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第二十八章 锐角三角函数 单元综合强化训练卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
2．爬坡时坡角与水平面夹角为α，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（ ）.（参考数据：，）
A．58J B．159J C．1025J D．1732J
3．若∠A是锐角，且sinA= ，则（ ）
A．0 <∠A<30 B．30 <∠A<45
C．45 <∠A<60 D．60 <∠A<90
4．如图，四边形ABCD是正方形，点P，Q分别在边AB，BC的延长线上且BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②△OAE∽△OPA；③当正方形的边长为3，BP＝1时，cos∠DFO= ，其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，则∠AOB的大小为（ ）
A．69° B．111° C．159° D．141°
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是（ ）
A． B．3 C． D．
8．一个长方体木箱放置在斜面上，其端点A落在水平地面上，相关数据如图所示，则木箱端点C距地面m的高度是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接并延长交AB于点D，当时，的长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形中，交于点，点在上，连接分别交，于点，．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知在中，，点G是的重心，，，那么 .
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，C为平面内的动点，且满足，D为直线上的动点，则线段长的最小值为 ．
13．如图所示，河坝横断面迎水坡的坡比为1∶2（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），坝高，则坡面的长度是 m．
14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则sinA的值为 ．
15．如图，在一笔直的海岸线上有两个观测站，，从测得船在北偏东45°的方向，从测得船在北偏东的方向，则船离海岸线的距离（即的长）为 ．
16．如图所示，，半径为2的圆O内切于.P为圆O上一动点，过点P作、分别垂直于的两边，垂足为M、N，则的取值范围为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图， 在 中， ．
（1） 请用尺规作图法， 作边 的垂直平分线， 交 于点 ； (不写作法， 保留作图痕迹)
（2） 连接 ， 求 的长．
18．如图所示，某施工队要测量隧道长度 ， 米， ，施工队站在点D处看向B，测得仰角 ，再由D走到 处测量， 米，测得仰角为 ，求隧道 长.（ ， ， ）.
19．如图，在某市景区主干道路旁矗立着一块景区指示牌，小明驾驶汽车由东向西行驶，到达点C处，测得景区指示牌的上沿M处仰角为30°；前进8米后到达B处，测得景区指示牌的下沿N处仰角为45°，再前进4米后到达景区指示牌底部A处，求指示牌的高MN长（结果精确到0.1米， =1.414， =1.732）
20．如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造．供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为300（+1）米，求供水站M分别到小区A、B的距离．（结果可保留根号）
21．如图1，某款台灯由底座、支丵臂、连杆、悬臂和安装在处的光源组成．如图2是该款台灯放置在水平桌面上的侧面示意图，已知支撑臂桌面，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高照明效果．
（1）悬臂端点到桌面的距离为多少厘米？
（2）已知当光源到桌面的距离为时照明效果较好，求此时悬臂与连杆的夹角的度数．
(参考数据：)
22．如表是小菲填写的实践活动报告的部分内容．
题目 测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标示意图
相关数据 CE＝25米，CD＝10米，∠FDG＝44°
求铁塔的高度FE．（结果精确到1米）
（参考数据：sin44°＝0.69，cos44°＝0.72，tan44°＝0.97）
23．如图，锐角△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，sinA= ，求BC的长．
24．在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C 给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP=AQ的两个不同的点P，Q，都有 则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度.(本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角)
（1）如图，⊙O 的半径为1.
①在点中，点 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于 该点与⊙O 的关联角度为 °；
②点B(1，m)在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD 上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为 ；
（2）已知点E(1，3)，F(4，3)，T(t，0)，⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α.若 直接写出t的取值范围.
25．如图，抛物线y= x2+mx+n与直线y=﹣ x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．
（1）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
（2）在（1）条件下，P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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第二十八章 锐角三角函数 单元综合强化训练卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5 ，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据余弦函数的定义，cosA=∠A的邻边∶斜边即可直接得出答案.
2．爬坡时坡角与水平面夹角为α，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（ ）.（参考数据：，）
A．58J B．159J C．1025J D．1732J
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得，沿着坡角为30°的坡面爬行1000米的耗能为：
1000×（1.025-cos30°）=1000×（1.025-）≈159J.
故答案为：B.
【分析】由耗能=1000×（1.025-cos30°），然后代入特殊锐角三角函数值计算即可.
3．若∠A是锐角，且sinA= ，则（ ）
A．0 <∠A<30 B．30 <∠A<45
C．45 <∠A<60 D．60 <∠A<90
【答案】A
【解析】【解答】解：∵sin30°=
又∵0＜＜
∴0°＜∠A＜30°
故答案为：A.
【分析】根据题意，由30°的正弦值，判断得到∠A的度数范围即可。
4．如图，四边形ABCD是正方形，点P，Q分别在边AB，BC的延长线上且BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②△OAE∽△OPA；③当正方形的边长为3，BP＝1时，cos∠DFO= ，其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，
∵BP=CQ，
∴AP=BQ，
在△DAP与△ABQ中，
∴△DAP≌△ABQ，
∴∠P=∠Q，
∵
∴
∴
∴AQ⊥DP；
故①正确；
②无法证明，故错误.
∵BP=1，AB=3，
∴
∴ 故③正确，
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质得出AD=BC， ∠DAB=∠ABC=90 ，又BP=CQ，根据等式的性质得出AP=BQ，然后利用SAS判断出△DAP≌△ABQ，根据全等三角形的对应角相等得出∠P=∠Q，根据直角三角形的两锐角互余得出∠Q+∠QAB=90 ，利用等量代换得出∠P+∠QAB=90 ，根据三角形的内角和得出∠AOP=90°，故AQ⊥DP；根据全等三角形的对应边相等得出BQ=AP=4，根据勾股定理算出AQ的长，根据等角的同名三角函数值相等及余弦函数的定义即可得出 cos ∠DFO=cos∠BAQ=；△OAE∽△OPA无法证明，从而判断是错误的，综上所述即可得出答案。
5．在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，则∠AOB的大小为（ ）
A．69° B．111° C．159° D．141°
【答案】D
【解析】【解答】解：如图 ，
由题意，得
∠1=54°，∠2=15°．
由余角的性质，得
∠3=90°﹣∠1=90°﹣54°=36°．
由角的和差，得
∠AOB=∠3+∠4+∠2=36°+90°+15°=141°，
故选：D．
【分析】根据方向角，可得∠1，∠2，根据角的和差，可得答案．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴sinA＝＝，tanB＝，a2＋b2＝c2.
∵sinA＝，设a＝3x，则c＝5x，结合a2＋b2＝c2得b＝4x.
∴tanB＝＝＝.
故答案为：C.
【分析】由于sinA＝＝，可设a＝3x，则c＝5x，由勾股定理求出b＝4x，根据tanB＝即可求解.
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设BC=x，则AB=3x，
由勾股定理得，AC=2x，
tanB===2，
故选：D．
【分析】设BC=x，则AB=3x，由勾股定理求出AC，根据三角函数的概念求出tanB．
8．一个长方体木箱放置在斜面上，其端点A落在水平地面上，相关数据如图所示，则木箱端点C距地面m的高度是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF⊥地面于F，交AD于H，过点D作于，地面于G，则四边形DEFG是矩形，
在中，
在中，
故答案为：B.
【分析】过点C作CF⊥地面m于F，交AD于H，过点D作DE⊥CF于E，DG⊥地面m于G，则四边形DEFG是矩形，EF=DG，根据三角函数的概念可得DG、EF，根据等角的余角相等可得∠DCH=∠HAF=α，利用三角函数的概念表示出CE，然后根据CF=CE+EF进行解答.
9．如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接并延长交AB于点D，当时，的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】， ，
由 旋转而得，
即
在Rt△ADC中，
故答案为：B.
【分析】利用等腰三角形的性质以及旋转的性质求得进一步得到再利用特殊角的三角函数值求得AB的值，将数据代入弧长公式从而求解.
10．如图，在矩形中，交于点，点在上，连接分别交，于点，．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接BD交AC于点O，连接OG，
∵BG=GF=DF，
∴∠FGD=∠FDG.
∵四边形ABCD为矩形，
∴OB=OD，AB=CD，∠ABC=∠BCD=90°，
∴OG为△BDF的中位线，
∴OG∥DC，DF=BG=GF=2OG，
∴∠ACD=∠COG.
∵∠FGD+∠OHG=90°，∠ACD+∠FDG=90°，
∴∠OHG=∠ACD.
∵∠OHG=∠CHF，
∴∠OHG=∠CHF=∠ACD=∠COG，
∴OG=GM，MF=FC.
设OG=GH=x，则DF=GF=2x，
∴HF=FC=GF-GH=x，CD=DF+CF=3x，
∴sin∠FBC=.
故答案为：A.
【分析】连接BD交AC于点O，连接OG，由已知条件可知BG=GF=DF，根据等腰三角形的性质可得
∠FGD=∠FDG，由矩形的性质可得OG为△BDF的中位线，则OG∥DC，DF=BG=GF=2OG，根据平行线的性质可得∠ACD=∠COG，由同角的余角相等结合对顶角的性质可得∠OHG=∠CHF=∠ACD=∠COG，则OG=GH，HF=FC，设OG=GH=x，则DF=GF=2x，HF=FC=GF-GH=x，CD=DF+CF=3x，然后利用三角函数的概念进行计算.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知在中，，点G是的重心，，，那么 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，延长CG与AB交于点D，过D作DE⊥CB于点E，
∵G是△ABC 的重心，
∴CG=2GD，
∵CG=2，
∴GD=1，
∴CD=2+1=3，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥CB，
∴AC∥DE，
∵D是AB中点，
∴E是CB中点，
∴CE=，
∴cos∠GCB=.
故答案为.
【分析】延长CG与AB交于点D，过D作DE⊥CB于点E，根据重心的概念可得CG=2GD=2，则GD=1，CD=3，易得AC∥DE，则E是CB中点，CE=CB=2，然后根据三角函数的概念进行计算.
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，C为平面内的动点，且满足，D为直线上的动点，则线段长的最小值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，点A（2，0），点B（5，0），
∴AB=5-2=3，
∴点C在以AB为直径的圆上运动，
∴CM=AM=
∴OM=2+=，AM=，
∵点D在直线上，
∴当DM⊥OD时，线段DM最短，此时DC的值最小，
设点D，
∴，
∴∠DOM=60°，
∴
∴
解之：，
∴.
故答案为：
【分析】利用点A，B的坐标，可求出AB的长，可得到点C的运动轨迹为点C在以AB为直径的圆上运动，可求出CM，AM的长；由此可求出OM的长，再根据点D在直线上，利用垂线段最短可知当DM⊥OD时，线段DM最短，此时DC的值最小，利用函数解析式设点D，利用解直角三角形求出∠DOM的度数，再利用解直角三角形求出DM的长；然后根据CD=DM-CM，代入计算求出CD的长.
13．如图所示，河坝横断面迎水坡的坡比为1∶2（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），坝高，则坡面的长度是 m．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意知，河坝的横断面AB的坡比是1：2，即，
因为BC=3米，可得AC=6米，
直角中，由勾股定理得（米），
故答案为：3．
【分析】根据坡度的概念求出AC的长，在直角中，利用勾股定理计算，即可得到答案.
14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则sinA的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= =10，
∴sinA= = = ；
故答案为： ．
【分析】先利用勾股定理计算出AB的长，然后根据正弦的定义即可求解．
15．如图，在一笔直的海岸线上有两个观测站，，从测得船在北偏东45°的方向，从测得船在北偏东的方向，则船离海岸线的距离（即的长）为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：构造点B的正北方向，交AC于点E，如图所示，
根据题意，得∠BAE=∠AEB=∠ACD=45°，∠EBC=∠ECB=22.5°，
∴AB=BE=EC=4，AD=CD，
∴AE=4，
∴AC=AE+EC=4+4，
∴CD==2+4，
故答案为：2+4.
【分析】构造点B的正北方向，交AC于点E，先求出AB=BE=EC=4，AD=CD，再利用线段的和差求出AC的长，最后求出CD==2+4即可.
16．如图所示，，半径为2的圆O内切于.P为圆O上一动点，过点P作、分别垂直于的两边，垂足为M、N，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】【解答】解：作MH⊥NP于H，作MF⊥BC于F，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
当MP与相切时，MF取得最大和最小，
①连接OP，OG，OC，如图1所示：
可得：四边形OPMG是正方形，
，
在中，，
，
在中，，
，即；
②连接OP，OG，OC，如图2所示：
可得：四边形OPMG是正方形，
，
由上同理可知：在中，，
，
在中，，
，即，
.
故答案为：.
【分析】作MH⊥NP于H，作MF⊥BC于F，根据垂直的定义及四边形的内角和定理可求出∠MPN=120°，进而根据邻补角定义算出∠MPH=60°，由余弦函数的定义可得，则，根据矩形的性质得MF=NH，故当MP与相切时，MF取得最大和最小，①连接OP，OG，OC，如图1所示：易得四边形OPMG是正方形，则MG=OP=2，在Rt△COG与Rt△CMF中，分别利用锐角三角函数定义求出CG、MF，从而即可求出PM+2PN的最大值；②连接OP，OG，OC，如图2所示：易得四边形OPMG是正方形，则MG=OP=2，在Rt△COG与Rt△CMF中，分别利用锐角三角函数定义求出CG、MF，从而即可求出PM+2PN的最小值，从而即可得出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图， 在 中， ．
（1） 请用尺规作图法， 作边 的垂直平分线， 交 于点 ； (不写作法， 保留作图痕迹)
（2） 连接 ， 求 的长．
【答案】（1）如解图，点G即为所求；
（2）解：由作图可得GA=GB，
∴∠GBA=∠GAB=45°，
∴∠BGA=180°-∠GBA-∠GAB=180°-45°-45°=90°，
∴ ．
【解析】【分析】（1）利用尺规作线段的垂直平分线的方法作图即可；
（2）根据作图可得GA=GB，即可得到∠GBA=∠GAB=45°，进而求出∠BGA=90°，然后利用解直角三角形解题即可 ．
18．如图所示，某施工队要测量隧道长度 ， 米， ，施工队站在点D处看向B，测得仰角 ，再由D走到 处测量， 米，测得仰角为 ，求隧道 长.（ ， ， ）.
【答案】解：如图，
是等腰直角三角形， ，
作 点M，则
∴
在 中， ，即
∴
∴ （米）
答：隧道 的长度为700米.
【解析】【分析】作EM⊥AC于M，解直角三角形即可得到结论.
19．如图，在某市景区主干道路旁矗立着一块景区指示牌，小明驾驶汽车由东向西行驶，到达点C处，测得景区指示牌的上沿M处仰角为30°；前进8米后到达B处，测得景区指示牌的下沿N处仰角为45°，再前进4米后到达景区指示牌底部A处，求指示牌的高MN长（结果精确到0.1米， =1.414， =1.732）
【答案】解：∵汽车由东西行驶到C处，测得景区指示牌的上沿M处仰角为30°，
∴∠MCA=30°，
∵前进8米后到达B处，测得景区指示牌的下沿N处仰角为45°，
∴BC=8m，∠
∵前进4米后到达景区指示牌底部A处，
∴AB=AN=4m
∴AC=AB+BC=4+8=12m
∵∠ACM=30°
∴
∴
∵ =1.732
∴ （米）
答：指示牌的高MN长约为2.9米.
【解析】【分析】通过两次解直角三角形计算出AN和AM，再根据AM-AN即可求出MN的长
20．如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造．供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为300（+1）米，求供水站M分别到小区A、B的距离．（结果可保留根号）
【答案】解：过点M作MN⊥AB于N，
设MN=x米．
在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，∠MAN=30°，
∴MA=2MN=2x，AN=MN=x．
在Rt△BMN中，∵∠BNM=90°，∠MBN=45°，
∴BN=MN=x，MB=MN=x．
∵AN+BN=AB，
∴x+x=300（+l），
∴x=300，
∴MA=2x=600，MB=x=300．
故供水站M到小区A的距离是600米，到小区B的距离是300米．
【解析】【分析】根据题意，在△ABM中，∠BAM=30°，∠ABM=45°，AB=300（+l）米．过点M作MN⊥AB于N，设MN=x米，用含x的代数式分别表示AN，BN，根据AN+BN=AB建立方程，解方程求出x的值，进而求出MA与MB的长．
21．如图1，某款台灯由底座、支丵臂、连杆、悬臂和安装在处的光源组成．如图2是该款台灯放置在水平桌面上的侧面示意图，已知支撑臂桌面，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高照明效果．
（1）悬臂端点到桌面的距离为多少厘米？
（2）已知当光源到桌面的距离为时照明效果较好，求此时悬臂与连杆的夹角的度数．
(参考数据：)
【答案】（1）解：如图，过点作的垂线，垂足为，过点作于点．
，
四边形为矩形，
．
，
，
在Rt中，，
．
故悬臂端点到桌面的距离约为．
（2）解：如图，过点作于点，作于点．
，
四边形为矩形，
，
．
，
在Rt中，，
．
，
，
．
【解析】【分析】（1）过点作的垂线，垂足为，过点作于点，先根据矩形的判定与性质得到，进而结合题意进行角的运算得到，从而解直角三角形即可求解；
（2）过点作于点，作于点，先根据矩形的判定与性质得到，进而结合题意运用特殊角的三角函数值即可得到，从而进行角的运算即可求解。
22．如表是小菲填写的实践活动报告的部分内容．
题目 测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标示意图
相关数据 CE＝25米，CD＝10米，∠FDG＝44°
求铁塔的高度FE．（结果精确到1米）
（参考数据：sin44°＝0.69，cos44°＝0.72，tan44°＝0.97）
【答案】解：在Rt△DGF中，
∵FG＝DG×tan∠FDG，
＝CE×tan∠FDG
＝25×tan44°
＝24.25，
∴FE＝FG+GE
＝FG+CD，
＝24.25+10
≈34（米）
答：铁塔FE的高度约为34米．
【解析】【分析】先求出FG的值，再求出FE的值.
23．如图，锐角△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，sinA= ，求BC的长．
【答案】解：作⊙O的直径CD，连接BD，则CD=2×6=12.
∵
∴
∴
【解析】【分析】作⊙O的直径CD，连接BD，则CD=2×6=12.根据圆周角定理得出∠CBD = 90 ， ∠ D = ∠ A ， 根据等角的同名三角函数值相等及正弦函数的定义即可求出BC的长。
24．在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C 给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP=AQ的两个不同的点P，Q，都有 则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度.(本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角)
（1）如图，⊙O 的半径为1.
①在点中，点 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于 该点与⊙O 的关联角度为 °；
②点B(1，m)在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD 上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为 ；
（2）已知点E(1，3)，F(4，3)，T(t，0)，⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α.若 直接写出t的取值范围.
【答案】（1）A3；60；
（2）或t＞5或
【解析】【解答】解：（1）①根据定义可得：当A在⊙O上时，不存在都有 当A在⊙O 内部时，过A的直径MN 使得⊙O的关联角度为1 当A在⊙O的外部时， 且AM，AN为⊙O 的切线时， 最大；
如图， 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于 与⊙O 的关联角度为 与⊙O的关联角度大于
∵A3(2，0)， ⊙O的半径为1，
且MA3是⊙O的切线，
，即与⊙O的关联角度为60°
故答案为： A3， 60.
②根据定义可得B为⊙O外一点，
∵BD＜1， ⊙O的半径为1，
∴BO≥2， 当OB=2时，
如图， 取点G(1，0)， 则∠OBG=90°，
∴
∴m的最小值为
故答案为：
（2）解：由(1)可得，当A在圆的外部时，且AM，AN为圆的切线时， 最大，且A距离圆心越近，
∴当∠MAN=90°时， 由. ， 如图，
∴四边形TMAN 是矩形，
由∵TM=TA
∴四边形TMAN是正方形，
∴
当∠MAN≥90°时，
∵点E(1，3)，F(4，3)，T(t，0)， OT 经过原点，线段EF 上所有的点都是OT 的关联点，则
∴EF上距离T最近的点在 的圆环内，
①EF和 的圆相切，如图，
∴
解得：
②EF 和半径为t的圆相切时，如图，
∴t=3 (不包含临界值)
∴6
∴
③当E在半径为t的圆，如图，
解得：t=5(不包含临界值)
∴t＞5时， E，F 都在⊙T内部， 此时α=180°
④当F在半径为 的圆，如图，
设⊙T的半径为r， 则t=-r ，
∵
解得：
∴时，此时90°≤α≤180°，
综上所述， 或t＞5或
【分析】（1）①根据定义可得：当A在⊙O上时，不存在都有 当A在⊙O 内部时，过A的直径MN 使得⊙O的关联角度为1 当A在⊙O的外部时， 且AM，AN为⊙O 的切线时， 最大，如图， 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于 与⊙O 的关联角度为 与⊙O的关联角度大于 根据题意可得 OM=1，且MA3是⊙O的切线，根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，则 ，即与⊙O的关联角度为60°.
②根据定义可得B为⊙O外一点，由题意可得BO≥2， 当OB=2时，取点G(1，0)， 则∠OBG=90°，根据勾股定理即可求出答案.
（2）由(1)可得，当A在圆的外部时，且AM，AN为圆的切线时， 最大，且A距离圆心越近，分情况讨论：当∠MAN=90°时， 根据正方形判定定理可得四边形TMAN是正方形，则；当∠MAN≥90°时， ，由题意可得EF上距离T最近的点在 的圆环内，①EF和 的圆相切，②EF 和半径为t的圆相切时，③当E在半径为t的圆，④当F在半径为 的圆，逐项进行判断即可求出答案.
25．如图，抛物线y= x2+mx+n与直线y=﹣ x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．
（1）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
（2）在（1）条件下，P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）把A（0，3），C（3，0）代入y= x2+mx+n，得
，
解得： ．
∴抛物线的解析式为y= x2﹣ x+3．
联立 ，
解得： 或 ，
∴点B的坐标为（4，1）．
过点B作BH⊥x轴于H，如图1．∵C（3，0），B（4，1），
∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1，∴BH=CH=1．
∵∠BHC=90°，∴∠BCH=45°，BC= ．
同理：∠ACO=45°，AC=3 ，
∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴tan∠BAC= ；
（2）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．
过点P作PG⊥y轴于G，
则∠PGA=90°．
设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x．
∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，∴∠APQ=∠ACB=90°．
若点G在点A的下方，
①如图2①，当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB．
∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，
∴ ．
∴AG=3PG=3x．
则P（x，3﹣3x）．把P（x，3﹣3x）代入y= x2﹣ x+3，得： x2﹣ x+3=3﹣3x，
整理得：x2+x=0，解得：x1=0（舍去），x2=﹣1（舍去）．
②如图2②，
当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．
同理可得：AG= PG= x，则P（x，3﹣ x），
把P（x，3﹣ x）代入y= x2﹣ x+3，得： x2﹣ x+3=3﹣ x，
整理得：x2﹣ x=0，解得：x1=0（舍去），x2= ，∴P（ ， ）；
若点G在点A的上方，
①当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，
同理可得：点P的坐标为（11，36）．
②当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．
同理可得：点P的坐标为P（ ， ）．
综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（ ， ）、（ ， ）．
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得到关于m、n的方程组，从而可求得m、n；过点B作BH⊥OH，先求得点C的坐标，然后再证明△AOC和△BHC为等腰直角三角形，从而可求得∠ACB=90°，然后依据勾股定理可求得AC、BC的长，最后依据锐角三角函数的定义可求得答案。
（2）过点P作PG⊥OA，当G在点A的下方时，分为∠PAQ=∠CAB和∠PAQ=∠CBA两种情况，当点G在点A的上方，分为∠PAQ=∠CAB和∠PAQ=∠CBA两情况分类计算即可．.
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