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第二十五章 概率初步 单元综合素养提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．50瓶饮料中有2瓶已过了保质期．从该50瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．袋子里有3个红球和2个蓝球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机地取出一个球，取出红球的概率是（ ）.
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．扇形统计图能够清楚地反映事物的变化趋势
B．对某型号电子产品的使用寿命采用全面调查的方式
C．如果某彩票的中奖概率是 ， 那么一次购买 100 张这种彩票一定会中奖
D．“水中捞月”属于不可能事件
4．在六张卡片上分别写有π，，1.5，﹣3，0，六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有n个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法正确的是（ ）.
A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币10次，不可能正面都朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
7．某校举办诗词大会有4名女生和6名男生获奖，现从中任选1人去参加区诗词大会，则选中女生的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．下列事件：①在体育中考中，小明考了满分；②经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；③抛掷两枚正方体骰子，点数和大于1；④度量任一三角形，其外角和都是180°，其中必然事件是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
9．一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有（ ）
A．6个 B．10个 C．15个 D．30个
10．在一个黑色盒子里有1个白球，现在放入若干个黑球，它们与白球除了颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得（摸出一白一黑）（摸出两黑），则放入的黑球个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数 2 5 10 50 100
发芽的频数 2 4 9 44 92
发芽的频率 （精确到 0.001 ） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920
每批粒数 500 1000 1500 2000 3000
发芽的频数 463 928 1396 1866 2794
发芽的频率 （精确到 0.001 ） 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931
这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到 0.01 ）．
12．在今年的疫情防控工作中，某高校组织志愿者参加社区服务，社区将志愿者随机分成A，B，C三个小组，则志愿者小明分到A小组的概率是 .
13．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是 ．
14．在4张完全一样的纸条上分别写上1、2、3、4，做成4支签，放入一个不透明的盒子中搅匀，则抽到的签是偶数的概率是 .
15．对于平面内任意一个凸四边形ABCD，现从以下四个关系式： ①AB=CD；②AD=BC；③AB∥CD；④∠A=∠C中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是 .
16．取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字：，1，，2，，3，现把它们洗匀正面朝下，随机摆放在桌面上.从中任意抽出1张，记卡片上的数字为，则数字使分式方程无解的概率为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某高速收费站有三个通道（通道是指电子不停车收费的专用车道）A，B，C和一个人工收费通道D．
（1）求一辆办理过卡的汽车经过此收费站时，选择A通道通过的概率；
（2）现有都办理过卡的甲，乙两辆汽车都选择了通道通行，求甲，乙两辆车选择不同通道通过的概率．
18．桌上放着一副扑克牌其中的四张，分别是2，3，4，5．如果把数字扣在下面，任意抽取两张，组成一个两位数，正好是奇数的机会有多大？正好是偶数的机会又是多大？简要说明理由．如果没有扑克牌可用什么替代物来模拟试验？说说你的做法．
19．桌子上放有质地均匀，反面相同的3张卡片，正面分别标有数字1、2、3．将这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，先从中任意抽出1张卡片，用卡片上所标的数字作为十位上的数字，将取出的卡片反面朝上放回洗匀；再从中任意抽取1张卡片，用卡片上所标的数字作为个位数字．试用列表或画树状图的方法分析，组成的两位数恰好能被3整除的概率是多少？
20．在一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别标有汉字“诚”，“实”，“守”，“信”，卡片除了汉字不同外其余都相同，先随机抽取一张卡片后不放回，然后再随机抽取一张，用画树状图或列表的方法求两次抽到卡片上的汉字组成“诚信”的概率．
21．在研究抛两枚硬币，出现都是正面朝上的概率问题时，假如你的手上没有硬币，怎么办？请设计出一种试验方案代替它．
22．在2017年“KFC”篮球赛进校园活动中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且乙队已经赢得了第1局比赛，那么甲队获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
23．从甲、乙、丙、丁4名选手中随机抽取两名选手参加乒乓球比赛，请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求甲、乙两名选手恰好被抽到的概率．
24．王勇和李明两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了30次实验，实验的结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 2 5 6 4 10 3
（1）分别计算这30次实验中“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；
（2）王勇说：“根据以上实验可以得出结论：由于5点朝上的频率最大，所以一次实验中出现5点朝上的概率最大”；李明说：“如果投掷300次，那么出现6点朝上的次数正好是30次”．试分别说明王勇和李明的说法正确吗？并简述理由；
（3）现王勇和李明各投掷一枚骰子，请用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率．
25．某班从三名男生(含小强)和五名女生中选四名学生参加学校举行的“中华古诗文朗诵大赛”，规定选n名女生.
（1）当n为何值时，男生小强参加是确定事件
（2）当n为何值时，男生小强参加是随机事件
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第二十五章 概率初步 单元综合素养提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．50瓶饮料中有2瓶已过了保质期．从该50瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵50瓶饮料中有2瓶已过了保质期，
∴从这50瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是．
故答案为：B．
【分析】运用概率的基本计算公式直接求解。
2．袋子里有3个红球和2个蓝球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机地取出一个球，取出红球的概率是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】因为3个红球，2个蓝球，一共是5个，从袋子中随机取出一个球，取出红球的概率是 ，故选B．
【分析】本题考查了概率的公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．先求出总球数，再根据概率公式解答即可．
3．下列说法正确的是（ ）
A．扇形统计图能够清楚地反映事物的变化趋势
B．对某型号电子产品的使用寿命采用全面调查的方式
C．如果某彩票的中奖概率是 ， 那么一次购买 100 张这种彩票一定会中奖
D．“水中捞月”属于不可能事件
【答案】D
【解析】【解答】解：A、折线统计图 清楚地反映事物的变化趋势，A错误；
B、 某型号电子产品的使用寿命采用抽样调查的方式，B错误；
C、如果某彩票的中奖概率是 ， 那么一次购买 100 张这种彩票不一定会中奖，C错误；
D、“ 水中捞月 ” 属于不可能事件 ，D正确.
故答案为：D.
【分析】本题根据统计图的特点，调查方式，随机事件与必然事件，逐一分析每个选项即可.
4．在六张卡片上分别写有π，，1.5，﹣3，0，六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵在六张卡片上分别写有π，，1.5，﹣3，0，六个数，
∴从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是：=．
故选B．
【分析】由在六张卡片上分别写有π，，1.5，﹣3，0，六个数，直接利用概率公式求解即可求得答案．
5．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有n个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：∵袋子中白球有9个，黑球有n个，且摸出黑球的频率稳定在0.4附近，
∴=0.4，
解得n=6.
故答案为：B.
【分析】由摸出黑球的频率稳定在0.4附近，可得从袋子中随机摸出一个球为黑球的概率为0.4，再根据概率计算公式得=0.4，解之即可求解.
6．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法正确的是（ ）.
A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币10次，不可能正面都朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
【答案】D
【解析】【解答】A、连续抛一枚均匀硬币2次有可能一次正面朝上，2次正面朝上，0次正面朝上，故A错误；
B、连续抛一枚均匀硬币10次，有可能正面都朝上，故B错误；
C、大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上的次数不确定，故C错误；
D、通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，故D正确；故选：D．
【分析】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在0和1之间．
7．某校举办诗词大会有4名女生和6名男生获奖，现从中任选1人去参加区诗词大会，则选中女生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵诗词大会有4名女生和6名男生获奖，共10人，
则选中女生的概率是 = ；
故选C．
【分析】先求出总的获奖人数，再根据概率公式列出算式，即可得出答案．
8．下列事件：①在体育中考中，小明考了满分；②经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；③抛掷两枚正方体骰子，点数和大于1；④度量任一三角形，其外角和都是180°，其中必然事件是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【解析】【解答】解：①在体育中考中，小明考了满分是随机事件；
②经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件；
③抛掷两枚正方体骰子，点数和大于1是必然事件；
④度量任一三角形，其外角和都是180°是不可能事件，
故选：C．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
9．一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有（ ）
A．6个 B．10个 C．15个 D．30个
【答案】C
【解析】【解答】解：∵共试验400次，其中有240次摸到白球，
∴白球所占的比例为=0.6，
设盒子中共有白球x个，则=0.6，
解得：x=15．
故选C．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
10．在一个黑色盒子里有1个白球，现在放入若干个黑球，它们与白球除了颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得（摸出一白一黑）（摸出两黑），则放入的黑球个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】【解答】解：设放入的黑球为x个，则共有（x+1）个球，一共出现的情况数为x（x+1），其中摸出两个黑球的有x（x-1）种，摸出一白一黑的有2x种，
P（摸出两黑）=，（摸出一白一黑）=，
（摸出一白一黑）（摸出两黑），
，
解得：x=3，
经检验，当x=3时，，x=3是原方程的解，
放入的黑球个数为3个.
故答案为：A.
【分析】设放入的黑球为x个，分别表示出摸出两个黑球的概率，摸出一白一黑的概率，利用（摸出一白一黑）（摸出两黑），建立方程求解即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数 2 5 10 50 100
发芽的频数 2 4 9 44 92
发芽的频率 （精确到 0.001 ） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920
每批粒数 500 1000 1500 2000 3000
发芽的频数 463 928 1396 1866 2794
发芽的频率 （精确到 0.001 ） 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931
这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到 0.01 ）．
【答案】0.93
【解析】【解答】解：根据题目种给出的数据发现，当实验的次数逐渐在增加的时候，绿豆的发芽率持续稳定在0.93左右，所以这种绿豆发芽的概率的估计值为0.93.
故答案为：0.93.
【分析】当实验的次数足够大的时候，此时频率逐渐稳定在某一个值，这时的这个值作为该商事件频率的估计值.
12．在今年的疫情防控工作中，某高校组织志愿者参加社区服务，社区将志愿者随机分成A，B，C三个小组，则志愿者小明分到A小组的概率是 .
【答案】
【解析】【解答】解：小明被分到A组的概率为P= ；
故答案为： .
【分析】直接利用概率公式进行计算即可.
13．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由游戏转盘划分区域的圆心角度数可得，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是 ．
故答案为：.
【分析】利用 “Ⅱ”所示区域的圆心角的度数除以360°即可求得对应的概率.
14．在4张完全一样的纸条上分别写上1、2、3、4，做成4支签，放入一个不透明的盒子中搅匀，则抽到的签是偶数的概率是 .
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得：抽到的签是偶数的概率为 ；
故答案为： .
【分析】由题意可得：偶数有2支签，然后利用概率公式可得对应的概率.
15．对于平面内任意一个凸四边形ABCD，现从以下四个关系式： ①AB=CD；②AD=BC；③AB∥CD；④∠A=∠C中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是 .
【答案】
【解析】【解答】解：从四个条件中选两个共有六种可能：①②、①③、①④、②③、②④、③④，
其中只有①②、①③和③④可以判断四边形ABCD是平行四边形，
所以能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是 .
【分析】概率=所求情况数与总情况数之比；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
16．取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字：，1，，2，，3，现把它们洗匀正面朝下，随机摆放在桌面上.从中任意抽出1张，记卡片上的数字为，则数字使分式方程无解的概率为 .
【答案】
【解析】【解答】解：
x(x-m)+x-2=x(x-2)
（3-m）x=2
原方程无解时，有三种情形：
情形1，3-m=0，则m=3
情形2，x=2，则（3-m）×2=2，∴m=2
情形3，x=0，则（3-m）×0=2，∴m无解。
综上，当m=3或m=2时，原方程无解。
∴无解的概率是：。
故答案为：
【分析】先把分式方程去分母化为整式方程，再根据原方程无解时的几种情形分别求出相应的m值。再根据m值的个数计算出概率.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某高速收费站有三个通道（通道是指电子不停车收费的专用车道）A，B，C和一个人工收费通道D．
（1）求一辆办理过卡的汽车经过此收费站时，选择A通道通过的概率；
（2）现有都办理过卡的甲，乙两辆汽车都选择了通道通行，求甲，乙两辆车选择不同通道通过的概率．
【答案】（1）
（2）
18．桌上放着一副扑克牌其中的四张，分别是2，3，4，5．如果把数字扣在下面，任意抽取两张，组成一个两位数，正好是奇数的机会有多大？正好是偶数的机会又是多大？简要说明理由．如果没有扑克牌可用什么替代物来模拟试验？说说你的做法．
【答案】解：∵2，3，4，5组成的数为23，24，25，34，35，45，54，53，52，43，42，32，
奇数的为23，25，35，45，53，43，共6个，所占概率为=；
故偶数也应为；
如果没有扑克牌可用计算器来模拟试验．
取2，3，4，5四个数是进行试验，分别求出组成奇数与偶数的概率．
【解析】【分析】可用列举法列举出出现奇数与偶数的数量再除以所有可能出现的情况数，从而选择相应的替代物进行模拟试验．
19．桌子上放有质地均匀，反面相同的3张卡片，正面分别标有数字1、2、3．将这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，先从中任意抽出1张卡片，用卡片上所标的数字作为十位上的数字，将取出的卡片反面朝上放回洗匀；再从中任意抽取1张卡片，用卡片上所标的数字作为个位数字．试用列表或画树状图的方法分析，组成的两位数恰好能被3整除的概率是多少？
【答案】解：列表得：
由上述表格知：P（被3整除）= ．
【解析】【分析】此题是抽出放回，根据题意列表，再根据表中求出所有可能的结果数及组成的两位数恰好能被3整除的可能数，然后利用概率公式求解即可。
20．在一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别标有汉字“诚”，“实”，“守”，“信”，卡片除了汉字不同外其余都相同，先随机抽取一张卡片后不放回，然后再随机抽取一张，用画树状图或列表的方法求两次抽到卡片上的汉字组成“诚信”的概率．
【答案】解：根据题意画图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的卡片上的汉字组成“诚信”的结果为2种，
∴两次摸出的卡片上的汉字组成“诚信”的概率P＝ ；
【解析】【分析】先画树状图求出 共有12种等可能的结果，其中两次摸出的卡片上的汉字组成“诚信”的结果为2种， 再求概率即可。
21．在研究抛两枚硬币，出现都是正面朝上的概率问题时，假如你的手上没有硬币，怎么办？请设计出一种试验方案代替它．
【答案】解：可以利用摸数量相同的两种颜色的球；一种代表正面，一种代表反面，则正面朝上的概率是，故可以替代硬币．
【解析】【分析】根据均匀的硬币的特点选择实物进行模拟试验即可．
22．在2017年“KFC”篮球赛进校园活动中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且乙队已经赢得了第1局比赛，那么甲队获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】解：画树状图，得
由树状图可知共有4种等可能结果，其中甲队获胜的由1种结果，
∴甲队获胜的概率为
【解析】【分析】事件分两步，树状图分两层，每层有两种情况，共有4种机会均等的结果，甲全胜的只有一种，故概率为.
23．从甲、乙、丙、丁4名选手中随机抽取两名选手参加乒乓球比赛，请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求甲、乙两名选手恰好被抽到的概率．
【答案】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，甲、乙两名选手恰好被抽到的有2种情况，
∴甲、乙两名选手恰好被抽到的概率为： =
【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙两名选手恰好被抽到的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
24．王勇和李明两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了30次实验，实验的结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 2 5 6 4 10 3
（1）分别计算这30次实验中“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；
（2）王勇说：“根据以上实验可以得出结论：由于5点朝上的频率最大，所以一次实验中出现5点朝上的概率最大”；李明说：“如果投掷300次，那么出现6点朝上的次数正好是30次”．试分别说明王勇和李明的说法正确吗？并简述理由；
（3）现王勇和李明各投掷一枚骰子，请用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率．
【答案】解：（1）“3点朝上”的频率为：，
“5点朝上”的频率为：；
（2）王勇的说法是错误的
因为“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大，
只有当实验次数足够大时，该事件发生的频率才能稳定在事件发生的概率附近，也才能用该事件发生的频率区估计其概率．
李明的说法也是错误的，因为事件的发生具有随机性，所以投掷300次，出现“6点朝上”的次数不一定是30次．
（3）列表：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∵朝上的点数之和为3的倍数共有12个，
∴P（点数之和为3的倍数）= ．
【解析】【分析】（1）利用概率公式结合表格中数据直接求出即可；
（2）利用频率估计概率的意义分析得出即可；
（3）利用列表法求出所有的可能，进而得出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率．
25．某班从三名男生(含小强)和五名女生中选四名学生参加学校举行的“中华古诗文朗诵大赛”，规定选n名女生.
（1）当n为何值时，男生小强参加是确定事件
（2）当n为何值时，男生小强参加是随机事件
【答案】（1）解：当女生选1名时，三名男生都能选上，男生小强参加是必然事件，是确定事件；
当女生选4名时，三名男生都不能选上，男生小强参加是不可能事件，是确定事件，
综上所述，当n=1或4时，男生小强参加是确定事件；
（2）解：当n=2或3时，男生小强参加是随机事件.
【解析】【分析】（1）确定事件分为必然事件和不可能事件，据此考虑解答即可；
（2）在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件，据此判断得出答案.
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