八年级数学上册苏科版 第1章《三角形》单元复习卷 （含答案）

第1章《三角形》单元复习卷
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.）
1．如图，在中，平分，则的面积为（ ）
A．7 B．10 C．12 D．14
2．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，，交于点．则下列说法中，不一定正确的是（ ）

A． B．若，则
C．的面积的面积 D．
3．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形、与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤是正三角形．其中正确的结论有（ ）
A．①②③⑤ B．①③④⑤ C．①②⑤ D．②③④
4．如图，中，，点D在上，，延长至点E，使，过点E作于点F，交于点G，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，点在射线ON上，点在射线OM上，、均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为，以此类推．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）

A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④
8．如图，在中，三条角平分线交于点O，交于点H，两个外角角平分线交于点M，延长线交反向延长线于点N．则下列结论中：①平分；②当时，；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
9．如图，以的边向两侧做等边与等边，连接交于点M，连接，①；②；③平分；④；则以上结论正确的有（）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，正方形中，，为上一动点，连接交于，过作于，过作于．则以下结论：①；②；③；④的周长为．其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．如图是等边三角形，点在的延长线上，点在上，且，若，那么
12．如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，连接．根据小颖的思路可得的面积为 ．
13．如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为 ．
14．如图，中，，，是的角平分线，以为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为 ．
15．如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为 ．
16．如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法中正确的序 ．
①的面积等于的面积；
②；
③；
④．
17．如图，点B、C、D在同一直线上，若，则 ．
18．如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③；④、都是等腰三角形．其中正确的是 ．
三．解答题（本大题有8小题，共64分..）
19．（6分）如图，在中，直角顶点在直线上，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、求证：．
20．（6分）如图，在等腰三角形中，，为边上的高线．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出边上的高线，与交于点O．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由．
21．（8分）如图，在中，，点在上，且，连接，的平分线交于点，点在上，连接，且．
【问题提出】
（1）如图1，与全等吗？为什么？
【问题探究】
（2）如图2，连接交于点，请判断与是否相互垂直，并说明理由．
22．（8分）如图，在中，，，，垂足为，且，，，的两边分别交，于点，，．
(1)求证：是等边三角形．
(2)求的长．
23．（8分）如图，在中，，．点为上的一点，连接，且为边上一动点（不与点重合），以点为直角顶点、以射线为一边作，另一条直角边与边交于点，连接．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若的面积为10，四边形的面积是否会随着点的位置不同而发生变化？若不会发生变化，请直接写出四边形的面积；若会发生变化，请说明理由．
24．（8分）【尝试初探】在继续研究直角三角形时，发现在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：已知在中，，，求证：．
以下是两位同学不同的证明思路：
小明采用“截长法”（如图1）在上截取，连接…
小丽采用“补短法”（如图2）延长到点D，使得，连接…
（1）请你任选其中一位同学的方法完成证明；
【深入探究】
如图3，在平行四边形中，，，，，点P从点B出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，过点P作于E，作交直线于点F，交直线于点Q，点P运动时间为t（秒）．求t为何值时，与全等，并说明理由．
25．（本题10分）（1）【阅读理解】
如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明；
（2）【问题解决】
如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
26．（本题10分）【问题背景】
如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点．
【初步探究】（1）如图1，连接，求证：点在的平分线上；
【深入探究】（2）如图2，延长交于点，过点作于点于点，并连接，试判断与的大小关系；
【拓展延伸】（3）如图3，延长交于点，连接交于点，过点作于点，于点，请问和有何数量关系？
参考答案
一．选择题
1．A
解：过点作于点，如图：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
2．C
解：A、中，，
，
∵、分别平分、，
，
．
故A选项正确，不符合题意；
B、如图，延长至G，使，连接，

又，，
，
，
又，
，
，
又，
，
，
故B选项正确，不符合题意：
C、当是的中线时，的面积的面积，题干所给条件无法证明， 故C选项不一定正确，符合题意；
D、如图，作的平分线交于点G，由A选项得，
，，
，
，，
，，
，，
，
故D选项正确，不符合题意．
故选：C
3．A
解：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，①正确；
，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，⑤正确；
同理得：，
∴，②正确；
∵，，
∴
∴，
∵，
∴，故④错误；
∵，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴③正确；
综上，正确的有①②③⑤；
故选：A．
4．D
解：如图，过点作于，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：D．
5．B
解：过点作，垂足分别为，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B
6．B
解：如图，

∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
同理可得：，
∴，
同理：，
，
，
…，
以此类推：，
故选：B．
7．A
解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴①③都正确，
在中，
，
∴，
故④正确，
根据已知条件无法证明②是否正确，
故①③④正确，
故选：A．
8．C
解：若是的平分线，
则，
∵是的平分线，
∴.
∵，，
∴,
∵分别是的角平分线，
∴,
∴，这与与不一定相等矛盾，
∴不一定是的平分线，故①不正确；
当时，在上截取，连接，如图：

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，

∴，
∴，
∴，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
如图：

∵于H，
∴，
∴，
∵，
∴
，故③正确；
∵平分，平分，
∴，
∴；
同理可得，
∴，
∴，
而，
∴，
∴，故④正确；
∵三条角平分线交于点O，，
∴O到的距离都等于，
∴
，故⑤正确；
过O作于K，于T，如图：

∵，
∴，
∴，
由角的对称性可知，，
∴，
∴，故⑥正确；
∴正确的有：②③④⑤⑥，共5个；
故选：C．
9．D
∵和都为等边三角形，
在和中，，
∴
，故①正确；
∴，
∴，故②正确；
作于于，如图所示：

∵
∴，
∴平分，故③正确；
，
∴，
在上截取，在上截取，
为等边三角形，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴
∴，故④正确；
故选：D．
10．D
解：①连接FC，延长HF交AD于点L，如图1，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠CDF=45°．
∵AD=CD，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF（SAS）．
∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．
∵∠ALH+∠LAF=90°，
∴∠LHC+∠DAF=90°．
∵∠ECF=∠DAF，
∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=FC．
∴FH=AF．
②∵FH⊥AE，FH=AF，
∴∠HAE=45°．
③连接AC交BD于点O，如图2，可知：BD=2OA，
∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，
∴∠AFO=∠GHF．
∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，
∴△AOF≌△FGH（ASA）．
∴OA=GF．
∵BD=2OA，
∴BD=2FG．
④连接EM，延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，如图3，则：LI=HC，
∵HL⊥AE，CI∥HL，
∴AE⊥CI，
∴∠DIC+∠EAD=90°，
∵∠EAD+∠AED=90°，
∴∠DIC=∠AED，
∵ED⊥AM，AD=DM，
∴EA=EM，
∴∠AED=∠MED，
∴∠DIC=∠DEM，
∴∠CIM=∠CEM，
∵CM=MC，∠ECM=∠CMI=45°，
∴△MEC≌△CIM（AAS），可得：CE=IM，
同理，可得：AL=HE，
∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．
∴△CEH的周长为8．
故①②③④结论都正确．
故选：D．
二．填空题
11．
解：过点作的平行线，交的延长线于点，
∵是等边三角形，
∴，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵、都是等边三角形，
∴，即，
∵，
∴，
故答案为：．
12．64
解：∵是的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13．
解： 为的中点，
，
，
，，
在与中，
，
，
，，
∵，
∴，
，
，
故答案为：．
14．16
解：作交的延长线于点F，
是的角平分线，
，，
，
是等腰直角三角形，，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：16．
15．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵的面积比的面积大25，
∴，
设点P到线段和线段的距离分别为，连接，
∵，
∴，
∴，
∴点到线段和线段的距离之和为，
故答案为：．
16．①②③
解：∵是边的中线，
∴，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，故③正确；
∵，
∴，故④错误；
所以，上面说法中正确的①②③，
故答案为：①②③．
17．
解：∵ ，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
18．①②④
解：①∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和△FBD中，
，
∴，
∴，故①正确；
②∵平分，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，故②正确；
③如图所示，过作于点，
∵是边的中点，，
∴，即，
∴，
又∵平分，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，故③错误；
④∵，
，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∴为等腰三角形，
即、都为等腰三角形，故④正确，
∴正确的是①②④．
故答案为：①②④．
三．解答题
19．证明：，
，
，
，
，
．
20．（1）解：下图即为所求作．
（2）解：为等腰三角形．
理由：在中，，
∴．
∵分别为边上的高线，
∴．
∴．
∴．
∴为等腰三角形．
21．解：（1），理由如下：
因为平分，
所以，
因为，
所以，
所以，
在利中，
，
所以．
（2），理由如下：
因为，
所以，
在和中，
，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以．
22．（1）证明：∵，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴是等边三角形．
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，．
∵，
∴．
∴，
∴．
在与中，
，
∴．
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴．
23．（1）解：在中，， ．
，
，
，，，
∵，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形；
（2）解：点 D 为 的中点，
∴，
由（1）得：∵，
，
四边形的面积.
24．（1）证明：小明方法，
在上截取，连接，如图1，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，；
小丽方法，
如图2，延长到D使，连接，则，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（2）解：当点Q在线段上时，如图3
∵，，
∴，
∵与全等，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点Q在的延长线上时，如图，
∵与全等，
∴，
同理得，，
∴，
综上：或4时，与全等．
25．解：（1）延长到点，得，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
；
（2）．理由如下：
延长到点，使得，连接，
由（1）知，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
．
26．（1）证明：如图，过点作的垂线段，分别交于点，
，是的角平分线，
，
点在的角平分线上（到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上）；
（2），理由如下：
如图，过点作的垂线段，交的延长线于点，
是的角平分线，，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点作的垂线段，交于点，过点作于点于点，
根据（2）中原理可得，
是的平分线，
，
，
平分，，，
．