3）拓展：如图③， ，，过点 作
于点，试判断，， 之间的数量关系，并说明理由。
解： 。
理由如下：如图②，连接，过点作 于
点 。
因为 ，
，所以 。
在和 中，
因为 ，， ，
所以 。
所以， 。
所以 。
在和 中，
因为， ， ，
所以 ，
所以，所以 。
课堂小结
角平分线的性质
性质
尺规作图
应用
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。