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第二十九章 投影与视图 单元知识巩固提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．数学活动课上，“智慧小组”设计用一个大长方形制作一个长方体纸盒，如图所示，要求纸盒的长、宽、高分别为4、3、1，则这个大长方形的长为（ ）
A．14 B．10 C．8 D．7
2．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
3．由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．如图是由3个完全相同的小正方形组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．如图是由5个相同小正方体搭成的几何体，若将小正方体B放到小正方体A的正上方，则关于该几何体变化前后的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图不变 B．左视图不变
C．俯视图不变 D．以上三种视图都改变
6．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )
A．(3+8)cm B．10cm C．14cm D．无法确定
7．如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，若这个几何体最多由m个小正方体组成，最少由n个小正方体组成，则2m﹣n＝（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
8．如图，将一张边长为6的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱.这个棱柱的侧面积为( )
A．36 B． C． D．
9．一个几何体的展开图如图所示，这个几何体是（ ）
A．棱柱 B．棱锥 C．圆锥 D．圆柱
10．如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图是某个几何体的三视图，则该几何体的名称是 ．
12．一个零件的主视图、左视图、俯视图如图所示（单位：厘米），这个零件的体积为 立方厘米.
13．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 ．
14．甲、乙两人在太阳光下行走，同一时刻他们的身高与其影长之比的关系是
15．较大会场的座位都呈阶梯形状的原因是为了 ．
16．如图是由一些棱长为1的小立方块所搭几何体的三种视图．若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个长方体，至少还需要 个小立方块．最终搭成的长方体的表面积是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图①所示的组合几何体，它的下面是一个长方体，上面是一个圆柱．
（1）图②和图③是它的两个视图，在横线上分别填写两种视图的名称（填“主”、“左”或“俯”）；
（2）根据两个视图中的尺寸，计算这个组合几何体的表面积和体积．（结果保留）
18．小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE=0.4米．
（1）请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．
（2）如果BF=1.6，求旗杆AB的高．
19．在我们的课本第142页“4.4课题学习”中，有包装纸盒的设计制作方法．下图是设计师为“XX快递”设计的长方体包装盒的轮廓草图，其中长30cm、宽20cm、高18cm，正面有“快递”字样，上面有“上”字样，棱AB是上盖的掀开处，棱CD是粘合处．请你想想，如何制作这个包装盒，然后完善下面的制作步骤．
步骤1：在符合尺寸规格的硬纸板上，画出这个长方体的展开图(草图)．注意，要预留出黏合处，并适当剪去棱角．
步骤2：在你上面画出的展开草图上，标出对应的A、B、C、D的位置，标出长30cm、宽20cm、高18CM所在线段，并把“上”和“快递”标注在所在面的位置上．
步骤3：裁下展开图，折叠并粘好黏合处，得到长方体包装盒．
20．如图是一个正方体盒子的侧面展开图，该正方体六个面上分别标有不同的数字，且相对两个面上的数字是一对相反数．
（1）请把﹣10，8，10，﹣3，﹣8，3分别填入六个小正方形中．
（2）若某相对两个面上的数字分别满足关系式和﹣5，求x的值．
21．在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为公分．敏敏观察到高度公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示．
已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题：
（1）若敏敏的身高为公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？
（2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案．
22．如图是由6个相同的正方形拼成的图形，请你将其中一个正方形移动到合适的位置，使它与另5个正方形能拼成一个正方体的表面展开图．（请在图中将要移动的那个正方形涂黑，并画出移动后的正方形）．
23． 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．
（1）此光源下形成的投影属于 ．（填“平行投影”或“中心投影”）
（2）已知树高AB为2m，树影BC为3m，树与路灯的水平距离BP为4.5m．求路灯的高度OP．
24．长方体的主视图与俯视图如图所示，这个长方体的体积是多少？
25．如图1，一个边长为2cm的立方体按某种方式展开后，恰好能放在一个长方形内．
（1）计算图1长方形的面积；
（2）小明认为把该立方体按某种方式展开后可以放在如图2的长方形内，请你在图2中划出这个立方体的表面展开图；(图2每个小正方形边长为2cm)；
（3）如图3，在长12cm、宽8cm的长方形内已经画出该立方体的一种表面展开图(各个面都用数字“1”表示)，请你在剩下部分再画出2个该立方体的表面展开图，把一个立方体的每一个面标记为“2”，另一个立方体的每一个面标记为“3”．
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第二十九章 投影与视图 单元知识巩固提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．数学活动课上，“智慧小组”设计用一个大长方形制作一个长方体纸盒，如图所示，要求纸盒的长、宽、高分别为4、3、1，则这个大长方形的长为（ ）
A．14 B．10 C．8 D．7
【答案】B
【解析】【解答】解：由图①知，这个大长方形的长为1+4+1+4=10．
故答案为：B．
【分析】根据题意，即可得出答案。
2．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
【答案】B
【解析】【解答】解：由由展开图可得，改几何体由三个面的长方形，两个面是三角形，
所以该几何体是三棱柱
故答案为：B．
【分析】根据几何体的展开图特征即可求出答案.
3．由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】【解答】解：由主视图、左视图可得：该几何体有2层3列，最底层最多有6个正方体，第二层有1个正方体，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是6+1=7个.
故答案为：B.
【分析】由主视图、左视图可得：该几何体有2层3列，然后确定出每层正方体的个数，据此解答.
4．如图是由3个完全相同的小正方形组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：此图形的左视图是“日”字形．
故选A．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
5．如图是由5个相同小正方体搭成的几何体，若将小正方体B放到小正方体A的正上方，则关于该几何体变化前后的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图不变 B．左视图不变
C．俯视图不变 D．以上三种视图都改变
【答案】D
【解析】【解答】解：由题知将小正方体B放到A的正上方，主视图、俯视图和左视图都发生变化。
故答案选B
【分析】由三视图定义求解即可
6．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )
A．(3+8)cm B．10cm C．14cm D．无法确定
【答案】B
【解析】【解答】如图(1)所示：
如图(2)所示：
由于
所以最短路径为10.
故答案为：B.
【分析】根据不同的展开方式，根据勾股定理分别求得AB的长，并比较大小，即可得出答案。
7．如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，若这个几何体最多由m个小正方体组成，最少由n个小正方体组成，则2m﹣n＝（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【解析】【解答】解：由三视图可知：最下面一层有4个正方体，中间一层最多有3个正方体，最少有2个正方体，最上面一层最多有2个正方体，最少有1个正方体，
∴m＝4+3+2＝9，n＝4+2+1＝7，
∴2m﹣n＝2×9﹣7＝11．
故答案为：B．
【分析】根据题意先求出m＝4+3+2＝9，n＝4+2+1＝7，再代入求解即可。
8．如图，将一张边长为6的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱.这个棱柱的侧面积为( )
A．36 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵将一张边长为6 的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，
∴这个正三角形的底面边长为2，易得其高为 .
∴围成的这个三棱柱的侧面展开图为一个长为6、宽为的矩形.
∴这个棱柱的侧面积为 6×(6-
【分析】根据题意，将边长为6的正方形纸片按虚线裁剪，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，可知这个正三角形的边长为2，然后得到正三角形的高，然后将三棱柱侧面展开可得为矩形，计算出矩形的长和宽，即可得到侧面积.
9．一个几何体的展开图如图所示，这个几何体是（ ）
A．棱柱 B．棱锥 C．圆锥 D．圆柱
【答案】C
【解析】【解答】解：圆锥的侧面展开图是扇形，底面是圆，
故选：C．
【分析】根据圆锥的展开图，可得答案．
10．如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，把左侧面展开到水平面上，连接，
，
则，
如图，把右侧面展开到正面上，连接，
，
则；
如图，把向上的面展开到正面上，连接，
，
则；
∵，
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是，
故答案为：A．
【分析】本题需要分三种情况，即把左侧面展开到水平面上、把右侧面展开到正面上、把向上的面展开到正面上；然后分别利用勾股定理计算，最后再比较计算结果即可得解．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图是某个几何体的三视图，则该几何体的名称是 ．
【答案】六棱柱
【解析】【解答】解：根据主视图和左视图为长方形判断出柱体，根据俯视图是六边形可判断出该几何体是六棱柱.
故答案为：六棱柱.
【分析】观察主视图与左视图，可知该几何体为棱柱，然后结合俯视图判断即可.
12．一个零件的主视图、左视图、俯视图如图所示（单位：厘米），这个零件的体积为 立方厘米.
【答案】1800
【解析】【解答】解：∵有2个视图为长方形，
∴该几何体为柱体，
∵第3个视图为长方形，
∴几何体为长方体，
∴长方体的体积为 立方厘米.
故答案为： 1800.
【分析】易得该几何体为长10，宽12，高15的长方体，长方体的体积=长×宽×高.
13．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 ．
【答案】10
【解析】【解答】解：如图1，
，，，
，
；
如图2，
，，，
，
，
，
蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为．
故答案为：10．
【分析】本题考查了平面展开图中的最短路径问题以及勾股定理的应用。解题关键在于考虑展开图的两种不同情况，并通过画图分析，运用勾股定理计算线段MN的长度。具体解题思路如下：分析平面展开图可能存在的两种不同展开方式；针对每种展开情况分别绘制示意图；在展开图中确定点M和点N的位置关系；运用勾股定理计算MN的长度。
14．甲、乙两人在太阳光下行走，同一时刻他们的身高与其影长之比的关系是
【答案】相等
【解析】【解答】解：根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；故同一时刻他们的身高与其影长成比例，即同一时刻他们的身高与影长的比相等．
故答案为：相等．
【分析】根据平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，即可得出答案．
15．较大会场的座位都呈阶梯形状的原因是为了 ．
【答案】减小盲区
【解析】【解答】解：较大会场的座位都呈阶梯形状，是为了使后面的观众有更大的视野，从而减小盲区，
故答案为减小盲区．
【分析】根据盲区定义，盲区是指看不见的区域，仰视时越向前视野越小盲区越大，俯视时越向前视野越大，盲区越小．
16．如图是由一些棱长为1的小立方块所搭几何体的三种视图．若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个长方体，至少还需要 个小立方块．最终搭成的长方体的表面积是 ．
【答案】26；66
【解析】【解答】解：由俯视图易得最底层有7个小立方体，第二层有2个小立方体，第三层有1个小立方体，
其小正方块分布情况如下：
那么共有7+2+1=10个几何体组成．
若搭成一个大长方体，共需3×4×3=36个小立方体，
所以还需36﹣10=26个小立方体，
最终搭成的长方体的表面积是3×4×2+3×3×2+3×4×2=66
故答案为：26，66．
【分析】可从俯视图入手，每摞小正方体个数结合主视图、左视图求出10个，求出共需小立方体36个，作差可求出还需26个.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图①所示的组合几何体，它的下面是一个长方体，上面是一个圆柱．
（1）图②和图③是它的两个视图，在横线上分别填写两种视图的名称（填“主”、“左”或“俯”）；
（2）根据两个视图中的尺寸，计算这个组合几何体的表面积和体积．（结果保留）
【答案】（1）左；俯.
（2）解：根据题意得该组合几何体表面积为：.
体积为：
．
∴这个组合几何体的表面积为，体积是．
【解析】【解答】（1）如图所示：
故答案为：左，俯；
【分析】（1）观察几何体发现，图②是左视图，图③是俯视图.
（2）根据图②是左视图，图③是俯视图的数据得长方体的长为，宽为，高为，圆柱的底面直径为，高为，即可根据长方体、圆柱体的体积和表面积公式进行计算.
（1）如图所示：
故答案为：左，俯；
（2）表面积为：，
体积为：
．
答：这个组合几何体的表面积为，体积是．
18．小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE=0.4米．
（1）请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．
（2）如果BF=1.6，求旗杆AB的高．
【答案】解：（1）连结DE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求，如图；
（2）∵AF∥CE，
∴∠AFB=∠CED，
而∠ABF=∠CDE=90°，
∴△ABF∽△CDE，
∴=，即=，
∴AB=8（m）．
答：旗杆AB的高为8m．
【解析】【分析】（1）利用太阳光线为平行光线作图：连结DE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求；
（2）证明△ABF∽△CDE，然后利用相似比计算AB的长．
19．在我们的课本第142页“4.4课题学习”中，有包装纸盒的设计制作方法．下图是设计师为“XX快递”设计的长方体包装盒的轮廓草图，其中长30cm、宽20cm、高18cm，正面有“快递”字样，上面有“上”字样，棱AB是上盖的掀开处，棱CD是粘合处．请你想想，如何制作这个包装盒，然后完善下面的制作步骤．
步骤1：在符合尺寸规格的硬纸板上，画出这个长方体的展开图(草图)．注意，要预留出黏合处，并适当剪去棱角．
步骤2：在你上面画出的展开草图上，标出对应的A、B、C、D的位置，标出长30cm、宽20cm、高18CM所在线段，并把“上”和“快递”标注在所在面的位置上．
步骤3：裁下展开图，折叠并粘好黏合处，得到长方体包装盒．
【答案】步骤一：如下图(有多种作图方案，画出一种合理的即可)：
步骤2：在图中标出对应的A、B、C、D的位置，标出长30cm、宽20cm、高18cm所在线段，并把“上”和“快递”标注在所在面的位置上．
步骤3：按图中所示裁下展开图，折叠并粘好黏合处，即可得到长方体包装盒．
【解析】【分析】根据要求画出长方体的平面展开图即可．
20．如图是一个正方体盒子的侧面展开图，该正方体六个面上分别标有不同的数字，且相对两个面上的数字是一对相反数．
（1）请把﹣10，8，10，﹣3，﹣8，3分别填入六个小正方形中．
（2）若某相对两个面上的数字分别满足关系式和﹣5，求x的值．
【答案】解：（1）如图所示：故前后两个面的数字符合要求即可（答案不唯一，答对即可）；（2）依题意得，+﹣5=0，去分母得，2（2x﹣1）+3（3x+2）﹣30=0，去括号得，4x﹣2+9x+6﹣30=0，移项得，4x+9x=2﹣6+30，合并同类项得，13x=26，系数化为1得，x=2．
【解析】【分析】（1）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答；
（2）根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，然后求解即可．
21．在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为公分．敏敏观察到高度公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示．
已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题：
（1）若敏敏的身高为公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？
（2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案．
【答案】解：（1）设敏敏的影长为公分．
由题意：，
解得（公分），
经检验：是分式方程的解．
∴敏敏的影长为公分．
（2）如图，连接，作．
，
∴四边形是平行四边形，
公分，
设公分，由题意落在地面上的影长为公分．
，
（公分），
（公分），
答：高圆柱的高度为公分．
【解析】【分析】（1）根据同一时刻，同一地点，物长与影长成正比，构建方程，求解即可；
（2）连接，作，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形ABFE是平行四边形，由平行四边形的对边相等得AB=EF=150公分，根据同一时刻，同一地点，物长与影长成正比，构建方程，求解得出BC的长，进而根据AB+BC=AC可求解.
22．如图是由6个相同的正方形拼成的图形，请你将其中一个正方形移动到合适的位置，使它与另5个正方形能拼成一个正方体的表面展开图．（请在图中将要移动的那个正方形涂黑，并画出移动后的正方形）．
【答案】解：答案如下：
或
或等．
【解析】【分析】根据题意可知，结合展开图中“1，4，1”格式作图，即可得出答案．
23． 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．
（1）此光源下形成的投影属于 ．（填“平行投影”或“中心投影”）
（2）已知树高AB为2m，树影BC为3m，树与路灯的水平距离BP为4.5m．求路灯的高度OP．
【答案】（1）中心投影
（2）解：
由题意得：，，
，，
，即，
解得：
答：路灯的高度OP为5m．
【解析】【解答】解：（1）∵此光源是点光源，
∴此光源下形成的投影属于中心投影，
故答案为：中心投影.
【分析】（1）利用中心投影的定义分析求解即可；
（2）先证出，可得，再将数据代入可得，再求出OP的长即可.
24．长方体的主视图与俯视图如图所示，这个长方体的体积是多少？
【答案】解：由主视图可知，这个长方体的长和高分别为4和3，由俯视图可知，这个长方体的长和宽分别为4和2，
因此这个长方体的长、宽、高分别为4、2、3，
因此这个长方体的体积为4×2×3＝24．
答：这个长方体的体积是24．
【解析】【分析】由所给的视图判断出长方体的长、宽、高，让它们相乘即可得到体积．
25．如图1，一个边长为2cm的立方体按某种方式展开后，恰好能放在一个长方形内．
（1）计算图1长方形的面积；
（2）小明认为把该立方体按某种方式展开后可以放在如图2的长方形内，请你在图2中划出这个立方体的表面展开图；(图2每个小正方形边长为2cm)；
（3）如图3，在长12cm、宽8cm的长方形内已经画出该立方体的一种表面展开图(各个面都用数字“1”表示)，请你在剩下部分再画出2个该立方体的表面展开图，把一个立方体的每一个面标记为“2”，另一个立方体的每一个面标记为“3”．
【答案】（1）立方体的棱长为2cm，图1长方形的面积为4×2×3×2=48平方厘米。
（2）展开图：
（3）
【解析】【分析】（1）根据题意求出长方形的长和宽，利用面积公式可求出结果。
（2）利用正方体和展开图特点进行画图。
（3）利用正方体和展开图的特点进行计算。
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