第一章 整式的乘除【章末复习】 课件（共58张PPT）--北师大版（新教材）数学七年级下册教学课件

(共58张PPT)
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
章末复习
第一章 整式的乘除
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a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
知识框图
幂的运算
am·an=am+n
(am)n=amn
(ab)n=anbn
am÷an=am-n
整式的乘法
整式的除法
单项式乘以单项式
单项式乘以多项式
多项式乘以多项式
单项式除以单项式
多项式除以单项式
乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a±b)2=a2±2ab+b2
特殊形式
互逆运算
同底数幂的乘法：am·an=_____ (m，n都是正整数)
幂的乘方：(am)n=_____ (m，n都是正整数)
积的乘方：(ab)n=_____ (n是正整数)
同底数幂的除法：am÷an= _____
(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)
零指数幂：a0 =____(a≠0)
负整数指数幂：a-p =_____ (a≠0，p是正整数)
幂的运算
知识回顾
am+n
amn
anbn
am-n
1
用科学记数法表示绝对值小于1的数：
一般地，一个绝对值小于1的数可以表示为a×10n，其中____≤|a|≤_____，n是负整数。
1
10
整式的乘法
单项式乘单项式
单项式乘多项式
多项式乘多项式
单项式与单项式
相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
同底数幂的乘法
转化
单项式乘单项式
转化
单项式乘多项式
转化
乘法公式
完全平方公式
平方差公式
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上
(或减去)它们积的2倍。
整式的除法
单项式除以单项式
多项式除以单项式
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
(a+b)÷m=a÷m+b÷m (m≠0)
1.计算：
（1）(-)2·(-)3；
（3）(a+b)3÷(a+b) ；
（5） (-a)2·(a2)2；
（2） (-a5)5 ；
（4）(-a2·b)3；
（6） (y2)3÷y6；
（7）an+1·an-1(n＞1)；
（8）(-c2)2n。
解:（1）原式=(-)5=- ；
（2）原式=-a25；
（3）原式=(a+b)2=a2+2ab+b2；
（4）原式=-a6b3 ；
1.计算：
（1）(-)2·(-)3；
（3）(a+b)3÷(a+b) ；
（5） (-a)2·(a2)2；
（2） (-a5)5 ；
（4）(-a2·b)3；
（6） (y2)3÷y6；
（7）an+1·an-1(n＞1)；
（8）(-c2)2n。
（5）原式=a2·a4=a6 ；
（6）原式=y6÷y6=1；
（7）原式=a2n；
（8）原式=c4n。
2.计算：
（1）105÷10-1×100；
（3）()0÷()-2。
（2）16×2-4；
解:（1）原式=105÷×1=105×10=106；
（2）原式=16× = 16×=1；
（3）原式=1÷=1× 。
3.一个正方体的棱长为2×102 mm。
(1)它的表面积是多少平方米
(2)它的体积是多少立方米
解:（1）(2×102÷103)2×6=0.04×6=0.24(m2)，所以它的表面积是0.24m2 。
（2）(2×102÷103)3=0.008 (m3)，所以它的体积是0.008 m3 。
4.计算：
（1）(x+a) (x+b)；
（2）(3x+7y) (3x-7y) ；
解:（1）原式=x2+ax+bx+ab；
（2）原式=9x2-49y2；
（3）(3x+9) (6x+8) ；
（4）( x2y-2xy+y2)·3xy；
（3）原式=18x2+24x+54x+72=18 x2+78x+72；
（4） 原式= x3y2-6x2y2+3xy3；
（5） a2b3·(-15a2b2) ；
（6）(4a3b-6a2b2+12ab3) ÷2ab；
（5）原式=-5a4b5；
（6）原式=2a2-3ab+6b2；
（7） (a2bc)2÷ab2c ；
（8）(3mn+1)(3mn-1)-8m2n2。
（7）原式=a4b2c2÷ab2c=a3c；
（8）原式=9m2n2-1-8m2n2=m2n2-1。
5.计算：
（1）107÷(103÷102)；
（2）(x-y)3(x-y)2(x-y) ；
解:（1）原式=107÷10=106；
（2）原式=-(x-y)5·(x-y) =-(x-y)6 ；
（3）4×2n×2n-1 (n＞1) ；
（4） (-x)3·x2n-1+x2n·(-x)2；
（3）原式=22×2n×2n-1=22n+1 ；
（4）原式=-x3·x2n-1+x2n·x2=-x2n+2+x2n+2 =0 ；
（5）(y2·y3)÷(y·y4) ；
（6） x2·x3+x7÷x2；
（5）原式=y5÷y5=1；
（6）原式=x5+x5=2x5 ；
（7）m5÷m2·m；
（8）a4+(a2)4-(a2)2 。
（7）原式=m3·m=m4 ；
（8）原式=a4+a8-a4=a8；
6.计算：
（1）(2x2)3-6x3(x3+2x2+x)；
（3）[(x+y)2-(x-y)2]÷2xy；
（2）(x+y+z)(x+y-z)；
（4）a2(a+1)2-2(a2-2a+4) 。
解:（1） (2x2)3-6x3(x3+2x2+x)
=8x6-6x6-12x5-6x4
=2x6-12x5-6x4 ；
（2） (x+y+z)(x+y-z) =[(x+y)+z][ (x+y)-z]
=(x+y)2-z2
=x2+2xy+y2-z2；
6.计算：
（1）(2x2)3-6x3(x3+2x2+x)；
（3）[(x+y)2-(x-y)2]÷2xy；
（2）(x+y+z)(x+y-z)；
（4）a2(a+1)2-2(a2-2a+4) 。
（3） [(x+y)2-(x-y)2]÷2xy
=[(x2+2xy+y2)-(x2-2xy+y2)]÷2xy
=4xy÷2xy =2；
（4） a2(a+1)2-2(a2-2a+4) =a2(a2+2a+1) -2a2+4a-8
=a4+2a3+a2-2a2+4a-8
=a4+2a3-a2+4a-8 。
7.求下列各式的值：
（1）3x2+(- x+ y2)(2x- y) ，其中 x=2，y=-1；
（2）[(xy+2)(xy-2)-2x2y2+4]÷xy ，其中 x=10，y=- ；
（3）x(x+2y)-(x+1)2+2x，其中 x= ，y=-25 。
解:（1） 3x2+(- x+ y2)(2x- y)
= 3x2-3x2+xy+xy2- y3=xy+xy2- y3 。
当x=2，y=-1时，原式=2×(-1)+×2×(-1)2- ×(-1)3=- ；
7.求下列各式的值：
（1）3x2+(- x+ y2)(2x- y) ，其中 x=2，y=-1；
（2）[(xy+2)(xy-2)-2x2y2+4]÷xy ，其中 x=10，y=- ；
（3）x(x+2y)-(x+1)2+2x，其中 x= ，y=-25 。
（2） [(xy+2)(xy-2)-2x2y2+4]÷xy
= (x2y2-4-2x2y2+4)÷xy=-x2y2÷xy=-xy。
当x=10，y=-时，原式=-10×(-)=- ；
7.求下列各式的值：
（1）3x2+(- x+ y2)(2x- y) ，其中 x=2，y=-1；
（2）[(xy+2)(xy-2)-2x2y2+4]÷xy ，其中 x=10，y=- ；
（3）x(x+2y)-(x+1)2+2x，其中 x= ，y=-25 。
（3） x(x+2y)-(x+1)2+2x
=x2+2xy-(x2+2x+1)+2x =x2+2xy-x2-2x-1+2x=2xy-1。
当x= ，y=-25时，原式=2××(-25)-1=-3。
8.利用整式乘法公式计算：
（1）2 0012；
（3）992-1 ；
（5）1232-124×122。
（2）2 001×1 999；
（4）889×901+1 ；
解:（1） 2 0012= (2000+1)2= 20002+2×2000×1+12
= 4004001；
（2）2 001×1 999 =(2000+1) (2000-1)
= 20002-12= 3999999；
8.利用整式乘法公式计算：
（1）2 0012；
（3）992-1 ；
（5）1232-124×122。
（2）2 001×1 999；
（4）889×901+1 ；
（3） 992-1 =(99+1) (99-1) = 100×98 = 9800；
（4） 889×901+1 =(900-1) (900+1) +1 =9002-12+1 = 810000；
（5） 1232-124×122 =1232-(123+1) (123-1)
=1232-1232+1 = 1。
9.把下图左框里的整式分别乘(a+2b)，将所得的积写在右框相应的位置上。
a2+4ab+4b2
a2-4b2
-a2+4b2
-a2-4ab-4b2
10.分别计算下图中阴影部分的面积。
解:（1）图中S阴影=(3a+2b)(2a+b)-(a+2b)(a+b)
= 6a2+3ab+4ab+2b2-(a2+ab+2ab+2b2)
= 6a2+3ab+4ab+2b2-a2-ab-2ab-2b2
= 5a2+4ab；
10.分别计算下图中阴影部分的面积。
（2）图中S阴影=(2a+3b)(2a+b)-2a·3b
= 4a2+2ab+6ab+3b2-6ab
= 4a2+2ab+3b2。
11.如图，4个长为a、宽为b的小长方围成了一个大正方形，请用不同方法计算阴影部分的面积。你能得到怎样的等式？请验证它的正确性。
解:方法1：S阴影=S小长方形=4ab。
方法2：S阴影=S大正方形-S小正方形
=(a+b)2 - (a-b)2。
因此，可以得到(a+b)2 - (a-b)2 =4ab 。
验证:(a+b)2 - (a-b)2
=(a2+2ab+b2)-(a2-2ab+b2)=a2+2ab+b2-a2+2ab-b2=4ab。
12.请在下列横线上填上适当的式子：
（1）(___+3b) (2a-3b) =4a2-___；
（2）(2x+___)2=___+20xy+___ ；
（3）(x+2) (x+___)=x2+___x+2 ；
（4）(___+4y) (x+2y)=3x2+___xy+8y2 。
2a
9b2
5y
25y2
4x2
1
3
3x
10
13.如图，我国自主研发的 500m 口径球面射电望远镜(FAST)有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为 2.5×105m2；一个 11人制正规足球场的面积约为7.14×103 m2。“中国天眼”的反射面面积大约相当于多少个11人制正规足球场的面积(结果精确到1个)
解:2.5×105÷(7.14×103)
≈0.35×102=35(个)。
14.某种原子的质量为 0.000 000 000 000 000 000 000 019 93g，请用科学记数法把它表示出来。
解:1.993×10-23g。
15. 分别准备几张如图所示的长方形和正方形卡片。
（1）用这些卡片拼一些新的长方形，并计算新长方形的面积；
解:（1）拼成如图①所示的新长方形，此新长方形的面积为(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2。
15. 分别准备几张如图所示的长方形和正方形卡片。
（2）从这些卡片中选取几张，用它们拼成一个面积为(2a2+3ab)的长方形。
（2）面积为(2a2+3ab)的长方形如图②所示。
16.请在图中指出面积为(a+3b)2的图形，并指出图中有多少个边长为a的正方形，有多少个边长为b的正方形，有多少个两边分别为a和b的长方形，然后用相应的公式进行验证。
解:图中大正方形的面积为(a+3b)2，
有1个边长为a的正方形，有9个边长为b的正方形，有6个两边长分别为a和b的长方形，验证:(a+3b)2=a2+6ab+9b2。
17.两个相邻整数的“平均数的平方”与这两个整数的“平方的平均数”相等吗 若不相等，相差多少
解:不相等。 设这两个数分别是n，n+1，则()2=n2+n+，=n2+n+，所以它们相差
18. 根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料(氢)已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体。如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩。当这种坍缩使得它的半径达到施瓦西(Schwarzschild)半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体——黑洞。施瓦西半径(单位:m)的计算公式是R=，其中G=6.67×10-11N·m2/kg2，为万有引力常数；M表示星球的质量(单位:kg)；c=3×108 m/s，为光在真空中的传播速度。
已知太阳的质量为2×1030kg，计算太阳的施瓦西半径。
解:R==2×6.67×10-11 ×2×1030÷( 3×108)2
≈ 2.964×103(m)。
19. 整式乘法运算的研究思路是什么 整式乘法运算与幂的运算、数的运算之间有什么联系 请撰写一篇小短文阐述你的观点。
略
一、核心考点巩固
考点1 幂的乘除
1.[宜宾中考] 下列计算正确的是( )
A
A. B.
C. D.
2. 世界最大的单口径球面射电望远镜被誉为“中国天眼”，
在其新发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲星的自转周期为 秒。数
据 用科学记数法可以表示为( )
A
A. B. C. D.
3.若，，， ，则( )
B
A. B. C. D.
4.（8分）计算：
（1） ；
解：原式 。
（2） 。
解：原式 。
5.（8分）已知， 。
（1）求 的值；
解：因为， ，所以
。
（2）求 的值。
解：因为， ，所以
。
考点2 整式的乘除
6.计算： ( )
B
A. B. C. D.
7.下列运算正确的是( )
D
A. B.
C. D.
8.[长沙期末] 某青少年活动中心的场地为长为，宽为 的长方形。现在
要把四周都向外扩建，长增加2，宽增加1，那么这个场地的面积增加
( )
D
A.2 B. C. D.
9.（16分）计算：
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式 。
（3） ；
解：原式 。
（4） 。
解：原式
。
10.（8分）小明计算一道整式乘法的题 ，由于小明在
解题过程中，抄错了第一个多项式中前面的符号，把“-”写成了“ ”，
得到的结果为 。
（1）求 的值；
解：根据题意，得
，
所以，解得 。
（2）计算这道整式乘法的题。
解： 。
考点3 乘法公式
11.［教材习题变式］计算
的结果是( )
C
A. B.0 C. D.
12.若，，则 ___。
4
13.（8分）利用乘法公式进行计算：
（1） ；
解：原式 。
（2） 。
解：原式 。
14.（4分）先化简，再求值：
,其中, 。
解：
。当， 时，原式
。
二、思想方法演练
思想1 整体思想
15.（4分）已知 ，求代数式
的值。
解：。因为,所以 ，所以原式
。
思想2 转化思想
16.若，则 的值是( )
B
A.3 B.4 C.5 D.6
17.（4分）已知，求, 的值。
解： 。因为
,所以
。所以, ,解得
， 。