2025-2026学年北师大版八年级数学上学期期末模拟卷（含答案）

2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列运算结果与相等的是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．5000
3．已知一次函数的图像经过点，且随的增大而减小，则该函数图像可能是（ ）
A．经过第一、二、三象限 B．经过第一、二、四象限
C．经过第一、三、四象限 D．经过第二、三、四象限
4．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若，则图2中阴影部分的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（　　）
A．这组数据的下四分位数是4
B．这组数据的中位数是10
C．这组数据的上四分位数是15
D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13
6．在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移个单位，使其与函数的交点位于第四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在方格纸中，为的平分线，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，，……按这样的规律，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
9．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
乙用6分钟追上甲
乙追上甲后，再走2400米才到达终点
甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟
D．甲乙两人之间的最远距离是960米
10．如图，已知，、为上的两点，、为上的两点，延长于点，平分，直线平分，若．①；②；③；④设，则其中正确的结论有（　　）个
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简 ．
12．如图，，，则的度数为 ．
13．已知点，点A在坐标轴上，且三角形的面积等于4，则满足条件的点A的坐标为 ．
14．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．
15．一大正方形和四个相同的小正方形按图①②两种方式摆放，则小正方形的边长为 ．
16．设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，每个小正方形的边长均为1．
(1)图中阴影部分正方形的面积是______，它的边长a是______；
(2)我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用1来表示它的整数部分，用表示它的小数部分．设边长a的整数部分为x，小数部分为y，求的值．
18．（6分）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法．
解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得： ，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为
请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题：
(1)解方程组
(2)已知满足试求的值．
（8分）
如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴及轴分别交于两点，正比例函数的图象与交于点．
(1)点坐标为_____，点坐标为_____。
(2)求正比例函数的表达式；
(3)点为轴负半轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别交和于点，，当时，求的值．
20．（8分）从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革、为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下：
a．信息处理速度（满分10分） b．信息识别准确度（满分10分）

c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表
项目 统计量 软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分
平均数 中位数 众数 平均数 方差
甲 7.3 7 b 5.6
乙 7.65 a 7 4.9
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表格中______，_____；观察统计图得：_____（填“”“”或“”）；
(2)若某市共有20.4万人使用甲款软件，请估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数；
(3)综合上表中的统计量，你认为哪款软件使用效果更好？请说明理由（列出两条即可）．
21．（10分）某中学组织八年级学生前往甲城参加研学活动．学生分为两队同时从学校出发．队全程匀速行驶，队行驶1小时后车辆出故障停下维修用去1小时，之后提高速度追赶队。已知两队5小时内的行驶路程（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图①所示；两队行驶的路程差（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图②所示．请结合图象回答下列问题：
(1)两队在2小时时路程差________千米；队在行驶中的速度是________千米／小时；
(2)求图①中点的坐标；
(3)求两队出发多长时间相距40千米．
22．（10分）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行．
(1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形；
(2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？
(3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少．
23．（12分）如图1，直线分别交直线于两点，且．
(1)求证：；
(2)如图2，已知与的角平分线交于点．求的值；
(3)在（2）的条件下，若，绕点以的速度顺时针方向旋转得到，当首次与射线重合时运动停止，在运动过程中（含始终位置），旋转时间为何值时的一边与直线平行．
24．（12分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称．
(1)求直线的表达式；
(2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，连接．
①若，则点的坐标为 ；
②若 的面积为，则点的坐标为 ；
③已知为线段的中点，连接，若在线段上有一点，满足，求点的坐标．
参考答案
一、选择题
1．D
【详解】解：，
A． ，故不符合题意；
B． ，故不符合题意；
C． ，故不符合题意；
D． ，故符合题意．
故选D．
2．B
【详解】解：∵两个方程组有相同的解，
∴可得方程组：， ，
解得：，
将，代入得：，
解得：，
∴，
故选：B．
3．B
【详解】由点代入
得，则函数图像与轴交于正半轴；
由随的增大而减小得，图像呈下降趋势；
∴一次函数图像经过第一、二、四象限．
故选B．
4．B
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为，
∴，
∴阴影部分的面积为2,
故选：B．
5．B
【详解】解：箱线图的箱体的左端竖线的对应值为4，所以这组数据的下四分位数是4，说法正确，故该选项不符合题意；
箱线图的箱体中部的竖线在10与11之间，所以这组数据的中位数大于10，说法错误，故该选项符合题意；
箱线图的箱体的右端竖线的对应值为15，所以这组数据的上四分位数是15，说法正确，故该选项不符合题意；
箱线图最左侧的竖直线段表示该组数据的最小值是3，最右侧的竖直线段表示该组数据的最大值，是18，
∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数可能是13，说法正确，故该选项不符合题意．
故选：B．
6．A
【详解】解：将直线的图象向下平移m个单位可得，
联立两直线解析式得：，
解得：，
即交点坐标为，
∵交点在第四象限，
∴，
解得：．
故选：A．
7．A
【详解】解：如图，连接，，
设每个方格的长度为1，
，，，，
，
又，
，
，即为的平分线，
点符合题意，，，不符合题意，
故选：A．
8．B
【详解】解：∵，，，，，……，
∴点（为正整数）的横坐标为，纵坐标为每个一循环，
∴点的横坐标为，
∵，
∴点的纵坐标与的纵坐标相同，为，
∴点的坐标为，
故选：B．
9．C
【详解】解：由图知，(分)，
乙用6分钟追上甲，
正确，不符合题意；
甲的速度为(米/分)，
乙追上甲时，二人离终点的距离为(米)，
乙追上甲后，再走米才到达，
正确，不符合题意；
乙的速度为(米/分)，
乙到达终点所用的时间为（分），
当乙到达终点时甲走的路程为(米)，
当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远，为(米)，
正确，不符合题意；
当乙到达终点时甲走的路程为2040米，
甲还需要(分)到达终点，
甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟，
错误，符合题意
故选：．
10．C
【详解】解： ①∵平分，
∴，
则①正确；
②∵，
∴，
∵，
∴，
则②正确；
③∵直线平分，
∴，
∵，
∴，
则③正确；
④∵，
∴由①②得，
∵，
在中， ，
∵，
∴，
∴，
则④不正确；
故选：C．
二、填空题
11．
【详解】解：由数轴可知：，，
∴，
∴；
故答案为：．
12．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即的度数为．
故答案为：．
13．或或或
【详解】解：当点在y轴上，
设其坐标为，则，
∵三角形的面积等于4，
∴，
解得或4，
∴点A的坐标为或；
当点在x轴上，
设其坐标为，则，
∵三角形的面积等于4，
∴，
解得或2，
∴点A的坐标为或．
综上，满足条件的点A的坐标为或或或，
故答案为：或或或．
14．20
【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2，
∵AD=2，BC=4，
∴AD2+BC2=22+42=20，
故答案为：20.
15．
【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由图①和②列出方程组得，
，
得．即
所以小正方形的边长为．
故答案为：．
16．6
【详解】解：由题意可得，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵a为正整数，b在0和1之间，
∴，，
∴，
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：由勾股定理，得：；
正方形的面积；
（2）∵，
∴，
∴，
∴．
18．（1）解：，
将方程②变形为：，
把①代入③得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
原方程组的解为：；
（2）解：，
由①得：，
把②代入③得：，
解得：．
19．（1）解：中，令，则，解得，
∴点坐标为，
中，当时，，
∴点坐标，
故答案为：，；
（2）解：把代入得，
，
∴，
∴，
将代入得，
解得：
∴；
（3）解：∵点，，过点作轴的垂线分别交和于点，，
∴，
∴
∵
∴
解得：（舍去）或
20．（1）解：共个数据，乙组数据第个、第个数据分别为、，
中位数，
甲组数据中出现的次数最多，
众数，
由信息识别准确度的折线图可知：，
故答案为：，，；
（2）解：（人），
估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数约为人；
（3）解：甲款软件使用效果更好（答案不唯一），理由如下：
信息识别准确度得分的平均数甲高于乙，而且甲的方差小于乙的方差，
甲更稳定，
甲款软件使用效果更好．
21．（1）解：由图②可知：当时，，
所以，A，B两队在2小时时路程差千米；
设队的速度为千米/小时，由图②得，A队和B队前行1小时的路程差为20，，
当时，的路程不变，，
∵，
∴，
解得，
所以，A队速度是60千米/小时；
故答案为：80；60；
（2）解：当时，；
由得，，
所以，B队的速度为千米/小时，
当时，设，
当时，，
当时，，
由图②得，当时，，
∴，
∴，
把，代入得，
，
解得，
∴，
设A队路程函数解析式为，
把代入得，
∴，
联立方程组得，
解得，
所以，点的坐标为；
（3）解：当时，无解；
当时，，解得，或（不合题意，舍去）；
当时，，解得，或（不合题意，舍去）；
当时，，解得，
综上，两队出发时间为小时或小时或4小时时相距40千米．
22．（1）解：如图：
（2）解：①；
②；
③；
可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5；
（3）解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和，
如图：
则蚂蚁需爬行的最短路程是．
23．（1）证明：，
，
∴；
（2）解：分别过点作，
∵，
∴，
，，分别平分与
∵，
．
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
①当时，，得；
②当时，
，
，
，
，
∴，得；
③当时，
∴，
∴，
∴，得，
④当时，同理得：，得
综上所述的一边与直线平行时或或或．
24．（1）解：对于，令，，
，
令，
，
，
，
点与点A关于轴对称，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为；
（2）解：①设点，
，
，，
，，，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
故答案为：；
②设点，
点在直线上，
，
点在直线上，
，
，
的面积为，
，
，
或；
③过点作交于，过点作轴于，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，，
点为线段的中点，，
，，
设，则，，则，
，，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
点在上，，
，
解得：，
点的坐标为．