第四章 三角形【章末复习】 课件（共53张PPT）--北师大版（新教材）数学七年级下册教学课件

(共53张PPT)
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
章末复习
第四章 三角形
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班 级： .
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知识框图
三角形
三角形的基本要素及性质
全等三角形
三角形的概念、表示、分类
三角形的内角关系、三边关系
全等三角形的定义、性质
全等的条件
全等三角形的作图
全等三角形的应用
SSS
SAS
AAS
ASA
请举出生活中包含三角形的例子。
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。
复习回顾
第四章 三角形 章末复习 教学过程幻灯片内容
幻灯片1：旧知激活（5分钟）
1. 抢答回顾核心概念：三角形定义、按边/角分类；
2. 问题链引导：“三角形三边满足什么关系？如何判断三条线段能否组成三角形？” 师生共同提炼“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。
幻灯片2：核心知识梳理（10分钟）
1. 三角形重要线段：结合图形讲解中线、高、角平分线的定义及性质（如中线分三角形面积相等，三条高的交点位置与三角形类型的关系）；
2. 内角和与外角性质：强调内角和180°，外角等于不相邻两内角和，通过简单计算示例巩固。
幻灯片3：例题突破（12分钟）
1. 例题1（三边关系应用）：已知三角形两边长3和8，第三边为偶数，求第三边可能值。引导学生先确定取值范围，再筛选偶数；
2. 例题2（性质综合）：如图，O是△ABC内一点，求证OB+OC＜AB+AC。示范延长BO构造辅助线，利用三边关系推理。
幻灯片4：易错点辨析与总结（8分钟）
1. 易错点提醒：判断三边关系时忽略“较短两边之和”，混淆高的交点位置；
2. 体系构建：师生共同绘制知识框架图，串联三边关系、重要线段、内角和等核心内容；
3. 课堂小结：强调三角形知识的应用关键是“数形结合”和“辅助线构造”。
三角形的表示：
三角形符号：△
A
B
C
右图的三角形记作△ABC。
三角形的边表示为AB、AC、BC ，
有时也用a，b，c表示。
a
b
c
三角形三边的表示：
三角形三个内角的表示：
三角形的内角∠A、∠B、∠C。
180°
互余
大于
小于
内角关系：
三角形三个内角的和等于______
直角三角形的两个锐角______
三边关系：
三角形任意两边之和______第三边
三角形任意两边之差______第三边
三角形
普通等腰
锐角
直角
按角分：
按边分：
底边和腰不相等的等腰三角形
______三角形
_________三角形
______三角形
三角形分类
_____三角形 ：有一个内角为直角
_____三角形 ：三个内角都是锐角
_____三角形 ：有一个内角为钝角
等腰
等边
钝角
B
A
C
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
E
F
D
C
B
A
E
F
O
D
B
C
A
E
F
三角形的重要线段
高
角平分线
重心
中线
平分线段
平分面积
垂心
内心
全等三角形
定义：能够完全重合的两个三角形
符号表示
用“≌”连接两个全等三角形
性质
对应边相等，对应角相等。
全等三角形对应边的高、中线、角平分线分别相等。
边边边（SSS）
A
B
C
D
E
F
角边角（ASA）
角角边（AAS）
边角边（SAS）
全等三角形的判定
三角形具有稳定性
四边形不具有稳定性
作图：
利用尺规作三角形。
应用：
利用三角形全等测距离。
全等三角形的应用
1. 一个三角形可以有两个直角吗 一个三角形的三个角能都大于70°吗 能都小于 50°吗
解:一个三角形不能有两个直角，一个三角形的三个内角不能都大于70°或都小于50°。
2. 在一个直角三角形中，两个锐角相等，求这两个锐角的度数。
解: 因为直角三角形的两个锐角互余，且这两个锐角相等，所以这两个锐角的度数都为45°。
3. 如图，△ABD≌△EBD，△EBD≌△ECD，B，E，C在一条直线上。
(1) BD是∠ABE的角平分线吗 为什么
解: (1)BD是∠ABE 的平分线，
因为△ABD≌△EBD，
所以∠ABD= ∠EBD，
即BD 是∠ABE 的平分线。
3. 如图，△ABD≌△EBD，△EBD≌△ECD，B，E，C在一条直线上。
(2) DE⊥BC吗 为什么
(2) DE⊥BC。
因为△EBD≌△ECD，
所以∠BED =∠CED。
又因为B，E，C在一条直线上，
所以∠BEC = 180°，
所以∠BED =∠CED= ×180°=90°，所以DE⊥BC。
3. 如图，△ABD≌△EBD，△EBD≌△ECD，B，E，C在一条直线上。
(3) 点E平分线段BC吗 为什么
(3)点E 平分线段BC，
因为△EBD≌△ECD，
所以BE=CE， 即点E 平分线段BC。
解:△BED≌△CFD。
因为BE⊥AE，CF⊥AE，
所以∠BED =∠CFD =90°。
因为D是EF 的中点，所以FD=ED。
在△BED 和△CFD 中，
因为∠BED =∠CFD，DE=DF， ∠BDE ＝∠CDF，
所以△BED≌△CFD(ASA)。
4.如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别是E，F，且D是EF的中点，△BED与△CFD全等吗 为什么
5.如图，已知线段a和∠α，请用尺规完成下列作图:
(1) 作一个△ABC，使AB=3a，BC=4a，AC=5a；
解: (1)作法:
①作一条线段 AB=3a。
②以点A为圆心，以5a的长为半径作弧，以点B为圆心，以4a 的长为半径作弧，两弧相交于点 C.
③连接AC，BC。△ABC 就是所要作的三角形。
解 (2)作法:
①作一条线段 BC=a。
②以C为顶点，以BC为一边作角∠BCD=∠α.
③在射线 CD 上截取线段 AC=2a。
④连接 AB。△ABC 就是所要作的三角形。
5.如图，已知线段a和∠α，请用尺规完成下列作图:
(2) 作一个△ABC，使BC=a，AC=2a，∠BCA=∠α。
6.如图，AB=DF，AC=DE，BE=FC，BC与FE相
等吗 请在图中找出一对全等三角形，并说明理由。
解:BC=FE，△ABC≌△DFE。
理由:因为BE=FC，
所以 BE+EC=FC+EC，
即 BC=FE。
在△ABC和△DFE中，
因为AB=DF，AC=DE，BC=FE，
所以△ABC≌△DFE (SSS)。
解: △ABC与△ADE 。
理由:因为∠BAE = ∠DAC，
所以∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，
即∠BAC=∠DAE。
在△ABC 和△ADE 中，
因为AB=AD，∠BAC= ∠DAE，AC=AE，
所以△ABC≌△ADE(SAS)。
※7.如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC，△ABC与△ADE 全等吗
8.面积相等的三角形一定全等吗 请举例说明。
解:不一定，如:一个不规则的三角形任意一边的中线分大三角形为两个小三角形，这两个小三角形的面积相等，但不全等。
9.如图，已知∠ABC=∠DCB，要使△ABC≌△DCB，只需添加一个条件___________________。
∠ACB=∠DBC
(答案不唯一)
10.有四根细木棒，长度分别为3cm，5cm，7cm，9cm，哪三根木棒可以组成一个三角形 有几种可能的情况 实际摆一摆，验证你的结论。
解:能摆成一个三角形的三根木棒有三种可能:
① 3 cm，5 cm，7 cm；
② 3 cm，7 cm ，9 cm ；
③ 5 cm，7 cm，9 cm。
11.工人师傅经常利用角尺平分一个任意角。如图所示，
∠AOB 是一个任意角，在边 OA、边 OB 上分别取 OD=OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线 OP就是∠AOB的平分线。请你先说明△OPE与△OPD全等，再说明 OP 平分∠AOB 。
解:由题意，可得 PE=PD。
因为在△OPE和△OPD中，
OE=OD，PE=PD，OP=OP.
所以△OPE≌△OPD (SSS)。
所以∠EOP =∠DOP. 即∠BOP =∠AOP，
所以 OP平分∠AOB。
12. 如图，△ABC≌△EFD，你能从图中找出几组平行线
小颖找出了一组平行线，她的思考过程如下:
因为△ABC≌△EFD ，
所以∠ACB=∠EDF。
所以 AC∥DE。
请说明小颖每一步的理由。
解:第一步:全等三角形的对应角相等，
第二步:内错角相等，两直线平行。
由尺规作图可知，OC=O'C'，OD=O'D'，CD=C'D'，
所以△OCD ≌ △O'C'D' 。
所以∠DOC=∠D'O'C' 。
13.你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗 你能说明其中的道理吗 小明回顾了作图的过程，并进行了如下的思考:
请说明小明每一步的理由。
由尺规作图可知，OC=O'C'，OD=O'D'，CD=C'D'，
所以△OCD ≌ △O'C'D' 。
所以∠DOC=∠D'O'C' 。
解:第一步:根据三角形全等的判定条件“SSS”，可以得到△OCD≌△O′C′D′；
第二步:全等三角形的对应角相等。
14.如图，在一张等边三角形纸片中取三边的中点，以虚线为折痕折叠纸片，你认为图中阴影部分的面积是整个图形面积的几分之几 你是怎么知道的
解： 。理由:因为沿着连接等边三角形的中点的线段
为折痕折叠，可把大等边三角形分为四个全等的小
等边三角形，每个小等边三角形的面积是大等边三
角形的 。再沿垂直方向折叠，可以把大等边三角形分为八个全等的直角三角形，所以阴影部分的面积是整个图形面积的 。
※15.一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°， ∠B，∠D应分别等于 20°和 30°。李叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合格。请说明其中的道理。
解:如图，连接BD。
因为∠BCD = 142°
所以∠CDB +∠CBD=180°-∠BCD = 38°，
因为∠A = 90°，
所以∠BDA +∠ABD = 180°-∠A = 90°，
所以∠ADC +∠CDB +∠ABC +∠CBD = 90°。
因为∠ABC， ∠ADC 应分别等于20°，30°，
所以∠CDB +∠CBD = 90 - (20°+ 30°) = 40°。
而 40°≠ 38°，所以该零件不合格。
※ 16.如图，太阳光线 AC与 A'C'是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗 说说你的理由。
A
B
C
A'
B'
C'
解:一样长。理由:
因为AC∥A′C′，所以∠ACB =∠A′C′B′。
由图可得∠ABC =∠ A′B′C′=90°。
在△ABC 和△A′B′C′中，
因为∠ACB=∠A′C′B′，∠ABC =∠A′B′C′，AB=A′B′，
所以△ABC≌△A′B′C′ (AAS)。
所以BC=B′C′，即影子一样长。
17.如何计算四边形的内角和
解：将四边形连接任意一组对角，可将四边形分为两个三角形，由于三角形内角和为180°，所以四边形内角和为360°。
A
B
C
D
18.你对三角形全等的判定条件的探究过程及方法有怎样的感悟？还能找出哪些运用这种思考问题的方法的例子？把你的感想和案例记录下来，并以此为主题写一篇小短文。
一、核心考点巩固
考点1 三角形及其内角和
1.[西安期末] 如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的
形状为( )
D
（第1题）
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.不能确定
（第2题）
2.如图， ，点是线段 上一点，
，则与 相等的角是( )
A
A. B. C. D.
3.在中， ，，则 _____。
考点2 三角形的三边关系
4.在下列长度的四条线段中，能与长， 的两条线段围成一个
三角形的是( )
C
A. B. C. D.
5.[郑州期末] 已知等腰三角形的一边长为，周长为 ，则它的
腰长为( )
B
A. B.
C. D.或
考点3 三角形的高线、中线和角平分线
6.如图是三名同学的折纸示意图，则依次是 的( )
C
①
②
③
A.中线、角平分线、高线 B.高线、中线、角平分线
C.角平分线、高线、中线 D.角平分线、中线、高线
7.如图，，分别是 的高线和中线。若
的面积为18，，则 的长为( )
C
A.2 B.3 C.4.5 D.9
8.（8分）如图，在中，是的角平分线，点在边 上
（不与点，重合），与交于点 。
（1）若是中线，，，则与 的周长差为___；
1
（2）若 ，是的高，求 的度数。
解：因为是的高，所以 。
因为，是 的角平分线，
所以 ，所以
。
因为 ，
所以 。
考点4 全等三角形的性质与判定
（第9题）
9.如图，， ，添加下列条件中的
一个，不能判定 的是( )
B
A. B.
C. D.
（第10题）
10.如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，不规
则图形的各个顶点均为格点，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
11.（4分）[湖北中考] 如图，，平分 。
试说明： 。
解：因为平分 ，
所以 。
因为， ，
所以 ，
所以 。
12.（8分）[邢台月考] 如图，已知线
段，和 ，按要求尺规作图
（不必写作法，保留作图痕迹）。
（1）求作，使，， ；
解：如图， 即为所求。
（2）作图依据是_____。
13.（8分）如图，在中，是 边上的中
线，，为直线上的点，连接， ，且
。
（1）试说明： ；
解：因为是边上的中线，所以 。
因为，所以 。
在和 中，
因为，， ，
所以 。
（2）若，，试求 的长。
解：因为，，所以 。
因为，所以 。
因为 ，
所以 。
考点5 全等三角形的应用
14.（8分）小颖同学利用一根 长的测杆来测量路
灯的高度。她的方法是这样的：如图，在路灯
（垂直于地面）前地面上选一点，使 等于测杆长，
此时测得 ，在 的延长线上竖起测杆
（垂直于地面），多次测量，直到 时，把测杆固定
在位置，此时测得 ，根据这些数据，小颖
计算出了路灯 的高度。你知道小颖计算的路灯高度是多少吗？请说
明理由。
解：路灯高度为 。理由如下：
在中，,，所以 。所以
。
在与 中，
因为 ,
， ，
所以 。
所以 。
因为, ,
所以,所以 。
二、思想方法演练
思想 分类讨论思想
15.（8分）如图，在四边形中，， ，
，点在线段上以的速度由点向点 运动，
同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，当
与全等时，求点 的运动速度。
解：设点的运动速度为 ，
由题意可得，，所以 。
因为，所以与 全等时，可分为两种情况：
①当时， ，
所以，所以 ，
所以此时点的运动速度为 。
②当时，， ，所以
，，所以， ，
所以此时点的运动速度为 。
综上所述，点的运动速度为或 。