2025-2026学年人教版八年级数学上学期期末模拟卷（含答案）

2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分）
1．已知，则（ ）
A．1 B．2021 C． D．
2．如图，中，平分，交于点，若，，则长度为（ ）
A．4.5 B．3 C．4 D．5
3．已知实数a，b满足，，，n为自然数，则n的最小值是( )
A．11 B．12 C．13 D．14
4．如图，，是过A的一条直线，且在异侧，于D，于E．若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
5．设，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转/秒”（，简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球更转（ ）
A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定
7．已知（，，是正数），若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在等边中，，点P是边上的动点，点D，E分别在边上，且．当的值最小时，的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
9．如图，是等边三角形，是边上的动点（不与点重合），连结，点分别在线段的延长线上，且，在动点从点运动到点的过程中，与的周长之和的变化情况为（　　）
A．一直变大 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大
10．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．关于的一元一次不等式组的解集是，且使关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为 ．
12．如图，在中，，于点，于点，，交于点，若，，则的长为 ．
13．已知实数满足，则的值为 ．
14．如图，是等边中边上的点，，，若，则的长为 ．
15．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，点P是直线上动点，连接，，当最小时，的度数为 ．
16．如图，，平分，且．若点M，N分别在、上，且为等边三角形，则满足上述条件的有 ．
三、解答题（本大题共10小题，满分62分）
17．（5分）已知关于x的分式方程：．
(1)当时，解该分式方程；
(2)若该分式方程无解，求m的值．
18．（5分）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，的延长线于点，于点．
(1)求证：；
(2)若，，求．
19．（5分）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
(1) ；若，则 ；
(2)已知(，若，求y的值；
(3)若，求的值．
20．（5分）观察下列等式：
…
根据以上规律，解决下列问题：
(1)填空： ；
(2)试说明：比任意一个偶数大5的数与此偶数的平方差能被5整除．
21．（6分）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？
我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数．
例：计算时，可依照的计算方法用竖式进行计算．
因此．
(1)的商是______，余式是______．
(2)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值．
22．（6分）某校为学生制定了篮球训练计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三．
活动一：篮球单手运球往返跑．
活动二：篮球双手交替运球往返跑．
两项活动规则如下：如图1，从起跑线处开始运球，到达折返线后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑．
嘉嘉在活动一中速度是在活动二中速度的倍，设嘉嘉在活动二中的速度为米/秒．
（1）假设嘉嘉参加两项活动球均未掉落，求嘉嘉单手运球往返跑的时间比双手交替运球往返跑的时间多多少秒？（用含x的式子表示）
（2）若嘉嘉在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求嘉嘉在活动一中的速度．
活动三：篮球运球绕杆往返跑．
活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑．
（3）若这条路线的总路程为36米，嘉嘉和淇淇依次完成活动三后，嘉嘉说：“咱俩共用时42秒”．淇淇说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米”．求这两名同学各跑了多少秒？
23．（7分）如图，在中，，在边上，且．
(1)如图1，填空，．
(2)如图2，若为线段上的点，过作直线于，分别交直线、于点、．
①求证：是等腰三角形；
②试写出线段、、之间的数量关系，并加以证明．
24．（7分）综合与实践
【问题情境】
著名数学家华罗庚对“数形结合”思想有一段精辟的论述：“数缺形时少直观，形少数时难人微；数形结合百般好，隔裂分家万事非．”深刻阐释了代数与几何的辩证关系．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题．
(1)根据图1中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式： ．
(2)将一张大长方形纸板按图2中所示方式裁剪成9块，其中有2块是边长为厘米的大正方形，2块是边长为厘米的小正方形，5块是长为厘米，宽为厘米的完全相同的小长方形，且．
①观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ．
②若阴影部分的面积为80平方厘米，大长方形纸板的周长为48厘米，求图2中空白部分的面积．
25．（8分）在中，，在的外部作等边三角形为的中点，连接并延长交于点，连接．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，作的平分线；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(3)的平分线交于点，交于点，连接．若，求证：．
26．（8分）【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．
【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有______；线段和的数量关系是______；
【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，在同一条直线上．请判断线段和存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）如图3，，，请直接写出与的数量关系．

参考答案
一、选择题
1．C
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：C．
2．C
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
3．C
【详解】∵，
∴，
整理得，
，
．
∵，
∴，即．
将代入，得：．
∵，
∴，即，故．即，
因n为自然数，故n的最小值是13，
此时，此时，符合题意，
故选：C．
4．B
【详解】解：∵于D，于E，
∴，
∵，
，
，
，
，
，
∵，，
∴，
故选：B．
5．A
【详解】，
，
，
，
即，
，
，
．
故选：A ．
6．A
【详解】解：展开甲球员的击球旋转数：，
展开乙球员的击球旋转数：，
作差比较：，
，
，即，
甲球员击出的球更转．
故选：A．
7．D
【详解】解：∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
故选：D．
8．C
【详解】解：作点E关于的对称点，连接′交于点P，此时最小．连接，
由对称性可知：，
∴，
∵等边，
∴，即，
∴，
连接，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
故选：C．
9．D
【详解】解：延长到点，作于点，则，
当与点重合时，的值最小，
在动点从运动到过程中，先变小后变大，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
的周长的周长，
为定值，的值先变小后变大，
的值先变小后变大，
∴在动点从点运动到点的过程中，与的周长之和先变小后变大，
故选：D．
10．D
【详解】解：，
，
，
又，
．
，
，
，
在和中，
，
，
，故①正确；
，
，
，
．
在和中，
，
，
，故②正确，
．
，
且，
，故③正确；
如图，过点作于F，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
．
由②得是等腰直角三角形，
，
，
，
．
，故④正确；
故选：D．
二、填空题
11．2
【详解】解：，
解不等式①的解集为，
不等式②的解集为，
∵不等式组的解集为，
∴，
解得，
∵关于的分式方程有非负整数解，
∴，
∴，
又∵关于的分式方程有非负整数解，
∴为非负整数，
由为整数可知，
为偶数，即为奇数，
由分母可知，
，则，解得，
综上，符合条件的整数需满足，
为奇数且，
∴的取值为，，
所有整数的和为
故答案为：2．
12．5
【详解】解：∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵；
∴．
故答案为：5
13．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：4051．
14．
【详解】解：是等边三角形，
，，
在和中，，
，
，，
是等边三角形，
．
故答案为：．
15．30
【详解】解：∵点E在的垂直平分线上，
∴，即点A是点B关于直线的对称点，
∴，
如图，当B、E、P、C共线时，最小，此时点P与点E重合，
∵，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∴．
故答案为：．
16．无数个
【详解】解：如图，过点P作于M，于N，

∵平分，
∴，，
∴，
此时，是等边三角形．
当M向方向移动，N向方向移动，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∴是等边三角形，
即当M向方向移动，N向方向移动，且，
∴是等边三角形．
同理：当M向方向移动，N向方向移动，都有是等边三角形．
综上：满足条件的有无数个．
故答案为：无数个．
三、解答题
17．（1）解：当时，，
去分母，得：，
解得；
检验，当时，，
∴方程的解为；
（2）解：，
去分母，得：，
∵分式方程无解，
∴分式方程有增根，
∴，
∴，
把代入，得：；
故．
18．（1）证明：如图，连接，，
∵平分，，，
∴，，
∵是的中垂线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
∴，
∵平分，，，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
解得，即．
19．（1）解：∵，
∴，
故答案为：4；64；
（2）解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴
．
20．（1）解：∵，
，
，
∴，
故答案为：；
（2）解：设这个偶数为（n是整数），则比它大5的数为，
由（1）可知
，
能被5整除，
即能被5整除，
比任意一个偶数大5的数与此偶数的平方差能被5整除．
21．（1）解：，
，
故答案为：；．
（2）解：．
多项式能被整除．
，．
，．
．
22．（1）解：
（秒），
答：嘉嘉在两项活动中的用时相差秒；
（2）解：，
化简，得，
方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为，
，
答：嘉嘉在活动一的速度为4米/秒；
（3）设淇淇跑了秒，则嘉嘉跑了秒，
，
方程两边同乘，得，
解得：，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为，
，
答：嘉嘉同学跑了15秒，淇淇同学跑了27秒．
23．（1）解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，；
故答案为：，；
（2）①，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
是等腰三角形；
②，
理由：由①知，，
，
，
，
，
．
24．（1）解：图1中大正方形的边长为，则其面积为，
图1中大正方形的面积等于三个正方形的面积加上六个长方形面积，则其面积为，
∴；
（2）解：①图2的最大的长方形面积为，其面积又为，
∴；
②∵阴影部分的面积为80平方厘米，
∴，
∴，
∵大长方形纸板的周长为48厘米，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴空白部分的面积为60平方厘米．
25．（1）解：如图
∵是等边三角形，
∴，，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，是的平分线；
（3）证明：连接，
∵平分，
设，
∵，
∴．
∵是等边三角形，E为的中点，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
26．[问题背景]
（1）证明：，
，
，
在和中，
，
，
∴；
故答案为：，；
（2）解：，，
和是等腰三角形，，，，
∴，即，
在和中，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：，
理由：如图3，延长至，使，连接，
，
是等边三角形，
，，
，
∴，即，
在和中，
，
，
，
，
．