2025-2026学年北师大版八年级数学上册期中复习卷（1-3章）（含答案）

2025-2026学年八年级数学上册期中复习卷（1-3章）
一、选择题（10题×3分=30分）
1．下列选项是无理数的为（ ）
A． B． C． D．
2．已知有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B．1， C． D．7，24，25
5．在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，边长为的正方形两个顶点分别与数轴上的和重合，以数轴上所在的点为圆心按图示作弧线，交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．根据下列表述，能确定位置的是（ ）
A．航海东路 B．大卫城负二层停车场
C．奥斯卡影城号厅排 D．东经，北纬
10．宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调，匀称的美感．世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果都采用了黄金矩形设计，如图希腊的帕特农神庙等．我们可以通过折叠得到一个黄金矩形．正确的折叠顺序是（）
A．①②③④ B．④③①② C．①④③② D．④①③②
二、填空题（6题×4分=24分）
11．若与互为相反数，则的值为 ．
12．已知点在x轴上，则a的值是 ．
13．如图所示的网格是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，则的度数是 度．
14．如图，点与点关于直线（过点，且与轴平行的直线）对称，则 ．
15．如图，已知圆柱体底面圆的半径为2，高为6，若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点吃食物，则小虫爬行的最短路线的长度是 ．（）
16．如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动个单位长度至，然后向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处，…，如此继续运动下去，设，…
（1） ．
（2） ．
三、解答题（8题共66分）
17.（共6分）计算：
（1） （2）（3）解方程：；
18.（8分）已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分．
（1）求的值；
（2）求的平方根．
19.（8分）计算：
（1）；
（2）已知，求代数式的值．
20.（8分）如图，已知、、．
（1）直接写出点到轴的距离；
（2）求作关于轴对称的图形，并写出各顶点坐标；
（3）点在轴上，当的面积为时，请直接写出点的坐标．
21.（8分）观察下列各式的规律：
①； ②； ③ …
（1）针对上述①②③三个式子的规律，写出第④个等式：__________________________；
（2）请用含（为任意自然数，且）的式子表示，写出满足上述规律的等式，并证明所写等式的正确性．
22.（8分）如图，杂技团演员在圆柱形场地表演荡秋千节目，小丑甲在A处坐上秋千，小丑乙在离秋千的B处保护（即）．
（1）当甲荡至乙处时，乙发现甲升高了，即米．请你尝试求出秋千绳索的长度；
（2）在（1）小题绳索长度不变的情况下，已知圆柱场地的底面直径为20米，为了保证表演的安全性，小丑甲相比点A最多升高多少米（竖直距离）？
23.（10分）【综合与实践】
【情境背景】小明是一位热爱数学和几何的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点A、B、C，它们构成了一个等腰直角三角形，其中．小明发现，这个三角形隐藏着某种秘密，可能与岛上的宝藏有关．
【任务一】
（1）如图1，小明在遗迹中发现了一条直线，这条直线恰好经过点C．他测量发现，．为了解开遗迹的第一个谜题，小明需要证明：，且．则可通过求即可证明．请你尝试帮助小明写出证明过程；
【任务二】（2）如图2，小明使用他的设备，确定了点A和点C的坐标．点A的坐标为，点C的坐标为．为了找到点B的坐标，可以借鉴任务一的全等模型，构造全等三角形．请你帮小明计算出点B的坐标；
【任务三】（3）如图3，在遗迹的另一个部分，小明又发现了另一个等腰直角三角形，这次点A的坐标为，点C的坐标为．小明猜测，这个三角形的另一个顶点B的坐标可能与宝藏的位置有关．请你再次帮助小明，直接给出点B的坐标．
24.（10分）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，．
（1）请你利用图1证明勾股定理；
（2）如图2，在 ABC中，，，，且，当 ABC是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由；
（3）已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长．
参考答案
一、选择题
1.B
解：∵无理数是无限不循环小数，
∴，，都不是无理数，
只有是无限不循环小数．
故选：B．
2．A
解：∵有意义，
∴，
解得，
故选：A．
3．B
解：A、，错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、，错误，不符合题意；
D、，错误，不符合题意；
故选：B．
4．C
解：A.∵，∴5，12，13能组成直角三角形，不符合题意；
B.∵，∴1，能组成直角三角形，不符合题意；
C.∵，不能组成直角三角形，符合题意；
D.∵，∴7，24，25能组成直角三角形，不符合题意．
故选：C．
5．D
解：∵，，，
∴点一定在第四象限，
故选：D．
6．B
解：A中，，正确，故不符合题意；
B中，，原计算错误，故符合题意；
C中，，正确，故不符合题意；
D中，，正确，故不符合题意；
故选：B．
7．D
解：∵正方形的边长为，
∴正方形的对角线为，
以数轴上所在的点为圆心，对角线为半径，按图示作弧线，
∴点表示的数为：．
故选：D．
8．D
解：由条件可知，
解得：，
则点P的坐标为，
过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图，
则，
∴，
∵，
∴，
由点P的坐标知，，
∴，
∴，
∴．
答案：D．
9．D
解：、航海东路，不能确定位置，该选项不合题意；
、大卫城负二层停车场，不能确定位置，该选项不合题意；
、奥斯卡影城号厅排，不能确定位置，该选项不合题意；
、东经，北纬，能确定位置，该选项符合题意；
故选：．
10．C
解：由图可知，正确的折叠顺序是①④③②．
根据题意，设．
∵四边形正方形，
∴．
根据折叠易得，点A是的中点，则．
∴．
根据折叠可知，则，
∴，
∴矩形是黄金矩形．
故选C．
二、填空题
11．9
解：与互为相反数，
，
，解得，
．
故答案为：9．
12．7
解：∵点在x轴上，
∴，
解得：．
故答案为：7．
13．
解：作C点关于AB的对称点E，连接AE，DE，如图所示：
由对称性知≌，
∴∠CAB＝∠BAE，
在正方形网格，每个小正方形的边长均为1，
在Rt中，，由勾股定理得：，
在Rt中，，由勾股定理得：，
，
在Rt中，，由勾股定理得：，
∴，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝45°＝∠DAB＋∠BAE＝∠DAB＋∠CAB，
故答案为：45．
14．
解：∵点与点关于直线（过点，且与轴平行的直线）对称，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
解：沿展开，则点落在点位置，其中为底面周长的一半（如图）：
∵底面半径为，
∴底面周长，
∴，
∵在中，，，
∴，
故答案为：．
16．
解：（1）由题意可知 ……
于是得到的值为1，，，3，
∴；
故答案为：2．
（2）∵的值分别为3，，，，
∴；
∵，
，
…
，
∵，
∴．
∵，,，……
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
三、解答题
17.（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
∴或，
解得或.
18.（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4，
∴，，
解得.
∵，c是的整数部分，
∴，
∴；
（2）解：，
所以9的平方根是.
19.（1）解：
；
（2）解：∵，
∴
．
20.（1）解：
，
∴点到轴的距离为；
（2）如图，即为所求，、、；
（3）解：设点P的坐标为，
∵的面积为6，
∴，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或．
21.（1）解：由题意可得：第④个等式：；
（2）解：由题意可得：，
右边左边，
故等式成立．
22.（1）解：如图，连接交于点D．设秋千绳索长为，则．
由对称性知，垂直平分，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
答：秋千绳索的长度为．
（2）解：由题意可知：
最大宽度为，
此时，
在中，，
∴（m），
∴（m）．
答：比点A最多升高．
23.解：（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，；
（2）作轴，则，
∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，
同（1）理可证：，
∴，
∴，
∴；
（3）过点作直线轴，交轴于点，作，
∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，
同（1）理可证：，
∴，
∴，即：．
24.
解：（1）证明：根据题意，由图1可知：
，，，，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
；
又∵
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
过点A作交延长线于H，设，
在中，，
在中，，
∴，
化简得，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在中，，
∵
∴，
∴，
解得，，
∵
∴，
∴（负值舍去）
∴的斜边的长为．