八年级数学上册苏科版 第一章《三角形》单元复习卷 （含答案）

第一章《三角形》单元复习卷
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.）
1．如图，在和中，，，．如果的面积．那么的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，则此时扶手与靠背的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，线段，都是的角平分线，连接，则图中的全等三角形的对数是（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
4．如图，已知和均为等边三角形，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，，，如果点P在线段上以2/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（ ）
A．或 B．1或 C．1或 D．1或
6．已知中．，，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，和都是等边三角形且点，，在一条直线上，，相交于点，与相交于点，与相交于点，连接，则①；②；③；④平分．正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④
9．如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
10．如图，已知中，，，，点是中点，两边，分别交，于点E，F，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是 °．
12．如图，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向，若，则点C在点E的南偏西 方向．
13．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若的长为3，，则的面积为 ．
14．如图，在中，中线和中线相交于点，若的面积为36，则四边形的面积为 ．
15． 如图，在中，，分别以点C，B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E，连接相交于点P．若，则的大小为 ．
16．如图是等边三角形，点在的延长线上，点在上，且，若，那么
17．如图为一盏可调节台灯及其示意图，固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变，现调节台灯，使外侧光线，，若，则 ．
18．如图，在中，，为上一点，且为等边三角形，．点是边上的一个动点，连结，以为边在左侧作一个等边，连结．在整个运动过程中，的最小值是 ．
三．解答题（本大题有8小题，共64分.）
19．（6分）如图，在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，，求证：．
20．（6分）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：．
21．（8分）已知线段，且与不平行．
(1)请你用直尺和圆规作出射线；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)点在线段上，点在射线上．请你用直尺和圆规在（1）所作的图中作出点和点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(3)根据（2）中的作图痕迹，说明点和点符合题意．
22．（8分）如图，在中，，，，垂足为，且，，，的两边分别交，于点，，．
(1)求证：是等边三角形．
(2)求的长．
23．（8分）如图，点、为线段上两点，于，于，连接．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，设与相交于点，连接、并延长相交于点，请直接写出图中所有全等的三角形．（除外，均用图中给出的字母表示．）
24．（8分）如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点．
(1)求证：；
(2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由．
25．（10分）如图1，在中，，，D是边上不与A，B重合的一个定点．于点O，交于点E，且，，的延长线相交于点M．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)如图2，若N是的中点，求证：．
26．（10分）【尝试初探】在继续研究直角三角形时，发现在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：已知在中，，，求证：．
以下是两位同学不同的证明思路：
小明采用“截长法”（如图1）在上截取，连接…
小丽采用“补短法”（如图2）延长到点D，使得，连接…
（1）请你任选其中一位同学的方法完成证明；
【深入探究】
（2）如图3，在平行四边形中，，，，，点P从点B出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，过点P作于E，作交直线于点F，交直线于点Q，点P运动时间为t（秒）．求t为何值时，与全等，并说明理由．
参考答案
一．选择题
1．A
解：作于M，于N，如图，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
故选：A．
2．B
解：，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
3．B
令和的交点为．
都是的角平分线
是和的公共角
故选：B．
4．B
解：∵ 和均为等边三角形，
∴ ，，，
∵ ，，
∴
在和中
∴
∴
故选：B．
5．C
解：由题意知，，，
∵与全等，
∴分，两种情况求解；
当时，，即，解得；
当时，，即，解得；
综上所述，t的值是1或1.5，
故选：C．
6．D
解：中．，，
∴，
故选：D．
7．D
解：在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接，
此时是的垂直平分线，
，，
此时取最小值，最小值为，
等边中，，
，
，，
等边中，，，
又，
，
是等边三角形，
，
即的最小值为．
故选：．
8．C
解：和都是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
，故①正确；
．
又，
，故②正确；
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，故③正确；
过点分别作，于点，两点，
如图所示：
，，
，
在和中，
，
，
，
又在的内部，
平分，
故④错误；
故选：C．
9．C
解：延长交于，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
故选：．
10．C
解：如图，
，，
是等腰直角三角形，
，是中点，
，
、都是的余角，
，
在与中，
，
，
同理可证，
①由得到，故①正确；
②由得到，
是直角，
是等腰直角三角形，故②正确；
③由得到，
则 ，
故③正确；
④，，
，，
，
④错误；
正确结论为①②③．
故选：C．
二．填空题
11．55
解：如图：
由的三角尺可知，
∴．
由平行线的性质可知．
故答案为：55．
12．
解：如图，
，
，
，
，
，解得：，
，
，
，
∴点C在点E的南偏西方向．
故答案为：．
13．
解：过点作于点，
根据作图可知为的角平分线，
∵
∴，
∵，
∴，
故答案为：。
14．12
解：∵、是的中线，
∴，
∵，，
∴，
连接并延长交于点K，如图所示：
∴为中线，
∴，
∵，
∴，
同理得：，
∴，
∵的面积为36，
∴，
∴四边形的面积为，
故答案为：12．
15．
解：由作图可知是的垂直平分线，
，
，
，
，，，
∴，
，
，
，
故答案为：．
16．
解：过点作的平行线，交的延长线于点，
∵是等边三角形，
∴，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵、都是等边三角形，
∴，即，
∵，
∴，
故答案为：．
17．
解：延长交于，延长交于，如图：
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
18．1
解：如图所示，连接，

∴，即，
∵、为等边三角形，
∴，
∴
∴，
∴在整个运动过程中，最小时，最小，
根据点到直线，垂线段最短，
当时，最短，如图3所示，

∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴当时，、、三点共线，
∵，
∴，
∴，即最小值为1，故最小值为1．
故答案为：．
三．解答题
19．证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
20．证明： 与分别为，边上的中线，
，，
，
，
在和中，
，
．
21．（1）解：如图，射线即为所求；
（2）解：如图，点D，E即为所求；
（3）解：由作法得：，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．（1）证明：∵，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴是等边三角形．
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，．
∵，
∴．
∴，
∴．
在与中，
，
∴．
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴．
23．（1）证明：∵于G，于F，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：①，证明如下：
由（1）可知：，
∴，，
在和中，
，
∴，
②，证明如下：
由①可知：，
∴，，
又∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
③，证明如下：
在和中，
，
∴，
④和，证明如下：
∵于G，于F，
∴，
在和中，，
∴，
图中4对全等的三角形，分别为：①，②，③，④．
24．（1）证明：分别是的平分线，
．
，
．
又，
．
同理，．
．
在和中，
．
（2）解：，理由如下：
由（1）得，
∴，
在和中，
，
．
．
，
．
25．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：过点D作，交于点H，
则，
∵，
∴，
即．
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）证明：延长交于点T，连接，，如图：
∵，，
∴
∴，
∴，
∴．
∵N是的中点，
∴，
∵，
∴ ，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
由（2）知，，
∴．
∵，
∴ ，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
26．（1）证明：小明方法，
在上截取，连接，如图1，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，；
小丽方法，
如图2，延长到D使，连接，则，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（2）解：当点Q在线段上时，如图3
∵，，
∴，
∵与全等，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点Q在的延长线上时，如图，
∵与全等，
∴，
同理得，，
∴，
综上：或4时，与全等．